Bilangan 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Bilngn M PENDAHULUAN Dr. Edy Bmbng Irwn, M.Pd. teri yng dipeljri dlm Modul ini dlh () opersi bilngn bult dn bilngn rsionl, (2) bilngn berpngkt dn bentuk kr. Bilngn bult dlm modul ini dikenlkn mellui representsi bilngn bult menggunkn model himpunn dn model pengukurn. Selnjutny, dikembngkn opersi dn sift-sift opersi pd bilngn bult. Dri pengertin bilngn bult dikenlkn bilngn rsionl dengn definisi. Definisi bilngn rsionl digunkn untuk mempeljri opersi dn siftsift opersi bilngn rsionl. Urin tentng bilngn berpngkt didhului dengn rti perklin du bilngn bult. Selnjutny, bilngn berpngkt dikenlkn dlm bentuk n, dengn sutu bilngn bult, dn n bilngn bult yng tk nol. Bentuk kr dijelskn mellui pngkt bilngn rsionl, dengn syrt tertentu. Dri pengertin bentuk kr tersebut, selnjutny dpt disusun sift-sift bilngn bentuk kr. Dlm penerpnny, bentuk kr ini bnyk digunkn untuk menyelesikn mslh geometri, utmny yng berhubungn dengn penggunn teorem Pythgors. Setelh mempeljri modul ini, dihrpkn And dpt memberi penjelsn tentng bilngn bult, bilngn rsionl, bilngn berpngkt dn bentuk kr. Penjelsn tersebut meliputi lmbng-lmbng yng digunkn, opersi dn sift-siftny, penerpnny dlm menyelesikn mslh, sert keslhn konsep yng bis dilkukn sisw SMP, dengn menggunkn pendektn dn tu medi yng sesui. Setelh mempeljri modul ini, dihrpkn And dpt:. menyelesikn mslh-mslh dlm mtemtik tu bidng lin yng penyelesinny menggunkn bilngn bult dn opersiny; 2. menjelskn bilngn dn lmbng bilngn bult, opersi dn sift-sift opersi pd bilngn bult, sert penggunn bilngn bult dn opersiny dlm menyelesikn mslh kepd sisw SMP dengn menggunkn pendektn tu medi yng sesui;

2 .2 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP 3. mengnlisis sutu keslhn konsep yng bis dilkukn oleh guru tu sisw (jik d) dlm memhmi konsep bilngn bult; 4. menyelesikn mslh-mslh dlm mtemtik tu bidng lin yng penyelesinny menggunkn bilngn rsionl dn opersiny; 5. menjelskn bilngn dn lmbng bilngn rsionl, opersi dn siftsift opersi pd bilngn rsionl, sert penggunn bilngn rsionl dn opersiny dlm menyelesikn mslh kepd sisw SMP, dengn menggunkn pendektn tu medi yng sesui; 6. mengnlisis sutu keslhn konsep yng bis dilkukn oleh guru tu sisw (jik d) dlm memhmi konsep bilngn rsionl; 7. menyelesikn mslh-mslh dlm mtemtik tu bidng lin yng penyelesinny menggunkn bilngn berpngkt dn bentuk kr; 8. menjelskn sift-sift bilngn berpngkt dn bentuk kr, opersiopersi ljbr yng berkitn dengn bilngn berpngkt dn bentuk kr, sert penggunnny dlm menyelesikn mslh kepd sisw SMP, dengn menggunkn pendektn tu medi yng sesui; 9. mengnlisis sutu keslhn konsep yng bis dilkukn oleh guru tu sisw (jik d) dlm memhmi konsep bilngn berpngkt dn penrikn kr.

3 PEMA430/MODUL.3 Kegitn Beljr Opersi Bilngn Bult dn Bilngn Rsionl A. BILANGAN BULAT Pd semest himpunn bilngn cch, persmn x + = 5, tidk mempunyi selesin. Oleh kren itu, himpunn bilngn cch diperlus menjdi himpunn bilngn bult sehingg persmn tersebut mempunyi selesin. Himpunn bilngn bult dpt dituliskn sebgi berikut. Z = {..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,... } Bilngn bult dpt diklsifiksi menjdi bilngn bult positif, nol, dn bilngn bult negtif. Nol bukn bilngn bult positif mupun negtif. Bilngn bult dpt direpresentsikn dengn du cr, yitu dengn model himpunn dn model pengukurn. Dlm model himpunn, bilngn bult dpt direpresentsikn dengn keping berwrn. Mislkn, keping wrn hitm menunjukkn bilngn negtif dn keping wrn putih menunjukkn bilngn positif. Bilngn dpt direpresentsikn dengn stu keping berwrn putih, dn bilngn - dpt direpresentsikn dengn stu keping berwrn hitm. Sebuh keping berwrn hitm dn sebuh keping berwrn putih dpt sling menghpus. Dengn menggunkn konsep ini, bilngn bult dpt direpresentsikn sebgi kumpuln keping dengn beberp cr. Mislkn bilngn -4, dpt direpresentsikn sebgi kumpuln keping sebgi berikut.... dn sebginy Gmbr. Beberp contoh bilngn-bilngn bult linny dpt ditunjukkn sebgi berikut.

4 .4 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Gmbr.2 Msing-msing contoh bilngn bult tersebut dpt direpresentsikn dlm berbgi cr. Bilngn bult dpt direpresentsikn dengn cr lin, yitu dengn model pengukurn. Dlm hl ini, bilngn bult ditunjukkn dengn nokthnokth pd gris bilngn sebgi berikut. Gmbr.3 Bilngn-bilngn bult tersebut direpresentsikn secr simetris terhdp 0 dri kiri ke knn pd gris bilngn. Bilngn bult di sebelh kiri 0 menunjukkn bilngn negtif, sedngkn di knn 0 menunjukkn bilngn positif. Lwn bilngn bult, ditulis dengn tu (-). Dengn model pengukurn, lwn dri ditunjukkn dengn byngn terhdp 0 pd gris bilngn. Lwn bilngn bult positif dlh negtif, lwn bilngn bult negtif dlh positif. Sedngkn lwn dri 0 dlh 0.. Penjumlhn Bilngn Bult Penjumlhn dn pengurngn bilngn bult kn dijelskn mellui permslhn berikut. Ali mempunyi krtu-krtu yng terbut dri krton. Krtu-krtu tersebut bertuliskn bilngn-bilngn, seperti 3, -4, 7, 9, 2, -5, 6, -9,, 34. Selnjutny, kn ditentukn jumlh bilngn-bilngn pd 0 krtu tersebut. Permslhn tersebut dpt diselesikn mellui opersi penjumlhn dn pengurngn bilngn bult. Penjumlhn dn

5 PEMA430/MODUL.5 pengurngn bilngn bult dpt diselesikn dengn menggunkn model himpunn dn model pengukurn. Dengn model himpunn, penjumlhn du bilngn bult dilkukn dengn menggbungkn du himpunn yng sling sing. Kedu himpunn tersebut merupkn representsi dri du kumpuln keping. Beberp penjumlhn du bilngn bult dengn model himpunn ditunjukkn sebgi berikut = 7 b. (-2) + (-4) = -6 c. 3 + (-5) = -2 Dengn model pengukurn, penjumlhn du bilngn bult dilkukn dengn menemptkn pngkl nk pnh berrh pd ujung nk pnh yng pngklny 0. Bilngn bult positif ditunjukkn dengn nk pnh yng rhny ke knn. Bilngn bult negtif ditunjukkn dengn nk pnh ke kiri. Beberp penjumlhn bilngn bult dengn model pengukurn ditunjukkn sebgi berikut = 4

