BAB VIII LEAST-SQUARES FITTING

Transkripsi

1 Deskripsi: BAB VIII LEAST-SQUARES FITTING Pada bab ini akan dibahas mengenai analisis statistik dari beberapa hasil pengukuran pada satu kuantitas tunggal dengan menggunakan grafik kurva y vs x. Hal tersebut menjadi pokok bahasan yang paling menarik dalam statistik, tetapi karena pokok bahasan ini sederhana maka harus dipahami dengan baik sebelum membahas hal yang lebih umum selanjutnya. Manfaat: Memberikan metode least-squares fitting yang benar saat melakukan beberapa pengukuran. Relevansi: Metode least-squares fitting merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menganalisis data hasil pengukuran dalam suatu grafik. Learning Outcome: Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan least-squares fitting pada suatu data hasil pengukuran dengan benar. MATERI: Sepanjang bab ini, kita memiliki N pasang hasil pengukuran (x 1, y 1 ),, (x N, y N ) dari dua variabel x dan y. Masalah yang dihadapi yaitu bagaimana menemukan nilai-nilai terbaik dari parameter dari kurva bahwa grafik y vs x agar sesuai dengan yang diharapkan. Kami berasumsi bahwa hanya pengukuran y mengalami ketidakpastian yang cukup, sedangkan untuk x diabaikan. [ Untuk kasus di mana kedua x dan y memiliki ketidakpastian yang signifikan, lihat pembahasan berikut Persamaan ( 8.17 ). ] Berbagai kemungkinan kurva dapat dianalisis, dan ada dua asumsi yang berbeda tentang ketidakpastian dalam y. Beberapa kasus yang lebih penting adalah sebagai berikut : 8.1 Kurva Garis Lurus, y = A + Bx Jika y yang diharapkan menyimpang pada garis lurus y = A + Bx, dan jika pengukuran y memiliki ketidakpastian yang sama, maka estimasi terbaik untuk konstanta A dan B adalah: dan A = x2 y x xy 47

2 B = N xy x y di mana penyebut, adalah = N x 2 ( x) 2 Berdasarkan poin-poin yang diamati, estimasi terbaik untuk ketidakpastian dalam pengukuran y adalah Ketidakpastian pada A dan B adalah : N δ y = 1 N 2 (y i A Bx i ) 2 i=1 Dan σ A = σ y x2 σ B = σ y N 8.2 Kurva Garis Lurus, y = Bx Jika y yang diharapkan menyimpang pada garis lurus melewati titik pusat kurva (0,0), y = Bx, dan jika pengukuran y memiliki ketidakpastian yang sama, maka estimasi terbaik untuk konstanta B adalah : B = xy x 2 Berdasarkan poin diukur, estimasi terbaik untuk ketidakpastian dalam pengukuran y adalah : dan ketidakpastian dalam B adalah : σ y = 1 N 1 (y i Bx i ) 2 σ y σ B = x 2 48

3 8.3 WEIGHT FIT UNTUK KURVA GARIS LURUS, y = A + Bx Jika y diperkirakan akan terletak pada garis y = A + Bx, dan jika nilai y i yang diukur, telah berbeda, dengan diketahui ketidakpastian σ i, maka kami memperkenalkan w i = 1 σ i 2, dan estimasi terbaik untuk konstanta A dan B adalah: dan dimana A = wx2 wy wx wxy B = Ketidakpastian di A dan B adalah : w wxy wx wy = w wx 2 ( wx) 2 Dan σ A = wx2 σ B = w 8.4 Grafik Kurva Lainnya Jika y diharapkan berada pada polinomial dalam x, yaitu, y = A + Bx Hx n, maka metode least-squares fit dapat digunakan, meskipun persamaan yang cukup rumit jika n besar. Curves bentuk y = Af(x) + Bg(x) Hk(x), dimana f(x),..., k(x) adalah fungsi diketahui, juga dapat ditangani dengan cara yang sama. Jika y diharapkan akan diberikan oleh fungsi eksponensial y = Ae Bx, maka kita bisa " melinierkan " masalah dengan menggunakan variabel z = ln ( y ), yang harus memenuhi hubungan linear 49

