Materi Kuliah. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas 1

Transkripsi

1 Materi Kuliah 1

2 sejarah, masa lalu, data time series, Succes Story probabilitas, peluang bisnis, cita-cita & harapan planning, pengembangan, mau nikah, kredit motor, dll past present Kita sekarang menjaga kesehatan, untuk lebih sehat di masa datang Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif, Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif future Ada ketidakpastian, dg ilmu peluang positip Optimisme 2

3 Teori Probabilitas Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu Matematika Terapan, dan mempelajari perilaku dari faktor untung-untung-an Dipengaruhi : pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian cara pemecahan : harapan matematis 3

4 Perumusan Probabilitas Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec. warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1 bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH Ada 2 macam kondisi : Kondisi yang diketahui bola identik, kecuali warnanya ; bolanya ada 10 MERAH & 10 PUTIH Kondisi yang tidak diketahui posisi/kedudukan bola-2 tsb ; tindakan pemilihan berdasarkan kemauan saja, tanpa merencanakan ttg yg akan dipilih 4

5 Kondisi yang diketahui tergantung dari OBYEK-nya, mis. pada obyek sederhana DADU, KARTU, MATA UANG. Obyek yang lebih komplek merk sepeda motor, merk mie instan, jumlah penduduk suatu wilayah, dll. harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harus survai atau sensus. 5

6 Kondisi yang tidak diketahui tergantung dari proses eksperimen bisa ditentukan dg perhitungan tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat dianalisa atas dasar logika ilmiah Teori Probabilitas memberikan cara pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinya suatu peristiwa 6

7 Ada 3 Konsep Probabilitas 1. Pendekatan Klasik 2. Pendekatan Frekuensi Relatif a) Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002) b) Walpole, RE. (1982) 3. Pendekatan Subyektif 7

8 KONSEP PROBABILITA 1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaan memiliki n kemungkinan hasil, maka peluang masing-masing kejadian adalah 1/n. Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6 Percobaan : Pelemparan sebuah dadu Ruang Sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilita : Masing-masing kejadian munculnya mata dadu memiliki peluang sama, yaitu 1/6 8

9 KONSEP PROBABILITA 2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen a. Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002): Jika N A merupakan banyaknya kejadian A muncul dalam suatu percobaan berulang sebanyak N, maka dengan konsep relative frequency, peluang bahwa A akan terjadi adalah P( A) N N A 9

10 KONSEP PROBABILITA 2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan) b. Walpole, RE. (1982): Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yg berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat n diantara hasil percobaan itu menyusun suatu kejadian A, maka peluang kejadian A adalah P( A) n N atau p( E) lim n m n 10

11 p( E) lim n m n x m m/n 166/ / / / / /1000 Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memiliki tendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6) p(e) Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris. Bila n maka Probabilitas empiris akan mendekati probabilitas teoritis 11

12 KONSEP PROBABILITA 3. Pendekatan Subyektif Contoh: Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuah perusahaan berdasarkan keputusan Pimpinan perusahaan, umumnya menggunakan pendekatan ini. Misalkan A yang memiliki pengalaman dan prestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka A akan diberikan peluang yang lebih besar dibandingkan B. 12

13 Jadi,... Probabilitas dirumuskan sebagai RASIO atau PROPORSI atau PERBANDINGAN 13

14 Variabel Random : Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya = konstanta Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai Terdiri atas : Variabel Diskrit bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 } Variabel Kontinu bil. pecahan, pengukuran, { 1 x 3 } 14

15 Diagram Venn & Ruang Sampel Azas-azas Teori Kelompok : Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakan istilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan = Set Theory Kelompok = set : Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapat dibedakan dan diberi batasan/rumusan/definisi yg tegas Definisi : Dorce, Mr. X 15

16 Diagram Venn & Ruang Sampel Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsur merup. anggota dari kelompok tsb. Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatu Kelompok, maka : [epsilon] a S a merup. satu unsur dari kel. S a S a bukan merup. satu unsur dari kel. S 16

