A. PENGENALAN PROBLEM SOLVING (PENYELESAIAN MASALAH) George Polya disebut sebagai bapak problem solving modern. Beliau lahir di Hungaria tahun 1887.
|
|
- Yulia Halim
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 A. PENGENALAN PROBLEM SOLVING (PENYELESAIAN MASALAH) George Polya disebut sebagai bapak problem solving modern. Beliau lahir di Hungaria tahun Beliau menerima gelar Ph.D. nya di Universitas Budapest. Pada tahun 1940 beliau datang ke Universitas Brown dan kemudian bergabung dengan Fakultas di Universitas Stanford tahun Dalam studinya, beliau menjadi tertarik pada proses penemuan, yang membimbingnya menemukan empat langkah proses yang terkenal dalam menyelesaikan masalah, yaitu: 1. Memahami masalah (Understanding the problem) 2. Memikirkan suatu rencana (Devise a plan) 3. Melaksanakan rencana (Carry out the plan) 4. Memeriksa kembali (Look Back) Polya telah menulis lebih dari 250 makalah matematika dan tiga buku yang mengenalkan problem solving. Buku paling terkenalnya adalah How to solve it, yang telah diterjemahkan dalam 15 bahasa untuk memperkenalkan pendekatan empat langkah beserta strateginya, yang mana sangat membantu dalam memecahkan masalah. Karya penting lain dari Polya adalah Mathematical Discovery, volum I dan 2, dan Mathematics and Plausible Reasoning, volum I dan 2. Beliau telah meninggal pada tahun 1985, meninggalkan matematika dengan warisan yang penting dalam mengajarkan problem solving. 10 himbauan beliau untuk para guru adalah sebagai berikut: 1. Tertariklah pada bidangmu 2. Ketahuilah bidangmu 3. Cobalah baca wajah siswamu, cobalah mengetahui harapan dan kesulitan siswa, tempatkan dirimu pada tempat mereka. 4. Sadarilah bahwa cara paling baik untuk belajar sesuatu adalah menemukannya sendiri. 5. Berikan siswamu bukan hanya informasi, tetapi juga mengetahui bagaimana, sikap mental, kebiasaan bekerja dengan metode. 6. Ajaklah mereka belajar menebak. 7. Ajaklah mereka belajar membuktikan. 8. Perhatikanlah bentuk masalah dan menguasainya yang berguna dalam menyelesaikan masalah yang datang, cobalah tidak menutup pola umum di belakang situasi nyata yang muncul. 1
2 9. Pada awalnya jangan memberikan jawabanmu secara utuh, ajak siswa menebak sebelum kamu mengatakannya, ajak siswa menemukan jawaban sendiri sebanyak mungkin. 10. Saran: jangan memaksa keterangan kepada mereka. B. PENDAHULUAN Suatu saat pada pertemuan informal, seorang ahli sosial bertanya kepada seorang profesor matematika, Apa tujuan utama dari pembelajaran matematika? Jawabannya adalah, Problem Solving. Sebaliknya matematikawan tersebut bertanya, Apa tujuan utama dari pembelajaran ilmu sosial? Sekali lagi jawabannya adalah Problem Solving. Semua peneliti sukses, ilmuwan, ahli sosial, pengacara, akuntan, dokter, manajer bisnis, dan lain-lain adalah problem solver yang baik walaupun masalah orang-orang tersebut berbeda. Karena pentingnya problem solving maka NCTM (National Council of Teacher of Mathematics) merekomendasikan di agenda 1980nya bahwa problem solving menjadi fokus matematika sekolah pada tahun 1980-an. Standard Kurikulum dan Evaluasi untuk Matematika Sekolah 1989 milik NCTM meningkatkan perhatian kepada pembelajaran problem solving dalam K-8 Matematika. Daerah penekanan meliputi masalah cerita, aplikasi, pola dan hubungan, masalah open-ended, dan situasi masalah yang dinyatakan secara bahasa, secara numerik, secara grafik, secara geometri, atau secara simbolik. Prinsip dan Standard untuk Matematika Sekolah 2000 milik NCTM mengidentifikasi problem solving sebagai salah satu proses dengan semua matematika akan dipelajari. BAB ini memperkenalkan suatu proses problem solving sekalian enam strategi yang akan membantu kita dalam memecahkan masalah. C. PROSES DAN STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH 1. Empat Langkah Proses Penyelesaian Masalah Polya Exercise dan problem merupakan dua istilah yang berbeda. Untuk menyelesaikan exercise, seseorang menerapkan suatu prosedur rutin untuk mendapat suatu jawaban. Untuk menyelesaikan problem, seseorang harus berhenti sejenak, mengulangi lagi, dan mungkin menggunakan beberapa langkah biasa tidak akan pernah mendapat suatu penyelesaian. Bagi seorang anak mencari 3+2 mungkin suatu problem. Bagi seorang anak di jenjang dasar, pertanyaan Bagaimana kamu membagi 96 pensil secara sama ke 16 anak? menjadi suatu problem, tetapi untuk kita ini merupakan latihan, dapatkan 96:16. Kedua contoh di atas menggambarkan contoh bagaimana perbedaan 2
3 antara exercise dan problem dapat bermacam-macam karena hal itu tergantung pada cara berpikir dari orang yang menyelesaikannya. Mengerjakan exercise merupakan bantuan yang sangat berharga dalam belajar matematika. Exercise membantu kita belajar konsep, sifat-sifat, prosedur, dan sebagainya, yang mana kemudian kita dapat menerapkannya ketika menyelesaikan masalah. Seorang matematikawan terkenal, George Polya, mempersembahkan banyak hal yang pelajarinya untuk membantu siswa menjadi problem solver yang lebih baik. Kontribusi besar Polya adalah apa yang dikenal dengan 4 langkah proses Polya untuk menyelesaikan masalah. Langkah I Memahami Masalah (Understand the Problem) 1. Apakah kamu memahami semua kata-kata? 2. Dapatkah kamu menceritakan problem tersebut dengan bahasamu sendiri? 3. Apakah kamu tahu apa yang diketahui? 4. Apakah kamu tahu apa tujuannya (yang ditanyakan)? 5. Apakah informasi telah cukup? 6. Apakah ada informasi tambahan? 7. Apakah masalah ini mirip dengan masalah lain yang pernah kamu selesaikan? Langkah II Memikirkan Suatu Rencana (Devise A Plan) Dapatkah salah satu dari strategi-strategi berikut ini digunakan? Strategi didefinisikan sebagai sesuatu cara yang cerdik menuju tujuan akhir. 1. Guess and test (Tebak dan uji) 2. Draw a picture (Membuat gambar) 3. Use a variable (Menggunakan suatu variabel) 4. Look for a pattern (Mencari pola) 5. Make a list (Membuat daftar) 6. Solve a simpler problem (Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana) 7. Draw a diagram (Membuat diagram) 8. Use direct reasoning (Menggunakan penalaran langsung) 9. Use indirect reasoning (Menggunakan penalaran tidak langsung) 10. Use properties of number (Menggunakan sifat-sifat bilangan) 11. Solve an equivalent number (Menyelesaikan masalah yang sama) 12. Word backward (Bekerja mundur) 13. Use cases (Menggunakan kasus) 3
