ANALISIS KESTABILAN MODEL EPIDEMIK SIS DETERMINISTIK DAN STOKASTIK NURLITA FIKADHILLA

Transkripsi

1 AALISIS KESTABILA MODEL EPIDEMIK SIS DETERMIISTIK DA STOKASTIK URLITA FIKADHILLA DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERYATAA MEGEAI SKRIPSI DA SUMBER IFORMASI SERTA PELIMPAHA HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model Epidemik SIS Deterministik dan Stokastik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2016 urlita Fikadhilla IM G

4 ABSTRAK URLITA FIKADHILLA. Analisis Kestabilan Model Epidemik SIS Deterministik dan Stokastik. Dibimbing oleh HADI SUMARO dan ALI KUSATO. Dalam karya ilmiah ini dibandingkan antara model epidemik SIS deterministik dengan model epidemik SIS stokastik. Model epidemik SIS deterministik memiliki dua titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Kestabilan titik tetap ditentukan berdasarkan nilai bilangan reproduksi dasarnya yang dicari menggunakan analisis kestabilan titik tetap bebas penyakit. Pada model epidemik SIS stokastik ditentukan peluang terjadinya wabah. Hasil yang diperoleh dari model epidemik SIS deterministic dan stokastik sama, yaitu untuk selang waktu tertentu solusi akhir akan menuju ke titik tetap yang stabil. Berapapun nilai bilangan reproduksi dasarnya, model epidemik SIS stokastik akan menuju ke kestabilan bebas penyakit. Pada waktu yang relatif lama, model epidemik SIS stokastik dalam proses komputasinya akan menuju ke kestabilan bebas penyakit walaupun dalam model epidemik SIS deterministik menuju ke kestabilan endemik. Kata kunci: model epidemik SIS deterministik, model epidemik SIS stokastik, rantai Markov waktu diskret, titik tetap bebas penyakit, titik tetap endemik. ABSTRACT URLITA FIKADHILLA. Stability Analysis of Deterministic and Stochastic SIS Epidemic Models. Supervised by HADI SUMARO dan ALI KUSATO. This paper compares deterministic SIS epidemic model and stochastic SIS epidemic model. Deterministic SIS epidemic model has two equilibrium points, namely the disease free equilibrium point and the endemic equilibrium point. Stability of equilibrium point is decided based on the basic reproduction number which is computed by using stability analysis of disease free equilibrium point. In stochastic SIS epidemic model, the probability of an outbreak is determined. The result obtained from deterministic and stochastic SIS epidemic model is the same. It is shown that for a certain time interval the final solution is leading to a stable fixed point. Regardless the value of basic reproduction number, stochastic SIS epidemic model is leading to a disease free equilibrium. At a relatively long time, stochastic SIS epidemic model in the computation process is leading to a disease free equilibrium even in a deterministic SIS epidemic model is leading to endemic equilibrium. Keywords: deterministic SIS epidemic models, discrete time Markov chain, disease free equilibrium point, endemic equilibrium point, stochastic SIS epidemic models.

5 AALISIS KESTABILA MODEL EPIDEMIK SIS DETERMIISTIK DA STOKASTIK URLITA FIKADHILLA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 2016

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1 Keluarga tercinta Papa, Mama, Kakak, dan keluarga besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, kasih sayang, dan motivasi. 2 Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3 Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 4 Dr Paian Sianturi selaku dosen Penguji yang telah memberikan ilmu dan motivasi kepada penulis serta saran dalam karya ilmiah ini. 5 Vivie Sundari selaku sahabat yang telah memberi semangat dan senantiasa menjadi teman belajar serta teman berbagi keluh kesah selama kuliah. 6 Para sahabat sejak SMA: Irmalia, Hanif, Desita, Maya, dan atasya yang telah memberikan motivasi untuk penulis. 7 Teman-teman Matematika Angkatan 49 serta ameroet (ovitadayanti, Aisyah, Syifa, Vivie, enden, Yuli, Laras, dan Faza) yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan. 8 Kakak-kakak Matematika Angkatan 48 serta adik-adik Matematika Angkatan 50 dan 51 yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2016 urlita Fikadhilla

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRA vi PEDAHULUA 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LADASA TEORI 2 Sistem Persamaan Diferensial 2 Titik Tetap 2 Pelinearan 2 ilai Eigen dan Vektor Eigen 4 Bilangan Reproduksi Dasar 4 Proses Stokastik dan Rantai Markov 5 Peluang Transisi dan Klasifikasi State 5 HASIL DA PEMBAHASA 6 Model Epidemik SIS Deterministik 6 Penentuan Titik Tetap 7 Kestabilan Lokal Titik Tetap 7 Model Epidemik SIS Stokastik 9 Peluang Transisi 9 Peluang Wabah 11 Simulasi umerik 12 SIMPULA 20 DAFTAR PUSTAKA 20 LAMPIRA 21 RIWAYAT HIDUP 30

10 DAFTAR TABEL 1 Titik tetap model epidemik SIS 8 2 Pemilihan nilai parameter 13 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 4 19 DAFTAR LAMPIRA 1 Penentuan titik tetap model epidemik SIS deterministik 21 2 Kestabilan titik tetap T 1 model epidemik SIS deterministik 22 3 Kestabilan titik tetap T 2 model epidemik SIS deterministik 23 4 Menentukan limit peluang pada waktu jangka panjang 24 5 Bukti Persamaan (13) 25 6 Program plot bidang solusi individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS deterministik saat R 0 = 0.8 (Gambar 1) 27 7 Program sample path 1 individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS stokastik saat R 0 = 0.8 (Gambar 2) 28 8 Program sample path 2 individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS stokastik saat R 0 = 0.8 (Gambar 3) 29