6 .6 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP b. (-) + (-4) = -5 c = 4 Mellui penjelsn di ts, dpt dirumuskn ksiom penjumlhn bilngn bult sebgi berikut. Aksiom penjumlhn bilngn bult Mislkn dn b msing-msing merupkn bilngn bult.. Penjumlhn dengn nol. + 0 = = 0 + b. Penjumlhn du bilngn bult positif Mislkn dn b msing-msing bilngn bult positif. Jik A dn B du himpunn yng sling sing dengn n(a) = dn n(b) = b mk + b = n (AUB). c. Penjumlhn du bilngn bult negtif Mislkn dn b msing-msing bilngn bult positif. Berrti dn b msing-msing bilngn negtif sehingg (-) + (-b) = - (+b). Dlm hl ini, + b merupkn jumlh du bilngn positif. d. Penjumlhn bilngn positif dn negtif. ) Jik dn b msing-msing bilngn bult positif, dn > b mk + (-b) = - b. Dlm hl ini, - b merupkn selisih bilngn cch dn b. 2) Jik dn b msing-msing bilngn bult positif, dn < b mk + (-b) = -(b - ). Dlm hl ini, b - merupkn selisih bilngn cch dn b. Dri ksiom penjumlhn bilngn bult di ts, dpt dikembngkn sift-sift penjumlhn bilngn bult sebgi berikut.

7 PEMA430/MODUL.7 Sift penjumlhn bilngn bult Mislkn, b, dn c msing-msing merupkn bilngn bult.. Sift ketertutupn penjumlhn bilngn bult + b menunjukkn bilngn bult tunggl. b. Sift komuttif penjumlhn bilngn bult + b = b + c. Sift sositif penjumlhn bilngn bult ( + b ) + c = + ( b + c ) d. Sift identits penjumlhn bilngn bult 0 dlh bilngn bult tunggl, sedemikin hingg + 0 = = 0 + untuk semu. e. Sift invers jumlh penjumlhn bilngn bult. Untuk setip bilngn bult, d bilngn bult tunggl, sedemikin hingg + (-) = 0. Konsekuensi dri sift-sift penjumlhn bilngn bult di ts, dpt diturunkn teorem-teorem berikut. Teorem : Knselsi jumlh pd bilngn bult Mislkn, b, dn c msing-msing bilngn bult. Jik + c = b + c mk = b. Teorem 2: Mislkn sebrng bilngn bult Berlku hubungn: -(-) = 2. Pengurngn Bilngn Bult Pd bgin sebelumny telh dijelskn tentng representsi bilngn bult sebgi kumpuln keping. Representsi tersebut dpt digunkn untuk menjelskn pengurngn bilngn bult mellui pengmbiln lngsung dn penjumlhn dengn lwn. Pengurngn bilngn bult jug dpt dijelskn dengn pemisln.. Pengmbiln lngsung Kumpuln keping pd gmbr berikut menunjukkn pengurngn bilngn bult yng dilkukn mellui pengmbiln lngsung. Tnd titiktitik pd kumpuln keping menunjukkn keping-keping yng dimbil.

8 .8 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Gmbr.4 b. Penjumlhn dengn lwn Pengurngn du bilngn bult dengn pengmbiln lngsung seperti yng ditunjukkn pd contoh di ts, dpt dilkukn mellui penjumlhn dengn lwn. Mislkn untuk bgin c, dlm mencri hsil pengurngn 2 5 dpt dilkukn dengn mencri hsil penjumlhn 2 + (-5), seperti ditunjukkn pd kumpuln keping berikut. Gmbr.5 Pengurngn du bilngn bult yng dilkukn mellui penjumlhn dengn lwn memunculkn sift berikut. Sift Penjumlhn dengn Lwn Mislkn dn b msing-msing merupkn bilngn bult. Berlku hubungn: b = + ( -b) c. Pemisln Perubhn pengurngn menjdi penjumlhn telh ditunjukkn pd pengurngn bilngn bult mellui penjumlhn dengn lwn. Perubhn pengurngn du bilngn bult menjdi penjumlhn-penjumlhn jug dpt dilkukn mellui pemisln. Menentukn hsil pengurngn 7 3 dilkukn dengn mencri sutu bilngn, pbil bilngn tersebut ditmbh 3 menghsilkn 7. Proses tersebut dituliskn sebgi berikut. 7 3 = n jik dn hny jik 7 = 3 + n. Pengurngn du bilngn bult dengn pemisln, memunculkn definisi berikut.

9 PEMA430/MODUL.9 Definisi: Mislkn, b, dn c msing-msing merupkn bilngn bult. Berlku hubungn: b = c jik dn hny jik = b + c. 3. Perklin Bilngn Bult Perklin bilngn bult dpt dipndng sebgi perlusn perklin bilngn cch. Pd bilngn cch, perklin dpt dipndng sebgi penjumlhn berulng, seperti ditunjukkn pd contoh berikut. 3 2 = = 6 Perhtikn ksus berikut, yng penyelesinny menggunkn perklin bilngn bult. Ali mempunyi kebisn menjul tiket msuk pertndingn sepk bol. Hrg setip tiket Rp20.000,00. Dri tiket-tiket yng terjul, terdpt 3 tiket yng dibyr dengn ung plsu. Berp kerugin Ali yng disebbkn oleh kekelirun menerim ung plsu? Penyelesin ksus tersebut dpt ditunjukkn sebgi berikut. 3 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = Kerugin Ali yng disebbkn oleh kekelirun menerim ung plsu sebesr Rp60.000,00. Apbil setip stun gris bilngn menunjukkn 0.000, gmbrn ksus di ts dpt ditunjukkn sebgi berikut. 3 x ( 2) 6 Gmbr.6 Hsil di ts dpt digunkn untuk mengisi tbel perklin bilngn bult berikut.

10 .0 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Bris Kolom x Perhtikn tbel di ts yng memperlihtkn perklin sebgin bilngn bult. Pd dftr tersebut tmpk sebgi berikut.. Hsil pd kolom 2-3 (-3) = (-3) =... - (-3) =... 0 (-3) = 0 (-3) = (-3) = (-3) = - 9 Setip bilngn dri hsil perklin pd kolom 2 jik diurutkn dri bwh ke ts diperoleh dengn menmbhkn 3 dri hsil di bwhny, yitu: 3 (-3) = (-3) = = - 6 (-3) = = (-3) = = 0 sehingg: - (-3) = = 3-2 (-3) = = 6-3 (-3) = = 9 b. Hsil pd kolom 3-3 (-2) = (-2) =... - (-2) =...

