KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Transkripsi

1 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL TAHUN 2016 ASTRONOMI RONDE TEORI KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 2016

2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS Soal Esai 1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25M d. Jika periode orbit sistem adalah 7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar 65 terhadap bidang langit, berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)? Jawab: Gunakan hubungan Hukum III Kepler: dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (V r ): a 3 P 2 GM 4π 2 a 3 GMP 2 4π 2 sehingga V r 2πa sin i P Diperoleh: a P V r 2π sin i ˆ P 3 Vr 2π sin i P 3 Vr 3 8π 3 sin 3 i P 2 GM 4π 2 P 2 GM 4π 2 Vr 3 2πGM sin3 i c P 2πGM V r 3 sin i P d 2 ˆ π ˆ 6,673 ˆ ˆ 4,97 ˆ ,7 ˆ 10 4 sin 65 3a 77,14 ˆ ˆ 0,9 3,834 ˆ 10 5 m/s dengan massa total M dan periode orbit P masing-masing M M 1 ` M 2 2 ˆ 1,25M d 2,5M d 2,5 ˆ 1,989 ˆ kg 4,97 ˆ kg P 7,5 jam 7,5 jam ˆ p3600 s{jamq 2,7 ˆ 10 4 s Kecepatan total orbit Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 1 dari 13

3 V V 1 ` V 2 Dari hubungan V 1 M 1 V 2 M 2 dengan M 1 M 2, maka V 1 V 2 M 2 M 1 V 2 Dengan demikian, V V 1 ` V 2 2V 1 2V 2 atau V 1 V V 1,917 ˆ 105 m{s 2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut. LIGO menggunakan Laser 700 nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awalnya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat gelombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkan perubahan pola interferensi di titik temu. (a) (b) (c) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendek sebesar l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar l, maka akan terjadi perubahan pola interferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai l (dalam satuan m)? Hitunglah perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal. Perbandingan ini disebut sebagai regangan atau strain yang sebanding dengan amplitudo gelombang gravitasi. Jika gelombang gravitasi yang diakibatkan oleh interaksi lubang hitam ganda menyebabkan pada akhirnya kedua lubang hitam bersatu (merge) menjadi lubang hitam simetris, berapakah amplitudo gelombang gravitasi yang terdeteksi? Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 2 dari 13

4 Jawab: Diketahui nilai λ 700 nm dan l 4 km. (a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah dan 2pl ` lq 2pl lq Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah 2pl ` lq 2pl lq Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinya kondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar Misalkan digunakan orde n 1. n λ 2 2pl ` lq 2pl lq λ 2 4 l λ 2 (b) (c) l 700 ˆ ˆ 2 8,75 ˆ 10 8 m Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain): l 2,19 ˆ l 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi. 3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September Andaikan titik pusat kedua piringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% piringan Matahari, berapakah jarak Bumi Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahui eksentrisitas orbit Bumi e 0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari Jawab: Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut: Hubungan jejari dengan diameter sudut (α): Luas piringan Bulan 0,98 Luas piringan Matahari πr 2 0,98 πr2 d R α α a 0,98 α d R d a 0,98 R d d d 1 R d d d? 0,98 R d Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 3 dari 13

5 Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut: jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016: N hari p3 Jan s/d 1 Sepq 242 hari Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (θ) tanggal 1 September 2016: 365,25 hari hari ,25 0, hari 238, θ , , Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifat gerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudut θ diukur dari pusat lingkaran: Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak d Matahari d d dari Matahari dengan sudut 180 ν Mencari jarak X dengan rumus cosinus: d d ă X X 2 a 2 ` paeq 2 2a ae cos θ a 1, ˆ m e 0,0167 θ 121, X m Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 4 dari 13