4 14. Solve an equation (Menyelesaikan persamaan) 15. Look for a formula (Mencari rumus) 16. Do a simulation (Melakukan peragaan) 17. Use a model (Menggunakan model) 18. Use dimensional analysis (Menggunakan analisis dimensional) 19. Identify subgoals (Mengidentifikasi sub tujuan) 20. Use coordinates (Menggunakan koordinat) 21. Use symmetry (Menggunakan simetri) Langkah III Melaksanakan Rencana (Carry Out the Plan) Penerapan strategi yang telah kita pilih sampai masalah terselesaikan atau sampai mendapat pencerahan. Berikan sendiri alokasi waktu untuk menyelesaikan masalah. Jika tidak berhasil, carilah petunjuk-petunjuk lain atau letakkan masalah untuk sesaat. (Kita mungkin mempunyai ide ketika kita memiliki sedikit harapan). Jangan takut untuk memulai lagi. Seringkali suatu awal yang segar dan strategi baru akan menghantarkan ke keberhasilan. Langkah IV Memeriksa Kembali (Look Back) Apakah solusi kita telah benar? Apakah jawaban kita memenuhi pernyataan masalah? Dapatkah kita menemukan suatu solusi yang lebih mudah? Dapatkah kita menjabarkan solusi ke suatu bentuk yang lebih umum? Suatu masalah biasanya dinyatakan secara kata-kata, lisan maupun tulisan. Kemudian, untuk menyelesaikan masalah seseorang menterjemahkan kata-kata tersebut menggunakan simbol matematika kemudian menyelesaikan model matematika tersebut dan menginterpretasikan jawaban. Proses tersebut dapat dirangkum dalam gambar 1.1 Masalah awal menterjemahkan Model matematika masalah Mengecek Menyelesaikan Jawaban masalah awal Menginterpretasikan Solusi dari model matematika 4
5 Langkah awal untuk menjadi problem solver yang baik adalah belajar memanfaatkan 4 langkah Polya dan diagram dalam gambar 1.1. Khususnya, langkah memikirkan rencana adalah sangat penting. Pada pembahasan kali ini, kita akan belajar strategi yang terdaftar pada langkah memikirkan suatu rencana, yang membantu kita memutuskan bagaimana proses menyelesaikan masalah. Pemilihan suatu strategi yang sesuai diperlukan sifat yang kritis. Jika perlu daftar petunjuk yang dapat membantu kita memutuskan kapan memilih suatu strategi yang cocok atau kombinasi strategi-strategi tersebut. Dengan pengalaman akan dapat mengembangkan suatu perasaan kapan menggunakan suatu strategi dibanding strategi lainnya dengan mengenal petunjuk-petunjuk tertentu, mungkin dengan tanpa sadar. Dan juga, kita akan tahu bahwa beberapa masalah mungkin diselesaikan dalam banyak cara menggunakan strategi yang berbeda. 2. Strategi-Strategi Penyelesaian Masalah Strategi yang dibahas kali ini adalah enam strategi awal yang terdaftar pada langkah memikirkan suatu rencana. a. STRATEGI 1: Tebak dan Uji Contoh Masalah: 1. Tempatkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dalam lingkaran-lingkaran pada gambar 1.2 sehingga jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi segitiga adalag 12. Dari namanya menyarankan menggunakan strategi menebak dan mengetes, kita menebak suatu solusi dan mengetes apakah kebenarannya. Jika kita tidak benar, kita koreksi tebakan kita dan mengetes kembali. Proses ini diulangi hingga tercapai suatu penyelesaian. Langkah I Memahami masalah Masing-masing bilangan harus digunakan satu kali ketika disusun dalam segitiga. Jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi harus 12. Pendekatan pertama: Tebak dan Uji Secara Acak Langkah II Memikirkan Suatu Rencana Potonglah 6 potong kertas dan tandai nomor 1 hingga 6 dan kemudian kombinasikan hingga ditemukan suatu susunan yang benar. Langkah III Melaksanakan Rencana 5
6 Susunlah potongan-potongan kertas dalam bentuk suatu segitiga sama sisi dan cek jumlah bilangan di setiap sisi. Susunlah hingga ketiga jumlah bilangan di setiap sisi diperoleh 12. Gambar 1.2 Pendekatan kedua: Tebak dan Uji Secara Sistematis Langkah II Memikirkan suatu rencana Dari pada secara acak dalam memindah bilangan, mulailah dengan menempatkan nomor paling kecil yaitu 1, 2, 3 pada pojok-pojok. Jika itu tidak berhasil, coba tingkatkan bilangan menjadi 1, 2, 4, dan seterusnya. Langkah III Melaksanakan rencana Dengan 1, 2, 3 di pojok, jumlah sisi adalah terlalu kecil; begitu juga dengan 1, 2, 4. Untuk 1, 2, 5 dan 1, 2, 6. Jumlah sisi-sisi masih terlalu kecil. Selanjutnya coba 2, 3, 4. Kemudian 2, 3, 5, dan seterusnya hingga diperoleh penyelesaiannya. Seseorang juga dapat memulai dengan 4, 5, 6 di pojok, kemudian coba 3, 4, 5, dan seterusnya. Pendekatan ketiga: Tebak dan Uji Inferensial Langkah II Memikirkan suatu rencana Mulai dengan mengasumsikan bahwa 1 harus di suatu pojok dan mengamati akibatnya. Langkah III Melaksanakan rencana Jika 1 ditempatkan di suatu pojok, kita harus mendapatkan dua pasang dari sisa 5 bilangan yang mana setiap pasang jumlahnya adalah 11 (gambar 1.3). Gambar 1.3 6
7 Tetapi, 2, 3, 4, 5, dan 6, hanya 6+5=11. Sehingga, kita menyimpulkan 1 tidak dapat bertempat di pojok. Jika dua bertempat di pojok, harus ada dua pasang bilangan yang tersisa dengan jumlah 10 (gambar 1.4). Gambar 1.4 Tetapi hanya 6+4=10. Sehingga, dua tidak dapat di pojok. Akhirnya, misalkan 3 bertempat di pojok. Maka kita harus memenuhi gambar 1.5. Gambar 1.5 Tetapi, hanya 5+4=9 dari sisa bilangan-bilangan tersebut. Sehingga dicapai solusi, 4, 5, dan 6 harus di pojok (gambar 1.6). Dengan menempatkan 1 antara 5 dan 6, 2 antara 4 dan 6, tiga antara 4 dan 5, kita mendapatkan solusinya. Langkah IV Memeriksa Kembali Catatlah bagaimana kamu menyelesaikan masalah ini dalam tiga cara yang berbeda menggunakan strategi tebak dan uji. Tebak dan uji secara acak sering digunakan untuk permulaan rencana, tetapi hal ini mudah untuk menghilangkan jejak berbagai percobaan. Tebak dan uji yang sistematis lebih baik karena kita perlu mengembangkan skema untuk memastikan telah memeriksa semua kemungkinan. Secara umum, tebak dan uji inferensial adalah cara unggul dari kedua cara sebelumnya karena biasanya menghemat waktu dan menyediakan informasi lebih banyak untuk menemukan solusi yang mungkin. Masalah Tambahan Di mana Strategi Tebak dan Uji Berguna Masalah: Pada cryptarithm yaitu suatu kumpulan kata-kata dimana huruf-huruf mewakili bilangan-bilangan, sun dan fun mewakili dua bilangan, dan swim adalah jumlah 4 angka mereka. Gunakan semua angka 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 di tempat huruf-huruf di 7