17 Diagram Venn & Ruang Sampel Ada 3 jenis kelompok : 1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jika susunannya tertentu, dari awal sd akhir 2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set, jika susunannya tidak terbatas 3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika tidak memiliki unsur atau 17

18 Diagram Venn & Ruang Sampel Perincian ttg KELOMPOK Cara DAFTAR, semua unsur diuraikan. mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 } Cara KAEDAH, dg menuliskan definisi atau syaratnya. mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan 1 x 6 } 18

19 Diagram Venn & Ruang Sampel Contoh Bila S = { 1,2,3,4,5,6 } dan N merup, kelompok yg terdiri dari angka-angka kuadrat dari rumus S, maka N = { 1,4,9,16,25,36 } atau N = { x 2 : x merup. unsur dari S } Jika HH = { a,i,u,e,o } maka HH = { x : x ialah huruf hidup/vokal dari 26 abjad } 19

20 Diagram Venn & Ruang Sampel Kelompok & Sub-Kelompok : Keseluruhan obyek yg membentuk kelompok yg besar dan tetap = kelompok universil / universal set / populasi = disebut KELOMPOK saja Kelompok yg dipilih dan dibentuk dari kelompok universil = sub kelompok / sampel 20

21 Diagram Venn & Ruang Sampel Kelompok & Sub-Kelompok : Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila setiap unsur dari A juga merupakan unsur dari B, dan dinyatakan sbg A B dan Kelompok Kosong sbg sub-kelompok dari tiap kelompok Mis. { 2,4 } { 1,2,4 } { 1,3 } { x : x 1 } { 1,5 } { 1,5 } kelompok dpt merup. sub-kelompok dari dirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A B dan B A = kelompok identik 21

22 Unsur Sub-kelompok Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu kelompok dg unsur sebanyak n, akan memiliki 2 n sub-kelompok yg berbeda n=1 2 1 = 2 {a}, {} n=2 2 2 = 4 {a}, {b}, {a,b}, {} n=3 2 3 = 8 {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, {} 22

23 Diagram Venn & Ruang Sampel Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok : 1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb 2. Interseksi/Irisan 3. Gabungan/Union 4. Mutually Exclusive Events 23

24 Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 1. Komplemen suatu kejadian Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S (semesta) adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan A c. Diagram Venn berikut mengilustrasikan A c. A A C { x U : x A} 24

25 Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B. A B A B { x : x A dan x B } 25

26 Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur anggota A atau B atau keduanya. Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B. A B { x : x A atau x B } 26

27 Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 4. Kejadian yang saling meniadakan (Mutually Exclusive Events) adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadian lain untuk muncul dalam suatu ruang contoh. A B S A B 27

28 28

29 Contoh : Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 huruf pertama dari alfabet { a,b,c }. Tentukan : A c A B c A B = A B = B 29

30 Contoh : Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 }, B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 } Tentukan : A c A B c C c A B = A B = C B 30

31 Contoh : Sebuah perusahaan industri menggolongkan pegawai A, B & C. Gol. A = pegawai yg rajin Gol. B = pegawai yg sehat Gol. C = pegawai yg berpendidikan dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehat dan berpendidikan. Dengan survei 100 orang. Berapa orang yang harus di PHK? PHK = tidak rajin, tidak sehat & tidak berpendidikan. 31

32 Contoh : Hasil survei : Golongan Jumlah pegawai A 50 B 52 C 40 A dan B 20 A dan C 13 B dan C 15 A dan B dan C 5 Diagram Venn menggambarkan secara sistimatis jumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu golongan saja TANPA pencatatan rangkap A ABC ABC 22? ABC ABC 15 ABC ABC ABC ABC C B 32