11 PEMA430/MODUL. 0 (-2) = 0 (-2) = (-2) = (-2) = - 6 Setip bilngn dri hsil perklin pd kolom 3 jik diurutkn dri bwh ke ts diperoleh dengn menmbhkn 2 dri hsil di bwhny, yitu: 3 (-2) = -6 2 (-2) = = -4 (-2) = = -2 0 (-2) = = 0 sehingg: - (-2) = = 4-2 (-2) = = 4-3 (-2) = = 6 Hsil pd kolom 4 smpi kolom 8 dpt And kerjkn mengikuti lngkh pd kolom 2 dn 3. Dengn demikin, tbel perklin tersebut dilengkpi pengisinny memperoleh hsil berikut Pol-pol di ts memunculkn definisi berikut. Definisi: Mislkn dn b msing-msing merupkn bilngn bult.. Perklin dengn nol.0 = 0 = 0.

12 .2 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP b. Perklin du bilngn bult positif Mislkn dn b msing-msing merupkn bilngn positif. Jik A dn B du himpunn yng sling sing dengn n(a) = dn n(b) = b mk.b = n ( A B). c. Perklin bilngn bult positif dn negtif Jik dn b msing-msing merupkn bilngn positif (dengn demikin, -b negtif) mk. (-b) = - (b), dengn b dlh hsil kli bilngn cch dn b. Hsil perklin bilngn bult positif dn bult negtif dlh bilngn bult negtif. d. Perklin du bilngn bult negtif Jik dn b bilngn positif mk (-).(-b) = b, dengn b hsil kli bilngn cch dn b. Hsil perklin du bilngn bult negtif dlh bilngn bult positif. Dri definisi perklin bilngn bult di ts, dpt dikembngkn siftsift perklin bilngn bult sebgi berikut. Sift-sift perklin bilngn bult Mislkn, b, dn c msing-msing merupkn bilngn bult.. Sift ketertutupn perklin bilngn bult b menunjukkn bilngn bult tunggl. b. Sift komuttif perklin bilngn bult b = b c. Sift sositif perklin bilngn bult (b) c = (bc) d. Sift identits perklin bilngn bult dlh bilngn bult tunggl sehingg. = =., untuk semu. e. Sift distributif perklin bilngn terhdp penjumlhn bilngn bult ( b + c ) = b + c Konsekuensi dri sift-sift perklin bilngn bult di ts, dpt diturunkn teorem-teorem berikut. Teorem : Jik bilngn bult mk berlku: (-) = -

13 PEMA430/MODUL.3 Teorem 2: Jik dn b msing-msing merupkn bilngn bult mk berlku: (-)b = -(b). Teorem 3: Jik dn b msing-msing merupkn bilngn bult mk berlku: ((-)(-b)) = b. Teorem 4: Knselsi kli pd bilngn bult Mislkn, b dn c msing-msing bilngn bult, c 0. Jik c = bc mk = b 4. Pembgin Bilngn Bult Pembgin bilngn bult dpt dijelskn mellui contoh perklin bilngn bult 20 = 5 n. Pd contoh tersebut, n dn 5 merupkn fktor 20. Menentukn n berrti menentukn fktor bult dri 20 yng memenuhi hubungn tersebut. Ungkpn tersebut dpt ditulis sebgi 20 : 5 = n. Proses menentukn fktor bult pd ilustrsi tersebut memunculkn definisi pembgin bilngn bult sebgi berikut. Definisi: Jik dn b msing-msing merupkn bilngn bult, dengn b 0 mk berlku : b = c jik dn hny jik = bc untuk sutu bilngn bult c. 5. Sift Urutn Bilngn Bult Pengertin kurng dri pd bilngn bult dikenlkn mellui pendektn gris bilngn dn pendektn penjumlhn. Dengn pendektn gris bilngn, bilngn bult kurng dri b, ditulis < b, ditunjukkn dengn letk di sebelh kiri b. Pd gris bilngn tersebut, dpt diliht bhw -3 < 2, -4 < -, -2 < 3. Dengn pendektn penjumlhn, bentuk < b ditunjukkn dengn dny bilngn positif, sedemikin hingg + p = b. Dpt pul diktkn bhw < b jik dn hny jik b dlh bilngn positif. Dengn pendektn penjumlhn, jels bhw 2 < -4 kren (-4) (-2) = 7, merupkn bilngn positif.

14 .4 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Serup dengn penjelsn di ts, pengertin kurng dri tu sm dengn, lebih dri, dn lebih dri tu sm dengn, yng msingmsing disimbolkn dengn, >, dn jug dpt dikenlkn mellui pendektn gris bilngn dn pendektn penjumlhn. Selnjutny, sift-sift urutn bilngn bult, ditunjukkn sebgi berikut. Sift urutn bilngn bult Mislkn, b, dn c msing-msing merupkn bilngn bult, p bilngn bult positif, dn n bilngn bult negtif.. Sift trnsitif kurng dri Jik < b dn b < c mk < c b. Sift kurng dri dn penjumlhn Jik < b mk + c < b + c c. Sift kurng dri dn perklin dengn bilngn positif Jik < b mk p < bp d. Sift kurng dri dn perklin dengn bilngn negtif Jik < b mk n > bn. Sift-sift urutn tersebut tetp berlku pbil simbol < diubh dengn, >, dn. Tmpk bhw ketig sift urutn yng pertm berlku pd semest himpunn bilngn cch, tetpi sift yng keempt tidk berlku pd semest himpunn bilngn cch. B. BILANGAN RASIONAL Pd semest himpunn bilngn bult, persmn: 5x + 3 = 0, tidk mempunyi selesin. Oleh kren itu, himpunn bilngn bult diperlus menjdi himpunn bilngn rsionl sehingg persmn tersebut mempunyi selesin. Himpunn semu bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut. Definisi himpunn bilngn rsionl: Q = dn b bilngn bult, b 0 b

15 PEMA430/MODUL.5 Dri definisi tersebut, setip bilngn bult merupkn bilngn rsionl kren setip bilngn bult dpt dinytkn dlm, dengn dn b b merupkn bilngn bult, b 0. Kesmn bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut. Definisi Kesmn Bilngn Rsionl Jik b dn c msing-msing merupkn bilngn rsionl mk d berlku hubungn: b = c d jik dn hny jik d = bc. Definisi kesmn bilngn rsionl tersebut bergun untuk menyederhnkn dn menymkn penyebut pd penjumlhn, pengurngn tu membndingkn beberp bilngn rsionl. Definisi kesmn bilngn rsionl memunculkn teorem berikut. Teorem: Jik sebrng bilngn rsionl dn n sebrng bilngn bult, b n n mk berlku: = = b bn nb Teorem tersebut dpt digunkn untuk menentukn bentuk pling sederhn dri sutu bilngn rsionl. Bilngn rsionl b diktkn mempunyi bentuk pling sederhn jik dn b mempunyi fktor prim yng bersekutu dn b dlh bilngn positif.. Penjumlhn Bilngn Rsionl Penjumlhn bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut. Definisi penjumlhn bilngn rsionl Jik b dn c msing-msing merupkn bilngn rsionl mk d c d + bc berlku hubungn: + = b d bd

16 .6 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Dri definisi penjumlhn bilngn rsionl di ts, dpt dikembngkn sift-sift penjumlhn bilngn rsionl sebgi berikut. Sift-sift penjumlhn bilngn rsionl c Mislkn, b d, dn e msing-msing merupkn bilngn rsionl. f. Sift ketertutupn penjumlhn bilngn rsionl c + dlh bilngn rsionl tunggl. b d b. Sift komuttif penjumlhn bilngn rsionl c c + = + b d d b c. Sift sositif penjumlhn bilngn rsionl c e c e + + = + + b d f b d f d. Sift identits penjumlhn bilngn rsionl 0 + 0= = 0 +, 0 =, m 0 b b b m e. Sift invers penjumlhn bilngn rsionl Pd setip bilngn rsionl, d bilngn rsionl tunggl b b sedemikin hingg + = 0 = + b b b b Konsekuensi dri sift-sift penjumlhn bilngn rsionl di ts, dpt diturunkn teorem-teorem berikut. Teorem: Sift knselsi bilngn rsionl Mislkn b, c d, dn e f msing-msing merupkn bilngn rsionl. e c e Jik + = + b f d f mk = b c d 2. Pengurngn Bilngn Rsionl Pengurngn bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut.

