Modul 2 PEMROGRAMAN LINIER METODE GRAFIK. Model pemrograman linear, mempunyai tiga komponen dasar :

Transkripsi

1 Modul 2 PEMROGRAMAN LINIER METODE GRAFIK 2.1 Model Pemrograman Linear 2 Variabel Pada bagian ini, tujuan yang ingin dicapai adalah mendapatkan solusi grafis dari pemrograman linear dua variabel. Metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesakan masalah pemrograman linear dua variabel, karena representasinya menggunakan sumbu x dan y, walaupun dengan tiga variabel juga bisa tetapi sangat menyulitkan dalam penyelesainnya karena menggunakan tiga sumbu dalam penggambaran koordinatnya. Model pemrograman linear, mempunyai tiga komponen dasar : 1. Variabel keputusan yang kita cari untuk ditentukan 2. Objective (tujuan) yaitu ingin mengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimalkan) 3. Constraints yaitu solusi yang harus dicapai. Pendefinisian secara benar pada variabel keputusan adalah penting dalam langkah pertama pembangunan model. Satu kali dilakukan, pekerjaan pembuatan fungsi tujuan dan constraint menjadi lebih sederhana. Contoh 2-1 (kasus memaksimalkan) Perusahaan Reddy Mikks memproduksi cat interior dan exterior dari dua bahan baku, M1 dan M2. Tabel dibawah ini adalah informasi mengenai kebutuhan bahan baku, ketersediaan, dan keuntungannya. Produk Kebutuhan bahan baku Keuntungan (ton) (x1000) M1 M2 Cat Ext Cat Int Kapasitas 24 6 Z Survey pasar menunjukkan bahwa kebutuhan perhari untuk cat interior tidak boleh melebihi cat exterior lebih dari 1 ton, juga kebutuhan harian maksimal untuk cat interior adalah 2 ton. Reddy Mikks ingin menentukan jumlah optimal (terbaik) produk antara cat interior dan exterior dengan memaksimalkan total keuntungan harian. Penyelesaian 3

2 Untuk kasus Reddy Mikks, kita perlu menentukan jumlah produksi cat exterior dan interior perhari. Maka variabel dari model didefiisikan sebagai : x 1 = ton produksi harian cat exterior x 2 = ton produksi harian cat interior Untuk membuat fungsi tujuan, yang perlu dicatat adalah bahwa perusahaan ingin memaksimalkan (jika memungkinkan maka ditingkatkan) total keuntungan harian dari kedua produk. Diberikan keuntungan perton cat exterior dan interior masing-masing adalah 5 dan 4 (x1000), maka dapat didefinisikan bahwa : Total keuntungan dari cat exterior = 5x 1 (x1000) rupiah Total keuntungan dari cat exterior = 4x 2 (x1000) rupiah Jika Z merepresentasikan total keuntungan harian, tujuan perusahaan adalah : Maksimalkan Z = 5x 1 + 4x 2 Selanjutnya, kita buat constraint yang membatasi bahan baku yang digunakan dan kebutuhan produk pada bahan baku. Pembatasan bahan baku dinyatakan secara verbal sebagai : Penggunaan bahan baku Kapasitas ketersediaan oleh kedua produk bahan baku Penggunaan harian bahan baku M1 adalah 6 ton untuk cat exterior dan 4 ton untuk cat interior. Maka : Sehingga : Penggunaan bahan baku M1 oleh cat exterior = 6x 1 ton/hari Penggunaan bahan baku M1 oleh cat exterior = 4x 2 ton/hari Penggunaan bahan baku M1 oleh kedua cat = 6x 1 + 4x 2 ton/hari Dengan cara yang sama : Penggunaan bahan baku M2 oleh kedua cat = 1x 1 + 2x 2 ton/hari Karena ketersediaan harian dari bahan baku M1 dan M2 dibatasi 24 dan 6 ton, maka hubungan batasan yang diberikan menjadi : 6x 1 + 4x 2 24 (bahan baku M1) x 1 + 2x 2 6 (bahan baku M2) 4