11 PEDAHULUA Latar Belakang Dalam kehidupan nyata, terdapat berbagai macam masalah, salah satunya yaitu masalah penyakit menular. Fenomena penyakit menular mampu mengancam eksistensi kehidupan manusia apabila penyebaran wabahnya tidak dapat dikendalikan. Untuk itu, diperlukan suatu alat untuk mengontrol dan mengetahui karakteristik penyebaran dari suatu penyakit menular. Model matematika merupakan salah satu alat yang bisa digunakan untuk mengetahui karakteristik penyebaran penyakit menular di suatu daerah tertentu yang dikenal sebagai model epidemik. Model epidemik pertama kali diusulkan oleh A. G. McKendrick pada tahun Sebelumnya McKendrick dan Kermack telah melakukan penelitian tentang model epidemik deterministik (Greenwood dan Gordillo 2009). Model epidemik terbagi menjadi dua tipe, yaitu model epidemik deterministik dan stokastik. Salah satu bentuk model epidemik yang paling umum adalah model SIS. S mewakili susceptible yaitu individu yang rentan terhadap penyakit, I mewakili infected yang artinya individu terinfeksi penyakit. Model epidemik SIS merupakan model penyebaran penyakit dengan siklus berulang. Jika individu yang rentan terhadap penyakit (susceptible) tersebut berinteraksi dengan individu yang terinfeksi penyakit maka individu yang rentan tersebut menjadi individu terinfeksi penyakit (infected). Pada model epidemik SIS individu yang terinfeksi penyakit akan kembali sehat dengan pengobatan medis atau proses alam, namun individu yang telah sehat akan rentan dan kembali terinfeksi, sebab pada model epidemik SIS individu tidak melalui proses pemulihan (recovery). Kajian terhadap model epidemik SIS deterministik dan stokastik dengan waktu diskret sangatlah luas. Kajian dimulai dengan melakukan analisis stabilitas model epidemik SIS deterministik dan mean distribusi probabilitas SIS epidemik stokastik (Allen dan Burgin 2000). Kemudian kajian tentang perbandingan model epidemik SIS deterministik dan stokastik dengan menggunakan formula Ito SDE (Stochastic Differential Equation) (Allen 2007). Dalam karya ilmiah ini akan dibahas analisis kestabilan model epidemik SIS deterministik dan stokastik. Pertama dilakukan analisis kestabilan terhadap model epidemik SIS deterministik. Kemudian mengonstruksi model epidemik SIS stokastik dengan waktu diskret serta menganalisis peluang wabah. Terakhir, melakukan simulasi numerik terhadap model deterministik dan stokastik serta membandingkan hasilnya. Asumsi dasar yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah tingkat kelahiran sama dengan tingkat kematian serta jumlah populasi konstan.

12 2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 menganalisis kestabilan model epidemik SIS deterministik dengan waktu kontinu, 2 mengonstruksi model epidemik SIS stokastik dengan waktu diskret, 3 menganalisis peluang wabah pada model epidemik SIS stokastik, dan, 4 melakukan simulasi numerik untuk membandingkan antara model epidemik SIS deterministik dan stokastik. LADASA TEORI Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial ordo satu dengan n persamaan dan n buah fungsi yang tak diketahui x 1, x 2,, x n dapat ditulis sebagai berikut: dengan x (t) = f(x(t), t), (1) x 1 f 1 (x(t)) x = ( ), f(x) = ( x n f n (x(t)) ). Menurut Tu (1994) jika sistem persamaan diferensial (1) tidak bergantung secara eksplisit pada t maka disebut sistem persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis: x = f(x). Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: x = f(x). Titik x disebut titik tetap jika memenuhi f(x ) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik tetap (Tu 1994). Pelinearan Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah seperti berikut: x = f(x, y), y = g(x, y).

13 Andaikan (x, y ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka f(x, y ) = 0 dan g(x, y ) = 0. Misalkan u = x x dan v = y y, maka didapatkan: u = x = f(x + u, y + v). Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah, maka didapatkan sistem sebagai berikut: u = f(x, y ) + u f f + v x v + O(u2, v 2, uv) = u f f + v x y + O(u2, v 2, uv), dengan O(u 2, v 2, uv) merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh: v = y = g(x + u, y + v). Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah maka didapatkan sistem sebagai berikut: v = g(x, y ) + u g g + v x v + O(u2, v 2, uv) = u g g + v x y + O(u2, v 2, uv). Dalam bentuk matriks dapat dituliskan: 3 Matriks A, yaitu [ u ] = v f x g [ x f y [ u g v ] + O(u2, v 2, uv). y] f x A = g [ x f y g y] disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap (x, y ). Dengan O(u 2, v 2, uv) 0, maka dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan linear: [ u ] = [ v f x g x f y g y ] [ u ]. (2) v Bentuk (2) disebut model terlinearkan dari model taklinear (Strogatz 1994).

14 4 ilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran n n, maka suatu vektor taknol x di R n dinamakan vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A berlaku: Ax = λx. (3) Vektor x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n, maka persamaan (3) dapat ditulis sebagai berikut: (A λi)x = 0, (4) dengan I merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai penyelesaian taknol jika dan hanya jika det(a λi) = 0. (5) Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik dari matriks A (Tu 1994). Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria perilaku kestabilan titik tetap sebagai berikut: 1 stabil, jika a setiap nilai eigen real adalah negatif ( λ i < 0 untuk setiap i ), b setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol ( Re(λ i ) 0 untuk setiap i ), 2 takstabil, jika a setiap nilai eigen real adalah positif ( λ i > 0 untuk setiap i ), b setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol ( Re(λ i ) > 0 untuk setiap i ), 3 sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif (λ i λ j < 0 untuk suatu i dan j ). (Tu 1994) Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan R 0. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu 1 Jika R 0 < 1, maka penyakit akan menghilang. 2 Jika R 0 = 1, maka penyakit akan menetap. 3 Jika R 0 > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. (Giesecke 1994)