17 PEMA430/MODUL.7 Definisi: Jik b dn c d berlku hubungn msing-msing merupkn bilngn rsionl mk c c = + b d b d. Pengurngn bilngn rsionl pd definisi di ts, dpt dipndng sebgi perlusn pengurngn pechn. Pengurngn pechn dengn penyebut sm ditunjukkn sebgi berikut. c c c ( c) c = + = + = + =. b d b d b b b b Pengurngn pechn dengn penyebut tk sm ditunjukkn sebgi berikut c d bc d bc = = b d bd bd bd 3. Perklin Bilngn Rsionl Perklin bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut. Definisi: Jik b dn c msing-msing merupkn bilngn rsionl mk d c c berlku hubungn:. = b d bd Dri definisi perklin bilngn rsionl di ts, dpt dikembngkn sift-sift perklin bilngn rsionl sebgi berikut. Sift-sift perklin bilngn rsionl Mislkn b, c d, dn e f msing-msing merupkn bilngn rsionl.. Sift ketertutupn perklin bilngn rsionl c c. = dlh bilngn rsionl tunggl. b d bd b. Sift komuttif perklin bilngn rsionl c c. =. b d d b

18 .8 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP c. Sift sositif perklin bilngn rsionl c e c e.. =.. b d f b d f d. Sift identits perklin bilngn rsionl m. = =., =, m 0 b b b m e. Sift invers perklin bilngn rsionl Pd setip bilngn rsionl 0, b d bilngn rsionl tunggl b b b sedemikin hingg. = =. b b f. Sift distribusi perklin terhdp penjumlhn bilngn rsionl c e c e. + =. +. b d f b d b f Invers kli sutu bilngn sering disebut jug dengn keblikn dri bilngn tersebut. Keblikn dri keblikn bilngn rsionl yng tidk nol dlh bilngn rsionl itu sendiri. 4. Pembgin Bilngn Rsionl Pembgin bilngn rsionl didefinisikn sebgi berikut. Definisi: Jik b dn c d msing-msing merupkn bilngn rsionl mk c d berlku hubungn : = b d b c. 5. Sift Urutn Bilngn Rsionl Pengertin kurng dri pd bilngn rsionl dikenlkn mellui pendektn gris bilngn, pendektn penyebut positif sm, dn pendektn penjumlhn. Dengn pendektn gris bilngn, bilngn c rsionl <, ditunjukkn dengn letk c di sebelh kiri. Dengn b d b d

19 PEMA430/MODUL.9 penyebut positif sm, bilngn rsionl c <, ditunjukkn dengn < c, b d dengn b > 0. Dengn pendektn penjumlhn, bentuk c < b d ditunjukkn dengn dny bilngn rsionl positif p p c, sedemikin hingg + =. Dpt q b q d c c pul diktkn bhw < jik dn hny jik dlh bilngn b d d b positif. Serup dengn penjelsn di ts, pengertin kurng dri tu sm dengn, lebih dri, dn lebih dri tu sm dengn, yng msingmsing disimbolkn dengn, >, dn jug dpt dikenlkn mellui pendektn gris bilngn, pendektn penyebut positif sm, dn pendektn penjumlhn. Teorem: Sift perklin silng ketksmn Jik b, c msing-msing merupkn bilngn rsionl, dengn b > 0 d c dn d > 0 mk berlku hubungn < jik dn hny jik d < bc. b d Selnjutny, sift-sift urutn bilngn rsionl, ditunjukkn sebgi berikut. Sift urutn bilngn rsionl Mislkn b, c d, dn e f msing-msing merupkn bilngn rsionl,. Sift trnsitif kurng dri c Jik < b d dn c < e e mk < d f b f b. Sift kurng dri dn penjumlhn c Jik < b d mk + e < c + e b f d f

20 .20 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP c. Sift kurng dri dn perklin dengn bilngn positif c Jik < b d dn e f > 0 e c e mk. <. b f d f d. Sift kurng dri dn perklin dengn bilngn negtif c Jik < b d dn e f < 0 e c e mk. >. b f d f Sift-sift urutn seperti ditunjukkn di ts tetp berlku pbil simbol < diubh dengn, >, dn. Tmpk bhw ketig sift urutn yng pertm berlku pd semest himpunn bilngn cch, tetpi sift yng keempt tidk berlku pd semest himpunn bilngn cch. Sift urutn bilngn rsionl dpt digunkn untuk menyelesikn sutu pertksmn. Contoh x + < x + + < x < 0 Contoh x < x < x < 4

21 PEMA430/MODUL.2 LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! ) Tunjukkn hsil penjumlhn berikut dengn menggunkn () model himpunn, (b) model pengukurn. ) 6 + (-4) b) (-3) + 5 c) (-5) + (-7) 2) Tunjukkn hsil pengurngn berikut dengn menggunkn () pengmbiln lngsung, (b) penjumlhn dengn lwn, dn (c) pemisln. ) 7 - (-8) b) (-4) - 3 c) (-5) - (-9) 3) Gunkn dny invers jumlh pd himpunn bilngn bult untuk menyelesikn persmn berikut. ) x + 9 = b) (-7) + x = 9 c) 27 + x = -3 d) (-5) + x = 9 e) x 5 = -6 f) x 24 = ) ) Lnjutkn pol berikut dengn menuliskn 3 bentuk perklin berikutny. () 6 3 = 8 (2) 9 3 = = = 8 6 = 6 9 = = = 0 b) Tuliskn turn perklin yng dpt dibut dri pol yng dihsilkn. 5) Apkh sift-sift berikut berlku pd pengurngn bilngn bult? Berikn contoh pbil berlku. Tunjukkn contoh penyngkl pbil tidk berlku. ) Tertutup b) Asositif