3 Batasan permintaan yang pertama adalah bahwa batas produksi harian cat interior melebihi cat exterior, x 2 x 1, seharusnya tidak melewati 1 ton, yang ditranslasikan dengan : x 2 x 1 1 (batas pasar) Batasan permintaan yang kedua adalah bahwa maksmal kebutuhan harian cat interior dibatasi 2 ton, yang ditrnslasikan dengan : x 2 2 (batas permintan) Batasan implicit (pemahaman mandiri) adalah bahwa bahwa variabel x 1 dan x 2 tidak dapat diasumsikan bernilai negatif, karena tidak mungkin jumlah produksi bernilai negatif. Batasan nonnegative, x 1 0, x 2 0, dapat dipertangunggjawabkan untuk kebutuhan ini. Model lengkap Reddy Mikks menjadi : Maksimalkan Z = 5x1 + 4x2 Kendala : 6x 1 + 4x 2 24 (1) x 1 + 2x 2 6 (2) -x 1 + x 2 1 (3) x 2 2 (4) x 1, x 2 0 (5) Sembarang nilai x 1 dan x 2 yang memenuhi semua lima constraint disebut dengan solusi yang layak (feasible solution), jika tidak maka merupakan solusi yang tidak layak (unfeasible). Misalnya solusi untuk x 1 = 3 ton dan x 2 = 1 ton perhari adalah solusi layak karena tidak menyimpang dari semua konstrain yang ditetapkan, termasuk batasan nonnegatif. Tujuan dari masalah adalah untuk mencari solusi layak terbaik atau optimal, yaitu memaksimalkan laba. Untuk mendapatkan solusi layak pada metode grafik maka perlu dilakukan penggambaran semua fungsi kendala pada diagram x 1 dan x 2. Prosedur penyelesaian menggunakan metode grafik : 2. Menentukan lokasi solusi yang layak 3. Menentukan solusi optimal dari diantara semua titik sudut solusi layak. Untuk kasus Reddy Mikks dapat diselesaikan sebagai berikut : Langkah 1 Menentukan lokasi solusi yang layak Pertama, untuk constraint nonnegative x 1 0 dan x 2 0. Dalam gambar sumbu horizontal x 1 dan vertikal x 2 mewakili variabel cat exterior dan interior. Maka untuk nilai variabel nonnegative berada di kuadran pertama. 5

4 Selanjutnya untuk constraint yang lain, pertama perlu mengganti setiap tanda pertidaksamaan dengan persamaan kemudian menggambar garis lurus dengan memilih dua titik berbeda yang memenuhi persamaan garis pada diagram. Misalnya setelah mengganti 6x 1 + 4x 2 24 dengan garis lurus 6x 1 + 4x 2 = 24, kita dapat menentukan dua garis berbeda yang dilalui garis tersebut. Caranya dengan mengganti x 1 = 0 untuk mendapatkan x 2 = 24/4 = 6, dan mengganti x 2 = 0 untuk mendapatkan x 1 = 24/6 = 4. Maka garis untuk persamaan tersebut melewati dua titik (0,6) dan (4.0), seperti yang ditunjukkan pada gambar. Selanjutnya memperhatikan pengaruh pertidaksamaan. Garis tersebut membagi daerah menjadi dua bagian, hanya satu bagian yang merupakan sisi yang benar yang memenuhi pertidaksamaan. Untuk menentukan sisi yang benar, ujilah titik disalah satu sisi (titik yang tidak dilewati garis), misalnya (0,0) maka didapatkan 6 * * 0 = 0 dan 0 24, berarti daerah yang ditempati titik (0,0) adalah daerah yang memnuhi pertidaksamaan tersebut. Dalam Gambar 2.1 ditampilkan daerah tersebut diarsir. Gambar 2.1 Grafik constraint 6x 1 + 4x 2 = 24 Hal tersebut kita lakukan pada constraint yang lain, sehingga didapatkan daerah yang diliputi oleh semua constraint dari kasus yang diselesaikan. Daerah tersebut disebut dengan daerah solusi yang layak karena semua titik pada daerah tersebut memenuhi semua constraint yang ditetapkan. Pada Gambar 2.2, daerah yang dibatasi oleh titik ABCDEF adalah daerah solusi layak pada kasus ini, sedangkan daerah diluarnya adalah daerah solusi yang tidak layak. Constrain Dua titik yang dilewati garis 6x 1 + 4x 2 24 (0,6) dan (4,0) x 1 + 2x 2 6 (0,3) dan (6,0) -x 1 + x 2 1 (0,1) dan (-1,0) x 2 2 Garis horizontal yang melewati x 2 = 2 6

