MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN FLU BURUNG DARI UNGGAS KE MANUSIA

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN FLU BURUNG DARI UNGGAS KE MANUSIA skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Siswanto JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 13 i

2 PERNYATAAN Saya menyatakan bahwa skripsi ini saya buat sendiri, dan apabila dikemudian hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan. Semarang, 3 Januari 13 Siswanto NIM ii

3 PENGESAHAN Skripsi yang berjudul Model Matematika Penyebaran Flu Burung dari Unggas ke Manusia disusun oleh Siswanto telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas MIPA, Universitas Negeri Semarang pada: Hari : Rabu Tanggal : 13 Februari 13 Panitia : Ketua Sekretaris Prof. Dr. Wiyanto, M.Si Drs. Arief Agoestanto, M.Si NIP NIP Ketua Penguji Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc. NIP Anggota Penguji/ Pembimbing Utama Anggota Penguji/ Pembimbing Pendamping Drs. Supriyono, M.Si Drs. Wuryanto, M.Si NIP NIP iii

4 MOTTO DAN PERSEMBAHAN MOTTO Allah memberikan yang terbaik pada kita meskipun kita tidak minta. Jadilah pemenang untuk setiap tantangan. Bersedekahlah sebelum engkau disedekahi IPK bukan penentu kesuksesan seseorang Put attention to detail. PERSEMBAHAN Untuk Allah SWT yang merahmatiku, Untuk bapak dan ibu yang tercinta yang selalu mendoakan saya, Untuk kakak perempuanku yang tersayang. Untuk eko, kusmanto, mas adiv, noorhadi, mas irpan, hartono, dan semua teman yang selama ini memberikan dukungan, dan semangat kepada saya selama menempuh kuliah di UNNES. Untuk semua mahasiswa matematika angkatan 8 yang tercinta. iv

5 KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul Model Matematika Penyebaran Flu Burung dari Unggas ke Manusia. Penulisan skripsi ini sebagai syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Negeri Semarang. Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan karena adanya bimbingan, bantuan, dan dukungan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si, Rektor Universitas Negeri Semarang.. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. 4. Drs. Supriyono, M.Si, Pembimbing Utama yang telah memberikan bimbingan, semangat, dan pengarahan. 5. Drs.Wuryanto, M.Si, Pembimbing Pendamping yang telah memberikan masukan dan arahan. 6. Bapak dan ibu tercinta yang senantiasa mendoakan serta memberikan dukungan berupa materi. 7. Eko Nur Pujiyanto memberikan bantuan, dukungan, semangat kepada penulis selama masa kuliah. v

6 8. Sahabat-sahabat saya yang telah memberikan banyak motivasi, kritik, usulan yang menjadikan terselesaikannya penulisan skripsi ini. 9. Mahasiswa matematika angkatan 8 yang telah memberikan dorongan dan motivasi. 1. Semua pihak yang membantu kelancaran skripsi saya baik secara langsung maupun tak langsung. Penulis menyadari bahwa skripsi yang disusun dan disampaikan masih memiliki banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk itu penulis menerima segala kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Semarang, Februari 13 Penulis vi

7 ABSTRAK Siswanto. 1. Model Matematika Penyebaran Flu Burung dari Unggas ke Manusia. Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Drs. Supriyono, M.Si, dan Pembimbing Pendamping Drs. Wuryanto, M.Si. Kata kunci: Analisis Kestabilan, Flu Burung, dan Titik Ekuilibrium. Penyebab flu burung adalah virus influenza tipe A yang termasuk dalam famili Orthomyxoviridae dan mempunyai diameter 9-1 nanometer. Virus influenza B dan C dapat diisolasi dari manusia dan sifatnya kurang patogen dibanding dengan virus influenza A. Gejala utama penyakit ini demam mendadak lemas, sesak nafas, pendarahan pada saluran pernafasan. Dalam tulisan ini akan dikaji model matematika untuk penyebaran penyakit flu burung dari populasi unggas ke populasi manusia, kemudian dilakukan analisa terhadap model yang dihasilkan untuk menentukan titik ekuilibrium dan kestabilan titik ekulibrium dari model matematika tersebut. Kemudian dari analisa tersebut dapat diketahui perilaku penyakit flu burung di masa yang akan datang. Metode yang digunakan untuk menganalisis masalah adalah dengan studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menentukan masalah, merumuskan, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan. Dari pembahasan diperoleh model penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia. Kemudian dari model tersebut diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Analisis yang dilakukan menghasilkan angka rasio reproduksi dasar R. Dengan : Tingkat efektifitas kontak infektif antara unggas terinfeksi dengan unggas rentan, : Tingkat kematian individu dalam populasi unggas tanpa pengaruh flu burung, Berdasarkan angka R, Jika semakin kecil tingkat penyebaran flu burung dari unggas sakit ke unggas rentan, dan semakin besar umur unggas, maka R 1 atau tidak terjadi epidemi. Sebaliknya, Jika semakin besar tingkat penyebaran flu burung dari unggas sakit ke unggas rentan, dan semakin kecil umur unggas, maka nilai R 1 atau terjadi epidemi penyakit. Ini berarti bahwa penyakit tidak akan hilang saat R 1. Selanjutnya, untuk mengilustrasi model tersebut maka dilakukan simulasi model dengan menggunakan program Maple. vii

8 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... PERNYATAAN... PENGESAHAN... MOTTO DAN PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vii viii xi xii xiii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Sistematika Penyusunan... 5 BAB Landasan Teori Persamaan Diferensial Solusi Persamaan Diferensial... 8 viii

9 .3 Persamaan Diferensial Linear dan tak Linear Persamaan Diferensial Linear homogen dan tak Homogen Order Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Order Satu Persamaan Diferensial Eksak Faktor Integrasi Persamaan Diferensial Order Dua Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen dengan Koefisien konstanta Persamaan Diferensial Chauchy Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen dan Metode Koefisien Tak Tentu Metode Variasi Parameter Persamaan Diferensial Order Tinggi Persamaan Diferensial Linear Order Tinggi Persamaan Diferensial Linear Tak Homogen Order Tinggi Sistem Persamaan Diferensial Model Epidemi SIR Klasik Penyakit Flu Burung Etimologi Gejala dan tanda Pengobatan dan Pencegahan Titik Kesetimbangan (Ekuilibrium) ix

10 .1 Nilai Eigen dan Vektor eigen Kriteria Routh- Hurwitz Maple BAB 3 METODE PENELITIAN Menentukan Masalah Merumuskan Masalah Studi Pustaka Analisis dan Pemecahan Masalah Penarikan Kesimpulan BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika untuk Penyebaran Penyakit Flu Burung dari Unggas ke Manusia Fakta-fakta flu burung Asumsi-Asumsi Pembentukan Model Matematika Titik Kesetimbangan Analisis Kestabilan Simulasi Model... 9 BAB 5 PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA... 1 LAMPIRAN x