22 .22 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP c) Komuttif d) Identits 6) ) Mislkn A merupkn himpunn yng tertutup terhdp pengurngn. Jik 4 dn 9 merupkn elemen A, tunjukkn setip elemen berikut jug elemen A. (i) 5 (ii) -5 (iii) 0 (iv) 3 (v) (vi) -3 b) Dftrlh semu elemen A c) Serup dengn pertnyn pd (b) jik diberikn 4 dn 8 sebgi elemen A. d) Butlh generlissi dri hsil yng diperoleh. 7) Seorng sisw melkukn lgoritm berikut pd pengurngn du kurng delpn sm dengn negtif enm 6 40 Tujuh puluh kurng tig puluh sm dengn empt puluh 34 Empt puluh tmbh negtif enm sm dengn tig puluh empt Bgimn menurut And pekerjn sisw tersebut? Apkh lgoritm yng dilkukn sellu demikin? Jelskn! 8) Mislkn dn b msing-msing merupkn bilngn bult. Apkh sellu benr bhw b dn b sling berlwnn? Bgimn jik = b? 9) Isilh setip bujur sngkr yng kosong berikut dengn jumlh psngn bilngn yng terletk di bwh bujur sngkr berikut ) Opersikn bilngn-bilngn rsionl berikut. Tunjukkn hsilny dlm bentuk pling sederhn. )

23 PEMA430/MODUL.23 b) c) d) e) f) ) Gunkn sift-sift bilngn rsionl untuk menghitung opersi bilngn berikut b c d e f ) Opersikn bilngn-bilngn rsionl berikut. Tunjukkn hsilny dlm bentuk pling sederhn. ) 40 0 : 27 9 b) 3 : 4 2 c) 2 3 : ) Dengn menggunkn sift urutn bilngn rsionl, selesikn pertksmn berikut.

24 .24 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP 5 ) x + < b) x < c) x < d) x < 3 b e) x < f) x < g) x > 7 5 4) Apkh sift-sift berikut berlku pd pengurngn bilngn rsionl? Berikn contoh pbil berlku. Tunjukkn contoh penyngkl pbil tidk berlku. ) Tertutup b) Asositif c) Komuttif d) Identits e) Invers 5) Bilngn rsionl positif dpt didefinisikn sebgi bilngn yng ditulis dlm bentuk, dengn b > 0. Tentukn benr tu slh setip b pernytn di bwh ini. Buktikn pbil pernytnny benr. Tunjukkn contoh penyngkl pbil pernytnny slh. ) Jumlh du bilngn rsionl positif dlh bilngn rsionl positif. b) Selisih du bilngn rsionl positif dlh bilngn rsionl positif. c) Hsil kli du bilngn rsionl positif dlh bilngn rsionl positif. d) Hsil bgi du bilngn rsionl positif dlh bilngn rsionl positif.

25 PEMA430/MODUL.25 6) Dengn menggunkn sift penjumlhn dengn lwn, tunjukkn =. b b Petunjuk Jwbn Ltihn ) ) Penjumlhn dengn menggunkn model himpunn b) Untuk jwbn c) mengikuti jwbn ) dn b). Penjumlhn dengn menggunkn model pengukurn. () (2) 6 + (-4) = = 2 c) Untuk jwbn c) mengikuti jwbn ) dn b). 2) Jwbn berikut hny untuk poin, sedngkn b dn c mengikuti jwbn.

26 .26 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP ) Pengmbiln lngsung 7 ( 8) = 5 b) Penjumlhn dengn lwn 7 ( 8) = = 5 c) Pemisln 7 ( 8) = n jik dn hny jik 7 = -8 + n tu n = 5. 3) ) x + 9 = x ( 9) = + ( 9) x = 8 b) 7 + x = x + 7 = x + ( 7) + 7 = 6 x = 6 c) Untuk jwbn c), d), e), dn f) mengikuti jwbn ) dn b). 4) Jwbn berikut hny untuk poin (), sedngkn (2) mengikuti jwbn poin () tersebut. ) 3 bentuk perklin berikutny dlh: 6 ( ) = 6 6 ( 2) = 2 6 ( 3) = 8 b) Pol yng ditemukn dlh jik dn b bilngn positif mk ( b) = b 5) ) Pengurngn pd bilngn bult bersift tertutup, contoh 5 7 = 2. bilngn bult. b) Pengurngn pd bilngn bult tidk sositif. Contoh: (i) (3 2) (-3) = ( 3) = + 3 = 4 (ii) 3 ((2 ( 3)) = 3 (2 + 3) = 3 5 = 2 sedngkn 4 2

27 PEMA430/MODUL.27 c) Pengurngn pd bilngn bult tidk komuttif. Contoh: (i) 4 ( 5) = = (ii) 5 ( 4) = = sedngkn d) Oleh kren pengurngn pd bilngn bult tidk komuttif mk tidk terdpt identits pengurngn. 6) ) Dikethui A tertutup terhdp pengurngn, 9 A, 4 A, () kibtny 9 4 A, sedngkn 9 4 = 5, berrti 5 A. (2) kibtny 4 9 A, sedngkn 4 9 = 5, berrti 5 A. (3) dri (i), berkibt 5 5 A. Sedngkn 5 5 = 0, berrti 0 A. (4) kibtny A, sedngkn = 3, berrti 3 A. (5) dikethui 4 A dn (i), kibtny 5 4 A, sedngkn 5 4 =, berrti A (6) dikethui 4 A dn (v), kibtny 4 A, sedngkn 4 = 3, berrti 3 A. b) Pertnyn-pertnyn berikut dpt digunkn untuk menyelidiki semu elemen-elemen dri A: () Mungkinkh elemen terbesr dri A lebih dri 9? (2) Apkh 8, 7, 6, msing-msing merupkn elemen dri A? Du pertnyn tersebut mengntr pd jwb pertnyn di ts. 7) Jwbn sisw benr, lgoritm yng digunkn untuk menyelesikn pengurngn tidk tunggl. Algoritm lin ditunjukkn sebgi berikut = (60 + 2) (30 + 8) = (60 30) + ( 2 8) = = 34. 8) Lwn dri b dlh ( b) = b. Hubungn tersebut berlku untuk = b. 9) Strtegi untuk menyelesikn sol tersebut cukup jels. Mislny, bujur sngkr yng terts dlh 0 + ( ) = 9. Dengn demikin, setelh terisi seluruh bujur sngkr sebgi berikut.

28 .28 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP 0) Opersi penjumlhn tu pengurngn bilngn rsionl dilkukn pbil penyebutny sm, dengn menentukn keliptn persekutun terkecil. ) 3 b) c) ) ) b) c) 2) ) b) c) 3) ) b) c) x < 3 x < 2 x < 2 4) ) Pengurngn pd bilngn rsionl bersift tertutup. 3 2 Contoh: = bilngn rsionl

29 PEMA430/MODUL.29 b) Pengurngn pd bilngn rsionl tidk sositif. 4 7 Contoh: (i) 2 = (ii) 2 = Sedngkn c) Pengurngn pd bilngn rsionl tidk komuttif. Contoh: (i) 5 = (ii) 5= sedngkn d) Kren pengurngn pd bilngn rsionl tidk komuttif mk tidk terdpt identits pengurngn. e) Demikin jug dengn invers kren tidk d identits pengurngn mk pd bilngn rsionl tidk d invers pengurngn. 5) ) Benr. b) Slh, contoh 3 5 = 2 merupkn bilngn negtif. c) Benr. d) Benr. 6) + = 0, dengn sift penjumlhn dengn lwn berrti b b = b b tu = b b. RANGKUMAN. Bilngn bult dpt direpresentsikn dengn du cr, yitu dengn model himpunn dn model pengukurn. Dlm model himpunn, bilngn bult dpt direpresentsikn dengn keping berwrn. Mislkn keping wrn hitm menunjukkn bilngn