33 Solusi : ABC 1. = 5 ABC 2. ABC = AB ABC = 20 5 = A BC = AC ABC = 13 5 = 8 ABC 4. = BC = 15 5 = ABC = A ( ABC+ ABC+ ABC) 6. = 50 ( ) = 22 ABC ABC ABC ABC ABC 7. = B ( + + ) 8. = 52 ( ) = 22 ABC Solusi : ABC ABC ABC Golongan Jumlah pegawai A 50 B 52 C 40 A dan B 20 A dan C 13 B dan C 15 A dan B dan C 5 9. = C ( + + ) ABC C 10. = 40 ( 5 Haryoso Wicaksono, 10 ) = 17 S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar? Probabilitas 33 A ABC ABC ABC ABC 22 ABC 5 8 ABC 10 ABC 17 B

34 Ruang Sampel Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg salah satu unsur suatu kelompok, maka kelompok tsb Ruang Sampel Atau, semua kemungkinan hasil percobaan Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelum menentukan nilai probabilitas 34

35 Ruang Sampel Sebuah ruang sampel S merup. sebuah kelompok yg : tiap unsur dari S menyatakan satu hasil percobaan Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan hanya satu dari unsur S Ruang sampel sangat khas, tergantung dari obyek yang akan ditentukan nilai probabilitasnya 35

36 Ruang Sampel Obyek Ruang Sampel : Uang Logam, bersisi 2 2 keping K=kepala, E=ekor 1 keping RS = 2 1 = 2 {K, E} 2 keping RS = 2 2 = 4 {KK, KE, EK, EE} 3 keping RS = 2 3 = 8 {KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE, EEK, EEE} 4 keping RS = 2 4 =

37 Ruang Sampel 37

38 Ruang Sampel : 52 kartu bridge 38

39 Obyek Ruang Sampel : Dadu, bersisi 6 6 keping 1 dadu RS = 6 1 = 6 2 dadu RS = 6 2 = 36 3 dadu RS = 6 3 = 216 Ruang Sampel Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAH MATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } x, y ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 39

40 Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis : Ruang Sampel S = { (x,y) 1 x 6 ; 1 y 6 } Maka : Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36 Contoh : Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6 Buktikan probabilitas y x + 3 sebesar 1/6 x, y ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 40

41 RS ATURAN PENGHITUNGAN Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan unsur-2- nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan dari menguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyek sederhana, misal. mata uang & dadu Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan : ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES) Terdiri : Kaidah penggandaan (Multiplication rule) Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda) Kombinasi 41

42 ATURAN PENGHITUNGAN 1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule). Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n 1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam n 3 cara, dan demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n 1 n 2 n k cara. Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuan diagram pohon (tree diagram) 42

43 ATURAN PENGHITUNGAN CONTOH: INVESTASI BRADLEY Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama 3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya : Keuntungan (+)/kerugian ( ) investasi dalam 3 bulan ($000) Markley Oil Collins Mining

44 ATURAN PENGHITUNGAN Diagram Pohon Markley Oil Collins Mining Hasil (Stage 1) (Stage 2) Percobaan Untung 8 (10, 8) Untung $18,000 Untung 10 Rugi 2 Untung 8 Rugi 2 Untung 5 Untung 8 Impas Rugi 2 Rugi 20 Untung 8 Rugi 2 (10, -2) Untung $8,000 (5, 8) Untung $13,000 (5, -2) Untung $3,000 (0, 8) Untung $8,000 (0, -2) Rugi $2,000 (-20, 8) Rugi $12,000 (-20, -2) Rugi $22,000 44

45 ATURAN PENGHITUNGAN 2. Permutasi (berbeda sama & berbeda n & r-nya) : Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah dimana n! = n.(n-1).(n-2) (2).(1) (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) (2).(1) 0! = 1 n P r ( n n! r )! 45

46 ATURAN PENGHITUNGAN Contoh : Permutasi Seluruhnya : bila n = r Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secara teratur di rak buku? ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA P Permutasi Sebagian : bila n > r 3! (3 3)! Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata l a u t dapat diatur atau dipilih dalam suatu urutan tertentu? {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u}, {a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u} 3! 0! ! (4 2)! 4! 2! 2!.3.4 2! 4 P

47 ATURAN PENGHITUNGAN Contoh : Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua, maka banyaknya titik contoh [ruang sampel / sample space] adalah n! 20! 20! 18! P ( n r)! (20 2)! 18! 18!