11 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1 Diagram Transfer Model SIR Klasik... 5 Gambar 4.1 Diagram Transfer Model Penyebaran Flu Burung Gambar 4. Grafik st dan it terhadap t untuk titik ekuilibrium bebas penyakit... 9 Gambar 4.3 Grafik rt dan i t terhadap t untuk titik ekuilibrium bebas penyakit Gambar 4.4 Grafik st dan it terhadap t untuk titik ekuilibrium endemik Gambar 4.5 Grafik rt dan i t terhadap t untuk titik ekuilibrium endemik xi

12 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Daftar Variabel-variabel Tabel 4. Daftar Parameter-parameter Tabel 4.3 Nilai Parameter untuk Simulasi Model Bebas Penyakit Tabel 4.4 Nilai Parameter untuk Simulasi Model Endemik xii

13 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Print Out Maple 13 untuk kasus bebas penyakit Lampiran. Print Out Maple 13 untuk kasus Endemik xiii

14 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Merebaknya penyebaran flu burung di muka bumi ini membuat kita perlu waspada terhadap ancaman penyakit yang mematikan itu. Avian influenza (avian flu, bird flu, bird influenza) atau di Indonesia lebih dikenal dengan nama flu burung adalah penyakit yang menyerang unggas yang disebabkan oleh virus influenza. Pada awalnya virus avian influenza tidak dapat menular. Namun, sifat virus yang labil dan mudah bermutasi menyebabkan virus itu dapat menginfeksi spesies lain. Virus avian influenza merupakan salah satu virus influenza tipe A. Diketahui bahwa ada 3 tipe virus influenza yakni virus influenza tipe A, B, dan C, tapi hanya virus influenza tipe A sajalah yang dapat menyebabkan terjadinya wabah (Aditama, 4). Avian influenza tidak dapat diobati, pemberian antibiotik dan antibakteri hanya untuk mengobati infeksi sekunder oleh bakteri atau mycoplasma. Pengobatan sportif dengan multivitamin perlu juga dilakukan untuk proses rehabilitasi jaringan yang rusak (Tabbu, ). Tindakan pencegahan lain yang dapat dilakukan meliputi: 1. Mencegah kontak antara unggas dengan burung liar atau unggas liar.. Pemusnahan unggas di daerah yang tertular flu burung.

15 3. Pengendalian limbah peternakan unggas 4. Pengisian kandang kembali atau peremajaan unggas baru 5. Pembersihan kandang secara rutin dengan desinfektan 6. Penempatan satu umur dalam peternakan unggas. 7. Penyemprotan dengan desinfektan terhadap kandang sebelum pemasukan unggas baru. 8. Penerapan stamping out atau pemusnahan menyeluruh di daerah tertular baru dalam menangani wabah HPAI (Human Pathogenic Avian Influenza) untuk menghindari resiko terjadinya penularan kepada manusia, karena bersifat zoonosis, 9. Peningkatan kesadaran masyarakat, serta monitoring dan evaluasi. (Rahardjo, 4) Model matematika mengenai penyebaran penyakit (model epidemi) adalah metode yang tepat untuk mempresentasikan pola penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia. Macam dari model epidemi sangat banyak diantaranya: MSEIR, MSEIRS, SIR, SIRS, SEI, SEIS, SEIR, SI, SIS, dst. (Hethcote, ). Dari sekian banyak model matematika, yang dipakai oleh Derouich dan Boutayeb (8) dalam kasus flu burung adalah model epidemi SIRSI yang kemudian disederhanakan menjadi model siri. Dari model yang telah terbentuk itu perlu untuk dianalisis kestabilan modelnya. Sebelumnya kita harus mencari terlebih dahulu titik-titik kesetimbangan model siri kemudian ditentukan bilangan reproduksi dasar R, membentuk matriks jacobian, membentuk polinomial karakteristik yang memuat nilai

16 3 eigen. Dari nilai-nilai eigen itulah bisa diketahui stabil tidaknya masingmasing titik kesetimbang. Untuk mempermudah penulis dalam mensimulasikan model penyebaran penyakit flu burung, dibutuhkan alat berupa software atau perangkat lunak yang nantinya bisa mempresentasikan model dengan baik secara visual. Salah satu software terkenal yang sering dipakai dalam pemodelan adalah Maple. Kelebihan dari maple adalah bahasa yang digunakan relatif lebih mudah dibanding software lain. Itulah alasan mengapa penulis memilih Maple untuk simulasi model penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia. Berdasarkan latar belakang di atas, penulis tertarik membuat skripsi dengan judul MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN FLU BURUNG DARI UNGGAS KE MANUSIA. 1. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang dikemukan di atas, maka yang akan menjadi rumusan permasalahannya adalah: (1) Bagaimana model matematika untuk penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia? () Bagaimana proses dari analisis kestabilan dari model matematika yang disusun? (3) Bagaimana penggunaan progam maple untuk membantu menyelesaikan model matematika tersebut?

17 4 1.3 Batasan Masalah Pada penulisan ini, permasalahan terbatas pada penyebaran penyakit flu burung yang menyerang pada kelompok individu manusia dan unggas. Penularan penyakit terjadi apabila terjadi kontak langsung antara unggas sehat dengan unngas sakit dan manusia sehat dengan unggas sakit. Penyakit tidak ditularkan melalui kontak antara manusia sehat dengan manusia sakit. 1.4 Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini meliputi: (1) Mengetahui model matematika untuk penyebaran penyakit flu burung. () Mengetahui analisis kestabilan dari model matematika yang disusun. (3) Mengetahui penggunaan progam maple untuk membantu menyelesaikan model matematika tersebut. 1.5 Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dari hasil penulisan ini adalah sebagai berikut. (1) Bagi Penulis Sebagai sarana untuk memperdalam pengetahuan mengenai pemodelan matematika khususnya mengenai flu burung sekaligus sebagai sarana untuk memenuhi syarat kelulusan program studi Matematika, S1 FMIPA Unnes. () Bagi Mahasiswa Matematika

18 5 Sebagai referensi untuk menambah wawasan mengenai pemodelan matematika khususnya model penyebaran penyakit flu burung. (3) Bagi Pembaca Sebagai wacana dan pengetahuan tentang model epidemi dalam kasus penyebaran penyakit flu burung dari unggas. 1.6 Sistematika Penulisan Penulis skripsi disusun dalam tiga bagian utama, yaitu bagian awal, bagian inti, dan bagian akhir skripsi Bagian Awal Dalam penulisan skripsi ini, bagian awal berisi halaman judul, pernyataan, pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, abstrak, daftar isi, daftar gambar, daftar tabel, dan daftar lampiran Bagian Inti bab, yaitu: Bagian inti dari penulisan skripsi ini adalah isi skripsi yang terdiri dari lima BAB 1 : PENDAHULUAN Berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, sistematika penulisan. BAB : LANDASAN TEORI