5 Gambar 2.2 Solusi layak semua constraint kasus Reddy Mikks Langkah 2 Menentukan solusi optimal dari diantara semua titik sudut solusi layak Daerah solusi layak seperti pada Gambar 2.2 adalah daerah yang diarsir yang diliputi oleh semua constraint. Semua titik yang berada di daerah tersebut adalah daerah solusi layak. Karena jumlahnya sangat banyak, maka perlu cara yang sistematis untuk mendapatkan titik optimal dari solusi masalah. Daerah solusi layal dibatasi oleh titik ABCDEF seperti pada Gambar

6 Gambar 2.3 Daerah solusi layak semua constraint dibatasi titik ABCDEF Untuk mendapatkan solusi optimal perlu melakukan identifikasi arah dari fungsi profit Z = 5x 1 + 4x 2 dimana fungsi ini meningkat dimana kita ingin memaksimalkan Z. Untuk itu, untuk nilai Z sementara coba digunakan nilai sembarang terlebih dahulu untuk mengetahui arah peningkatan nilai Z pada gambar. Misalnya, menggunakan Z = 10 dan Z = 15, akan memberikan garis putus-putus pada gambar dengan persamaan 5x 1 + 4x 2 = 10 dan 5x 1 + 4x 2 = 15. Maka arah peningkatan Z seperti ditunjukkan pada Gambar 2.4. Solusi optimal berada dititik E. Untuk mendapatkan nilai x 1 dan x 2 dititik E diselesaikan dengan gabungan garis fungsi constraint (1) dan (2) : 6x 1 + 4x 2 = 24 x 1 + 2x 2 = 6 atau x 1 = 6 2x 2 Gambar 2.4 Solusi optimal kasus Reddy Mikks Dengan mensubtitusikan persamaan kedua pada persamaan pertama, didapatkan : 6 (6 2x 2 ) + 4x 2 = x 2 + 4x 2 = 24-8x 2 = -12 x 2 = 1.5 x 1 + 2x 2 = 6 8

7 x 1 + 2(1.5) = 6 x = 6 x 1 = 3 Dengan cara aljabar, didapatkan bahwa x 1 = 3 dan x 2 = 1.5 dengan Z = 5*3 + 4*1.5 = 21. Untuk mendapatkan solusi optimal juga dapat dilakukan dengan cara mengevaluasi semua titik sudut pada daerah solusi yang layak. Karena sifat dari linear programming adalah bahwa solusi optimal selalu berada pada salah satu titik sudut derah solusi layak. Titik sudut (x 1,x 2 ) Z A (0,0) 0 B (0.1) 4 C (1,2) 13 D (2,2) 18 E (3,1.5) 21 (OPTIMAL) F (4,0) 20 Dari hasil evaluasi semua titik-titik sudut menunjukkan bahwa solusi optimal didapatkan dititik E dengan nilai x 1 = 3 ton dan x 2 = 1.5 ton dan laba maksimal yang didapat Z = Contoh 2-2 (kasus meminimalkan) Ozark Farms memproduksi paling sedikit 800 lb makanan khusus perhari. Makanan khusus itu adalah campuran jagung dan tepung kedelai dengan komposisi seperti dibawah ini : Bahan lb per lb bahan Protein Fiber Harga ($/lb) Jagung Tepung kedelai Kapasitas 24 6 Z Kebutuhan pada aturan makan (diet) dari makanan khusus adalah paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% fiber. Ozark Farms ingin menentukan biaya minimal campuran makanan perhari. Penyelesaian Karena campuran makanan terdiri dari jagung dan tepung kedelai, variabel keputusan dari model didefinisikan sebagai : 9