8 mana tidak ada huruf yang mewakili dua angka berbeda, tentukan nilai masingmasing huruf. Sun +fun Swim Langkah I Memahami masalah Masing-masing huruf di sun, fun, dan swim harus diganti dengan bilanganbilangan 0, 1, 2, 3, 6, 7, dan 9. Sehingga menghasilkan jumlah yang benar setelah masing-masing huruf diganti dengan angka yang sesuai. Ketika huruf n diganti dengan salah satu angka, maka n+n harus menjadi m atau 10 + m, di mana 1 pada 10 menempati puluhan. Karena = 2, = 6, dan = 12, ada tiga kemungkinan untuk n, yaitu, 1, 3, atau 6. Sekarang kita dapat mencoba berbagai kombinasi untuk mencapai jumlah. Langkah II Memikirkan suatu rencana Gunakan strategi tebak dan uji inferensial. Ada tiga pilihan untuk n. Amati bahwa sun dan fun adalah bilangan tiga angka dan swim adalah bilangan empat angka. Jadi kita harus membawa puluhan ketika kita menambahkan s dan f. Sehingga, nilai dari s dalam swim adalah 1. Hal ini membatasi pilihan untuk n adalah 3 atau 6. Langkah III Melaksanakan rencana Karena s = 1 dan s + f mewakili suatu bilangan dua angka, f harus 9. Jadi ada dua kemungkinan: a) 1 u 3 b) 1 u u u 6 1 w i 6 1 w i 2 Pada (a), jika u = 0, 2, atau 7, tidak ada nilai yang mungkin untuk i di antara angka-angka yang tersisa. Pada (b), jika u = 3, maka u + u ditambah hasil dari adalah i = 7. Hal ini meninggalkan w = 0 untuk suatu solusi. Langkah IV Memeriksa kembali Alasan yang digunakan di sini menunjukkan bahwa ada satu dan hanya satu solusi untuk masalah ini. Ketika menyelesaikan masalah pada tipe ini, seseorang dapat secara acak mengganti angka-angka hingga suatu solusi ditemukan. Strategi tebak dan uji inferensial menyederhanakan proses solusi dengan mencari aspek yang 8
9 unik dari masalah. Di sini, langkah untuk mengawali adalah n + n, u + u, dan fakta bahwa s + f menghasilkan suatu bilangan dua angka. Petunjuk Penggunaan Strategi Tebak dan Uji Strategi tebak dan uji kemungkinan akan cocok ketika: Ada pilihan jawaban yang terbatas yang mungkin untuk dicoba. Kita ingin lebih baik memahami masalah. Kita mempunyai suatu ide yang bagus untuk menjawab. Kita dapat secara sistematis mencoba jawaban yang mungkin. Pilihan-pilihanmu telah dipersempit dengan menggunakan strategi yang lain. Tidak ada strategi lain yang nyata untuk dicoba. b. STRATEGI 2: Membuat Suatu Gambar Seringkali suatu masalah melibatkan situasi fisik. Pada situasi ini, membuat suatu gambar dapat membantu kita memahami lebih baik masalah sehingga kita dapat merumuskan suatu rencana untuk menyelesaikan masalah. Seperti kita menyelesaikan masalah pizza berikut ini. Contoh Masalah Dapatkah kamu memotong pizza ke dalam 11 potongan dengan empat potongan lurus? Langkah I Memahami masalah Apakah potongan-potongan harus dengan bentuk dan ukuran yang sama? Langkah II Memikirkan Suatu Rencana Suatu permulaan yang nyata adalah membuat suatu gambar yang menunjukkan bagaimana suatu pizza biasanya dipotong dan banyaknya potongan. Jika kita tidak memperoleh 11 potong, kita harus mencoba suatu cara lagi (gambar 1.8). Sayangnya, kita hanya memperoleh 8 potong dengan cara ini. Gambar 1.8 Langkah III Carry Out the Plan 9
10 Lihat gambar 1.9 Langkah IV Memeriksa Kembali Apakah kamu memikirkan memotong menjadi potongan yang sama saat memulai? Hal itu normal. Pada konteks pemotongan suatu pizza, yang menjadi fokus biasanya memotong menjadi bagian-bagian yang sama dibandingkan jumlah potongan. Apakah menjadi masalah jika pizza lingkaran atau persegi? Berapa banyak potongan yang dapat kamu peroleh dengan 5 potongan lurus? n potongan lurus? Masalah Tambahan Di mana Strategi Membuat Suatu Gambar Berguna. 1. Suatu tetromino adalah suatu bentuk yang dibuat dari empat persegi di mana persegipersegi harus dihubungkan sepanjang seluruh sisi (gambar 1.10). Berapa banyak yang mungkin terbentuk? Bukan suatu tetromino Suatu tetromino Langkah I Memahami Masalah Solusi dari masalah ini lebih mudah jika membuat kumpulan gambar dari susunan empat persegi dengan ukuran sama yang mungkin. Langkah II Membuat Suatu Rencana Mari mulai dengan susunan yang paling panjang dan paling pendek dan kerjakan ke arah yang paling mudah. Langkah III Melaksanakan Rencana Empat dalam satu baris 10
11 Tiga persegi dalam satu baris, satunya lagi di atas atau bawah dari persegi akhir Tiga persegi dalam satu baris, dengan yang satu persegi di atas atau bawah dari persegi yang tengah. Dua persegi pada satu baris, satu persegi yang lain di atas dan satu lagi di bawah Dua persegi pada satu baris, dua yang lain di atasnya. Langkah IV Memeriksa Kembali Banyak masalah yang mirip dapat diungkapkan menggunakan lebih sedikit atau lebih banyak persegi. Masalah menjadi lebih kompleks sesuai dengan banyaknya persegi yang meningkat. Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Suatu Gambar Strategi membuat suatu gambar mungkin cocok saat: 1. Suatu situasi fisik dilibatkan 2. Gambar geometri atau ukurannya dilibatkan 3. Kita ingin pemahaman yang lebih baik dari masalah 4. Suatu penyajian visual dari suatu masalah adalah mungkin c. STRATEGI 3 : Menggunakan Suatu Variabel Amati bagaimana huruf-huruf digunakan untuk menggantikan bilanganbilangan sun + fun = swim pada pembahasan sebelumnya. Huruf-huruf yang digunakan untuk menggantikan bilangan-blangan itu disebut variabel atau tidak 11
12 diketahui. Strategi Menggunakan suatu Variabel, merupakan strategi yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah, yaitu digunakan pada aljabar secara luas dan matematika yang melibatkan aljabar. Contoh Masalah Bilangan apa yang dapat membagi rata jumlah setiap tiga bilangan cacah berurutan? Dengan mencoba beberapa contoh, kamu dapat menduga bahwa 3 adalah bilangan tersebut. Oleh karena itu, perlu menggunakan suatu variabel untuk menghitung semua kemungkinan dari contoh tiga bilangan cacah berurutan. Langkah 1 Memahami Masalah Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3,..., sehingga bilangan cacah berurutan dibedakan oleh 1. Sebagai contoh dari tiga bilangan cacah berurutan adalah 3, 4, dan 5. Jumlah dari tiga bilangan cacah berurutan tersebut mempunyai faktor 3 jika 3 dikalikan dengan bilangan cacah yang lain menghasilkan jumlahnya. Contoh pada 3, 4, dan 5, jumlahnya adalah 12 dan 3 x 4 = 12. Jadi mempunyai faktor 3. Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Karena kita dapat menggunakan suatu variabel, katakanlah untuk mengganti setiap bilangan cacah, kita dapat mengganti setiap tiga bilangan cacah berurutan dengan :,,. Sekarang dapat dilihat apakah jumlahnya mempunyai faktor 3. Langkah 3 Melaksanakan Rencana Jumlah dari,, dan adalah + ( ) + ( ) = = Karena + ( ) + ( ) adalah tiga kali ( ). Oleh karena itu kita dapat menunjukkan bahwa jumlah dari setiap tiga bilangan cacah berurutan mempunyai faktor 3. Pada kasus = 0 menunjukkan bahwa 3 adalah bilangan yang terbesar. Langkah 4 Memeriksa Kembali Apakah juga benar bahwa jumlah dari setiap lima bilangan cacah berurutan mempunyai faktor 5? Atau lebih umum, akankah jumlah dari setiap bilangan cacah berurutan mempunyai faktor? Dapatkah kamu memikirkan semua perumuman yang lain? Masalah Tambahan di mana Strategi Menggunakan Suatu Variabel Berguna 12