4 z = ln(y) = ln(a) + Bx, Kita kemudian dapat menerapkan linear least-square fit untuk z sebagai fungsi dari x. Catatan, bagaimanapun, bahwa jika ketidakpastian dalam nilai yang terukur dari y semua sama, dan kesamaannya pasti tidak benar dari nilai-nilai z. Kemudian, tegasnya, metode least-square tertimbang harus digunakan. Contoh: Panjang vs Massa untuk Keseimbangan Pegas Seorang siswa membuat skala untuk mengukur massa dengan pegas. Dia menempel ujung atasnya pada dudukan yang kuat, tergantung sebuah panci dibawahnya, dan menempatkan 1 meter tongkat dibelakangnya untuk pengaturan pembacaan panjang pegas. Sebelum dia bisa menggunakan skala, dia harus mengkalibrasi, yaitu, dia harus menemukan hubungan antara massa dalam panci dan panjang pegas. Untuk melakukan kalibrasi ini, dia mendapat lima massa 2 kg yang akurat, kemudian menambahkannya ke dalam pan satu per satu, merekam panjang yang sesuai l, seperti yang ditunjukkan pada tiga kolom pertama dari Tabel 8.1. Dengan asumsi pegas mematuhi hukum Hooke, ia mengantisipasi bahwa panjang l harus menjadi fungsi linear dari m, 1 = A + Bm ( Di sini, konstanta A adalah panjang diturunkan dari pegas, dan B adalah g l, di mana k adalah konstanta pegas biasa. ) Persamaan kalibrasi di atas akan membiarkan dia menemukan massa m diketahui dari panjang l yang sesuai, setelah itu dia harus mencari nilai konstanta A dan B. Untuk menemukan konstanta ini, dia menggunakan metode least-square. Apa jawaban dia untuk A dan B? Plot data kalibrasi pada suatu gafik. Jika dia menempatkan massa m diketahui dalam panci dan mengamati panjang pegas menjadi 1 = 53,2 cm, apakah itu m? 50

5 Tabel 8.1. Missa m i (dalam kg ) dan panjang l ( dalam cm ) untuk pegas. Seperti yang sering terjadi dalam masalah seperti itu, kedua variabel tersebut tidak disebut x dan y, dan satu harus berhati-hati untuk mengidentifikasi yang mana. Membandingkan dengan bentuk standar, y = A + Bx, kita melihat bahwa panjang 1 memainkan peran variabel y, sedangkan massa m memainkan peran variabel x. Konstanta A dan B diberikan oleh dengan penggantian x i m i dan y i l i ( Korespondensi ini ditunjukkan dengan judul "x " dan " y " dalam Tabel 8.1. ) Untuk menemukan A dan B, kita perlu menemukan jumlah m i, l i, (m i ) 2, m i l i, sehingga dua kolom terakhir Tabel 8.1 menunjukkan jumlah mil dan Milt, dan jumlah yang sesuai akan ditampilkan di bagian bawah setiap kolom. Menghitung konstanta A dan B sekarang mudah. Penyebut adalah = N m 2 ( m) 2 = = 200 Selanjutnya, dari kita menemukan intercept ( panjang teregang ) A = m2 l m ml , = Akhirnya, dari kita menemukan kemiringan B = N ml m l = = 39 cm ,6 = 2,06 cm/kg 51

6 Gambar 8.2. Sebuah plot data dari Tabel 8.1 dan garis kecocokan kalibrasi Sebuah plot data dan garis kurva kalibrasi menggunakan nilai A dan B ditunjukkan pada Gambar 8.2. Jika massa m menarik pegas menjadi 53,2 cm, maka menurut persamaan kalibrasi massa adalah Latihan Soal: m = l A B (53,2 39,0)cm = = 6,9 kg 2,06 cm/kg 1) Gunakan metode least-square fit untuk menemukan garis y = A + Bx sesuai dengan tiga poin ( 1, 6 ), ( 3, 5 ), dan ( 5, 1 ). Dengan menggunakan kertas grafik, plot tiga poin tersebut ke dalam kurva y. Kalkulator Anda mungkin memiliki fungsi built-in untuk menghitung A dan B, jika Anda tidak tahu bagaimana menggunakannya, luangkan waktu untuk belajar dan kemudian memeriksa jawaban Anda sendiri untuk masalah ini. 2) Kerjakan soal nomor 8.7 pada teks buku wajib halaman