6 Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν: X sin θ Menentukan jarak Matahari (d d ): a sinp180 νq sinp180 νq a X sin θ a 180 ν arcsin sin θ 57, X ν , , d d ap1 e2 q p1 ` e cos νq m Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut: d 1? 0,98 R d d R d ? ˆ m ,783 km 0,98 6,96 ˆ 108 Sehingga, jarak Bumi Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah km 4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R 1 dan temperatur efektif T 1, sedangkan bintang kedua dengan radius R 2 0,75R 1 dan temperatur efektif T 2 2,5T 1. Pada saat bintang yang berukuran lebih besar menggerhanai bintang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudo bolometrik sistem bintang ganda ini? Jawab: Luminositas total sistem bintang ganda: L L 1 ` L 2 4πR1σT ` 4πR2σT πσ `R1T ` R2T Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), maka luminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1: L gerhana 4πR 2 1σT 4 1 Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, m: L m 2,5 log L gerhana 4πσ `R2 1 T1 4 ` R2 2 T 2 4 2,5 log 4πR 2 1 σt 4 1 ˆ 2,5 log 1 ` R2 2 T 2 4 R1 2T 1 4 2,5 log `1 ` p0,75q 2 p2,5q 4 2,5 logp22,97q 3,4 5. Kuil Abu Simbel atau disebut juga Monumen Nubia adalah sebuah kuil di tepi sungai Nil di selatan Mesir yang dibangun oleh Firaun Ramses II pada sekitar abad 13 SM. Kuil tersebut dibangun sebagai peringatan bagi Firaun Ramses II dan istrinya Nefertari setelah memenangkan sebuah perang besar yang disebut Perang Kadesh (perang antara kekaisaran Mesir dan kekaisaran Hittite). Kuil ini dibangun dengan mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung raksasa Ramses II. Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 5 dari 13

7 Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dan dewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akan masuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saat hari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinat kuil tersebut adalah φ Lintang Utara, λ Bujur Timur, dan azimuth arah pintu masuk kuil adalah A z 100,55, tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun) cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efek ketinggian. Jawab: Informasi yang diberikan adalah: koordinat kuil Abu Simbel: φ ,33 Lintang Utara, dan λ ,62 Bujur Timur azimuth arah pintu masuk kuil adalah A z 100,55 tinggi Matahari dapat dianggap h 0 (karena diamati pada saat Matahari terbit). Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu mengetahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas, maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus cosp90 δq cosp90 φq cosp90 hq ` sinp90 φq sinp90 hq cosp360 Aq sin δ sin φ sin h ` cos φ cos h cosp360 Aq sinp22,33q sinp0q ` cosp22,33q cosp0q cosp ,55q 0,9252 ˆ 1 ˆ p 0,1831q 0,1694 δ arcsinp 0,1694q 9,753 «10 Deklinasi Matahari 10 terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal 20 p 5 hariq Februari dan 20 p 5 hariq Oktober. Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 6 dari 13

8 6. Perhatikan spektrum dan skema berikut: Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik pl, bq p30, 0 q memiliki puncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang. (a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran dan jarak Matahari dari pusat Galaksi sebesar R o 8 kpc serta kecepatan orbit Matahari V d 220 km/s. Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (V r ) yang teramati mengikuti persamaan berikut: Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 7 dari 13

9 V r R o pω ω d q sin l, (b) (c) dengan ω dan ω d masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudut Matahari. Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Galaksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya? Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awan antarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan. Jawab: (a) Penurunan rumus kecepatan radial: Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatan awan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar: V R V cos α V d sin l ωr cos α ω d R 0 sin l ωr CT R ω dr 0 sin l ωr 0 sin l ω d R 0 sin l pω ω d qr 0 sin l Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 8 dari 13

10 (b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimum sin l R{R 0 dan cos α 1 R R 0 sin l 8 sin 30 4 kpc V V R ` V d sin l 65 ` 220 sin km/s (c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A. 7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0 ă r ď R dari pusat bintang dapat didekati dengan hubungan κ ρ r L r a c T 3 r r 2 dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan G M r ρ r r 2 dengan ρ r, L r, T r, dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan (opasitas) pada jarak r, sedangkan M r adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R. Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaan bintang (r R) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan. Gunakanlah tetapan G, a, dan c di dalam tabel. Jika κ 1 dan ρ r selalu konstan tak nol, maka (a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dari L, M, dan R, (b) (c) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalam satuan N/m 2 ). Anggap tekanan P r di dalam bintang dapat didekati dengan P r R µ ρ r T r (d) dengan R konstanta gas dan µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ 0,5, berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρ c ) dinyatakan dalam satuan kg/m 3? Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas dengan massa memenuhi persamaan: L Z M 3, (e) dengan Z adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintang deret utama bermassa 3M d? Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari? Jawab: (a) Misalkan M, R, L, dan T c masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusat bintang, maka gradien temperatur di permukaan bintang didekati dengan gradien linearnya adalah: Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 9 dari 13