48 ATURAN PENGHITUNGAN 3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n 1 diantaranya berjenis pertama, n 2 berjenis kedua,, n k berjenis ke-k adalah ( ni )! ( n1 n2... nk )! ni! n2!... nk! n1! n2!... nk! Contoh: Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru adalah (3 4 2)! 9! !. 4!. 2! 3!4!2! 48

49 ATURAN PENGHITUNGAN 4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah Contoh: n r n n! r!( n r)! Jika dari 4 orang anggota partai X akan dipilih 2 orang untuk menjadi anggota suatu tim Pansus, maka banyaknya kombinasi adalah 4 2 4! 2!.(4 2)! C r 4! 2!.2! 2!.3.4 2! C2 6 49

50 ATURAN PENGHITUNGAN Contoh: Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil dari kelompok {a,b,c,d,e}? 5 3 5! 3!.(5 3)! 5! 3!.2! 3!.4.5 3!.1.2 {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orang dari populasi yg terdiri 30 orang adalah : p(3 orang) 30 1 C ! 3!.(30 3)! C3 1 30! 3!. 27! 1 27! !

51 Perhitungan dalam Probabilitas 1.Probabilitas suatu Peristiwa : Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruang sampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujud yg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu) dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitas peristiwa A adalah : m kejadian tertentu kejadian tertentu p( A) n seluruh kejadian ruang sampel Probabilitas peristiwa bukan A adalah : n p( A) 1 p( A) m n 51

52 Perhitungan dalam Probabilitas 1.Probabilitas suatu Peristiwa : Contoh : Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat PUTIH. Bila dadu dilempar sekali, maka : berapakah probabilitas muncul sisi MERAH? berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH? Jawab : mmerah 4 2 Prob (Merah) : p( merah) 0,667 Prob (Putih) : atau mputih 2 1 p( putih) 0,333 n p( putih) 1 p( putih) 1 p( merah) 1 3 n

53 Perhitungan dalam Probabilitas 2.Peristiwa yg Eksklusif : tidak ada yg sama satu sama lain Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa, dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka : p( A B) p( A) p( B) dimana A B = dan p (A B) = 0 Mis. Sebutir dadu dilempar sekali, Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU mata dadu 5? Jawab : p (A B) = p (A) + p(b) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU 3 ATAU 5 ATAU 6? 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 53

54 Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : ada yg sama/kembar Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruang sampel terbatas, maka : p( A B) p( A) p( B) p( A B) Contoh : Kelompok brigade tempur sukarela, ½-nya adalah SUKARELAWAN & ½-nya adalah SUKARELAWATI. 20% dari SUKARELAWATI adalah MAHASISWI, dan 60% dari SUKARELAWAN adalah MAHASISWA. Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakah probabilitas seorang WANITA atau seorang Mahasiswa terpilih? 54

55 Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) : N ½ N Sukarelawan ½ N Sukarelawati 60% Mahasiswa 40% bukan Mahasiswa 20% Mahasiswi 80% bukan Mahasiswi mahasiswa 55

56 Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : Jawab : Bila A = peristiwa WANITA terpilih = 0,5 SUKARELAWATI Pengertian Mahasiswa PEREMPUAN & LAKI-LAKI. Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih ada 2 asal MAHASISWA = yg Perempuan + yg Laki-laki = (20% x ½) + (60% x ½) = 10% + 30% = 40% = 0,4 Yang RANGKAP = p (A B) = 20% x ½ = 0,1 ada mahasiswi yg WANITA sekaligus Kuliah (mahasiswa). Maka : p (A B) = p (A) + p(b) - p (A B) A S = 0,5 + 0,4 0,1 0,4 0,1 0,3 = 0,8 N. B 56