15 5 Proses Stokastik dan Rantai Markov Semua definisi yang digunakan pada proses stokastik ini diambil dari buku yang berjudul Introduction to Probability Models (Ross 2010). Definisi 1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Definisi 2 (Proses stokastik waktu diskret) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika T adalah himpunan tercacah. Definisi 3 (Rantai Markov waktu diskret) Proses stokastik {X n, n = 0, 1, 2, }, dengan ruang state {0, 1, 2, }, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap n = {0, 1, 2, } berlaku P(X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,, X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P(X n+1 = j X n = i), untuk semua kemungkinan nilai dari i 0, i 1,, i n 1, i, j {0, 1, 2, }. Definisi 4 (Rantai Markov homogen) Rantai Markov X n disebut homogen jika P(X n+1 = j X n = i) = P(X 1 = j X 0 = i 0 ) = p i,j, untuk semua n dan semua i, j {0, 1, 2, }. Peluang Transisi dan Klasifikasi State Definisi 5 (Peluang transisi n-langkah) Peluang transisi n-langkah yaitu peluang bahwa suatu proses yang mula-mula berada pada state i akan berada pada state j setelah tambahan transisi. Jadi, (n) = P {Xn = j X 0 = i }, i, j {0, 1, 2, }, p ij untuk setiap n = 1, 2,. Definisi 6 (Terakses) Suatu state j disebut terakses dari state i (i j) jika ada minimal sebuah bilangan bulat k 0 sehingga p (k) ij > 0. Definisi 7 (Berkomunikasi) State i dan j disebut berkomunikasi (i j) jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. Definisi 8 (Kelas dari state) Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C.

16 6 Definisi 9 (Kelas tertutup) Suatu kelas C disebut kelas tertutup jika berlaku p ij = 0 untuk semua i C dan j C. Definisi 10 (State penyerap) Suatu state i disebut state penyerap jika p ii = 1. Definisi 11 (Recurrent state) Suatu state i disebut recurrent jika f ii = 1, dengan f ii menyatakan peluang bahwa proses dimulai dari state i dan kembali ke state i. Definisi 12 (Transient state) Suatu state i disebut transient jika f ii < 1. Definisi 13 (Jalan acak) Suatu rantai Markov dengan ruang state himpunan bilangan bulat dan mempunyai peluang transisi p i,i+1 = p dan p i,i 1 = 1 p untuk i = 0, ±1, ±2, dengan 0 < p < 1. HASIL DA PEMBAHASA Model Epidemik SIS Deterministik Model epidemik SIS mendeskripsikan penyebaran penyakit pada individu. Terdapat dua klasifikasi individu yaitu individu yang rentan (susceptible) dan individu yang terinfeksi (infected). Asumsi yang digunakan pada model ini adalah tingkat kelahiran dan kematian sama. Berikut adalah diagram kompartemen yang mengilustrasikan model epidemik SIS: b Susceptible ds SI γi Infected di Berikut ini adalah persamaan diferensial dari model epidemik SIS (Brauer et al. 2008): ds(t) dt di(t) dt = S(t)I(t) + (b + γ)i(t), (6) = S(t)I(t) (b + γ)i(t),

17 7 di mana > 0, γ > 0, b 0 dan = S(t) + I(t), dengan ds(t) dt di(t) dt S(t) I(t) b d γ : laju pertumbuhan individu yang rentan terhadap penyakit (populasi/waktu), : laju pertumbuhan individu yang terinfeksi oleh penyakit (populasi/waktu), : banyaknya individu yang rentan pada waktu t (populasi), : banyaknya individu yang terinfeksi pada waktu t (populasi), : tingkat penularan (1/waktu), : tingkat kelahiran individu (1/waktu), : tingkat kematian individu (1/waktu), : tingkat penyembuhan individu yang terinfeksi (1/waktu), : total populasi pada waktu t (populasi) Penentuan Titik Tetap Pada model epidemik terdapat dua titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Titik tetap pada model epidemik SIS deterministik diperoleh jika di(t) = 0, sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut: dt S(t)I(t) (b + γ)i(t) = 0. (7) Dari persamaan (7) diperoleh dua titik tetap yaitu sebagai berikut: T 1 = (S(t), I(t)) = (, 0), T 2 = (S(t), I(t)) = ( (b+γ) (b+γ), (1 ) ). Titik tetap T 1 disebut titik tetap bebas penyakit (disease-free equilibrium). Sedangkan titik tetap T 2 disebut dengan titik tetap endemik (endemic equilibrium). (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2). Kemudian berdasarkan persamaan (6) diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: J = ( I(t) b I(t) S(t) + γ (8) S(t) b γ). Kestabilan Lokal Titik Tetap Setelah menentukan titik tetap langkah berikutnya adalah menentukan kestabilan dari tiap titik tetap. Titik tetap T 1 disubtitusikan ke persamaan (8) sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: J = ( b + γ 0 b γ ). Persamaan karakteristik yang diperoleh dari matriks Jacobi tersebut adalah

18 8 ( λ b)( b γ λ) = 0, sehingga diperoleh nilai eigen λ 1 = b atau λ 2 = (b + γ) ( b+γ 1). (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3). Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (b,, γ > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut: 1 Jika < (b + γ), maka λ 1 < 0, λ 2 < 0 sehingga titik tetap bersifat stabil. 2 Jika > (b + γ), maka λ 1 < 0, λ 2 > 0 sehingga titik tetap bersifat sadel. Dari kondisi di atas, diperoleh batas kestabilannya yaitu = (b + γ), sehingga diperoleh bilangan reproduksi dasar (R 0 ) sebagai berikut: R 0 = (b+γ). (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3). Kemudian untuk kestabilan titik tetap T 2 terlebih dahulu disubstitusi titik tetap T 2 ke persamaan (8) sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: + γ J = ( b b γ 0 ). Persamaan karakteristik yang diperoleh dari matriks Jacobi tersebut adalah ( λ)( + γ λ) ( b)( γ b) = 0, sehingga diperoleh nilai eigen λ 1 = b dan λ 2 = (b + γ) (1 b+γ ). (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4). Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (b,, γ > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut: 1 Jika R 0 > 1, maka λ 1 < 0, λ 2 < 0 sehingga titik tetap bersifat stabil. 2 Jika R 0 < 1, maka λ 1 < 0, λ 2 > 0 sehingga titik tetap bersifat sadel. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4) Berdasarkan kriteria nilai λ 2 dari titik tetap T 1 dan T 2, diperoleh kriteria untuk bilangan reproduksi dasar (R 0 ) yaitu sebagai berikut: 1 Jika R 0 < 1 maka penyakit akan menghilang. 2 Jika R 0 > 1 maka penyakit akan meningkat dan menjadi wabah. Ringkasan kriteria untuk menentukan kestabilan titik tetap T 1 dan T 2 dapat dilihat pada Tabel 1 berikut: Tabel 1 Titik tetap model epidemik SIS Kriteria T 1 T 2 R 0 < 1 Simpul stabil Sadel R 0 > 1 Sadel Simpul stabil