19 6 Berisi tentang tinjauan pustaka yang meliputi persamaan differensial, sistem persamaan differensial, model epidemi SIR klasik, penyakit flu burung, titik kesetimbangan (ekuilibrium), nilai eigen dan vaktor eigen, kriteria routhhurwitz, maple. BAB 3 : METODE PENELITIAN Memuat prosedur atau langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka analisis dan pemecahan masalah, penarikan simpulan. BAB 4 : HASIL DAN PEMBAHASAN Berisi tentang konstruksi model matematika untuk penyebaran penyakit flu burung, titik kesetimbangan, analisis kestabilan, hasil simulasi model dengan software Maple. BAB 5 : PENUTUP Berisi kesimpulan dari penulisan skripsi ini dan saran Bagian Akhir Berisi daftar pustaka yang digunakan oleh penulis sebagai acuan penulisan yang didalamnya terdapat informasi tentang buku dan literatur lain yang digunakan dalam skripsi ini serta lampiran yang mendukung

20 BAB LANDASAN TEORI.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih yang berisi nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Selain itu, persamaan diferensial juga didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan fungsi yang tak diketahui (Waluya, 6: 1). Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan variabel bebas dibagi menjadi. Kasus pertama dimana fungsi tergantung pada satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa sedangkan kasus kedua dengan fungsi yang tergantung pada beberapa variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. (Waluya, 6).dengan kata lain persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang mengandung turunan parsial dari variabel tak bebas terhadap dua variabel bebas atau lebih. Contoh : dx 1. 5x e. d x dx 6x 3. dx dy x y 4. t, ux, y u x y x y

21 8 5.,,, u x y u x y u x y x t t Untuk contoh 1,, 3 termasuk persamaan diferensial biasa sedangkan contoh 4 dan 5 merupakan persamaan diferensial parsial.. Solusi Persamaan Diferensial Definisi.1 Diberikan persamaan diferensial dx f t, x (.1) Dimana f adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Sebarang fungsi terturunkan x t yang memenuhi persamaan ini untuk semua t dalam suatu interval disebut solusi.(waluya, 6).3 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Klasifikasi persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear Definisi. Diberikan persamaan diferensial biasa n F t, y, y,..., y, F dikatakan linear dalam variabel y, y,..., y n. Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa order n diberikan dengan

22 9 n n n a t y a t y a t y g t Persamaan yang tidak dalam bentuk tersebut merupakan persamaan tak linear. (Waluya, 6)..4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dan Tak Homogen Definisi.3 Persamaan diferensial linear (PDL) x a t x g t (.) Dengan at dan gt adalah fungsi dari waktu t. Pada saat a t a dengan a adalah konstanta, maka at disebut koefisen dari PDL. Jika gt maka persamaan (.4) disebut PDL Homogen dan jika gt, disebut PDL tak homogen. (Farlow,1994).5 Order Persamaan Diferensial Definisi.4 Order dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Secara umum persamaan diferensial berorder n dapat dituliskan sebagai n F t u t u t ',,..., Persamaan di atas menyatakan relasi antara variabel bebas dan nilai-nilai dari fungsi n ' u t,..., u t. (Waluya, 6:4).

23 1 ' Untuk lebih kita tulis untuk ut, untuk u t dan seterusnya. Jadi persamaan dapat ditulis sebagai F t y n ',,..., y Contoh: y 3y y 1 ( persamaan diferensial order empat) 3 y y y y ( persamaan diferensial order tiga) y 4( persamaan diferensial order dua).5.1 Persamaan Diferensial Biasa Order Satu Diberikan bentuk persamaan diferensial biasa dx f t, x Dimana f adalah fungsi dalam dua variabel, sembarang fungsi terturunkan x t yang memenuhi persamaan itu untuk semua t disebut solusi persamaan diferensial biasa order satu. Contoh: Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut ini: 1.. x t t x t t 4t Penyelesaian:

24 11 1. Jelas x t t x 3t 6t x t t 5t c x t 3t 5t c Jadi solusi umum untuk 3 x 3t 6t 5 adalah x t 3t 5t c. Jelas x t t 4t x t t 4t x t t t c Jadi solusi untuk 1 adalah 5 4 x t t 4t x t t t c Persamaan differensial eksak Definisi.5 Persamaan diferensial order satu berbentuk M x, t N x, t dx, (.3) Persamaan (.3) disebut persamaan eksak apabila, f x t C sehingga,,, df x t M x t N x t dx (.4) Dari definisi dan hubungan (.3) terlihat bahwa df x, t.

25 1 Dengan mengintegralkan ini diperoleh solusi umum persamaan diferensial (PD) yaitu, f x t C. Selanjutnya dari definisi total, terlihat bahwa df M x, t dan N x, t df dx (.5) Jika M dan N memiliki turunan parsial yang kontinu dibidang tx maka dm dx f x t dan dn dx f (.6) t x Jika f memiliki turunan parsial kedua yang kontinu maka M x N t (.7) Syarat (.7) persamaan diferensial (.3) dikatakan eksak. Juga syarat cukup, sehingga hubungan (.3) dapat dipergunakan untuk menentukan f x, t C yang merupakan solusi umum untuk PD (.3).(Supriyono, 1: 14) Contoh: Tinjau PD t dx x! x Penyelesaian: M N Disini 1, 1 x t sehingga M x N t Maka PD t dx x merupakan PD eksak. x

26 13 Untuk menentukan solusi umum akan dicari f x, t C sehingga hubungan df df dx berlaku. M x, t dan N x, t Solusi untuk t dx x x adalah df M x, t x sehingga Jelas f x, t x g ' x, f x t xt g x df x sehingga Disisi lain M x, t df t dx x Jelas N x, t df x g ' x dx Diperoleh g' x x Jelas g ' x x g x ln x C Jadi solusi umum f x, t xt ln x C.

27 Faktor Integrasi Definisi.6 Misalkan PD : M x t, N x, t dx tidak eksak. Fungsi xt, sehingga x t M x t xt, disebut faktor integrasi.,, x, t N x, t dx PD eksak, Perhatikan langkah untuk menentukan faktor integrasi pada M x, t N x, t dx yang tidak eksak menjadi eksak yaitu x t M x t,, x, t N x, t dx. Karena x t M x t,, x, t N x, t dx PD eksak diperoleh M N x t M N atau M N x x t t M N N M t x x t 1 M N N M t x x t diperoleh fakta, 1 M N N M t x x t (*) sekarang kita tinjau beberapa kasus.

28 15 a) Misalkan t, maka x Jika, maka 1 N M M N x t x x t 1 M N N t x t 1 M N N t x t M N 1 x t t N (**) Bila M N x t suatu fungsi dari t, sehingga N M N x t gt, maka (**) g t N 1 t atau g t Sehingga g t ln g t e g t Diperoleh faktor integrasi e Contoh: Perhatikan PD: g t x xt t dx tidak eksak.