13 1. Carilah jumlah dari 10, 100, dan 500 bilangan asli pertama. Langkah 1 Memahami Masalah Karena bilanagan asli adalah bilangan 1, 2, 3, 4,..., maka jumlah dari 10 bilangan asli pertama adalah Dengan cara yang sama, jumlah dari 100 bilangan asli pertama adalah dan jumlah dari 500 bilangan asli pertama adalah Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Untuk menyelesaikan tiga masalah yang berbeda tersebut, strategi Menggunakan suatu Variabel dapat digunakan untuk mencari suatu metode umum menghitung jumlah dari tiga situasi. Karena itu jumlah dari bilangan asli pertama dapat ditunjukkan dengan. Jumlah dari bilangan tersebut dapat kita cari dengan mengingat bahwa bilangan pertama 1 ditambahkan pada bilangan terakhin adalah hal yang sama pada dan. Jumlah pada setiap bagian dapat dilakukan dengan menjumlah dua kali pada setiap bilangan. Langkah 3 Melaksanakan Rencana Karena setiap bilangan telah dijumlahkan dua kali, jumlah yang diinginkan didapat dengan membagi dengan 2, menghasilkan Bilangan-bilangan 10, 100, dan 500 sekarang dapat mengganti variabel mencari solusi yang diinginkan : untuk Langkah 4 Memeriksa Kembali 13
14 Karena metode untuk menyelesaikan masalah ini sangat unik, dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang mirip, sepeti : i. ii. 2. Tunjukkan bahwa jumlah dari lima bilangan cacah ganjil berurutan mempunyai faktor 3. Ukuran sudut terbesar pada suatu segitiga adalah sembilan kali ukuran sudut terkecilnya. Ukuran pada sudut ketiga adalah selisih dari ukuran sudut terbesar dan ukuran sudut terkecil. Berapakah ukuran sudut-sudutnya? Petunjuk Penggunaan Strategi Menggunakan Suatu Variabel Strategi Menggunakan suatu Variabel kemungkinan akan cocok ketika : 1. Suatu ungkapan seperti untuk setiap bilangan yang menunjukkan atau menyatakan secara tak langsung. 2. Suatu masalah yang berkesan suatu persamaan. 3. Suatu bukti atau solusi umum dibutuhkan. 4. Suatu masalah yang memuat ungkapan seperti bilangan cacah berurutan, genap, atau ganjil. 5. Ada suatu bilangan besar pada kasus 6. Ada banyak hal tidak diketahui yang berhubungan dengan banyak hal diketahui. 7. Ada bilangan tak terbatas pada bilangan. 8. Kita mencoba mengembangkan suatu rumus umum. Menggunakan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah Secara efektif memanfaatkan Strategi Menggunakan suatu Variabel, siswa butuh pengertian tentang apa itu variabel dan bagaimana menulis dan menyederhanakan persamaan yang memuat variabel. Bagian strategi ini berbicara tentang pokok persoalan pengenalan dasar aljabar. Hal ini akan meluas pada penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan di Bab 9 setelah sistem bilangan real dikembangkan. Secara umum cara memperkenalkan menggunakan suatu variabel adalah menentukan rumus umum suatu pola bilangan seperti :. Satu tantangan untuk siswa adalah melihat aturan bahwa setiap bilangan dapat dibuat pernyataan. Sebagai contoh, pola 5, 8, 11,... serupa dengan bagian sebelumnya. Tetapi hal itu lebih 14
15 sulit melihat masing-masing pola 2 lebih dari kelipatan 3 dan dapat dinyatakan secara umum dengan. d. STRATEGI 4: Mencari suatu Pola Ketika menggunakan strategi Mencari suatu Pola, selalu mendaftar beberapa hal dari suatu masalah dan kemudian melihat apakah suatu pola yang muncul menunjukkan suatu solusi dari seluruh masalah. Sebagai contoh, perhatikan jumlah yang dihasilkan dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan yang dimulai dengan 1: 1, = 4, (= 2 x 2), = 9 (= 3 x 3), = 16 (= 4 x 4), = 25 (= 5 x 5), dan seterusnya. Dasar pada pola umum dari lima contoh itu, harapannya bahwa setiap jumlah akan selalu berupa kuadrat sempurna. Masalah Berapa banyak cara turun dari A ke B pada jaringan di gambar 1.18? suatu lintasan harus melewati garis. Gambar 1.18 Gambar 1.19 Gambar 1.20 Gambar 1.21 Langkah 1 Memahami Masalah Apa yang kita maksud dengan berbeda dan menurun? Gambar 1.19 mengilustrasikan dua lintasan. Catatlah bahwa setiap lintasan mempunyai 15
16 panjang 6 satuan. Berbeda berarti bahwa mereka tidak tepat sama; pada beberapa lintasan atau lintasan berbeda. Langakah 2 Memikirkan suatu Rencana Lihatlah setiap titik potong pada jaringan dan lihat berapa banyak cara berbeda kita peroleh dari setiap titik. Mungkin kita akan mencatat suatu pola (gambar 1.20). sebagai contoh, hanya ada satu cara menjangkau setiap titik pada dua sisi tepi; ada dua cara menjangkau titik tengah di baris berlabel 1, 2, 1; dan seterusnya.amati bahwa titik berlabel 2 pada gambar 1.20 dapat ditemukan dengan menjumlahkan 1 diatasnya. Langkah 3 Melaksanakan Rencana Untuk melihat berapa banyak lintasan pada setiap titik. Amati bahwa kamu hanya butuh menambahkan bilangan pada lintasan sampai pada titik atau titik diatasnya. Jangkauan suatu titik dibawah pasangan 1 dan 2, lintasan 1 dan 2 menurun menghasilkan = 3 lintasan pada titik itu. Pola bilangan yang dihasilkan ditunjukkan pada gambar perhatian, sebagai contoh = 10 dan = 35 (pola ini adalah pola yang disebut segitiga pascal. Itu digunakan lagi pada Bab 11). bagian yang dikelilingi kotak pada pola yang dipakai memberikan jawaban dari masalah, oleh karena itu jawaban dari masalah itu adalah 20. Langkah 4 Memeriksa Kembali Dapatkah kamu melihat bagaimana solusi dari suatu masalah serupa yang melibatkan suatu susunan kotak lebih besar, misal 4 x 4 jaringan? Bagaimana dengan 10 x 10 jaringan? Bagaimana dengan jaringan persegi panjang? Suatu pola bilangan yang tersusun dalam suatu urutan tertentu disebut barisan bilangan, dan bilangan secara sendiri pada barisan disebut suku dari barisan. Bilangan asli 1, 2, 3,... membangun banyak barisan. Beberapa barisan pada bilangan asli. Barisan Nama 2,4,6,8,... Bilangan asli genap 1,3,5,7,... Bilangan asli ganjil 1,4,9,16,... Bilangan kuadrat asli 1,3,3 2,3 3,... Pangkat dari Bilangan 3 1,1,2,3,5,8,... Barisan Fibonacci 16
17 Alasan secara induktif digunakan untuk menggambarkan kesimpulan atau membuat prediksi tentang koleksi terbesar pada objek atau bilangan, berdasarkan pada kumpulan penyajian yang kecil. Sebagai contoh, alasan secara induktif dapat digunakan untuk menemukan angka satuan dari suku ke-400 barisan 8, 12, 16, 20, 24,..., dengan menghitung barisan ini untuk beberapa suku 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60,..., dapat diamati bahwa angka satuan suku kelima pada suku 24 adalah 4. Oleh karena itu angka satuan pada suku ke-400 harus memuat 4. Masalah Tambahan dimana Strategi Mencari Suatu Pola berguna 1. Carilah angka satuan dari Langkah 1 Memahami Masalah Bilangan 3 99 adalah hasil dari 99 angka tiga. Dengan menggunakan tombol exponen pada kalkulator sains diperoleh hal ini menunjukkan digit pertama, tetapi tidak dengan digit terakhir, karena 47 menunjukkan ada 47 tempat dikanan desimal. Oleh karena itu kita dapat menggunakan metode yang lain. Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Perhatikan 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 7, 3 8. Mungkin angka satuan dari bilanganbilangan tersebut membentuk suatu pola, sehingga dapat digunakan untuk memprediksi angka satuan dari Langkah 3 Melaksanakan Rencana 3 1 = 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81, 3 5 = 243, 3 6 = 729, 3 7 = 2187, 3 8 = Angka satuan dari barisan 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. Kapanpun eksponen dari 3 mempunyai suatu faktor 4, angka satuan adalah 1. Karena 100 mempunyai suatu faktor 4, maka harus mempunyai suatu angka satuan 1. Oleh karena itu angka satuan dari 3 99 haruslah 7. Karena 3 99 mendahului dan 7 mendahului 1 pada barisan 3, 9, 7, 1. Langkah 4 Memeriksa Kembali Angka satuan dari setiap bilangan yang melibatkan eksponen mungkin ditemukan model serupa. Cek untuk beberapa bilangan dari 4 sampai Bilangan cacah yang mana dari 1 sampai 50 yang mempunyai suatu faktor bilangan ganjil? Sebagai contoh 15 mempunyai 1, 3, 5, dan 15 sebagai faktornya.dan karena itu suatu bilangan genap mempunyai faktor : empat. 17
18 Petunjuk Penggunaan Strategi Mencari Suatu Pola Strategi Mencari suatu Pola mungkin tepat jika 1. Suatu daftar dari data diberikan 2. Suatu barisan bilangan dilibatkan 3. Mendaftar kasus khusus yang dapat membantu kamu menyelesaikan masalah yang lebih komplek 4. Kamu diminta membuat suatu prediksi atau perumuman. Informasi dapat berupa pernyataan dan pandangan pada sikap diatur seperti sutu tabel. e. STRATEGI 5 : Membuat Daftar Strategi membuat daftar sering dihubungkan dengan mencari suatu pola yang mengarah ke penyelesaian masalah. Sebagai contoh, dibawah ini adalah daftar semua bilangan kuadrat dari bilangan 1 sampai 20 dengan digit terakhir dicetak tebal Dari daftar tersebut kita dapat mengetahui bahwa satu digit terakhir dari bilangan kuadrat pasti 0, 1, 4, 5, 6 atau 9. Dengan kata lain daftar tersebut menunjukkan bahwa bilangan kuadrat sempurna tidak pernah diakhiri dengan 2, 3, 7 atau 8. Contoh Masalah Bilangan 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil dengan 3 cara: (i) 10 = (ii) 10 = (iii) 10 = Berapa banyak cara bilangan 20 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari 8 bilangan ganjil? Langkah 1: Memahami Masalah Mengingat kembali bahwa bilangan ganjil adalah bilangan yang terdiri dari 1, 3, 5, 7, 9,. Kenyataannya bahwa 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil, kita dapat menghubungkan berbagai bentuk dari penjumlahan itu untuk menghasilkan 8 bilangan ganjil yang berjumlah 20. Kita akan mendaftar semua kemungkinan. Langkah 2: Memikirkan Rencana Selanjutnya, mari membuat daftar dengan memulai dari kemungkinan bilangan yang terbesar sampai ke yang terkecil. 18
19 Langkah 3: Melaksanakan Rencana 20 = = = = = = = = = = = Langkah 4: Memeriksa Kembali Dapatkah kamu memikirkan masalah yang serupa untuk menyelesaikannya? Contoh, akan lebih mudah menulis 8 sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil, dan akan lebih sulit jika menuliskan 40 sebagai jumlah dari 16 bilangan ganjil. Kita juga dapat membandingkan penjumlahan dari bilangan genap, menuliskan 20 sebagai jumlah 6 bilangan genap. Masalah Tambahan dimana Strategi Membuat Daftar itu Berguna. 1. Pada permainan anak panah, tiga anak panah akan dilemparkan. Semua mengenai sasaran (gambar 1.22). berapa banyak scor yang mungkin terjadi? Gambar 1.22 Langkah 1: Memahami Masalah Anggap bahwa 3 anak panah mengenai papan. Ada 4 bilangan yang berbeda dipapan, yaitu 0, 1, 4 dan 16, dan ketiga anak panah boleh mengenai bilangan yang sama. Langkah 2: Memikirkan Rencana 19
20 Kita seharusnya membuat daftar sistematis dengan memulai kemungkinan jumlah terkecil/terbesar. Langkah 3: Melaksanakan Rencana = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 48 Langkah 4: Lihat Kembali Beberapa masalah yang serupa dapat diperlakukan dengan mengubah bilangan pada papan, banyaknya lingkaran, atau jumlah anak panah. Atau juga menggunakan kemungkinan secara geometris, seseorang dapat menanyakan bagaimana mendesain dan melabel seperti suatu permainan untuk membuat permainan keterampilan yang adil. Yaitu, poin apa yang harus ditetapkan ke berbagai daerah untuk menghargai seseorang secara adil atas suatu kerjanya karena mengenai daerah tersebut. 2. Berapa banyak persegi, untuk semua ukuran, pada papan main ukuran 8 x 8? (lihat gambar 1.23: sisi dari persegi adalah segaris) Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Daftar Strategi dalam pembuatan daftar akan tepat digunakan ketika: 1. Informasinya dapat dengan mudah diatur dan ditampilkan 2. Data dapat dengan mudah digeneralisasikan 3. Mendaftar hasil yang diperoleh dengan menebak dan menguji 4. Ditanyakan berapa banyak cara? kadang-kadang dapat dilakukan 5. Mencoba belajar tentang macam-macam bilangan yang dapat digeneralisasikan dengan aturan atau rumus.. f. STRATEGI 6 : Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah 20
21 Seperti halnya strategi membuat daftar, strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah seringkali dihubungankan dengan mencari suatu pola. Strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah berkaitan dengan mempersempit suatu permasalahan pada pengerjaan dan membuat lebih mudah diselesaikan. Penyederhanaan masalah itu kemudian digeneralisasikan ke permasalahn semula. Contoh Masalah Ada 9 koin, berat delapan koin adalah sama dan koin kesembilan adalah koin terberat. Diasumsikan bahwa koin mempunyai permukaan yang sama. Dengan menggunakan panci keseimbangan, berapa banyak keseimbangan terkecil yang dibutuhkan untuk menentukan koin terberat. Langkah 1: Memahami Masalah Koin-koin tersebut akan diletakkan pada panci. Jika salah satu sisi keseimbangan lebih rendah daripada yang lain, maka sisi tersebut berisi koin yang lebih berat. Jika sebuah koin diletakkan pada setiap panci dan terjadi keseimbangan, maka koin yang lebih berat berada pada sisa koin yang tidak ditimbang (pada kumpulan 7 koin). Jika kita melanjutkan cara ini terus dan selalu terjadi keseimbangan, maka koin terakhir adalah koin yang paling berat. Dan ini membutuhkan 4 keseimbangan. Dapatkan kita menemukan koin yang lebih berat dengan lebih sedikit keseimbangan? Langkah 2: Memikirkan Rencana Untuk menemukan cara yang lebih efisien, mari kita menguji kasus 3 koin dan 5 koin sebelum bergerak ke kasus 9 koin. Langkah 3: Melaksanakan Rencana Tiga koin: letakkan satu koin dimasing-masing panci (gambar 1.24). Jika panci dalam keadaan seimbang, koin ketiga adalah koin yang lebih berat. Jika tidak seimbang, panci yang lebih rendah yang terdapat koin yang lebih berat. Dengan percobaan ini, kita hanya memerlukan 1 kali keseimbangan untuk menentukan koin yang lebih berat. Lima koin: letakkan 2 koin pada setiap panci (gambar 1.25). Jika panci dalam keadaan seimbang, maka koin kelima adalah koin yang lebih berat. Jika tidak demikian, koin yang lebih berat akan terletak pada panci yang lebih rendah. Ganti koin pada panci yang lebih tinggi dan letakkan satu koin dari dua koin yang terletak dipanci yang lebih rendah ke panci yang lain. Dalam keadaan ini, kita bisa menemukan koin yang lebih berat, yaitu koin yang berada pada panci 21