30 .30 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP negtif, dn keping wrn putih menunjukkn bilngn positif. Bilngn dpt direpresentsikn dengn stu keping berwrn putih, dn bilngn dpt direpresentsikn dengn stu keping berwrn hitm. Sebuh keping berwrn hitm dn sebuh keping berwrn putih dpt sling menghpus. 2. Bilngn bult dpt direpresentsikn dengn cr lin, yitu dengn model pengukurn. Dlm hl ini, bilngn bult ditunjukkn dengn nokth-nokth pd gris bilngn. yng simetris terhdp 0 dri kiri ke knn pd gris bilngn. 3. Sift-sift penjumlhn bilngn bult terdiri dri: ketertutupn, komuttif, sositif, sift identits, dn sift invers. Konsekuensi sift-sift penjumlhn bilngn bult dpt diturunkn teorem knselsi jumlh dn teorem tentng lwn dri lwn bilngn bult yng merupkn bilngn itu sendiri. 4. Serup dengn sift-sift pd penjumlhn, sift-sift perklin bilngn bult terdiri dri: ketertutupn, komuttif, sositif, identits, dn distributif perklin terhdp penjumlhn. Konsekuensi sift-sift perklin bilngn bult dpt diturunkn beberp teorem tentng perklin bilngn bult. 5. Sift urutn bilngn bult menckup trnsitif kurng dri, kurng dri dn penjumlhn, kurng dri dn perklin bilngn positif, kurng dri dn perklin bilngn negtif. Sift-sift urutn linny tidk hny berlku pd simbol <, tetpi jug berlku pd simbolsimbol:, >, dn. 6. Sift-sift opersi penjumlhn, pengurngn, perklin, dn pembgin pd bilngn rsionl dikenlkn serup dengn siftsift opersi pd bilngn bult. TES FORMATIF Pilihlh stu jwbn yng pling tept! ) Pd semest himpunn bilngn bult, sift berikut yng berlku dlm opersi pengurngn dlh... A. tertutup B. komuttif C. sositif D. memiliki identits

31 PEMA430/MODUL.3 2) Mislkn bilngn positif direpresentsikn dengn keping putih, dn bilngn negtif direpresentsikn dengn keping hitm. Penjumlhn bilngn: 5 + ( 3) dpt ditunjukkn dengn... A. gbungn 3 keping putih dn 5 keping hitm B. gbungn 8 keping putih dn 2 keping hitm C. gbungn 7 keping putih dn 5 keping hitm D. gbungn 0 keping putih dn 5 keping hitm 3) Mislkn bilngn positif direpresentsikn dengn keping putih, dn bilngn negtif direpresentsikn dengn keping hitm. Pengurngn bilngn: -5 - (-8) dpt ditunjukkn dengn... A. pengmbiln 5 keping hitm dri kumpuln keping yng terdiri dri 8 keping hitm B. pengmbiln 8 keping hitm dri kumpuln keping yng terdiri dri 5 keping hitm C. pengmbiln 5 keping hitm dri kumpuln keping yng terdiri dri 5 keping hitm D. pengmbiln 8 keping hitm dri kumpuln keping yng terdiri dri 8 keping hitm 4) Mnkh di ntr pernytn berikut yng slh? A. Himpunn bilngn bult tertutup terhdp opersi penjumlhn. B. Himpunn bilngn cch tertutup terhdp opersi perklin. C. Himpunn bilngn bult tertutup terhdp opersi perklin. D. Himpunn bilngn cch tertutup terhdp opersi pembgin. 5) Gmbr berikut menunjukkn opersi hitung... A B. 8 9 C. 9 8 D ) Mislkn bilngn positif direpresentsikn dengn keping putih dn bilngn negtif direpresentsikn dengn keping hitm. Gmbr berikut menunjukkn opersi hitung...

32 .32 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP A B. -4 (-7) C. 4 7 D. 4 (-7) 3 5 7) Bentuk pling sederhn dri : dlh A B C D ) Penyelesin dri pertksmn x < dlh A. x > 2 2 B. C. D. x < 2 2 x > 2 2 x < 2 2 9) Pd semester himpunn bilngn rsionl, sift berikut yng berlku dlm opersi pengurngn dlh... A. tertutup B. sositif C. komuttif D. memiliki identits

33 PEMA430/MODUL.33 0) Bilngn rsionl yng pbil 5 di tmbh dengn kudrt bilngn rsionl tersebut kn menghsilkn kudrt bilngn rsionl yng lin dlh... A. 0 B. C. 2 D. 3 Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr. Tingkt pengusn = Jumlh Jwbn yng Benr 00% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: 90-00% = bik sekli 80-89% = bik 70-79% = cukup < 70% = kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn Kegitn Beljr 2. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr, terutm bgin yng belum dikusi.

34 .34 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Kegitn Beljr 2 Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr A. BILANGAN BERPANGKAT Pd bgin sebelumny kit telh mengenl rti perklin, seperti 3 5 yng berrti , sedngkn 5 3 berrti Wlupun mknny berbed ntr 3 5 dn 5 3, nmun keduny menghsilkn bilngn yng sm, ykni 5. Sift semcm ini disebut sift komuttif 5 dlm perklin, ykni 3 5= 5 3. Pernhkh And menjumpi bentuk 3? Bentuk semcm ini disebut bentuk pngkt. Mungkin kn timbul pertnyn pkh 3 5 sm dengn 5 3?. Untuk mengethuiny, perlu diphmi bgimn bentuk pngkt didefinisikn. Definisi: n Bentuk dengn n, Z disebut bentuk pngkt. n disebut pngkt (eksponen) dn disebut bilngn pokok (bsis). n Untuk n bilngn sli berrti bilngn diklikn sebnyk n kli.... nfktor Contoh = dn 5 = Dri contoh tersebut telh terjwblh pertnyn di ts, ykni Jdi dlm opersi pngkt tidk berlku sift komuttif Untuk n bilngn bult negtif mk n = (n negtif mk n n n positif). Pernytn ini setr dengn = n, untuk bilngn sli n. Definisi ini sebenrny mudh diphmi dri kenytn bhw dlh invers dri pd opersi perklin, ykni n n = = sehingg ( ), 0 n = = = = n. n

35 PEMA430/MODUL.35 Contoh = = n 0 Untuk n = 0 dn 0 mk = = Berpkh nili x ketik x = 5? Untuk menjwb pertnyn semcm ini substitusikn x = 5 ke x 3, 3 3 diperoleh x = 5 = Jdi, nili x ketik x = 5 dlh 25.. Sift-sift Bilngn Berpngkt 2 Perhtikn bilngn dn 3. Jik kedu bilngn ini diklikn mk diperoleh: 5 fktor = ( ) ( ) = = + sedngkn ( ) 3 2 fktor 3 fktor 2 = = = 6 = fktor Secr umum dlh sebgi berikut.. Sift perklin pngkt Untuk menglikn bilngn berpngkt dengn bsis yng sm, jumlhkn pngktny. n m n m = + Bukti: Ksus : n dn m bilngn sli, n+ m fktor n m n+ m = (... ) (... ) =. n fktor m fktor Ksus 2: n bilngn sli dn m bilngn negtif tu m bilngn sli dn n bilngn negtif. Untuk ksus ini, kit hny kn menimbulkn n untuk ksus bilngn sli dn m bilngn negtif, sedngkn yng linny dpt dilkukn dengn cr yng serup, jik m bilngn negtif mk (-m) bilngn positif.