29 16 Dari PD di atas kita dapatkan M x, t dan N x, t xt t M x 1 x N xt 1sehingga t M N x t 1xt 1 N xt t xt xt t xt t xt 1 xt 1 t xt 1 t gt Jadi faktor integrasi pada PD di atas adalah g t t ln t ln t e e e e Sehingga 1 x x. b) Misalkan x, maka t sehingga 1 M N N M t x x t 1 M N M x x t M x M N x t

30 17 M N x t x M M N x t x M Jika fungsi M N x t g x M suatu fungsi dari x, maka Jelas g x x ln g x x e g x x Jadi g x x e adalah faktor integrasi untuk kasus x. Contoh: xt x 3t dx. Dipunyai PD Tentukan faktor integrasinya! Penyelesaian: Jelas M x t M t x, xt, 3 N x t x t N t 6t

31 18 Sehingga M N x t t 6t M xt M N x t M 8t xt M N x t 4 g x M x Jadi faktor integrasi untuk PD di atas adalah c) Misalkan xt, Dengan substitusi y xt diperoleh y. x x dan t y t y t y y. t t x y x y x y 4 dx x 4 ln x e e 1 4 x Sehingga 1 N M M N t x x t diperoleh 1 M N xn tm y y x t 1 xn tm M N y x t M N 1 x t y xn tm

32 19 M N Disimpulkan jika x t h y, y xt, xn tm maka faktor integrasi adalah ln h y dy e. Contoh: Dipunyai PD x t t 3 x 4 dx 3. Tentukan faktor integrasinya! Penyelesaian: Jelas M x, t M 1 x x 3 4, 3 N x t t t x N t 1 9tx 4 M x N t 4 Sehingga 1 1 9tx 4 9t x 3 5 xn tm xt 3t x xt 3 5 3t x Jadi M N x t 9tx xn tm 3t x xt 3 g y y

33 Jadi faktor integrasi PD di atas adalah 3 g ydy dy 3ln y 3 y ln y 3 e e e e y 1 y 3 Jadi 1 1 y 3 xt 3 Berikut ini contoh penerapan faktor integrasi untuk mencari solusi umum PD order satu. Contoh: Tentukan solusi dari persamaan diferensial biasa linear order satu dari dx x t Penyelesaian: Dari dx x t g t dan diperoleh 1 q t t Diperoleh faktor integralnya 1 e e e p t t Selanjutnya kedua ruas kita kalikan dengan diperoleh dx t t e x e t dx t t t e e x e t t d e x t e t t t e x e t t t t e x e t e e t c x t t t t e x e t e c 1 t e x t 1 c 1

34 1 Jadi dari dx x t diperoleh solusi x t 1 c1 dengan c 1 suatu kontanta..5. Persamaan Diferensial Biasa Order Dua.5..1 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen dengan Koefisien Konstanta Perhatikan PD linear order dua homogen dengan koefisien konstanta yang berbentuk x bx cx (.8) Dimana b dan c merupakan konstanta. Dengan demikian persamaan diferensial order dua homogen bisa ditulis Ambil x e t, dan agar x e t solusi PD (.8). Dari x e t diperoleh x e t dan x t e Disubstitusikan ke PD (.8) menjadi t t t e be ce t e b c t Karena e x dan maka b c (.9) Persamaan (.9) disebut persamaan karakteristik dari (.8), dan akar-akar (.9) disebut akar-akar karakteristik (.8) Ada 3 kemungkinan akar- akar dari b c

35 a) Akar real berbeda Bila 1 dan adalah dua akar real yang berbeda, maka 1 e t dan e t adalah solusi yang bebas linear. Jadi, solusi umum PD (.8) adalah 1t t x t Ae Be. Syarat akar real berbeda adalah D dengan kata lain b 4c. Contoh: Tentukan solusi umum dari PD x 5x 6x! Penyelesaian: Dari dari PD x 5x 6x diperoleh persamaan karakteristik atau 3 Jadi solusi umum PD di atas adalah X t Ae t Be t b) Dua akar sama Misalkan kedua akar dari persamaan karakteristik (.9) bernilai sama yakni 1 k maka X t e 1 X w t X t adalah solusi lainnya, maka 1 kt adalah salah satu solusi PD (.8). Bila

36 3 1 pt w t e karena kt 1 k adalah akar-akar pesamaan e a b c t maka 1 k p. Diperoleh Jelas 1 pt w t e kt e 1 k kt w t e e w t e e kt kt 1. w t t Jadi wt t sehingga didapatkan X tx t te kt 1. Jadi solusi umum untuk (.8) adalah kt kt X Ae Bte. Syarat akar-akar real sama adalah D dengan kata lain b 4c. Contoh: Tentukan solusi umum PD x 4x 4x! Penyelesaian: Dari PD x 4x 4x diperoleh persamaan karakteristik 4 4

37 4 1 1 Jadi solusi umum PD x 4x 4x adalah X Ae Bte t t c) Akar kompleks Misalkan salah satu akar (.9) adalah 1 i maka akar yang lainnya adalah i. Karena, maka 1t it X1 e e dan t it X e e Jadi solusi umum untuk PD (.9) adalah it it X C e C e. 1 X C e e C e e t ti t ti 1 t cos sin cos sin X C e t i t C e t i t t 1 X C e cos t C e isin t C e cos t C e isin t t t t t 1 1 X C e cos t C e cos t C e isin t C e isin t t t t t 1 1 t cos t X C C e t C i C i e sin t 1 1 Ambil A C1 C dan B C1i Ci sehingga didapatkan t t X Ae cos t Be sin t. Syarat akar-akar kompleks berbeda adalah D dengan kata lain b 4c. Contoh: Tentukan solusi umum PD x x x!

38 5 Penyelesaian: Didapatkan persamaan karakteristik dari PD di atas yaitu dengan akar-akarnya 1 1 i dan 1i sehingga 1 dan 1. t t Jadi solusi umum PD di atas adalah X Ae cos t Be sin t..5.. Persamaan Diferensial Chauchy PD linear order dua homogen yang berbentuk (.1) t x mtx nx Dimana m dan n di konstanta-konstanta disebut PD Chauchy atau PD Euler order dua.misalkan x t, t dan kita akan mencari agar x t solusi PD (.1). Dari x t diperoleh dan x 1 t x 1 t, kemudian disubstitusikan ke (.1), diperoleh Jelas 1 t t mt t n t 1 1 t mt nt m n t m n t 1 Karena t diperoleh m1 n (.11)

39 6 Disebut persamaan pembantu PD (.1). Ada 3 kemungkinan akar-akar persamaan t x mtx nx a) Akar Real Berbeda 1 Bila 1 dan adalah dua akar real yang berbeda, maka x t dan x t 1 adalah solusi yang bebas linear. Jadi solusi umum PD adalah x At Bt Contoh: Tentukan solusi PD 4 4! t x tx x Penyelesaian: Dari 4 4 diperoleh m 4 dan n 4, sehingga diperoleh t x tx x persamaan pembantu atau 1 Jadi, solusi PD 4 4 adalah t x tx x A t 4 x At Bt Bt 4 b) Dua akar sama Misalkan kedua akar dari persamaan karakteristik (.1) bernilai sama yakni 1

40 7 Jelas x1 t adalah salah satu solusi PD (.1), solusi lainnya dapat ditentukan dengan mencari x w t X t 1 wt, yaitu w t 1 t e mt t 1 t e m t 1 mln t e t 1 m lnt e t 1 m t t t m Karena 1 maka m 1 1 m 1. w t t ln t. 1 Jadi, m m m 1 1 dan Sehingga x ln t. t t ln t. Jadi solusi PD di atas adalah x At Bt ln t x t A Bln t, t. atau Khusus untuk t t t x t A Bln t, t., maka solusi umum adalah