19 9 Model Epidemik SIS Stokastik Misalkan S(t) dan I(t) adalah peubah acak diskret dari banyaknya individu yang rentan dan terinfeksi pada waktu t. Pada model epidemik DTMC (Discrete Time Markov Chain), t {0, t, 2 t, } dan peubah acak diskret memenuhi S(t), I(t) {0, 1, 2,, }. Peluang Transisi Pada model epidemik SIS hanya ada satu peubah acak bebas I(t) karena S(t) = I(t), di mana adalah ukuran total populasi konstan. Proses stokastik {I(t)} t=0 memiliki fungsi peluang sebagai berikut: p i (t) = P{I(t) = i}, untuk i = 0, 1, 2,, dan t = 0, t, 2 t,, di mana p i (t) = 1. i=0 Misalkan p(t) = (p 0 (t), p 1 (t),, p (t)) T menyatakan vektor peluang terhadap I(t). Suatu proses stokastik memiliki sifat Markov jika P{I(t + t) I(0), I( t),, I(t)} = P{I(t + t) I(t)}. Sifat Markov diatas berarti bahwa proses hanya bergantung pada proses satu langkah waktu sebelumnya, yaitu pada waktu t. Untuk menyelesaikan model epidemik SIS DTMC, hubungan antara state I(t) dan I(t + t) perlu didefinisikan. Hubungan antara state I(t) dan I(t + t) didefinisikan oleh matriks transisi. Peluang transisi dari state I(t) = i ke state (t + t) = j, i j pada waktu t dinyatakan sebagai berikut: p ji (t + t, t) = P{I(t + t) = j I(t) = i}. Ketika peluang transisi p ji (t + t, t) tidak bergantung pada t maka p ji ( t) disebut rantai Markov homogen. Untuk mengurangi banyaknya transisi pada waktu t, diperlukan satu asumsi. Asumsinya adalah waktu t dipilih cukup kecil sehingga perubahan banyaknya individu yang terinfeksi paling banyak satu selama interval waktu t sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: i i + 1, i i 1, atau i i, dengan masing-masing menyatakan infeksi baru atau kelahiran, infeksi berkurang atau kematian, dan tidak terjadi perubahan selama interval waktu t. Berdasarkan model epidemik SIS deterministik sehingga didapatkan peluang transisi untuk model epidemik SIS DTMC sebagai berikut:

20 10 i( i) t, Dari peluang transisi di atas dapat dilihat bahwa peluang terjadinya infeksi baru (i i + 1) adalah i( i) t, peluang terjadinya infeksi berkurang (i i 1) adalah (b + γ)i t, peluang tidak terjadi perpindahan state (i i) adalah 1 [ i( i) j = i + 1 (b + γ)i t, p ji ( t) j = i 1 = 1 [ i( i) + (b + γ)i] t, j = i { 0, j i + 1, i, i 1. + (b + γ)i] t, dan peluang bernilai nol bila selainnya (Brauer et al. 2008). Kelahiran individu yang rentan penyakit harus disertai dengan kematian untuk menjaga ukuran populasi agar tetap konstan. Untuk menyederhanakan notasi dan menghubungkan proses epidemik SIS dengan proses kematian dan kelahiran, maka peluang transisi untuk infeksi baru atau kelahiran dilambangkan dengan b(i) t dan infeksi berkurang atau kematian dilambangkan dengan d(i) t sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: b(i) t, d(i) t, p ji ( t) = { 1 [b(i) + d(i)] t, 0, j = i + 1 j = i 1 j = i j i + 1, i, i 1. Jumlah dari ketiga transisi di atas sama dengan nol karena transisi-transisi tersebut merepresentasikan semua perpindahan yang mungkin dari state i selama interval waktu t. Untuk memastikan bahwa peluang transisi terletak pada interval [0,1] maka langkah waktu t harus dipilih cukup kecil sehingga max {[b(i) + d(i)] t} 1. i {1,.., } Dengan menggunakan sifat Markov dan peluang transisi sebelumnya, peluang pada waktu (t + t) dapat dinyatakan sebagai berikut: p i (t + t) = p i 1 (t)b(i 1) t + p i+1 (t)d(i + 1) t + p i (t)(1 [b(i) + d(i)] t) (9) untuk i = 1, 2,, di mana b(i) = i( i) dan d(i) = (b + γ)i. Matriks transisi berisi elemen-elemen yang merupakan peluang transisi dari state 0 sampai state. Sebagai contoh, elemen (1, 1) pada matriks transisi merupakan peluang transisi dari state 0 ke state 0, p 00 ( t) = 1. Berikut ini adalah matriks transisi P( t): 1 d(1) t [b(1) + d(1)] t d(2) t 0 0 b(1) t 1 [b(2) + d(2)] t 0 P( t) = 0 0 b(2) t d() t ( d() t)