22 yang lebih rendah. Dengan percobaan ini, kita memerlukan 2 kali keseimbangan untuk menentukan koin yang lebih berat. Sembilan koin: di bagian ini, pola-pola seharusnya sudah dapat diidentifikasi untuk membuat penyelesaian yang lebih mudah. Dari permasalahan 3 koin, kita dapat menentukan koin yang lebih berat dengan membagi kedalam 3 kelompok. Dari permasalahan 5 koin, kita mengetahui bahwa dengan menyeimbangkan kelompok koin bersama-sam, kita dapat dengan cepat mengurangi banyaknya koin yang diperlukan untuk diuji. Ide ini akan dihubungkan dengan masalah 9 koin, dengan membagi kedalam 3 kelompok dan keseimbangan 2 kelompok dari yang lain (gambar 1.26). pada keseimbangan pertama, kelompok yang terdapat koin yang lebih berat dapat diketahui. Setelah itu koin yang paling berat dapat diketahui lewat keseimbang 3 koin. Minimal banyaknya keseimbangan yang diperlukan untuk menentukan koin yang lebih berat dari 9 koin adalah 2 kali. Langkah 4: Memeriksa Kembali Dalam penyelesaian masalah menggunakan penyederhanaan masalah, tidak ada pola bilangan yang dimunculkan. Walaupun, pola dalam proses penyeimbangan yang dapat diulang dengan bilangan yang lebih luas dari koin yang muncul. Masalah Tambahan dimana Strategi Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah Berguna. 1. Tentukan jumlah Langkah 1: Memahami Masalah 22
23 Masalah ini dapat diselesaikan dengan langsung menyamakan penyebutnya, yaitu, dan menemukan jumlah pembilangnya. Langkah 2: Memikirkan Suatu Rencana Selanjutnya, melakukan perhitungan langsung, mari menghubungkan berbagai strategi. Yaitu membuat daftar dari jumlah beberapa bilangan dan mencari polanya. Langkah 3: Melaksanakan Rencana,,, Pola dari penjumlahan di atas adalah,,, dapat dikatakan bahwa jumlah dari 10 bilangan pecahan tersebut adalah atau. Langkah 4: Memeriksa Kembali Metode ini menghubungkan strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah dengan membuat daftar dan mencari suatu pola yang penting. Contoh, berapa jumlah? Karena penyebutnya besar, kita tidak ingin menambahnya secara langsung. 2. Berikut adalah anak panah pada gambar 1.27, berapa banyak jalan yang ada dari A ke B? Gambar Ada 20 orang dalam pesta. Jika setiap orang akan berjabat tangan dengan yang lainnya, berapa banyak jabat tangan dapat dilakukan? Petunjuk Penggunaan Strategi Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah Strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah akan tepat digunakan ketika: 1. Masalah yang perhitungannya sulit 2. Masalah yang menyangkut bilangan yang sangat kecil atau besar 3. Penyelesaian secara langsung terlalu kompleks 23
24 4. Kita ingin mendapatkan pemahaman dari permasalahan 5. Masalah yang menyangkut aturan atau diagram yang luas. Tinjau kembali 3 permasalahan yang sudah kita pelajari untuk mengetahui bagaimana petunjuk tersebut mungkin membantu kita memilih strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah untuk menyelesaikan suatu permasalahan. 3. Menghubungkan Strategi-Strategi untuk Menyelesaikan Masalah. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya pada 4 langkah penyelesaian, itu sering kita gunakan untuk menggunakan beberapa stategi dalam penyelesaikan masalah. Contoh, dibagian 1.1 masalah pizza yang akan ditunjukkan dalam pembahasan berikut. Berapa banyaknya potongan maksimum untuk memotong pizza dengan 4 potongan lurus? pertanyaan ini dapat dijadikan sebagai pertanyaan yang umum. Berapa banyaknya potongan maksimum yang dapat kita lakukan untuk memotong pizza dengan n potongan lurus? Untuk menjawab ini, perhatikan rangkaian pada gambar 1.9: 1, 2, 4, 7, 11. Untuk mengetahui pola pada rangkaian tersebut, dengan mengamati bagaimana rangkaian pola-pola yang dihubungkan yang dapat membantu. Di kasus ini, suku kedua yaitu 2 dapat diperoleh dari suku pertama ditambah dengan 1 atau mengalihkan dengan 2. Suku ketiga, yaitu 4, dapat diperoleh dari suku kedua, yaitu 2 dengan menambah 2 atau mengalikan dengan 2. Walaupun perkalian 2 muncul sebagai pola, tapi itu tidak memenuhi ketika kita bergerak dari suku ketiga ke suku keempat. Suku keempat dapat ditemukan dengan menambah 3 dari suku ketiga. Kemudian barisan itu muncul sebagai berikut: barisan selisih Memperluas barisan selanjutnya, kita memperoleh berikut: Suku ke Barisan Selisih Dapat ditulis juga sebagai berikut: Bentuk pertama : 1 = 1 Bentuk kedua : 2 = Bentuk ketiga : 4 = 1 + ( ) Bentuk keempat : 7 = 1 + ( ) 24
25 Bentuk kelima : 11 = 1 + ( ) dan seterusnya. Kita mengetahui bahwa n = adalah 1 + [ (n-1)] = 1 +. maka bentuk ke-n pada barisan. Catatan bahwa untuk mengecek suku kedelapan pada barisan adalah 1 + = = 29. Karena, untuk menyelesaikan masalah semula, kita menggunakan gambar, mencari suatu pola dan menggunakan variabel. Kemungkinan bahwa suatu pola tidak menjadi jelas setelah satu himpunan perbedaan. pertimbangkan masalah berikut ini yang mana berbagai perbedaan yang dituntut untuk menemukan pola. Contoh Masalah Jika ada 10 titik yang terletak pada lingkaran dan setiap titik akan dihubungkan dengan garis, berapa banyaknya daerah maksimum yang dapat dihasilkan? Langkah 1: Memahami Masalah Masalah ini dapat dipahami lebih baik dengan menggunakan gambar. Menggambar 10 titik dan semuanya dihubungkan dengan garis, lihat masalah lebih sederhana pada lingkaran dengan 1, 2,atau 3 titik yang akan membantu memahami masalah. Berikut akan ditunjukkan 3 kasus pada gambar Langkah 2: Memikirkan Rencana Lebih lanjut, banyaknya daerah pada gambar di atas berturut-turut 1, 2 dan 4. Hal ini, dapat memulai suatu pola 1, 2, 4, 8, 16,. Mari gambar 3 bentuk lagi. Kemudian pola dapat disimpulkan untuk masalah yang 10 titik. Langkah 3: Melaksanakan Rencana Tiga gambar tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar
26 Membuat daftar dari banyaknya titik pada lingkaran dan kesesuaian banyaknya daerah akan membantu kita menemukan pola. Titik Daerah Sementara itu pola untuk 5 kasus pertama membuat itu memunculkan banyaknya daerah adalah dengan menggandakan saja masing-masing titik tambahan, pada kasus 31 daerah dengan 6 titik merusak pola. Mempertimbangkan selisih antara bilangan-bilangan pada suatu pola dan mencari suatu pola pada selisih-selisih.. Karena pada selisih pertama, kedua dan ketiga belum menunjukkan suatu pola yang jelas, maka selisih keempat dihitung dan menemukan sebuah pola pada suatu permasalahan. Hal itu dapat ditunjukkan sebagai berikut: Dengann menemukan selisih yang diharapkan, kita dapat mengetahui bahwa penyelesaian dari permasalahan kita adalah 256 daerah. Langkah 4: Memeriksa Kembali Dengan menggunakan gabungan membuat suatu gambar, penyelesaian dengan penyederhanaan masalah, membuat daftar, dan mencari pola, penyelesaian dapat ditemukan. Hal itu dapat juga mengetahui bahwa itu sangat penting ketika mencari suatu pola, untuk menyatakan bahwa kita mungkin mencari banyak bentuk dan banyak selisih untuk menemukan pola. 26
27 D. KESIMPULAN Ketika terdapat suatu masalah, kita harus lebih teliti dalam mencari penyelesaian dengan menggunakan pendekatan 4 langkah Polya. Walaupun tidak diperlukan untuk melabelkan dan menunjukkan setiap 4 langkah pada setiap waktu kamu mengerjakan suatu masalah. Dilain pihak, ini lebih baik untuk membiasakan kita dalam mengingat 4 langkah seperti yang kita rencanakan dan seperti yang kita kerjakan suat masalah. Pada bab ini, kita memperkenalkan beberapa strategi penyelesaian masalah yang penting. Disetiap bab berikutnya, strategi penyelesaian masalah akan dikenalkan. Strategi-strategi itu akan membantu ketika kita membuat suatu rencana. Seperti yang kita rencanakan untuk menyelesaikan masalah, memikirkan strategi-strategi yang digunakan. Kemudian bagian yang terpenting dari penyelesaian masalah dapat dipandang sebagai alat atau strategi yang tepat. Kita akhiri bab ini dengan mendaftar saran-saran bahwa siswa yang berhasil menyelesaikan pembelajaran yaitu dengan menyelesaiakn masalah dengan petunjuk-petunjuk yang membantu. Baca kembali secara teratur untuk kemajuan kita dalam melewati buku ini. Saran-saran dari pemecah masalah yang sukses Menerima tantangan untuk menyelesaian suatu masalah Menulis kembali masalah dengan kata-kata sendiri Gunakan waktu untuk menyelidiki, membayangkan berfikir. Bicara pada diri sendiri. Menanyakan pertanyaan yang banyak Coba memecahkan masalah dengan bilangan yang sederhana Banyak masalah membutuhkan waktu yang lama, jika kita telah frustasi janganlah kita menyerah. Lihatlah masalah dalam berbagai cara. Laksanakan daftar strategimu untuk melihat apakah satu atau lebih strategi dapat membantu kita untuk memulai Mengubah dan menyelesaikan masalah kita Tulislah solusimu dengan rapi dan jelas, sehingga kita akan mampu memahami solusi jika kita membaca kembali dalm 10 tahun mendatang Kembangkan kemampuan membantu menyelesaikan masalah saat mendampingi orang lain dalam menyelesaikan masalah Jangan memberi solusi bahkan memberikan petunjuk yang bermakna Menyelesaikan masalah adalah pengalaman yang positif. 27
28 28
MAKALAH PPM WORKSHOP PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA PADA TOPIK ARITMETIKA BAGI GURU-GURU SMP DI YOGYAKARTA. Oleh : Nila Mareta Murdiyani, M.
MAKALAH PPM WORKSHOP PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA PADA TOPIK ARITMETIKA BAGI GURU-GURU SMP DI YOGYAKARTA Oleh : Nila Mareta Murdiyani, M.Sc NIP. 987032520222002 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciStrategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah
Strategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah I Strategi Penemuan Pola dalam Penyelesaian Masalah Sehari-hari Penemuan pola adalah salah satu strategi dalam problem solving dimana kita dapat mengamati
Lebih terperinciPEMECAHAN MASALAH DALAM MATEMATIKA
PEMECAHAN MASALAH DALAM MATEMATIKA KARTIKA YULIANTI, S.PD., M.SI. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA - UPI Masalah Jabat Tangan Di ruangan ini terdapat orang. Untuk menjalin keakraban, setiap orang melakukan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI A. Masalah Matematika
BAB II KAJIAN TEORI A. Masalah Matematika Masalah adalah suatu situasi yang memerlukan pemikiran dan sebuah sintesis pengetahuan belajar sebelumnya untuk menyelesaikannya. Masalah yang baik harus mempunyai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang membuat peserta didik dapat mengembangkan kemampuan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang membuat peserta didik dapat mengembangkan kemampuan berpikirnya baik secara rasional, logis, sistematis, bernalar
Lebih terperinciContoh Masalah Matematika dan Solusinya dengan Menggunakan Strategi Penemuan Pola
Contoh Masalah Matematika dan Solusinya dengan Menggunakan Strategi Penemuan Pola 1 Problem: Tentukan digit terakhir dari 8 Solusi: Banyak siswa akan mencoba menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan
Lebih terperinciBab 4 Pemecahan Masalah Matematika
Bab 4 Pemecahan Masalah Matematika A. Pengertian Pemecahan Masalah Sebuah soal pemecahan masalah biasanya memuat suatu situasi yang dapat mendorong seseorang untuk menyelesaikanya akan tetapi tidak secara
Lebih terperinciBAB II KEMAMPUAN REPRESENTASI DAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS SISWA DALAMMATERI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
BAB II KEMAMPUAN REPRESENTASI DAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS SISWA DALAMMATERI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA A. Kemampuan Representasi Matematis Terdapat beberapa definisi yang dikemukakan para
Lebih terperinciBAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diberikan pada setiap jenjang pendidikan di Indonesia mengindikasikan bahwa matematika sangatlah penting untuk
Lebih terperinciANALISIS STRATEGI LANGKAH MUNDUR DAN BERNALAR LOGIS DALAM MENENTUKAN BILANGAN DAN NILAINYA. Landyasari Riffyanti 1), Rubono Setiawan 2)
ANALISIS STRATEGI LANGKAH MUNDUR DAN BERNALAR LOGIS DALAM MENENTUKAN BILANGAN DAN NILAINYA Landyasari Riffyanti 1), Rubono Setiawan 2) 1), 2) Pendidikan Matematika, FKIP, Univ. Sebelas Maret Surakarta
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinciPEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Oleh: Kusnandi A. Pengantar Masalah dalam matematika adalah suatu persoalan yang siswa sendiri mampu menyelesaikannya tanpa menggunakan cara atau algoritma yang rutin. Maksudnya
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan dan perhitungan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Balitbang Depdiknas (2003) menyatakan bahwa Mata pelajaran
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu yang diperlukan dalam kehidupan manusia, karena melalui pembelajaran matematika siswa dilatih agar dapat berpikir kritis,
Lebih terperinci08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinci51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A.