41 8 Contoh: Tentukan solusi umum PD,! t x tx x t Penyelesaian: Dari PD di atas diperoleh m 1 dan n 1 sehingga diperoleh persamaan pembantu atau 1 x t A Bln t, t. Jadi solusi umum PD di atas adalah a) Akar kompleks Misalkan salah satu akar (.9) adalah 1 i maka akar yang lainnya 1t i adalah i. Karena, maka x t t dan x t t 1 i i i Jadi solusi umum untuk PD (.9) adalah x C1t Ct. i i lnt i lnt Disisi lain t e e cos lnt isin lnt dan i t cos lnt isin lnt. i Diperoleh x C1t Ct i cos ln sin ln cos ln sin ln C t t i t C t t i t 1

42 9 t C 1 cos lnt C1i sin lnt C cos lnt Ci sin lnt cos ln sin ln t C1 C t C1i Ci t Ambil A C C dan B C i C i 1. 1 Jadi x t Acos lnt Bsin lnt. Contoh: Tentukan solusi umum PD,! t x tx x t Penyelesaian; Dari PD di atas diperoleh persamaan pembantu i i i 1 i Sehingga i1 i Jadi solusi umum PD di atas adalah x t Acos lnt Bsin lnt.5..3 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen dan Metode Koefisien Tak Tentu Tinjau persamaan diferensial linear order dua tak homogen a t x b t x c t g t (.1)

43 3 Dimana gt. Solusi umum untuk persamaan diferensial order dua tak homogen dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut, 1t t t x t xt c e 1t t c e xt, dimana x t c e c e h 1 h adalah 1 solusi yang berbasis pada persamaan diferensial order dua homogen sedangkan xt merupakan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial order dua tak homogen. (waluya, 6). Untuk mencari xt kita harus menebaknya sesuai dengan permasalahan. Berikut ini aturan tebakan yang bisa dipakai untuk mencari solusi khusus xt : t 1. Jika g t e t, maka fungsi tebakannya x t Ae. Jika g t sin t atau g t cos t p cos sin x t A t B t p. maka fungsi tebakan n n 3. Jika g t a t... a t a t a maka... t 4. Jika g t t e n 1 maka p 1 t x t A t At A e t 5. Jika g t e cos t atau g t e t sin t p t cos sin x t e A t B t x t A t A t At A p n 1 maka fungsi tebakan 6. Jika g t g t g t, x t tebakan untuk g t dan x 1 g t, maka xp t x1t xt (Waluya, 6: 58 ) 1 1 t tebakan untuk

44 31 Contoh: Tentukan solusi persamaan diferensial order dua linear homogen dan tak homogen berikut ini: 1.. d x dx 3 x t 4 d x dx 3x 5e t d x dx 6x t 3 e t d y 4y sin 3x dx Penyelesaian : 1. PD homogen dari d x dx 3 x t 4 adalah d x dx 3 x sehingga diperoleh persamaan karakteristik 3 1. Diperoleh akar-akar karakteristik 1 1 dan t Jadi solusi homogennya x t Ae Be h t. Solusi p x diandaikan x A At A t p 1 dan dengan menurunkan p x diperoleh x p A1 At dan x p A. Kemudian disubstitusikan pada PD A 3 A A t A At A t t 4 diperoleh 1 1 d x dx 3 x t 4

45 3 A 3A 6A t A At A t t A A A A A t A t t Didapatkan A 3A1 A 4, 6A A1 dan A 1. 1 A 1 A 6A A 1 3 A A 3 A 3 A 3A A A A A 15 A 4 Jadi x t t 4 p. Jadi solusi umum PD d x dx 3 x t 4 adalah t t t x x Ae Be t t h p

46 33. Dari persamaan diferensial homogen d x dx 3x dapat diperoleh: Persamaan karakteristik Diperoleh akar-akarnya 1 3 dan 1. Jadi solusi homogen untuk d x dx 3x 3t t adalah x t Ae Be h. Selanjutnya tinggal kita cari solusi khusus dari d x dx 3 5 t 3 x e. Misalkan 3t x t Ae sehingga diperoleh turunan pertama dan kedua yang p masing-masing adalah 3t x p 3Ae dan 3t xp 9Ae. Kemudian kita substitusikan ke soal menjadi 3 x x 3x 5e t p p p 9Ae 3Ae 3 Ae 5e 3t 3t 3t 3t 9Ae 6Ae 3Ae 5e 3t 3t 3t 3t 1Ae 5e 3t 3t 1A 5 5 A 1 Sehingga diperoleh solusi khusus xp 5 e 1 3t

47 34 Jadi solusi umum untuk d x dx 3x 5e t adalah 5 h. 1 3t t 3t t x t x t Ae Be e d x dx 6x t 3 e t adalah 3. PD homogen dari d x dx 6x Diperoleh persamaan karakteristik 6 3, Diperoleh akar-akarnya 1 dan 3. Jadi solusi homogen untuk d x dx 6x t 3t adalah x t Ae Be. Untuk solusi khusus dari h d x dx 6 3 t x t e, kita andaikan x A At e t p 1. Dengan menurunkan x p diperoleh p x A At e A e A A At e dan p t t t x A A At e A e A A At e t t t Kemudian substitusikan x p, x p dan p d x dx 6x t 3 e t x pada PD Didapatkan A A At e A A At e 6 A At e t 3 e t t t t t A A At e t e 1 1 t

48 35 1 Diperoleh 4A 3A1 3 dan 4A1 1 A1, sehingga 4 1 4A A A 16 Jadi xp 15 1 t e 16 4 t d x dx 6x t 3 e t adalah Jadi solusi umum PD t t t t xh t xp t Ae Be t e Pertama kita cari dulu bentuk homogen dari dx 4x sin 3t yaitu d x 4x. Dari d x 4x diperoleh persamaan karakteristik 4. Dari perasamaan karakteristik 4 diperoleh 4. Sehingga diperoleh akar-akar karakteristik 1, i Dengan demikian diperoleh solusi homogen yaitu x Ae Be it it h.