11 0 T c R 0 «3M L 4acπR 3 Tc 3 R 2 Tc R «3LM 4acπR 5 Tc 3 Tc 4 «1 3LM R 4 c 4acπ 3LM T c «1 R 4 4acπ Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya: 0 P c R 0 «GM R 2 P c «3GM 2 4πR 4 3M 4πR 3 (b) T c «d ˆ 3,9 ˆ ˆ 1,989 ˆ ,96 ˆ ˆ 7,5659 ˆ ˆ 2, ˆ 10 8 ˆ π « K «7,7 ˆ 10 6 K P c «3GM 2 4πR 4 « N/m 2 «2,7 ˆ N/m 2 (c) Massa jenis di pusat Matahari (ρ c ): ρ c P c µ T c R 2,7 ˆ ,5 7,7 ˆ ,5 «2.103 kg/m 3 (d) Tinjau tekanan di pusat: Tetapi juga Sehingga P c R µ ρ c T c «R µ P c «3GM 2 4πR 4 3MT c 4πR 3 atau R µ 3MT c 4πR 3 «3GM 2 4πR 4 Tetapi juga T c «µ R GM R Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 10 dari 13

12 µ R GM R T c «1 c 4 3LM R 4acπ c 4 3LM 4acπ «1 R µ 4 R 4 G4 M 3 «3L 4acπ L «4acπµ4 G 4 3R 4 M 3 L «konstanta ˆ M 3 Dengan Z sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan L Z M 3, Sehingga untuk bintang bermassa 3M d, maka luminositas bintang tersebut adalah (e) 3 ˆ3Md L L d 27 L d M d Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari mengalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v 0 0. Gerak jatuh bebas akan menempuh jarak jejari bintang, R, dalam waktu t ff detik. R 1 2 at2 ff Percepatan a adalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu Sehingga a GM R 2 t ff c 2R 3 GM «2.254 detik «38 menit 8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatan rendah (n 10 8 cm 3 ) dan temperatur tinggi (2 ˆ 10 6 K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogen yang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet. (a) (b) (c) (d) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yang dibutuhkan (dalam satuan m/s)? Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elektron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yang dibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas? Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiap tahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepas hanya elektron. Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Hal ini dikarenakan tekanan medan magnetik P B lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahui tekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut: P B B2 2 µ 0 dengan µ 0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaitu B 10 Gauss, hitunglah tekanan magnetik di korona. Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 11 dari 13

13 (e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanan gas di korona. Jawab: (a) (b) Laju untuk lepas: Laju termal: Untuk Hidrogen: V lepas d 2GM d R d 1 2 mv2 termal 3 2 kt v termal 6,18 ˆ 10 5 m/s c 3kT m v termal,h c 3kT m H Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron: v termal,e v termal,p c 3kT m e d 3kT m p 2,23 ˆ 10 5 m/s 9,54 ˆ 10 6 m/s 2,23 ˆ 10 5 m/s (c) Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatan atau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektron akan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton. Diketahui n 10 8 cm m 3. Massa yang hilang adalah (d) n ˆ m e ˆ v termal,e ˆ 4πRd 2 ˆ t Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah ˆ m e ˆ v termal,e ˆ 4πp6,96 ˆ 10 8 q 2 ˆ detik 1,988 ˆ kg Tekanan magnetik 8,4 ˆ M d {tahun Pmag B2 2µ 0 1 Gauss 0,0001 Tesla sehingga 10 G 0,001 T Pmag 0,0012 2p4π10 7 0,4 N/m2 q Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 12 dari 13

14 (e) Tekanan gas di korona Pg nkt ˆ 1,38 ˆ ˆ 2 ˆ ,003 N/m 2 Pmag Pg 0,4 0, ,33 Tekanan magnetik 133 kali lebih kuat dari pada tekanan gas, sehingga garis medan magnet bergerak bebas. Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 13 dari 13