21 Setiap kolom dari matriks P( t) berjumlah sama dengan satu dan setiap elemennya bernilai taknegatif, sehingga matriks P( t) disebut matriks stokastik. Dengan menggunakan notasi matriks dan vektor, persamaan (9) dapat dinyatakan sebagai berikut: 11 p(t + t) = P( t)p(t) = P n+1 p(0), di mana p(t) = (p 0 (t), p 1 (t),, p (t)) T, dan t = n t. (10) Beberapa sifat dari model epidemik SIS DTMC lebih mudah dipahami dengan teori rantai Markov. State-state yang ada akan diklasifikasikan dengan melihat digraf pada model. Digraf dari model rantai Markov SIS diilustrasikan seperti berikut: di mana i = 0, 1,, adalah state individu terinfeksi. State {0, 1,, } dapat dibagi menjadi dua kelas yaitu kelas state recurrent {0} dan kelas state transient {1,, }. State {0} adalah state penyerap, hal ini terlihat dari digraf yang dimulai dari state {0} dan tidak ada pergerakkan state. Kelas state {0} adalah kelas tertutup. State {1, 2,, } dapat diakses oleh setiap state dalam kelas state {1, 2,, }. Misalkan state {1} dapat diakses dari state {2}. Kelas state {1, 2,, } bukan kelas tertutup, karena ada p ji ( t) > 0. Hal tersebut dapat dilihat dari elemen pada matriks transisi. Misalkan P n = (p ji (n) ), di mana p ji (n) adalah elemen ke (i, j) dari matriks transisi n-langkah P n, kemudian lim p (n) n ji = 0, untuk setiap state j dan state transient i. Limit n dari P n menghasilkan setiap elemen matriks transisinya bernilai nol, kecuali pada elemen (1,1) yaitu bernilai satu. Dari persamaan (10) diperoleh hasil sebagai berikut: lim p(t) = (1, 0, 0, t,0)t, di mana t = n t. Akibatnya pada model epidemik SIS DTMC, populasi mendekati tetap bebas penyakit. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5). Peluang Wabah Wabah terjadi ketika jumlah kasus meningkat. Model jalan acak sederhana dapat digunakan untuk memerkirakan peluang wabah. Misalkan X(t) variabel acak pada waktu t di kelas state {0, 1, 2, } pada model jalan acak. State 0 adalah state penyerap dan selainnya adalah state transient. Jika X(t) = x maka pada interval waktu berikutnya hanya ada satu perpindahan yaitu pindah ke kanan x x + 1 dengan peluang p atau pindah ke kiri x x 1 dengan peluang q, dengan pengecualian state 0 di mana tidak terjadi perpindahan (p + q = 1). Pada model

22 12 jalan acak, proses mendekati state 0 atau mendekati tak terhingga. Peluang menyerap ke state 0 tergantung pada p, q, dan posisi awal. Misalkan X(t) = x 0 > 0, maka dapat dilihat bahwa 1, jika p q lim P{X(t) = 0} = { t ( q 0 (11) p )x, jika p q. Persamaan (11) dapat digunakan untuk memerkirakan peluang wabah pada model epidemik SIS DTMC, di mana populasi yang bertahan dapat diinterpretasikan sebagai wabah. Perkiraan ini meningkat pada ukuran populasi yang besar dan nilai awal yang kecil dari individu terinfeksi. Misalkan nilai awal dari individu terinfeksi i 0 kecil dan ukuran populasi besar. Maka fungsi kelahiran dan kematian pada model epidemik SIS diberikan oleh dan Kelahiran = b(i) = i( i) i Kematian = d(i) = (b + γ)i. Dengan menggunakan persamaan (11) maka peluang tidak adanya individu terinfeksi adalah 1, jika R 0 1 P{I(t) = 0} { ( 1 0 )i, jika R 0 > 1. R 0 Sehingga peluang wabah adalah 0, jika R 0 1 Peluang wabah { 1 ( 1 ) i 0 (12) R, jika R 0 > 1. 0 Persamaan (12) berlaku untuk model epidemik SIS stokastik pada rentang waktu t [T 1, T 2 ]. Dalam model epidemik SIS stokastik pada akhirnya P{I(t) = 0} = 1, karena state 0 merupakan state penyerap. Rentang waktu lim t untuk persamaan (12) diperkirakan cukup lama ketika ukuran populasi besar dan nilai awal individu terinfeksi i 0 kecil. Simulasi umerik Model pada karya ilmiah ini dipengaruhi oleh tiga faktor, yaitu tingkat kelahiran individu (b), tingkat penularan (), dan tingkat penyembuhan individu (γ). Dalam simulasi ini akan dilihat perilaku dari perubahan nilai parameter. Kemudian akan dibandingkan hasil simulasi antara model deterministik dengan model stokastik. Simulasi untuk model deterministik menggunakan software Mathematica 10.0 sedangkan model stokastik menggunakan software R ilai parameter tetap yang digunakan yaitu b = 0.25, = 100, dan γ = 0.25 dengan nilai awal I(0) = 10. Sedangkan parameter dipilih bebas seperti dalam Tabel 2 berikut:

23 13 Tabel 2 Pemilihan nilai parameter Kasus R 0 Kestabilan T 1 T Simpul stabil Sadel Sadel Simpul stabil Sadel Simpul stabil Sadel Simpul stabil Sadel Simpul stabil Sadel Simpul stabil Sadel Simpul stabil Kasus 1 ( = 0.4, R 0 = 0.8) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 1 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 0.8 Gambar 2 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 0.8 Gambar 3 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 0.8 Pada model epidemik SIS deterministik saat R 0 1 maka akan menghasilkan kestabilan bebas penyakit seperti yang terlihat pada Gambar 1.

24 14 Begitu juga yang terjadi pada model epidemik SIS stokastik yang terlihat pada Gambar 2 dan 3. Interpretasinya adalah di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang terinfeksi maka pada model epidemik SIS deterministik mulai waktu ke 0 sampai seterusnya terjadi penurunan jumlah individu terinfeksi sehingga jumlah individu terinfeksi akan habis. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik terjadi penurunan jumlah individu terinfeksi kemudian wabah penyakit menghilang dari masyarakat tersebut dan menuju kestabilan bebas penyakit. Kasus 2 ( = 0.6, R 0 = 1.2) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 4 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.2 Gambar 5 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.2 Gambar 6 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.2 Dalam Gambar 4 diperlihatkan bahwa saat R 0 = 1.2 pada model epidemik SIS deterministik terjadi kestabilan endemik. Sedangkan pada model SIS epidemik stokastik terjadi kestabilan bebas penyakit yang diperlihatkan oleh Gambar 5 dan 6. Bila diinterpretasikan, di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang terinfeksi pada model epidemik SIS deterministik terjadi peningkatan jumlah individu terinfeksi di awal waktu kemudian mencapai kestabilan.