49 36 it it Disisi lain Ae Acost i sin t sedangkan Be Bcost i sin t Sehingga x Acost i sin t Bcost i sin t h x Acost Ai sin t B cost Bi sin t h x Acost B cost Ai sin t Bi sin t h x A B cost Ai Bi sin t h Misalkan c1 A B dan c Ai Bi sehingga diperoleh solusi homogen 1 x t c cost c sin t. Selanjutnya untuk mencari solusi khususnya kita h tebak solusi khususnya dengan cos3 sin3 didapatkan turunan kedua 9 cos3 9 sin3 p x t A t B t, sehingga x t A t B t p Selanjutnya kita substitusikan menjadi x 4x sin3t p p 9A cos3t 9B sin 3t 4 Acos3t B sin 3t sin 3t 9Acos3t 4Acos3t 9Bsin3t 4Bsin3t sin3t 5Acos3t 5Bsin3t sin3t Diperoleh 5A A dan 5B B 5 Jadi solusi khusus untuk dx 4x sin 3t adalah X t sin3 t. 5

50 37 Jadi solusi umum untuk dx 4x sin 3t adalah t xh t xt c1cost csint sin3t Metode Variasi Parameter Sebelumnya kita melihat bahwa solusi khusus PD linear order dua tak homogen dengan koefisien konstanta dapat ditentukan apabila gt memiliki t bentuk khusus yaitu g t pt atau g t pte t cos sin dimana g t e p t t q t t atau bentuk lain yaitu p t polinomial berderajat n dan maksimum dari derajat pt dan qt adalah n. Sekarang sebagaimana menentukan solusi khusus dan solusi umum PD x a t x b t x g t (.1) Dimana at, btfungsi-fungsi dari t dan bentuk gt sebarang. Bila solusi komplementer dapat ditentukan, maka solusi khusus PD (.1) Dapat dicari dengan menggunakan metode variasi parameter. Caranya seperti berikut: Misalkan solusi umum PD(.1) adalah x Ax Bx (.13) k 1

51 38 Sekarang kita akan menentukan fungsi-fungsi At, dan Bt sehingga k x A t x B t x (.14) 1 Solusi khusus PD (.1) dari (.14) diperoleh x A t x t A t x t B t x t B t x t 1 1 A t x t B t x t A t x t B t x t 1 1 Kita memiliki fungsi-fungsi At, dan Bt sehingga A t x t B t x t (.15) 1 Maka x A t x t B t x t (.16) 1 Dari (.16) diperoleh x A t x t A t x t B t x t B t x t (.17) 1 1 Dengan substitusi (.14), (.16), dan (.17) dalam (.1) diperoleh A t x t a t x t b t x B t x t a t x t b t x A t x t B t x t g t (.18) 1 Karena x 1 dan x solusi PD (.1) adalah nol, sehingga (.18) menjadi A t x t B t x t g t (.19) 1

52 39 Dengan menggabungkan (.15) dan (.19) diperoleh dua persamaan dalam A t B t A t x1t B t xt A t x1 t B t x t g t Kedua persamaan ini memberikan solusi x t g t At W x, x dan B t 1 x t g t W x, x 1 (.) 1 1 Dimana W x, x dengan 1 x x x x 1 W x, x karena x 1 dan x bebas linear. 1 Dari (.) diperoleh x t g t dan Bt W x, x At 1 x t g t 1 (.1) W x, x 1 Jadi 1 1 W x1, x W x1, x x t g t x t g t x x t x t (.) adalah solusi khusus PD (.1). Contoh: Tentukan suatu solusi khusus PD x x csct! Penyelesaian: Solusi komplementer untuk PD di atas yaitu x Asin t Bcos t.

53 4 Jadi x1 sin t, x cost sin t cost W x1, x sin t cos t 1 cost sin t dan Dari rumus (.1) diperoleh x t g t cos t.csct cos t W x, x 1 sin t dan A t ln sin t 1 x t g t sin t.csct W x, x 1 1 B t t 1 Jadi x Asin t Bcos t sin t ln sin t t cos t adalah solusi khusus dari PD x x csct..5.3 Persamaan Diferensial Order Tinggi Persamaan Diferensial Linear Order Tinggi Persamaan diferensial order satu dan dua telah dibahas dalam pembahasan sebelumnya, sekarang saatnya membahas PD order tinggi. PD n dengan n 3 biasa disebut PD order tinggi adalah PD. PD n yang berbentuk n,,,..., f t x x x g t (.3) disebut PD order n. Bila f linear dalam x, x,..., x n, maka PD (.3) disebut PD linear order n dan apabila gt disebut PD linear order n homogen.

54 41 Jadi secara umum bentuk PD linear order n adalah n n1 a t x a1 t x... an t x g t (.4) Contoh: Tentukan apakah PD order tinggi dibawah ini, linear atau tidak! Beri alasan! tx t 1 tx x tx x sin t t x t 1 Penyelesaian: tx t tx x 1 3 merupakan PD order 3 tetapi tak linear karena munculnya x pada PD tersebut sin 1 merupakan order 3 linear dengan tx x t t x t a t t, t, a t dan a t t a1 t sin Contoh: 3. Tentukan apakah PD dibawah ini homogen atau tidak! Beri alasan! x tx x t t t sin, t x t x xt Penyelesaian: x tx x t t t sin, adalah PD linear order 4 tak homogen karena gt

55 4. adalah PD order 3 homogen karena gt t x t x xt PD (.4) disebut PD linear order n dengan koefisien konstanta apabila a t, i,1,..., n adalah konstanta. PD (.4) disebut PD linear order n i homogen dengan koefisien konstanta apabila a t, i,1,..., n adalah konstanta dan gt, dan disebut PD linear order n tal homogen dengan koefisien konstanta apabila semua a t, i,1,..., n i i adalah konstanta dan g t. Contoh: 1. 5 x x x 3 4 adalah PD linear homogen order 5 dengan koefisien konstanta x x x x x 3 8 1, 1 adalah PD linear tak homogen order 4 dengan koefisien konstanta, karena x t x x x x x 6 4, adalah bukan PD linear dengan konstanta karena t bukan merupakan konstanta. Tinjau PD linear order n homogen n n1 a t x a1 t x... an t x (.5) Didefinisikan operator L sebagai berikut: n n1 d d L at a1t... a n n 1 n t (.6) dx dx Operator L adalah operator diferensial, oleh sebab itu PD (.5) dapat ditulis sebagai Lx.

56 43 Definisi.7 Fungsi x xt disebut solusi PD (.5) pada selang I apabila L x pada selang I. Bila dan x x t x x t 1 merupakan solusi PD (.5) pada selang I maka dapat diperlihatkan L x1 x,, R.(Supriyono,1:7) Solusi umum untuk PD (.5) adalah solusi yang memuat konstantakonstanta sehingga setiap solusi dapat diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta-konstanta yang sesuai. Jika x1, x,..., x n adalah n solusi PD (.5) yang bebas linear pada selang I, maka x C1x 1 Cx... Cnxn adalah solusi umum PD (.5) pada selang I, sehingga untuk mentukan solusi umum PD (.5) cukup dicari n buah solusi yang bebas linear. Contoh: Tentukan solusi umum PD 3 x x x! Penyelesaian: 3 t x x x memiliki tiga solusi masing-masing x1 e, x e t, x t 3 e yang bebas linear karena 1 3 t W x, x, x 6e, t sehingga diperoleh solusi x Ae Be Ce t t t. Jadi solusi untuk PD 3 x x x adalah x Ae Be Ce t t t. Menentukan solusi PD linear dengan koefisien konstanta