36 .36 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP nfktor n ( m) fktor n m... n+ m = =... =.... mfktor Ksus 3: n dn m bilngn negtif. = = = ( n+ m) n m n+ m n fktor m fktor Ksus 4: n bilngn bult dn m = 0 tu m bilngn bult dn n = 0. Untuk ksus ini, kit hny kn membuktikn untuk ksus n bilngn bult dn m = 0, sedngkn yng linny dpt dilkukn dengn cr yng serup. n m n 0 n n n+ 0 n+ m = = = = =. 0 Tentu sj untuk ksus menyrtkn 0. Dri keempt ksus ini, lengkplh pembuktin n m = n+ m.. Contoh = 3 = 3. b. Sift pembgin pngkt Untuk membgi bilngn berpngkt dengn bsis yng sm, kurngkn pngktny. n n m = m Contoh = 3 = c. Sift perpngktn dri pngkt Untuk memngktkn bilngn berpngkt dengn bsis yng sm, klikn pngktny. n ( ) m Contoh.7. ( ) 2 = = 3 = 3. n m

37 PEMA430/MODUL.37 d. Sift perpngktn dri perklin Untuk mencri pngkt dri perklin bilngn berpngkt, cri pngkt dri msing-msing fktor kemudin klikn. Bukti: m ( ) = ( ) ( )... ( ) ( ) m m m b = b b b b b (definisi) Contoh.8. m fktor = ( b) b... b (sift komuttif perklin) =... b b... b m fktor m fktor m m = b (definisi) ( ) = 3 7. e. Sift perpngktn dri pembgin Untuk mencri pngkt dri pembgin bilngn berpngkt, cri hsil pemngktn dri pembilng dn hsil pemngktn dri penyebut kemudin bgilh. m m = m b b Contoh = 2 = Perhtikn bhw ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , nmun + = + + = + 2+ dn perhtikn du bentuk berikut: 2 2 2w = 2w 2w = 4w 2 2 2w = 2w 2w = 4w du hl yng cukup berbed. Untuk itu hti-hti dlm melkukn opersi bilngn berpngkt.

38 .38 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Contoh penerpn. Beberp petni menggunkn sistem pengirn terpust (center-pivot irrigtion), dengn pust semburn d pd tengh-tengh lingkrn irigsi seperti pd gmbr. Lingkrn irigsi yng besr membntu pr petni untuk menghemt ir, memksimlkn hsil pnen, dn mereduksi hrg pestisid. Mk, perbndingn lus lingkrn irigsi besr dn lus lingkrn irigsi kecil dlh: ( ) 2 2 π r 2r π r4r 4 = = 2 2 πrr πrr Dri ksus ini dpt disimpulkn bhw dengn membut lingkrn irigsi dengn jri-jri du kli lebih besr kn menghsilkn derh irigsi yng dpt menjngku dlh 4 kli derh semul. 2. Bnykny shm N (dlm milir) yng terdftr di New York Stock Exchnge dri thun 977 hingg 997 dpt dimodelkn dengn: N = 92,56(,2) t dengn t = 0 menytkn thun 990. Untuk thun 977 diperoleh t = -3 dn untuk thun 997 diperoleh t = 7 sehingg perbndingn shm pd thun 997 dn shm pd thun 977 dlh: 7 92,56(,2) 7 ( 3) 20 =,2 =,2 8, ,56(,2) Dri sini dpt disimpulkn bhw dri thun 977 ke thun 997 pertumbuhn shm yng terdftr nik sebesr 8,4 kli. Wlupun bentuk n didefinisikn sebelumny untuk bilngn bult, nmun sebenrny sift-sift yng diperoleh dpt diperlus untuk bilngn rel, dengn

39 PEMA430/MODUL.39 n =... n 0 nfktor = n =, 0. Teorem: Untuk bilngn rel, b dn n, m bilngn bult berlku n m n m. = + n n m 2. = m n 3. ( ) m = n m 4. ( ) m m m b = b 5. m m = m b b Teorem ini dpt diperlus untuk n dn m bilngn rsionl. B. BENTUK AKAR Kit telh memperlus definisi bilngn berpngkt dri bsis bilngn bult ke bsis bilngn rel, nmun pngktny msih tetp bilngn bult. Pd bgin ini kit perlus pembhsn dengn pngkt bilngn rsionl (ingtlh definisi bilngn rsionl). Definisi: Untuk bilngn rel, b, dn n bilngn sli mk: n n = b b = Untuk n = 2 bentuk 2 cukup ditulis. Bentuk sering disebut bentuk kr ketik merupkn bilngn irsionl. Perhtikn bhw = = =

40 .40 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Sift-sift Bentuk Akr Untuk, b, c, dn d bilngn rel, berlku:. Penjumlhn dn Pengurngn bentuk kr. b + c b = ( + c) b b. b c b = ( c) b 2. Perklin dn pembgin bentuk kr. b = b b., b 0 b = b c. b c d = ( c) ( b d) c c d., b 0 d d b = d b Kit perlus pembhsn tentng bilngn bentuk kr memperkenlkn definisi berikut. dengn Definisi: p Mislkn bilngn rel dn n bilngn rsionl yng berbentuk n =, q dengn p, q bilngn sli. Mk bentuk pngkt n dituliskn sebgi p q n q p bentuk kr = =, dengn tidk negtif st p genp. Untuk q = 2, bentuk q p p cukup ditulis sebgi. Contoh = 3, 2 2 = 2, 2 36 = 36 = 6 Pd dsrny sift-sift yng telh dimiliki oleh bilngn berpngkt jug dimiliki oleh bilngn bentuk kr, ykni:

41 PEMA430/MODUL.4 Untuk bilngn rel, b dn n, m bilngn rsionl berbentuk s dn m =, dengn pqst,,, bilngn sli berlku t. 2. q q t p t s qt pt qs = + p s = qt pt qs 3. q p q p q ( ) p b = b p n = q q p p q = p 4. q b b dengn dn b tidk negtif st p tu s genp. Bukti: Kit hny kn membuktikn bgin, 3, dn 4; sedngkn yng lin dpt dicob sebgi ltihn. q p. p t s q t = ( definisi) n m = ( hipotesis) n+ m = ( Teorem) q q = = p s + q t pt + qs qt s qt pt qs + = ( definisi). p 3. p p q q b = b ( definisi) n n = b ( hipotesis) n = b ( teorem) ( ) ( b) = p p q ( b) p ( definisi) q =. ( opersi bilngn rsionl)

42 .42 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP 4. p q p q q b p = (definisi) b = b p q n n n = b = b p q b q = p ( hipotesis) ( teorem) ( definisi) Contoh = = 3 = 3 = = = = = ( ) = 2 3 = 2 3 = 2 3 = = = = LATIHAN Untuk memperdlm pemhmn And mengeni mteri di ts, kerjknlh ltihn berikut! 3 ) Pd bentuk 5, disebut pkh 5? Disebut pkh 3? Disebut pkh bentuk tersebut? 2) Berpkh nili dri: 2 ) 0 b) 5 2 c) 0 5