57 Perhitungan dalam Probabilitas 4.Peristiwa yg KOMPLIMENTER : Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa_ A dalam sebuah ruang sampel yg sama dan _ bila A meliputi semua unsur kecuali A, maka A merup. peristiwa KOMPLIMENTER bagi A Notasi : p (A) = 1 p(a) _ Contoh lihat Perhitungan no. 1 _ 57

58 Perhitungan dalam Probabilitas 58

59 Perhitungan dalam Probabilitas 5.Peristiwa yg INDEPENDEN : Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA, tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA. Peristiwa Pertama TIDAK TERKAIT dengan peristiwa Kedua. Notasi : p (A B) = p (A). p(b) Contoh : Pada pelemparan dua butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitas DADU MERAH X 3 dan DADU PUTIH Y 5! Jawab : Siapkan Ruang Sampelnya tentukan P(X 3) tentukan P(Y 5) 59

60 Perhitungan dalam Probabilitas 5.Peristiwa yg INDEPENDEN : Probabilitas dadu MERAH X 3 = 18/36 = 1/2 Probabilitas dadu PUTIH Y 5 = 12/36 = 1/3 x, y ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) p (A B) = p (A). p(b) = 1/2. 1/3 = 1/6 60

61 Perhitungan dalam Probabilitas 6.Probabilitas BERSYARAT : Probabilitas mengenai sebagian dari ruang sampel TERKADANG lebih penting dibandingkan seluruh dari ruang sampel Mempersempit Ruang Sampel Misal : Penderita SAKIT JANTUNG KOTA BANDUNG RS HS. Daerah rawan KEBAKARAN KOTA BANDUNG Padat penduduk & industri Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm SUB- KELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok) diperlukan syarat tambahan Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakan PROBABILITAS BERSYARAT. 61

62 Perhitungan dalam Probabilitas 6.Probabilitas BERSYARAT : Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4, berapakah probabilitas x = 1? 1. Hasil x + y < 4 B = {(1,1), (1,2), (2,1)} dari RS semula 36, dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 yg memenuhi x = 1 prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(b) = 2/3. 2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4 A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} p(a) = 6/36 = 1/6 3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A B : p(a) = 1/6 & p(b) = 3/36 p (A B) = 2/36 62

63 Perhitungan dalam Probabilitas 6.Probabilitas BERSYARAT : 4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y<4 dinotasikan dg p(a B) = 2/3, maka : p (A B) = p (B). p (A B) 2/36 = (3/36). (2/3) atau : 5. Bila probabilitas peristiwa B dg syarat peristiwa A, maka : 63 ) ( ) ( ) ( B p B A p B A p ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A p B A p A p A B p A B p

64 Variabel Random Definisi : Variabel = variatif + able = dapat bervariasi Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui Variabel yg nilainya merupakan suatu bilangan yg ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan Or, Outcomes of an experiment expressed numerically 64

65 Variabel Random Terdiri : V.R. diskrit/discrete : dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatas jumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat {-2, -1, 0, 1, 2} V.R. kontinu/continous : dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga yg terdapat dalam suatu interval atau kelompok interval tertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan {-2 x 2} 65

66 Variabel Random DISKRIT Mis. : Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasil pengukuran/observasi variabel random X yg DISKRIT dalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg juga merup. DISTRIBUSI EMPIRIS Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali? Bila n=100 ukuran histogram renggang Bila n=1000 ukuran histogram lebih rapat Bila n= mendekati kurva kontinu distribusi teoritis 66

67 boredom = boring = bosan = jenuh 67

68 68

69 Variabel Random DISKRIT Contoh : Distribusi frekuensi timbulnya JUMLAH MATA DADU sebagai hasil percobaan sebanyak 100 kali EKSPERIMEN Bagaimana bila dibandingkan dg frekuensi relatif TEORITIS kalau yg TEORITIS dirumuskan dari RUANG SAMPEL yg memenuhi. 69