57 44 Tinjau PD linear order n n n1 x a1 x... anx (.7) Dimana a,..., 1 a n merupakan konstanta. Akan ditentukan sehingga x e t solusi PD (.7). Dengan substitusi x e t 1 dalam PD (.7) diperoleh n a1 n... a t n e t karena e maka n n 1 a1... a n (.8) Persamaan (.8) disebut persamaan karakteristik PD (.7). Contoh: Tentukan solusi umum PD 5 x x x 3 4! Penyelesaian: PD 5 x x x 3 4 mempunyai persamaan karakteristik Akar-akar karakteristiknya 1, 1,, 4 i, 5 i. 3 1 Bentuk umum solusi PD (.7) tergantung dari macam-macam akar karakteristik dan dapat diperinci sebagai berikut. a) Akar-akar real yang berlainan 1,,..., k memberikan fungsi-fungsi x e, x e, x e, x e sebagai solusi-solusi diantara solusi basis. 1t t 3 t 4t 1 3 4

58 45 b) Akar real yang kelipatan k memberikan solusi x1 e t, x te t,..., k 1 t xk t e yang bebas linear sebagai anggota-anggota solusi basis. c) Akar kompleks i yang berkelipatan k memberikan solusi-solusi t t t k1 t x11 e cos t, x1 e sin t, x1 te cos t,..., xk1 t e cos t dan x t e t. k1 t k sin Contoh: 1. PD 3 3 mempunyai persamaan karakteristik 4 3 x x x x Akar-akar karakteristiknya adalah, 1berkelipatan 3. Akar memberikan solusi x t 1 e 1 dan akar 1berkelipatan 3 memberikan solusi x e, x te, x t e. Jadi solusi umum PD tersebut adalah t t t 3 4 x C C e C te C t e. t t t PD x 3 4x memiliki persamaan karakteristik dengan akar-akar karakteristik 1, i dan i. Akar 1 memberikan solusi x t 1 e 1 dan akar-akar i dan i masing-masing memberikan solusi x cos t, x sint. Jadi solusi umum PD tersebut adalah 3 x C C cost C sin t 1 3

59 Persamaan Diferensial Linear Tak Homogen Order Tinggi Tinjau persamaan diferensial linear order n tak homogen n n1 a t x a1 t x... an t x g t (.9) Dan persamaan diferensial linear order n homogen n n1 a t x a1 t x... an t x (.3) Kaitan antara solusi umum persamaan diferensial tak homogen (.9) dengan solusi umum PD homogen (.3) pada order n serupa dengan PD order dua. Contoh: Tentukan solusi umum PD di bawah 4 3 x x t! Penyelesaian: PD 4 3 x x t memiliki persamaan karakteristik homogen Akar-akar persamaan adalah 1 dan berkelipatan 3. Jadi solusi homogennya x C e C C t C t. Karena h t berkelipatan 3 dan g t t polinom berderajat maka solusi khusus diandaikan x A t At A t, sehingga turunannya diperoleh p

60 47 3 x 3A t 4At 5A t, x 6A t 1At A t, x 6A 4At 6A t p p 1 3 p 1 4, x 4A 1A t p 1 Disubstikan turunannya dengan PD tersebut diperoleh Jelas p x x A A t A At A t t 4 3 p 4A 6A 1 A 4A t 6A t t Didapatkan 6A 1 A, 6 1 1A 4A1 4A1 A1,dan 1 1 4A1 6A 6A A 3 Diperoleh solusi khusus t t t xp dan solusi umum t t t t x C1e C C3t C4t Jadi solusi umum PD di atas adalah t t t t x C1e C C3t C4t Sistem Persamaan Diferensial Definisi.8 Misalkan suatu sistem diferensial biasa dinyatakan dalam bentuk sebagai n x Ax b; x x, x R (.31)

61 48 Dengan A adalah matriks koefisien konstan berukuran n n dan b adalah vektor konstan, sistem persamaan (.31) disebut sistem persamaan diferensial biasa linear order satu dengan kondisi awal x x. Jika b maka sistem dikatakan homogen sedangkan jika b maka sistem dikatakan tak homogen. (Tu, 1994) Definisi.9 Diberikan sistem persamaan diferensial x f t, x (.3) Dengan x1 x x xn t t t dan f t, x f1 t, x1,..., x f t, x1,..., x fnt, x1,..., x n n n adalah fungsi tak linear dalam x 1,..., x n. Sistem persamaan (.6) disebut sistem persamaaan diferensial tak linear. (Braun, 1983) Definisi.1 Diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) dx x f x n x R (.33) Sistem (.33) disebut Sistem Persamaan Diferensial Mandiri (SPDM) Dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD Mandiri (automous) jika tidak memuat waktu(t) secara eksplisit di dalamnya (Tu, 1994)

62 49.7 Model Epidemi SIR Klasik Model SIR klasik adalah model epidemik yang paling sederhana dimana model dijelaskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 197, model ini dibagi menjadi tiga kompartemen masing masing meliputi suspected (S), infected (I), dan recovered (R). Berikut ini adalah penjelasan mengenai masing masing kompartemen. Suspected (S) adalah kelompok individu yang rentan dan berpotensi tertular penyakit. Infected (I) adalah kelompok individu yang sudah tertular penyakit dan berpotensi menularkan penyakit ke suspectible. Recovered (R) adalah kelompok individu tidak mungkin lagi tertular bisa dikarenakan sudah sembuh dan memiliki kekebalan atau individu yang bersangkutan sudah hilang atau mati. Model SIR ini ditulis menggunakan persamaan diferensial biasa. Berikut ini bisa diamati diagram transfer dari model SIR klasik yang paling sederhana dan penjelasannya. S SI ri ri I R Gambar.1 Diagram Transfer Model SIR Klasik Dari diagram transfer di atas diperoleh model matematika persamaan diferensial: ds SI di SI ri

63 5 dr ri S I R N Parameter model SIR di atas adalah sebagai berikut. N = besarnya populasi total, N >, β = laju kontak antara individu rentan dengan individu terinfeksi, r = konstanta penyembuhan per kapita..8 Penyakit Flu Burung.8.1 Etimologi Penyebab flu burung adalah virus influenza tipe A yang termasuk dalam famili Orthomyxoviridae dan mempunyai diameter 9-1 nanometer. Virus influenza B dan C dapat diisolasi dari manusia dan sifatnya kurang patogen dibanding dengan virus influenza A.(Asmara, 7) Virus flu burung dapat bertahan dalam air dengan suhu C selama 4 hari dan pada suhu C pemanasan 8 C selama 3 hari. Pada daging ayam akan mati pada selama 1 menit, dan pemanasan 6 C selama 3 menit. Virus Avian Influenza pada telur ayam akan mati pada pemanasan 64 C selama 4,5 menit.virus itu akan bertahan lama dalam feses ayam. Sifat virus yang tidak stabil mudah bermutasi dari tidak ganas menjadi ganau maupun sebaliknya.(naipospos, 9).

