BAB I PENDAHULUAN LATAR BELAKANG

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN LATAR BELAKANG Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang. Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca: garis AB ), dan lambang-lambang yang lain seperti AB yang menunjukkan segmen AB. Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid, kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan. Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan 1

2 ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180 o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar. 2

3 BAB II PEMBAHASAN A. GEOMETRI EUCLID Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements. Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di Buku I. 3

4 Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumusrumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu 4

5 pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan. Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsipprinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. 5

6 Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid, bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron - -misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah. The Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan proposisiproposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar, teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras. Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku 3 menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudutsudut yang digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak beraturan dan lingkaranlingkaran yang mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan. Buku 6 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar. Buku 7 menguraikan teori bilangan dasar: misalnya bilangan prima, faktor persekutuan terbesar, dan lainlain. Buku 8 terkait dengan deret geometri. Buku 9 memuat macam-macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema-teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. Buku 10 berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan (dengan kata lain irasional) menggunakan apa yang disebut metode keletihan, suatu rintisan 6

7 integral kuno. Buku 11 menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan metode keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa yang biasa disebut lima benda padat platonis. B. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah : 1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya. 2. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama. 3. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama. 4. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya. 5. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya. 6. Setiap sudut memiliki bisektor. 7. Setiap segmen memiliki titik tengah. 8. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis. 9. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan. 10. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui. 11. Semua sudut siku siku sama besar. Dari postulat postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah : 1. Sudut bertolak belakang sama besar. 2. Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS ) 3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan konversinya 4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut 5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal 6. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya. 7

8 7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui. Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju perkembangan lebih lanjut. Teorema 1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior terpencil manapun. Bukti. Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan perpanjangan dari BC melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior ACD lebih besar dari A. misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE = EF dan AEB = CEF ( sudut bertolak belakang sama besar ). Jadi AEB = CEF ( SAS ), dan BAE = FCE ( akibat segitiga kongruen ). Karena ACD > FCE ( keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya ), maka disimpulkan bahwa ACD > BAE = A. Untuk menunjukkan bahwa ACD > B, perluas AC melalui C hingga H, yang membentuk BCH. Kemudian tunjukkan bahwa BCH > B, dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik tengah BC, perluas panjang AM melalui M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa BCH dan ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga sudut tersebut sama besar. Pernyataan ACD > FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting. 8

9 Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar. Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, 1 dan 2, yang sama besar, dan misalkan garis l dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang membentuk ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi yang lainnya. Untuk kasus lainnya, sudut eksterior ABC sama dengan sudut interior terpencil. (misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai 2 maka sudut eksterior 1 sama dengan sudut interior terpencil 2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar. Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar. Sebagai akibat langsung akibat 1 adalah Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal. Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada garis l, maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l. 9

10 Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan garis l menurut akibat 1. Teorema 3. Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180 o. Bukti. Misalkan ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa A + B < 180 o. Perluas CB melalui B hingga ke D. maka ABD merupakan sudut eksterior ABC. Dengan menggunakan teorema 1, ABD > A, tetapi ABD = 180 o - B.dengan mensubstitusikan untuk ABD pada relasi pertama, maka : 180 o - B > A, atau 180 o > A + B. Jadi, A + B < 180 o, dan teorema tersebut terbukti. Pengganti Postulat Sejajar Euclid Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini : Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut. Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema; dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama 10

11 dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan dideduksi sebagai suatu teorema. Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair. Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan dideduksi postulat Playfair. Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada PQ. Maka garis m sejajar garis l. Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan 1, 2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan PQ. Maka 1 bukan merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit, berlawanan dengan asumsi. Jadi 1 atau 2 adalah sudut lancip, misalnya 1 yang merupakan sudut lancip. Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk sudut lancip 1 dan sudut siku siku, yang merupakan sudut interior pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari 180 o, postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu satunya garis 11

12 yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat Playfair dari postulat sejajar Euclid. Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat sejajar Euclid. Gambar 2.6 Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk 1 dan 2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki jumlah sudut kurang dari 180 o ( gambar 2.6 ), adalah : (1) < 180 o Misalkan 3 menunjukkan tambahan 1 yang terletak pada sisi berlawanan PQ dari 1 dan 2 ( gambar 2.6 ), maka : (2) = 180 o Dari hubungan (1), (2) maka : (3) 2 < 3 Pada titik P, bentuk QPR yang sama dengan dan yang interior dalam berseberangan dengan 3. Maka 2 < PQR, sehingga RP berbeda dari garis m. menurut teorema 2, RP sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu. Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari PR dari 1 dan 2, katakanlah di titik E maka 2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya 2 > 3, berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m dan l bertemu pada sisi garis transversal PQ yang memuat 1 dan 2. Jadi 12

13 postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat tersebut menjadi ekivalen. C. PERAN POSTULAT SEJAJAR EUCLID Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan : 1. Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar. 2. Jumlah sudut sebarang segitiga adalah Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar. 4. Garis sejajar selalu berjarak sama. 5. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar. 6. Teori luas menggunakan unit persegi. 7. Teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui. Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal itu. Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut. Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti. 13

14 D. TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETRY Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid Prolus ( ) memberikan bukti tentang postulat sejajar Euclid yang kita ringkas sebagai berikut : Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P merupakan titik tidak berada pada garis l (gambar 2.7). kita bentuk garis m melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan PQ tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus dengan PQ di P. Sekarang, anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi kanan PQ. Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi oleh garis l, m dan PQ. Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan XY tegak lurus dengan l di Y dan misalkan garis XY tersebut bertemu dengan garis n di Z. Maka XY > XZ. Misalkan X mundur di garis m, maka XZ meningkat secara tidak menentu, karena XZ setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n. Jadi XY juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah. Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat sejajar Euclid. 14

15 Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi : a. jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut mundur (menyusut) tak berujung. b. segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis merupakan segmen yang tegak lurus. c. jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas. (a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar Proclus. Postulat sejajar Euclid mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid. Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut. Percobaan Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid Girolamo Saccheri ( ) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung. Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10). 15

16 Saccheri membuktikan bahwa C = D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D : 1. hipotesis tentang sudut siku-siku ( C = D = 90 ) 2. hipotesis tentang sudut tumpul ( C = D > 90 ) 3. hipotesis tentang sudut lancip ( C = D < 90 ) Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang segi empat adalah 360 ). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut: Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid. Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut: Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180. Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi: a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan. b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut. 16

17 c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya. Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid. 17

18 BAB III PENUTUP KESIMPULAN Adapun kesimpulan yang dapat ditarik dari penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Geometri Euclid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas, artinya hasil-hasil penting/teorema-teorema tersebut merupakan akibat dari postulat sejajar. 2. Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat lainnya yang lebih pasti. 18