25 Sedangkan pada model epidemik SIS stokastik, Gambar 5 dan 6 menunjukkan bahwa mula-mula terjadih wabah penyakit namun kemudian penyakit menghilang dari masyarakat tersebut. Kasus 3 ( = 0.66, R 0 = 1.32) 15 : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 7 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.32 Gambar 8 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.32 Gambar 9 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.32 Dalam Gambar 7 diperlihatkan bahwa pada model epidemik SIS deterministik saat R 0 = 1.32 terjadi kestabilan endemik. amun hasil yang berbeda diperlihatkan oleh model epidemik SIS stokastik yang ditunjukkan oleh Gambar 8 dan 9. Terlihat bahwa kestabilan yang dicapai pada model epidemik SIS stokastik adalah kestabilan bebas penyakit. Bila diinterpretasikan, di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang terinfeksi pada model epidemik SIS deterministik mulai dari waktu ke 0 jumlah individu terinfeksi meningkat kemudian mencapai kestabilan sedangkan pada model epidemik SIS stokastik yang terlihat pada Gambar 8 dan Gambar 9 memerlihatkan terjadinya

26 16 wabah penyakit di awal waktu kemudian penyakit menghilang sehingga terjadi kestabilan bebas penyakit. Kasus 4 ( = 0.82, R 0 = 1.64) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 10 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.64 Gambar 11 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.64 Gambar 12 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 1.64 Dalam Gambar 10 diperlihatkan bahwa model epidemik SIS deterministik saat R 0 = 1.64 menghasilkan kestabilan endemik. Hasil yang berbeda diperlihatkan oleh model epidemik SIS stokastik yang menghasilkan kestabilan bebas penyakit yang terlihat pada Gambar 11 dan 12. Interpretasinya adalah di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang individu terinfeksi, pada model epidemik SIS deterministik mulai waktu ke 0 terjadi peningkatan jumlah individu terinfeksi kemudian mencapai kestabilan. Sedangkan pada model epidemik SIS stokastik yang terlihat pada Gambar 11 dan Gambar 12 menunjukkan terjadi wabah penyakit kemudian penyakit menghilang sehingga mencapai kestabilan bebas penyakit.

27 17 Kasus 5 ( = 1, R 0 = 2) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 13 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 2 Gambar 14 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 2 Gambar 15 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 2 Pada model epidemik SIS deterministik dan stokastik jika R 0 = 2 akan menghasilkan kestabilan endemik. Hal tersebut diperlihatkan pada Gambar 13, 14, dan 15. Bila diinterpretasikan maka di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang terinfeksi maka pada model epidemik SIS deterministik mulai waktu ke 0 terjadi peningkatan jumlah individu terinfeksi kemudian terjadi kestabilan endemik. Begitu juga terjadi pada model epidemik SIS stokastik terjadi wabah penyakit dan terus berlangsung.

28 18 Kasus 6 ( = 1.5, R 0 = 3) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 16 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 3 Gambar 17 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 3 Gambar 18 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 3 Pada Gambar 16, 17, dan 18 memerlihatkan bahwa saat R 0 = 3 pada model epidemik deterministik dan stokastik terjadi kestabilan endemik. Bila diinterpretasikan, di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang diantaranya terinfeksi maka pada model epidemik SIS deterministik terjadi kenaikan yang signifikan pada jumlah individu terinfeksi kemudian terjadi kestabilan endemik. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik terjadi wabah penyakit pada masyarakat dan terus berlangsung.

29 19 Kasus 7 ( = 2, R 0 = 4) : individu rentan : individu terinfeksi Gambar 19 Bidang solusi individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 4 Gambar 20 Sample path 1 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 4 Gambar 21 Sample path 2 individu rentan dan terinfeksi saat R 0 = 4 Pada Gambar 19 memerlihatkan bahwa pada model epidemik SIS deterministik terjadi kestabilan endemik. Hal yang sama diperlihatkan oleh Gambar 20 dan 21 yang menunjukkan bahwa model epidemik SIS stokastik juga menuju kestabilan endemik. Sehingga bila diinterpretasikan, di dalam suatu masyarakat dengan total individu 100 orang dan 10 orang diantaranya terinfeksi maka pada model epidemik SIS deterministik sejak waktu ke 0 jumlah individu terinfeksi mengalami peningkatan yang cukup tinggi kemudian mencapai kestabilan endemik. Hal yang sama juga terjadi pada model epidemik SIS stokastik sejak waktu ke 0 terjadi wabah penyakit pada masyarakat dan terus berlangsung.

30 20 SIMPULA Dari model epidemik SIS deterministik diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Dari titik tetap bebas penyakit diperoleh bilangan reproduksi dasar R 0, yang nilainya bergantung pada tingkat penularan penyakit. Sedangkan pada model epidemik SIS stokastik didapatkan solusi yang berupa sebaran peluang saat terjadi dan tidak terjadinya wabah. Pada model epidemik SIS deterministik dan stokastik bila nilai dari bilangan reproduksi dasar dinaikkan maka banyaknya individu yang terinfeksi semakin bertambah. Dalam simulasi, pada model epidemik SIS deterministik saat R 0 < 1 terjadi kestabilan bebas penyakit dan saat R 0 > 1 terjadi kestabilan endemik. Pada model epidemik SIS stokastik digambarkan dengan dua path yang berbeda untuk setiap kasus dan kedua path tersebut menuju ke kestabilan yang sama. Untuk setiap nilai dari bilangan reproduksi dasar, model epidemik SIS stokastik akan menuju ke kestabilan bebas penyakit. DAFTAR PUSTAKA Allen E Modeling with Ito Stochastic Differential Equations. etherlands (L): Springer. Allen LJS, Burgin AM Comparison of deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time. Mathematical Biosciences, vol. 163, no. 1, pp doi: /s (99) Brauer F, Driessche PVD, Wu J Mathematical Epidemiology. Heidelberg (DE): Springer. hlm Giesecke J Modern Infectious Disease Epidemilogy. Oxford: Oxford University Pr. Greenwood PE, Gordillo LF Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology. etherlands (L): Springer. hlm Ross SM Introduction to Probability Models. Ed ke-10. California (US): Academic Pr. Strogatz SH onlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Westview Pr. Tu PV Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