70 70

71 Metode Eksperimen/Empiris 71

72 Variabel Random DISKRIT Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampai TAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekati histogram TEORITIS-nya. Ada dua jenis Fungsi Probabilitas : f (x) = p (X = x) ; f (x) 0 ; f (x) = 1 F (x) = p (X x) ; lim F(x) = 1 untuk x ; lim F(x) = 0 untuk x - Distribusi Kumulatif. 72

73 Variabel Random DISKRIT Dari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu x, y ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) 1 x 6 ; 1 y 6 } Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3,...,

74 VR Diskrit Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH mata dadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsi probabilitas f(x) adalah : f(x) = p( X = x ) ; f(x) 0 ; f(x) = 1. Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X x atau X x. Maka probabilitas untuk X 100 atau X 100 dinyatakan dg : F(100) = p( X 100 ) atau F(100) = p( X 100 ). F (x) = fungsi probabilitas kumulatif 74

75 Variabel Random DISKRIT Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x) f(5) = f(7) = F(3) = F(6) = 75

76 Variabel Random DISKRIT Metode Teoritis 76

77 Variabel Random DISKRIT 77

78 Variabel Random DISKRIT 78

79 Rata-rata & Standart Deviasi untuk VR Diskrit 79

80 80

81 Contoh : Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu. Rata rata μ μ = Σ x i. f x i = = 7 81

82 Contoh : Variansi (σ 2 ) : σ 2 = Σ (x i μ) 2. f x i = (2 7) (3 36 7) (4 36 7) (5 7) (6 36 7) (7 36 7) (8 36 7) (9 7) ( ) ( ) ( )2. 1 = Maka, Standart Deviasi = = VAR = (5.833) = X i Jumlah f(x i ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 X i. f(x i ) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/ /36 22/36 12/36 7 (X i - m) 2. f(x i )

83 Contoh : Jika 4 (empat) keping uang logam di lempar, berapakah rata-rata & standar deviasi munculnya K (kepala)? Uang Logam mempunyai 2 sisi (Kepala & Ekor) Fungsi Probabilitas : KKKK KEKK EKKK EEKK KKKE KEKE EKKE EEKE KKEK KEEK EKEK EEEK KKEE KEEE EKEE EEEE X i Jumlah f(x i ) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/ X i. f(x i ) 0 4/16 12/16 12/16 4/ (X i - m) 2. f(x i ) Rata rata μ = Σ x i. f x i = 2.00 Variansi σ 2 = 1.00 Maka, Standart Deviasi = = VAR = (1.00) =

84 Harapan Matematis Bila peristiwa A 1, A 2, A 3,..., A k merupakan peristiwa independen yg lengkap terbatas, sedangkan p 1, p 2, p 3,..., p k merupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa di atas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlah uang U 1 bila peristiwa A 1, uang U 2 bila peristiwa A 2, dst. terjadi maka : Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) : A(U) = U 1.p 1 + U 2.p U k.p k Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi 84

85 Harapan Matematis [contoh] Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akan menerima : Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K. Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K. Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K). Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhan dikatakan seimbang? 85

86 Harapan Matematis [contoh] Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akan menerima : Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K. Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K. Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K). Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhan dikatakan seimbang? Soal di atas memiliki 3 peristiwa : Pelemparan 2 keping Uang Logam : KK 2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,- KE 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 EK 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 500,- EE 0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah) 86

87 Harapan Matematis [contoh] Soal di atas memiliki 3 peristiwa : Pelemparan 2 keping Uang Logam : X i Jumlah f(x i ) = p k 1/4 2/4 1/4 1 U k U k. p k Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhan tiap pengundian) : A(U) = U 1.p 1 + U 2.p 2 + U 3.p 3 = Rp. 500,- 87

88 Harapan Matematis [contoh] Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25 tahun dapat hidup selama setahun adalah (992/1000), yang berarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah (8/1000). Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungan dari perusahaan asuransi tsb? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,- Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil] Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p 1 = Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p 2 = Peristiwa pertama mengeluarkan uang U 1 = - (1,000,000-10,000) = - 990,000 Peristiwa kedua menerima uang U 2 = + 10,000 88