43 PEMA430/MODUL.43 d) 6 4 e) 4 6 e) 9 3 3) Jik x = 3, berpkh nili dri: 2. x b. ( x + ) 3 c. 2 2x d. ( 2x ) 3 e. 5 x 4) Buktikn sift pembgin dri pngkt! 5) Buktikn sift perpngktn dri pembgin yng d pd hlmn.37 6) Sederhnkn bentuk berikut. ) b b 3 4 b) ( ) 8. b 7) Tentukn nili dri: , 3 ) 8 b) Petunjuk Jwbn Ltihn 2 ) Ingt kembli definisi bilngn berpngkt. 2) Gunkn definisi bilngn berpngkt untuk melkukn opersi hitung sesui bilngn yng dipngktkn. 3) Substitusi x = 3 ke bentuk ljbr yng sesui. 4) Perhtikn pembuktin dri sift perklin dri pngkt. 5) Gunkn definisi bilngn berpngkt dn sift-sift opersi pd bilngn bult. 0 6) ) 0

44 .44 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP b) 7) ) b) 6 4 b RANGKUMAN n. Bentuk dengn n, Z disebut bentuk pngkt, dengn pngkt n dn bsis. n 2. Untuk n bilngn sli dinytkn sebgi perklin sebnyk n n kli dri bilngn, kemudin = n. Untuk 0 mk 0 =. 3. Terdpt beberp sift bilngn berpngkt di ntrny sift pembgin dri pngkt (untuk membgi bilngn berpngkt dengn bsis yng sm, kurngkn pngktny), sift perpngktn dri pngkt (untuk memngktkn bilngn berpngkt dengn bsis yng sm, klikn pngktny), sift perpngktn dri perklin (untuk mencri pngkt dri perklin bilngn berpngkt, cri pngkt dri msing-msing fktor kemudin klikn), sift perpngktn dri pembgin (untuk mencri pngkt dri pembgin bilngn berpngkt, cri hsil pemngktn dri pembilng dn hsil pemngktn dri penyebut kemudin bgilh). 4. Bentuk q p dengn bilngn rel dn p, q bilngn bult disebut bentuk kr. Bentuk ini menyrtkn dengn tidk negtif ketik p genp. 5. Sift-sift yng dimiliki oleh bilngn berpngkt dpt didopsi untuk bilngn bentuk kr.

45 PEMA430/MODUL.45 TES FORMATIF 2 Pilihlh stu jwbn yng pling tept! ) Mislkn x = 2. Tentukn lus segitig sm kki berikut... A. 3,87 B. 3,73 C. 3,75 D. 3,45 2) Seorng senimn kn membut phtn berbentuk kubus dri sutu kristl pdt. Kristl kubus yng kn dibut memiliki rusuk sepnjng 20 cm. Dlm stun cm 2, tentukn bnyk kristl yng diperlukn senimn untuk membut kubus tersebut... A B C D. (20 20) 3 3) The rin forest pyrmid (sutu tnmn berbentuk pirmid) di tmn Moody dekt Glveston, Texs, memiliki tinggi 00 kki dn pnjng msing-msing sisi lsny dlh 200 kki (lsnny berbentuk persegi). Dlm stun kki 3, tentukn volume rungn di dlm the rin forest pyrmid? A B. C. D

46 .46 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP 4) Sutu tes benr slh memiliki du bgin yitu bgin A dn bgin B. Ad 2 0 cr untuk menjwb 0 pertnyn pd bgin A, dn d 2 5 cr untuk menjwb 5 pertnyn bgin B. Ad berp cr untuk menjwb 25 sol tes tersebut? 0-5 A. 2 0 : 5 B C D. 2 5) Sutu pekerjn yng dpt diselesikn selm x jm, ditwrkn dlm 4 jenis penggjin. Sendiny And kn bekerj miniml 2 jm mk jenis penggjin yng sebikny dipilih dlh... A. 2x B. x 2 C. 2 x D. x 2 6) ( ) 3 3 =... A. 6 3 B. 9 C. 3 6 D ) A. B. C. D =...

47 PEMA430/MODUL ) Nili untuk = 27 dlh... A. 9 B. 3 C. 3 D. 9 Cocokknlh jwbn And dengn Kunci Jwbn Tes Formtif 2 yng terdpt di bgin khir modul ini. Hitunglh jwbn yng benr. Kemudin, gunkn rumus berikut untuk mengethui tingkt pengusn And terhdp mteri Kegitn Beljr 2. Tingkt pengusn = Jumlh Jwbn yng Benr 00% Jumlh Sol Arti tingkt pengusn: 90-00% = bik sekli 80-89% = bik 70-79% = cukup < 70% = kurng Apbil mencpi tingkt pengusn 80% tu lebih, And dpt meneruskn dengn modul selnjutny. Bgus! Jik msih di bwh 80%, And hrus mengulngi mteri Kegitn Beljr 2, terutm bgin yng belum dikusi.

48 .48 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Kunci Jwbn Tes Formtif Tes Formtif ) A. Liht ltihn nomor 5. 2) C 3) D 4) D. 5) A 6) B 7) B 8) A 9) A. Liht ltihn nomor 4. 0) C = 9 = 3 2. Tes Formtif 2 ) A. Tinggi segitig = ( 2x) 2 2 2x = = 4x 5 4 x x Lus segitig = = 5 2 x = x 5. x x 2 lus segitig 5 x = = 3,87 2) A. Ingt kembli volume kubus. 3) B. Pirmid tersebut membentuk lim persegi.

49 PEMA430/MODUL.49 Volume = 3 = 3 lus ls tinggi = ) D. Ad 2.2 = 2. 5) C. Akn menghsilkn gji yng pling besr. 6) D. ( ) 3 7) C = 3 = ( 3 2 ) 3 = = 6 = ) D. ( ) ( ) = 3 = 3 = = 3 = 9

50 .50 Mteri Kurikuler Mtemtik SMP Dftr Pustk Abdul Kodir, M, dkk. (979). Mtemtik untuk SMP Jilid 5. Jkrt: Depdikbud. Abdul Kodir, M, dkk. (979). Mtemtik untuk SMA Jilid 0. Jkrt: Depdikbud. Andi Hkim Nsution, dkk. (994). Mtemtik 2 untuk Sekolh Menengh Umum. Jkrt: Bli Pustk. Depdikns. (2002). Contextul Teching nd Lerning (CTL). Jkrt: Direktort Jenderl Pendidikn Dsr Menengh. Krso. (2007). Mteri Kurikulum Mtemtik SMA (Aljbr 4). Jkrt: Pust Penerbitn Universits Terbuk Depdikns. Lilik Hendrjy dn Ismil (975). Mtemtik untuk SLA & Sederjt. Bndung: Gnec Science Book Series. Stephen, W. J. dn Gllgher, S. A. (2003). Problem Bsed Lerning. [online]. Tersedi HUhttp://wwwUHU. Score rims h. 2 C.vs/ problem htmul.