31 21 Lampiran 1 Penentuan titik tetap model epidemik SIS deterministik Titik tetap pada model epidemik SIS deterministik diperoleh jika di(t) = 0 dt terhadap persamaan (6). Mencari titik tetap 1 dan 2: di(t) dt = 0 S(t)I(t) (b + γ)i(t) = 0 [ ( I)(t)] I(t) (b + γ)i(t) = 0 [ I(t)] I(t) (b + γ)i(t) = 0 I(t) I(t)I(t) (b + γ)i(t) = 0 I(t) { I(t) (b + γ)} = 0 I(t) = 0 atau I(t) = (1 (b+γ) ) Karena I(t) = 0 Maka S(t) = I(t) sehingga didapat S(t) = Jadi titik tetap 1: T 1 (S(t), I(t)) = (, 0) (9) Karena I(t) = (1 (b+γ) ) Maka S(t) = I(t) sehingga didapat S(t) = (b+γ) Jadi titik tetap 2: (b + γ) (b + γ) T 2 (S(t), I(t)) = (, (1 )) (10)

32 22 Lampiran 2 Kestabilan titik tetap T 1 model epidemik SIS deterministik Titik tetap T 1 = (, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan (8) b J T1 = ( 0 () + γ ) () b γ b + γ = ( 0 b γ ) Untuk memperoleh nilai eigen dengan menggunakan rumus J T1 λi = 0 ilai eigen J T1 λi = 0 b λ + γ 0 b γ λ = 0 ( b λ)( b γ λ) = 0 Dari persamaan tersebut, diperoleh nilai eigen λ 1 = b atau λ 2 = (b + γ) ( b + γ 1) Ketika λ 2 = 0, diperoleh nilai R 0 dengan penjabaran seperti berikut: (b + γ) ( b + γ 1) = 0 = (b + γ) b + γ = 1 R 0 = b + γ

33 23 Lampiran 3 Kestabilan titik tetap T 2 model epidemik SIS deterministik Titik persamaan (8) J T2 = tetap T 2 = ( (b+γ) (, (1 (b+γ) )) disubstitusikan ke dalam (b + γ) ( (1 )) b + γ) ((b ) + γ (b + γ) + γ) ( (1 )) ((b ) b γ ) + b + γ b b γ + γ = ( b γ b + γ b γ ) + γ b = ( b γ 0 ) Untuk memperoleh nilai eigen pada titik tetap T 2 menggunakan software seperti berikut restart with(detools): with(linalg): with(vectorcalculus): A Jacobian ([( ) f g + b b f + γ g, ( ) f g b g γ g], [f, g] = [ (b+γ) (b+γ), (1 )]) eigenvalues(a) Diperoleh nilai eigen atau λ 1 = b λ 2 = (b + γ) (1 b + γ ) Ketika λ 2 = 0, diperoleh nilai R 0 dengan penjabaran seperti berikut: (b + γ) (1 b + γ ) = 0 = (b + γ) b + γ = 1 R 0 = b + γ

34 24 Lampiran 4 Menentukan limit peluang pada waktu jangka panjang π j = π i p ji, i=0 j {0, 1, 2,, } π j = 1 j=0 π 0 = π 0 p 0,0 + π 1 p 0,1 + π 2 p 0,2 + + π 1 p 0, 1 + π p 0, π 1 = π 0 p 1,0 + π 1 p 0,1 + π 2 p 1,2 + + π 1 p 1, 1 + π p 1, π 2 = π 0 p 2,0 + π 1 p 2,1 + π 2 p 2,2 + + π 1 p 2, 1 + π p 2, π 1 = π 0 p 1,0 + π 1 p 1,1 + + π 2 p 1, 2 + π 1 p 1, 1 + π p 1, π = π 0 p,0 + π 1 p,1 + π 2 p,2 + + π 1 p, 1 + π p, π 0 + π 1 + π π = 1 Substitusikan semua nilai peluang transisinya π 0 = π 0 + d(1) t π 1.. (1) π 1 = (1 [b(1) + d(1)] t π 1 ) + d(2) t π 2.. (2) π 2 = b(1) t π 1 + (1 [b(2) + d(2)] t π 2 ) + d(3) t π 3.. (3) π 1 = b( 2) t π 2 + (1 [b( 1) + d( 1)] t )π 1 + d() t π.. (4) π = b( 1) t π 1 + (1 d() t) π π 0 + π 1 + π π = 1.. (5) Dari (1) diperoleh: π 1 = 0 Dari (2) diperoleh: π 2 = 0 π 1 = 0 π = 0 Dari (5) diperoleh: π 0 = 1

35 25 Lampiran 5 Bukti Persamaan (12) Misalkan P i, i = 0, 1,, mendefinisikan peluang pada state i. p menyatakan peluang perpindahan dari i i + 1 dan q menyatakan peluang perpindahan dari i i 1. P i = pp i+1 + qp i 1, i = 1, 2,, 1 Atau ekuivalen dengan pp i+1 P i + qp i 1 = 0, Untuk menyelesaikan persamaan diferensial di atas diperlukan kondisi berikut P 0 = 1 dan P = 0 Jika individu terinfeksi sama dengan nol maka peluang tidak terjadi wabah sama dengan satu dan jika individu terinfeksi sama dengan maka peluang tidak terjadinya wabah sama dengan nol. Misalkan P i = λ i 0. Persamaan karakteristik: pλ i+1 λ i + qλ i 1 = 0 Saat λ 0 maka persamaan karakteristik dapat disederhanakan menjadi pλ 2 λ + q = 0 Kemudian diperoleh nilai eigen dari akar persamaan karakteristik di atas λ 1,2 = 1 ± 1 4pq 2p Ekspresi dari nilai eigen di atas dapat disederhanakan dengan memperhatikan bahwa (p + q) 2 = 1 Sehingga untuk p q Diperoleh λ 1 = 1 dan λ 2 = q p 1 = p 2 + 2pq + q 2 1 4pq = p 2 2pq + q 2 = (p q) 2 λ 1,2 = 1 ± (p q) 2p Solusi umum untuk persamaan diferensial di atas P i = C 1 + C 2 ( q i p ) Karena P 0 = 1 dan P = 0 maka C 1 + C 2 = 1 dan C 1 + C 2 ( q p ) = 0 Cari nilai C 1 dan C 2 dengan eliminasi sehingga diperoleh C 1 = (q p ) dan C 2 = 1 ( q p ) 1 1 ( q p ) Substitusi nilai C 1 dan C 2 pada solusi umum

36 26 ( q p ) ( q p )i P i = ( q p ) 1 Sehingga peluang tidak terjadinya wabah untuk, yaitu 0 P{I(t) = 0} { (q p )i, jika R 0 > 1 1, jika R 0 1

37 27 Lampiran 6 Program plot bidang solusi individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS deterministik saat R 0 = 0.8 (Gambar 1) Manipulate[Module[{plt1,plt2,plt3,sol,S0=SS0,P0=PP0}, sol=dsolve[{s [t]== *S[t]*P[t]+ (b + γ) *P[t], P [t]== *S[t]*P[t]- (b + γ)*p[t],s[t/;t 0]==S0, P[t/;t 0]==P0},{S[t},P[t]},{t,0,120}]; plt1=parametricplot[{t,p[t]}/.sol,{t,0,50},plotrange All,AspecRatio 0.6, PlotStyle {RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]},AxesLabel {t,individu}]; plt3=parametricplot[{t,s[t]}/.sol,{t,0,50},plotrange All,AspecRatio 0.6, PlotStyle {RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}]; plt2=streamplot[{ *S*P+(b + γ)*p, *S*P-(b + γ)*p}, {S,0,50},{P,0,50}, FrameLabel {{Style[Row[{Style[ P,Italic], (,Style[ t,italic], ) }],14], one}{style[row[{style[ S,Italic], (,Style[ t,italic], ) }],14],Style[Row[{ Style[ The phase portrait of system,bold]}],14]}},streampoints 50; Show[plt1,plt3,ImageSize {450,400}]], Style[ Persamaan differensial: Bold], Style[ S = *S[t]*P[t]+(b + γ)*p[t],bold], Style[ P = *S[t]*P[t]-(b + γ)*p[t],bold], Delimeter, Style[ parameters,bold,10],{{b,0.25, b },0,50,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled },{{,0.4, },0,50,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled },{{ γ,0.25, γ },0,50,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled },{{,100, },0,500,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled }, Delimeter, Style[ initial conditions,bold,10],{{ss0,90, S0 },0,500,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled },{{PP0,10, P0 },0,500,.01,ImageSize Small, Appearance Labeled }, ControlPlacement Left,SynchronousUpdating False]

38 28 Lampiran 7 Program sample path 1 individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS stokastik saat R 0 = 0.8 (Gambar 2) library(adaptivetau) init.values=c(s = 90,I=10) transitions = list(c(s = -1, I = +1),c(S =+1, I = -1),c(S=+1,I= -1)) SISrateF <-function(x,p,t){return(c(x["s"]*(p$beta*x["i"])/100, params$delta*x["i"], params$gamma*x["i"]))} params = list(beta=0.4, delta=0.25, gamma=0.25) set.seed(2) r=ssa.adaptivetau(init.values,transitions,sisratef,params,tf=50) matplot(r[,"time"], r[,c("s","i")], type='l', xlab='time', ylab='individuals') legend("topright", legend=c("s", "I"), lty=1:2, col=1:2)

39 29 Lampiran 8 Program sample path 2 individu rentan dan terinfeksi model epidemik SIS stokastik saat R 0 = 0.8 (Gambar 3) library(adaptivetau) init.values=c(s = 90,I=10) transitions = list(c(s = -1, I = +1),c(S =+1, I = -1),c(S=+1,I= -1)) SISrateF <-function(x,p,t){return(c(x["s"]*(p$beta*x["i"])/100, params$delta*x["i"], params$gamma*x["i"]))} params = list(beta=0.4, delta=0.25, gamma=0.25) set.seed(1) r=ssa.adaptivetau(init.values,transitions,sisratef,params,tf=50) matplot(r[,"time"], r[,c("s","i")], type='l', xlab='time', ylab='individuals') legend("topright", legend=c("s", "I"), lty=1:2, col=1:2)

40 30 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengkap urlita Fikadhilla, lahir pada tanggal 23 Juni 1994 di Bekasi, Jawa Barat. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara dan lahir dari pasangan Subandi dan Amin Budiyati. Pendidikan yang telah ditempuh oleh penulis yaitu SMP egeri 1 Bekasi lulus tahun 2009, dan SMA egeri 2 Bekasi lulus tahun Sejak tahun 2012 sampai dengan penulisan skripsi ini, penulis masih terdaftar sebagai mahasiswa Program S1 Departemen Matematika, Fakultas MIPA di Institut Pertanian Bogor (IPB). Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2014/ 2015, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang pada semester genap tahun ajaran 2014/ 2015, asisten mata kuliah Pemrograman Tak Linear pada semester ganjil tahun ajaran 2015/ 2016, dan asisten mata kuliah Proses Stokastik Dasar pada semester genap tahun ajaran 2015/ Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan yaitu menjadi staf Departemen Math Event Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2013/ Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Tingkat Persiapan Bersama (TPB), Departemen Matematika, dan Fakultas MIPA. Adapun penghargaan yang telah penulis raih, antara lain Juara 2 Basket Putri TPB CUP tahun 2012 serta Juara 1 Basket Putri SPIRIT FMIPA tahun 2014 dan 2015.