8 x 1 = lb jagung dalam campuran perhari x 2 = lb tepung kedelai dalam campuran perhari Fungsi tujuannya adalah berusaha meminimalkan total biaya harian (dalam dolar) dari campuran makanan, diekspresikan sebagai : Minimalkan Z = 0.3x x 2 Constraint dari model adalah jumlah harian dan kebutuhan makanan. Karena Ozark Farms memerlukan palng sedikit 800 lb makanan perhari, constraintnya dapat dibentuk : x 2 + x Sebagai constraint kebutuhan protein makanan, jumlah protein yang dikandung dalam x 1 lb dan x 2 lb adalah (0.09x x 2 ) lb. Jumlah ini harus kurang dari atau sama dengan 30% dari total campuran makanan (x 1 + x 2 ) lb, maka : 0.09x x 2 0.3(x 1 + x 2 ) Jika suku disisi kiri dipindah kekanan menjadi : 0 0.3x x x 1 0.6x x 1 0.3x x 1 0.3x 2 0 Dengan cara yang sama, kebutuhan fiber paling banyak 5% dibentuk sebagai 0.02x x (x 1 + x 2 ) x x x x x x x x 2 0 Model lengkap kasus menjadi : Minimalkan Z = 0.3x x 2 Kendala : x 1 + x (1) 0.21x 1 0.3x 2 0 (2) 0.03x x 2 0 (3) x 1, x 2 0 (4) Menentukan lokasi solusi yang layak 10

9 Yang harus dilakukan adalah menggambar garis constraint dan daerah solusinya sehingga mendapatkan daerah yang mendapat arsir (diliputi) semua constraint sebagai daerah solusi yang layak. Constrain Dua titik yang dilewati garis x 1 + x (0,800) dan (800,0) 0.21x 1 0.3x 2 0 (0,0) dan (1000,700) 0.03x x 2 0 (0,0) dan (500,1500) Grafik dari constraint dapat dilihat pada Gambar 2.5. Gambar 2.5 Solusi layak semua constraint kasus Ozark Farms Menentukan solusi optimal dari diantara semua titik sudut solusi layak. Daerah solusi layak adalah daerah yang mendapat arsir semua constraint, pada gambar ditunjukkan oleh daerah terarsir. 11

10 Untuk mendapatkan solusi optimal perlu melakukan identifikasi arah dari fungsi biaya Z = 0.3x x 2 dimana fungsi ini menurun dimana kita ingin meminimalkan Z. Untuk itu, untuk nilai Z sementara coba digunakan nilai sembarang terlebih dahulu untuk mengetahui arah penurunan nilai Z pada gambar. Misalnya, menggunakan Z = 1080 dan Z = 720, akan memberikan garis putus-putus pada gambar dengan persamaan 0.3x x 2 = 1080 dan 0.3x x 2 = 720. Maka arah penurunan Z seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6. Solusi optimal berada dititik B. Untuk mendapatkan nilai x 1 dan x 2 dititik B diselesaikan dengan gabungan garis fungsi constraint (1) dan (2) : Gambar 2.6 Solusi optimal kasus Ozark Farms x 1 + x 2 = 800 atau x 1 = 800 x x 1 0.3x 2 = 0 Dengan mensubtitusikan persamaan pertama pada persamaan kedua, didapatkan : 0.21 (800 x 2 ) 0.3x 2 = x 2 0.3x 2 = 0 12

11 x 2 = x 2 = -168 x 2 = -168/-0.51 = x 1 + x 2 = 800 x = 800 x 1 = x 1 = Dengan cara aljabar, didapatkan bahwa x 1 = lb dan x 2 = lb dengan Z = 0.3* * = Untuk mendapatkan solusi optimal juga dapat dilakukan dengan cara mengevaluasi semua titik sudut pada daerah solusi yang layak. Karena sifat dari linear programming adalah bahwa solusi optimal selalu berada pada salah satu titik sudut derah solusi layak. Titik sudut (x 1,x 2 ) Z A (200,600) 600 B (470.59,329.41) (OPTIMAL Dari hasil evaluasi semua titik-titik sudut menunjukkan bahwa solusi optimal didapatkan dititik B dengan nilai x 1 = lb dan x 2 = lb dan biaya yang didapat Z = Soal Latihan 2.1 Tentukan daerah solusi yang layak dari constraint dibawah ini : (a) -3x 1 + x 2 6 (b) x 1-2x 2 5 (c) 2x 1-3x 2 12 (d) x 1 - x 2 0 (e) -x 1 + x Identifikasilah arah peningkatan Z dari setiap kasus dibawah ini : (a) Maksimalkan Z = x 1 x 2 (b) Maksimalkan Z = -5x 1-6x 2 13

12 (c) Maksimalkan Z = -x 1 + 2x 2 (d) Maksimalkan Z = -3x 1 + x Tentukan daerah solusi layak dan solusi optimal model Reddy Mikks untuk perubahan bebas dibawah ini : (a) Kebutuhan harian maksimal untuk cat exterior paling banyak 2.5 ton (b) Kebutuhan harian untuk cat interior paling sedikit 2 ton (c) Kebutuhan harian untuk cat interior tepat 1 ton lebih banyak daripada cat exterior (d) Kapasitas harian bahan baku M1 paling sedikit 24 ton (e) Kapasitas harian bahan baku M1 paling sedikit 24 ton, dan kebutuhan harian untuk cat interior melebihi cat exterior paling sedikit 1 ton. 2.4 Sebuah perusahaan yang mengoperasikan 10 jam perhari dua produk pada tiga urutan proses. Data masalahnya adalah sebagai berikut : Produk Menit per unit Keuntungan Proses 1 Proses 2 Proses 3 (x1000) Tentukan solusi yang optimal dari dua produk 2.5 Sebuah perusahaan menghasilkan dua produk, A dan B. Volume penjualan untuk A paling sedikit 80% dari total penjualan kedua produk. Perusahaan tidaka apat menjual lebih dari 100 unit produk A perhari. Kedua produk menggunakan satu bahan baku, dimana kapasitas harian maksimal adalah 240 lb. Penggunaan bahan baku per unit A adalah 2 lb dan unit B adalah 4 lb. Keuntungan unit A dan B masing-masing adalah $20 dan $50. Tentukan jumlah produk A dan B agar laba yang didapat maksimal. 2.6 Perusahaan Alumco memproduksi aluminum sheets dan aluminum bars. Kapasitas produksi harian keduanya masing-masing diperkirakan 800 sheets dan 600 bars perhari. Kebutuhan harian maksimal kedua produk adalah 550 sheets dan 580 bars. Keuntungan per ton adalah $40 per sheet dan 35 per bar. Tentukan produksi optimal harian. 2.7 Continuing Education Division di Ozark Community College menawarkan total 30 mata kuliah setiap semester. Perkuliahan yang ditawarkan biasanya ada dua jenis : praktek seperti woodworking, word processing, dan car maintenance; dan kemanusiaan seperti sejarah, music, dan seni. Untuk mencapai kebutuhan komunitas, paling sedikit 10 mata kuliah dari setiap jenis harus ditawarkan pada setiap semester. Perkiraan pembagian pendapatan dari penawaran perkuliahan praktek dan 14

13 kemanusiaan kira-kira $1500 dan $1000 per mata kuliah. Bagilah mata kuliah yang ditawarkan agara pendapatannya maksimal bagi kampus. 2.8 ChemLabs menggunakan bahan baku I dan II untuk memproduksi dua alat pembersih, A dan B. Kapasitas harian bahan baku I dan II masing-masing adalah 150 dan 145 unit. Satu unit produk A menggunakan 0.5 unit bahan baku I dan 0.6 unit bahan baku II, dan satu unit B menggunakan 0.5 unit bahan baku I dan 0.4 unit bahan baku II. Keuntungan per unit produk A dan B masing-masing adalah $8 dan $10. Kebutuhan harian produk A antara 30 dan 150 unit, sedangkan produk B adalah antara 40 dan 200 unit. Carilah jumlah produksi yang optimal untuk A dan B. 2.9 Burrought Garment Company memproduksi kaos pria dan baju wanita untuk Walmark Discount Stores. Walmark akan menerima semua produksi yang disupply oleh Burrought. Proses produksi meliputi cutting, sewing, dan packaging. Tenaga kerja Burrought ada 25 tenaga kerja di bagian cutting, 35 dibagian sewing, dan 5 dibagian packaging. Perusahaan beroperasi 8 jam sehari, 5 hari seminggu. Dibawah ini tabel kebutuhan waktu dan keuntungan per unit dua garmen : Garmen Menit per unit Cutting Sewing Packaging Kaos Baju Keuntungan ($) Tentukan jadwal produksi mingguan optimal bagi Burroughs Identifikasilah arah penurunan Z dalam setiap kasus dibawah ini : (a) Minimalkan Z = 4x 1 2x 2 (b) Minimalkan Z = -3x 1 + x 2 (c) Minimalkan Z = - x 1 2x Joni harus bekerja paling sedikit 20 jam seminggu untuk meambah penghasilannya selama dia kuliah. Dia mempunyai kesempatan bekerja di dua toko. Di toko pertama, Joni bisa bekerja antara 5 sampai 12 jam seminggu, dan di toko kedua bisa bekerja selama 6 sampai 10 jam. Kedua toko memberika gaji yang sama. Keputusannya, berapa banyak jam untuk setiap toko, Joni mendasarkan keputusan pada tekanan kerja. Berdasarkan interview dengan pekerja yang ada, Joni memperkirakan bahwa, skala kenaikan 1 sampai 10, factor tekanan adalah 8 dan 6 masing-masing untuk toko pertama dan kedua. Karena tekanan kerja akan terjadi tiap jam, dia mengasumsikan bahwa total tekanan untuk setiap toko dia akhir minggu adalah proporsional dengan jumlah jam dia bekerja di toko. Berapa jam seharusnya Joni bekerja disetiap toko? 15

14 2.12 OilCo sedang membangun refinery untuk memproduksi empat produk : diesel, gasoline, lubricant, dan jet fuel. Kebutuhan minimal (dalam bbl/hari) untuk setiap produk adalah 14000, 30000, 10000, dan 8000 untuk masing-masing produk. Iran dan Dubai sedang terikat kontrak untuk pengiriman bahan mentah OilCo. Quota produksi yang ditetapkan OPEC bahwa hasil penyaringan minyak minimal 40% dari bahan mentah yang dikirim Iran dan sisanya dari Dubai. Jumlah bahan minyak yang dikirim dari kedua negara berbeda. Satu barrel bahan minyak dari Iran meliputi : 0.2 bbl diesel, 0.25 bbl gasoline, 0.1 bbl lubricant, dan 0.15 bbl jet fuel. Sedangkan Dubai : 0.1 bbl diesel, 0.6 bbl gasoline, 0.15 lubricant, dan 0.1 jet fuel. OilCo ingin menentukan kapasitas minmal refinery (bbl/hari) Pusat industri sepeda menggunakan dua campuran logam alumumunium, A dan B, untuk memproduksi sebuah campuran logam khusus. Campuran A berisi 6% alumunium, 3% silikon, dan 4% karbon. Campuran B mampunyai 3% alumunium, 6% silicon, dan 3% karbon. Biaya per ton untuk campuran A dan B adalah $100 dan $80. Spesifikasi campuran logam khusus membutuhkan (1) alumunium harus berisi paling sedikit 3% dan paling banyak 6%, (2) silicon harus berisi antara 3% dan 5%, dan (3) karbon harus berisi antara 3% dan 7%. Tentukan campuran yang optimal yang harus digunakan dalam memproduksi 1000 ton campuran logam. 16