64 51.8. Gejala dan tanda Virus avian influenza dapat menimbulkan gejala penyakit pernafasan pada unggas, dari patogen ringan (low pathogenic) sampai sampai yang bersifat patogen ganas atau fatal (highly pathogenic). Virus flu burung yang ganas ditandai dengan proses penyakit yang cepat dan disertai tingkat kematian tinggi. Gejala yang dapat terjadi pada unggas yang terserang virus flu burung yang ganas itu adalah: 1. Terjadi gangguan produksi telur yang sangat drastis, sehingga produksi telur berhenti sama sekali. Selain itu pada telur yang terlanjur keluar juga cendrung mengalami gagal tetas.. Mengalami gangguan pernafasan seperti batuk, bersin dan ngorok. 3. Jengger berwarna kebiruan. 4. Kaki berwarna kemerah-merahan seperti dikeroki dan jika dibuka terdapat pendarahan. 5. Lakriminasi atau pengeluaran leleran dari mata secara berlebihan. 6. Peradangan pada sinus atau lubang hidung. 7. Unggas mengalami kerontokan pada bulunya. 8. Pendarahan dibawah kulit, terutama didaerah kaki, pial, dan kepala. 9. Diare. 1. Gangguan syaraf, yang ditandai unggas yang membenturkan kepalanya 11. Gangguan keseimbangan,seperti berdiri dan berjalan sempoyongan 1. Tingkat kematian tinggi. (Yuliarti, 6)

65 5 Gejala flu burung pada manusia meliputi hal-hal berikut ini: 1. Demam (suhu badan di atas 38 C ). Lemas. 3. Pendarahan hidung dan gusi 4. Sesak nafas 5. Muntah dan nyeri perut disertai diare 6. Batuk dan nyeri tenggorokan. 7. Radang saluran pernafasan 8. Pneumonia 9. Infeksi mata 1. Nyeri otot (Radji, 6: 61).8.3 Pengobatan dan Pencegahan Dalam upaya pengobatan dan pencegahan penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia, terdapat 4 macam obat anti viral, yaitu amantadine, rimantadine, zanamivir, dan oseltamivir atau yang lebih dikenal dengan nama tamiflu. Mekanisme kerja amantadine dan rimantadine adalah menghambat replikasi virus. Namun kedua obat ini sudah tidak mempan lagi untuk membunuh virus HN 5 1 yang saat ini beredar luas. Sedangkan mekanisme kerja zanamivir dan asetamivir dapat menghentikan replikasi virus HN.(Radji, 5 1 6: 61)

66 53.9 Titik Kesetimbangan (Ekuilibrium) Definisi.11 Diberikan sistem persamaan diferensial dx x f x n x R Titik x disebut titik kesetimbangan jika f x. (Tu, 1994) Definisi.1 Diberikan fungsi f f f f ' fi C E,, i 1,,..., n Matriks. 1,,..., n pada sistem x f (x) dengan Jf x f1 f1 x x1 xn fn fn x x1 xn x x Dinamakan matriks jacobian f di titik x (kocak & Hole, 1991) Definisi.13 Sistem linear x Jf ( x)( x x) disebut linearisasi sistem x f (x) di sekitar titik x (Perko, 1991). Teorema.14 Diberikan matriks Jacobian Jf (x) dari sistem nonlinear x f (x), dengan nilai eigen. a) Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks Jf (x) bernilai negatif, maka titik ekuilibrium x dari Sistem nonlinear x f (x ) stabil asimtotik lokal.

67 54 b) Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks Jf (x) yang bagian realnya positif, maka titik ekulibrium x stabil (Olsder, 1994)..1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari sistem nonlinear x f (x ) tidak Misalkan A adalah matriks n x n, maka suatu vektor tak nol x di dalam n disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A, berlaku: Ax = λx. (.34) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka persamaan (.34) dapat dituliskan sebagai berikut: (λi - A) x =. (.35) Dengan I matriks identitas. Persamaan (.34) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika, det(λi - A) =. (.36) Persamaan (.36) disebut persamaan karakteristik (Anton, 1995: 77)..11 Kriteria Routh-Hurwitz Misalkan a, a1, a,... a k bilangan-bilangan real, Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik k k 1 p a a... a a 1 k1 k Mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks M untuk setiap i,1,,..., k i i

68 55 M j a1 a3 a5 a a a 4 a1 a3 a a a i1 i i3 a i bernilai positif, dimana a j jika j k.(fisher, 199) Teorema.15 Dipunyai persamaan karakteristik 3 p A B C dimana ABCbilangan-bilangan,, real. Jika ABCpositif,, dan AB C maka semua nilai eigen dari persamaan karakteristik p bernilai real negatif. Bukti: Dari persamaan 3 p A B C maka diperoleh a 1, a A, a B, a C dan a 1 3 i jika i selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwizt, maka bagian real dari setiap akar polinomial 3 p A B C adalah negatif jika dan hanya jika M1, M, M 3, dimana M1 a1 A 1 a a A C 1 3 M AB C a a 1 B

69 56 a a A C M a a B ABC C a a A C 1 3 i. Dari 1, diperoleh A. ii. iii. Dari Dari, diperoleh AB C AB C. 3 dapat ditulis ABC C C AB C,dari diperoleh AB C berakibat C. Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial 3 p A B C adalah negatif jika dan hanya jika A, C dan AB C..1 Maple Maple adalah salah satu software yang sering digunakan dalam simulasi dalam pemodelan matematika. Maple sendiri dikembangkan oleh Waterloo Inc. Kanada. Menu-menu yang terdapat pada tampilan program Maple ini terdiri dari menu File, Edit, View, Insert, Format, Spreadsheet, Option, Window, dan Help. Sebagian besar menu-menu di atas merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program aplikasi pada system operasi Windows. Maple memiliki banyak kelebihan salah satunya karena kemampuan untuk menyederhanakan persamaan, hingga suatu solusi persamaan diferensial dapat dipahami dengan baik. Selain itu maple juga memiliki kemampuan untuk

70 57 membuat animasi grafik dari suatu fenomena gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang memiliki nilai awal dan syarat batas (Kartono, 1). Dalam pemodelan matematika khususnya yang menggunakan sistem persamaan diferensial pernyataan yang sering digunakan dalam maple meliputi: diff digunakan untuk mendiferensialkan (menurunkan) suatu fungsi, dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, evalf memberikan nilai numeric dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti restart dan deklarasi variabel/konstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan. Untuk membuat grafik pada Maple digunakan perintah plot, plotd, plot3d, tergantung dimensi dari pernyataan yang dimiliki. Untuk membuat gerakan animasi digunakan perintah animate3d (Kartono, 1).

71 BAB 3 METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa tahap sebagai berikut: 3.1 Menentukan Masalah Pada tahap awal, penulis membaca dan menelaah beberapa sumber pustaka. Dari kajian tersebut, penulis menemukan permasalahan umum yaitu pemodelan matematika pada penyakit. Permasalahan ini masih terlalu luas, sehingga diperlukan rumusan masalah yang lebih spesifik. 3. Merumuskan Masalah Tahap ini dimaksudkan untuk merumuskan permasalahan dengan jelas sehingga mempermudah pembahasan, permasalahan yang dibahas adalah: (1) Bagaimanakah model matematika yang tepat untuk penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia? () Bagaimanakah analisis kestabilan model penyebaran penyakit flu burung dari unggas ke manusia? (3) Bagaimanakah simulasi model penyebaran penyakit flu burung menggunakan program Maple? 3.3 Studi Pustaka Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka