BAB IV Metode Pemecahan Persamaan Schrödinger Benda Jamak Pada Quantum dot

Transkripsi

1 3 BAB IV Metode Pemeaha Peamaa Shödge Beda Jamak Pada Quatum dot 4. Peamaa Shödge Beda Jamak Peamaa daa mekaka kuatum dapat dgeeal utuk peoala beda jamak. Utuk tem atu elekto fug gelombag elekto dyataka oleh ota ϕ ( t) edagka fug gelombag elekto dyataka ( Φ 3 t) (4.) dega adalah po elekto ke-. Itepeta f fug gelombag Φ detk dega tepeta fug gelombag atu elekto yak pobablta meemuka elekto pada ejumlah po Nomala fug dbeka oleh peamaa bekut Φ... d d Φ meyataka 3. (4.) Fug gelombag Φ memeuh peamaa Shödge beda jamak Φ h mp Φ 0 (4.3) t dega amltoa beda jamak mp ted da amltoa gle elekto da uku poteal teak Coulomb ata elekto mp e ε ( ) + j j (4.4) dega e da ε betuut-tuut adalah muata elekto da kotata delektk medum. Pada kau taoe uku yag begatug pada waktu dyataka dalam betuk ekpoeal vt h e ϕv 3 ( ) Φ (4.5) dega v adalah eeg total tem beda jamak pada keadaa tatoe v. fug ϕ v yag tdak begatug pada waktu memeuh peamaa Shödge beba waktu bekut 3

2 33 mp ϕ ( ) ( ) (4.6) v 3 vϕv 3 v meepeetaka blaga kuatum tem temauk ddalamya p. Jka emua elekto daggap detk atu ama la atau dega kata la kta tdak dapat membedaka atu elekto dega elekto laya kaea elektoelekto teebut memlk maa muata da p yag ama. Sehgga jka tejad petukaa label elekto tdaklah meubah obevable epet apat pobablta tem. Dega kata la jka koodat elekto dpemutaka quae magtude fug gelombag tdak megalam peubaha. Kaea elekto adalah femo maka fug gelombagya pu hau at-metk aga pp eklu Paul (Paul eluo pple) tdak dlagga ϕv ( j ) ϕ v ( j ) (4.7) Fug gelombag elekto yag memeuh peyaata ebaga dtguhable eleto da jka tejad petukaa label elekto tdak meubah obevable ekalgu memeuh pp eklu Paul dyataka dalam betuk fomula detema Slate (Slate detemat) bekut v( ) v ( ) v ( ) v( ) v ( ) v ( ) ϕv ( ) (4.8)! v Sebaga otoh utuk kau dua elekto fug gelombag totalya adalah v ϕv ( ) [ v( ) v ( ) v ( ) v( )] (4.9) Da peamaa (4.9) dapat dlhat bahwa jka v da v ama maka fug gelombag totalya bela ol. Begtu pu jka maka fug gelombag totalya aka bela ol. al teebut megdkaka bahwa pobablta meemuka elekto dega p da po yag ama dalam uag aka bela ol. Sehgga betuk peamaa (4.9) memeuh pp eklu Paul. Dalam meyeleaka peamaa Shödge beda jamak eaa lagug agatlah ult teutama utuk >. Oleh kaea tu dlakuka bebaga pedekata utuk memeahka peamaa Shoedge beda jamak epet v 33

3 34 pedekata atee-fok da pedekata Teo Keapata Fugoal (Dety Futoal Theoy) yag duulka oleh ohebeg Koh da Sham. 4.3 Pedekata atee-fok Model yag dpekealka oleh atee-fok megaumka teak ata elekto dalam tem beupa teak Coulomb emata. Dega meubttu peamaa (4.8) ke peamaa (4.6) kemuda dkalka dega v da dtegalka tehadap eluuh uag koodat dpeoleh peamaa atee- Fok bekut v ( ) e v + d ε j e v d ε j v v ( ) v ( ) ( ) v v (4.8) Peamaa atee-fok meubah peamaa Shödge beda jamak mejad peamaa Shödge tem atu elekto dega v meyataka fug gelombag obtal. Peamaa (4.8) dapat dtul mejad ( + V + V ) (4.9) C v Suku petama ua k peamaa (4.9) meyataka amltoa gle elekto yag ted da eeg ketk elekto da poteal ekteal. Suku kedua V e ε v j d v v (4.0) adalah poteal elektotatk yag dakbatka oleh ( ) elekto. Poteal elektotatk V debut ebaga poteal atee. Sedagka uku ketga d ua k peamaa (4.9) V C v ( ) e ε j d v v v ( ) (4.) adalah poteal ehage-oelato yag meggambaka ehageoelato elekto. Peamaa atee-fok meepeetaka 34

4 35 pelaku/geaka elekto dalam poteal efektf yag dakbatka oleh ( ) elekto laya dalam tem. Koela ata elekto dalam tem megadug at jka alah atu elekto beubah keadaaya maka ( ) elekto laya dalam tem tepegauh oleh peubaha teebut. eg total tem v (4.) Jka ehage-oelato dabaka maka amltoa tem pada peamaa (4.9) beubah mejad ( + V ) (4.3) v Poteal atee pada peamaa (4.3) dapat dhtug melalu peamaa Poo V 4 π e ε v v v ( ) (4.4) dega la pobablty dety elekto dpeoleh da peamaa (4.3) ehgga pehtuga dlakuka eaa elf-otey. eg total tem meupaka pejumlaha da eluuh eeg ketk elekto poteal ekteal da poteal atee h { } d + V + V { } (4.5) m dega memma peamaa (4.5) melalu pp vaa dpeoleh eeg atee yag meepeetaka eeg keadaa daa tem h d m + V + V { } (4.6) 4.4 Dety Futoal Theoy Dety Futoal Theoy (DFT) petama kal duulka oleh ohebeg-koh- Sham pada tahu 965. DFT agat popule dguaka aat utuk meghtug popete da mateal zat padat epet tuktu elektok atau meghtug 35

5 36 bdg eegy molekul. Dalam DFT eeg total tem adalah ebuah fugoal yag uk da apat elekto eg Fugoal eg total tem dalam hal eeg total dvdual quatum dot ted da eeg ketk elekto poteal ekteal eeg teak elekto-elekto da eeg ehage-oelato. dega ( ) [{ ( )}] f ( ) ( ) + V ( ) ( ) + φ h m ( ) ( ) + V ( ( )) f φ da ( ) (4.7) betuut-tuut adalah fug obtal jumlah elekto dalam obtal poteal elektotatk da apat elekto. Poteal elektotatk φ ( ) adalah e φ 4π ε (4.8) edagka apat elekto ddefka ebaga bekut f (4.9) Teoema yag duulka ohebeg-koh meyataka bahwa eeg mmum da peamaa (4.7) adalah eeg keadaa daa (goud tate eegy). Teoema teebut mejawab kebguga aka pemlha fug obtal yag bea utuk peamaa (4.7). Jelalah udah bahwa fug obtal yag bea adalah fug obtal yag meghalka eeg palg mmum (goud tate). Dega memma peamaa (4.7) melalu pp vaa (vaatoal pple) dega kedala Lagage 0 + ( ) φ f ( ) ( ) + V ( ) ( ) ( ) ( ) + f ( ( )) λ ( ) ( ) h m (4.30) 36

6 37 Suku petama ua kaa haya memlk atu uku ( ) tuuaya ddalamya ehgga h h f f m (4.3) m adalah apat Utuk uku kedua atu-atuya uku yag begatug pada muata uku f dkalka edagka V tehadap. Sehgga hal da tuua uku kedua [ V ] f V Utuk uku ketga ua kaa ketka dubah fug poteal ( ) ed tdak beubah (4.3) φ pu beubah kaea fug teebut begatug pada ( ). Utuk melhat kebegatuga teebut kta tulka peamaa Poo φ 4π [ k ] e ( δφ) 4π [ ] e ( δ) k. Sehgga atau V δφ δφ d 4 [ k ] e φ δφ φ (4.33) π da tuua uku ketga meghalka Tuua uku keempat adalah [ φ ] f φ (4.34) [ ] (4.35) f ( ( )) f f ( ) ( ) dega f δ δ da f ( ) kedala Lagage etelah dtuuka meghalka ( ) ( ) d λ ( ). Sedagka uku teakh uku λ V (4.36) Peamaa (4.3) (4.3) (4.34) (4.35) da (4.36) djumlahka dega la jumlahaya bela ol. Kemuda uku kedala Lagage dpdah ke ua kaa da mag-mag uku dbag dega f dpeoleh 37

7 38 dega [ ] ε h + V ( ) + φ( ) + f ( ( )) m (4.37) ε λ f meyataka eeg tap obtal. Peamaa (4.37) debut peamaa Koh-Sham yag meggambaka pelaku elekto dalam obtal dalam pegauh poteal efektf Pedekata Keapata Lokal Utuk medekpka uku ehage-oelato eeg dguaka pedekata keapata lokal (Loal Dety Appoxmato). Fomula yag dguaka adalah fomula yag duulka oleh Slate utuk uku ehage da fomula yag duulka oleh Voko-Wlk-Nua utuk uku oelato Suku hage dega 3 3 π da dalam tem. Suku Coelato dega V a a V x x ( ) ( ) (4.38) 3 meyataka jaak ata-ata ata elekto 4 π ( ) [ l( D( x) ) + f Y ( x) + f l( W ( x) ) + f Y ( x) ] ( ) ( ) a 6 ( x x0 ) ( x x ) P( x) b q 4 b.935 f b q 0 bxx 0 3 (4.39) x P( x) + bx + D( x) P( x) Y ( x) ata ( q ( x + b) ) x f bx0 P( x0 ) W x x x0 P ( x ) ( b + x ) f q f3 0 38

8 Peamaa Koh-Sham Quatum dot al ekpeme meujukka bahwa poteal peguuga elekto V dapat ddekat dega poteal paabolk ehgga peamaa Koh-Sham utuk quatum dot α x ( ) + K + φ( ) + V ( ) + V ( ) ( ) ε ( ) (4.40) dega α adalah pebadga maa dam elekto da maa efektf elekto dalam baha edagka K meyataka kekuata peguuga. Dalam pehtuga dguaka pedekata keapata lokal dega fomula yag duulka oleh Slate-Voko-Wlk-Nua yag telah djelaka pada baga ebelumya. Peamaa (4.40) deleaka eaa elf-otey epet telhat pada gamba 4.. Gamba 4.: Dagam al elf-otey DFT. 39

9 40 Tebaka awal apat elekto yag dguaka adalah tpe Gaua (Gaua type). Kemuda tebaka awal apat elekto dguaka utuk meghtug poteal elektotatk da poteal ehage-oelato. Seluuh poteal kemuda dmaukka ke peamaa Koh-Sham quatum dot dega output beupa apat elekto bau. Itea behet ketka yaat kekovegea teapa. Utuk meg-update apat elekto dguaka metode le mxg bekut k + β dega 0 < β < edagka k + out ( β ) k out (4.40) da k betuut-tuut adalah apat elekto bau apat elekto lama da omo tea. Metode le mxg teebut dguaka utuk mempeepat teapa yaat kekovegea. 40