89 Harapan Matematis [contoh] Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25 tahun dapat hidup selama setahun adalah (992/1000), yang berarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah (8/1000). Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungan dari perusahaan asuransi tsb? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,- Maka harapan matematisnya : A(U) = U 1.p 1 + U 2.p 2 = [- 990,000 x ] + [10,000 x 0,992] = 2,000,- dan selama positip, pihak asuransi masih memperoleh keuntungan. 89

90 Konsep Integral 90

91 Konsep Integral 91

92 Konsep Integral 92

93 Konsep Integral 93

94 Konsep Integral 94

95 Variabel Random Kontinu Pengukuran-2 berat badan, panjang, diameter, dsb, dinyatakan dg variabel kontinu. Variabel kontinu menyatakan sembarang nilai dalam suatu interval. Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas (probability density function). Identik Luasan. Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~ s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkan probabilitas X dalam interval a s/d b dimana a b ialah : b f x = p a < X < b = a f x dx 95

96 V.R. Kontinu Contoh #1 Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. : f x = 0 ; x 2 f x = x ; 2 < x < 4 18 f x = 0 ; x 4 Jika x = 2 dan x = 3, berapakah p( x < X < x ) atau berapakah p ( a < X < b )? Jawab : p x < X < x 3 1 = න x dx =

97 V.R. Kontinu Contoh #1 no x f(x) 1 2,00 0, ,10 0, ,20 0, ,30 0, ,40 0, ,50 0, ,60 0, ,70 0, ,80 0, ,90 0, ,00 0, ,10 0, ,20 0, ,30 0, ,40 0,5444 VAR ,50 0, ,60 0, ,70 0, ,80 0, ,90 0, ,00 0, f 2.0 VAR ( x).(3 2. x) Luas Segitiga=½ x alas x tinggi = ½ x 1 x 0,1111 = 0,0556 Luas Total = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 0, ,3889 = 0,4445 = 4/9 Luas Persegi Panjang = panjang x lebar = 1 x 0,3889 = 0,

98 V.R. Kontinu Contoh #2 Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. : f x = 2. x ; 0 < x < 1 f x = 0 ; lainnya. a. Berapakah p( 1 2 < X < 3 4 )? b. Berapakah p( 1 2 < X < 1 2 )? Jawab : a. p 1 2 < X < = x dx = 5 16 b. p 1 2 < X < = 1 = dx 2. x dx 2. x 2 2. x dx = =

99 V.R. Kontinu Contoh #2 Grafik f(x) = 2.x. No x f(x) Luas Segitiga = = ½ x alas x tinggi = ½ x ¼ x ½ = 1/16 Luas Total = = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 1/16 + 4/16 = 5/16 Luas Persegi Panjang = = panjang x lebar = 1 x ¼ = ¼ = 4/16 99

100 V.R. Kontinu Contoh #2 Grafik f(x) = 2.x. No x f(x)

101 VRK Rata-rata & Standart Deviasi #1 #2 101

102 VRK Rata-rata & Standart Deviasi Variabel random X memiliki fungsi kepadatan probabilitas sbb. : f x = 0 ; x 0 f x = 3. (x 8 2)2 ; 0 < x < 2 f x = 0 ; x 2 Tentukan Rata-rata, Varians & Standart Deviasi-nya! 102

103 Rata-rata = 103

104 104

105 105

106 VRK Rata-rata & Standart Deviasi Jawab : 106

107 Info UAS & TUGAS PraUAS UAS boleh OpenBook, waktu menit, Perhitungan &/ Teoritis, materi : Probabilitas s/d Dist.Kontinu Soal Tugas PraUAS : slide berikutnya. 107

108 108

109 109

110 Microsoft Mathematic - V.R. Kontinu Contoh #1 110