51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang
Lebih terperinci2016 KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS SISWA SMP MELALUI MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH DENGAN PENDEKATAN SAINTIFIK
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Permasalahan yang timbul akibat adanya Ilmu Pengetahuan, Teknologi dan Sains (IPTEKS) dimana semakin pesat yaitu bagaimana kita bisa memunculkan Sumber Daya
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika dipandang sebagai ratu ilmu dan di dalamnya terdapat beragam pendekatan, metode yang bersifat logis dan valid. Matematika memuat masalah yang berdasarkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. menurut National Council of Teachers of Mathematics tahun 1989 (dalam Yuliani,
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Matematika merupakan mata pelajaran yang dibelajarkan disemua jenjang pada pendidikan nasional. Hal tersebut tidak mengherankan bila terjadi, karena menurut National
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Pemecahan masalah matematis merupakan suatu kemampuan yang harus dimiliki siswa. Pengembangan kemampuan ini menjadi fokus penting dalam pembelajaran matematika
Lebih terperinciBAB IV PENALARAN MATEMATIKA
BAB IV PENALARAN MATEMATIKA A. Pendahuluan Materi penalaran matematika merupakan dasar untuk mempelajari materimateri logika matematika lebih lanjut. Logika tidak dapat dilepaskan dengan penalaran, karena
Lebih terperinciHAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS.
15, 20, 23, 25 HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS. Dst. KESIMPULAN : (hubungkan dengan SIKAP yang harus Anda miliki untuk memilih dan memberikan alasan) PROBLEM
Lebih terperinciSTRATEGI PEMECAHAN MASALAH DALAM MATEMATIKA.
STRATEGI PEMECAHAN MASALAH DALAM MATEMATIKA Karsoni Berta Dinata 1 1 Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Kotabumi email: karsoni.bertadinata@yahoo.com Abstract The main purpose of studying
Lebih terperinciInduksi Matematika. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 3 Induksi Matematika Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2.1. Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis
Lebih terperinciMata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X
Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Siti Rohmawati
Lebih terperinci44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)
44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinci43. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunarungu (SMPLB B)
43. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunarungu (SMPLB B) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORITIK
8 BAB II KAJIAN TEORITIK A. Deskripsi Konseptual 1. Mathematical Habits of Mind Djaali (2008) mengemukakan bahwa melakukan kebiasaan sebagai cara yang mudah dan tidak memerlukan konsentrasi dan perhatian
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah. Salah satu tujuan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) untuk mata
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Salah satu tujuan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) untuk mata pelajaran matematika di tingkat Sekolah Menengah Pertama adalah agar peserta didik memiliki
Lebih terperinciSTRATEGI PEMECAHAN MASALAH PADA SOAL CERITA SPLDV DITINJAU DARI HASIL BELAJAR SISWA KELAS X SMK PGRI 2 SALATIGA
STRATEGI PEMECAHAN MASALAH PADA SOAL CERITA SPLDV DITINJAU DARI HASIL BELAJAR SISWA KELAS X SMK PGRI 2 SALATIGA Vivin Isna Tuti, Wahyudi, S.Pd., M.Pd., Erlina Prihatnani, S.Si., M.Pd. Program s1 Pendidikan
Lebih terperinciUNIT PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA. Nyimas Aisyah. Pendahuluan
UNIT 5 PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Nyimas Aisyah Pendahuluan P embelajaran matematika di Sekolah Dasar sebagai bagian dari sistem pendidikan nasional, menurut kurikulum 2006, bertujuan antara
Lebih terperinciTata dan Dio bermain permainan bola di komputer. Bolabola itu bertuliskan bilangan-bilangan yang disusun seperti gambar berikut.
BAB 1 LETAK BILANGAN PADA GARIS BILANGAN Tata dan Dio bermain permainan bola di komputer. Bolabola itu bertuliskan bilangan-bilangan yang disusun seperti gambar berikut. Sumber : Ilustrasi Haryana Bacalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pembelajaran yang diciptakan harus mampu mengembangkan dan mencapai kompetensi setiap matapelajaran sesuai kurikulum. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP)
Lebih terperinciB. Tujuan Mata pelajaran Matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.
49. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang
Lebih terperinciPROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA PENDIDIKAN MATEMATIKA DIERA DIGITAL Editor: Bagus Ardi Saputro Muchamad PROSIDING Subali Noto SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA TEMA: PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciMODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN
Lebih terperinciSTRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO
STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO Strategi Penyelesaian Masalah Beberapa Strategi Penyelesaian Masalah : 1. Membuat daftar Yang Teratur 2. Memisalkan Dengan Suatu
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN BILANGAN
MODUL PEMBELAJARAN BILANGAN Oleh: Drs. I Ketut Suastika, M.Si Dyah Tri Wahyuningtyas, S.Si. M.Pd UNIVERSITAS KANJURUHAN MALANG 1 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat,
Lebih terperinciPencarian Bilangan Pecahan
Pencarian Bilangan Pecahan Ringkasan Unit Siswa ditugaskan sebuah profesi yang menggunakan pecahan bilangan dalam pekerjaannya. Mereka meneliti, meringkas, menarik kesimpulan, dan mempresentasikan penemuan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Pendidikan matematika merupakan salah satu unsur utama dalam. mengembangkan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hakikatnya matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pendidikan matematika merupakan salah satu unsur utama dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hakikatnya matematika berkedudukan sebagai ilmu
Lebih terperinciPERSEGI PENGAMANAN UNIK KRISTAL. Mau belajar? Jangan hanya dibaca Kerjakan soalnya. disusun kembali oleh: Al. Krismanto, M.Sc
PERSEGI PENGAMANAN UNIK KRISTAL Mau belajar? Jangan hanya dibaca Kerjakan soalnya disusun kembali oleh: Al. Krismanto, M.Sc 1. PERSEGI AJAIB Persegi ajaib atau bujursangkar ajaib merupakan susunan bilangan-bilangan
Lebih terperinciAlamat Korespondensi: Jl. Ir. Sutami No. 36A Kentingan Surakarta, , 2)
ANALISIS KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH BERDASARKAN LANGKAH-LANGKAH POLYA PADA MATERI TURUNAN FUNGSI DITINJAU DARI KECERDASAN LOGIS-MATEMATIS SISWA KELAS XI IPA SMA NEGERI 7 SURAKARTA TAHUN AJARAN 2013/2014
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciProblem Solving. 1. Pelajar dihadapkan dengan masalah 2. Pelajar merumuskan masalah itu 3. Merumuskan hipotesis 4.
Problem Solving Menurut Nasution (1982: 170) memecahkan masalah adalah metode belajar yang mengharuskan pelajar untuk menemukan jawabannya (discovery) tanpa bantuan khusus. Dalam memecahkan masalah, pelajar
Lebih terperinciLEMBAR SOAL National Math Olympiad 3 RD PDIM UB 2014
PETUNJUK UNTUK PESERTA 1. Tuliskan nama lengkap, kelas, asal sekolah, alamat sekolah lengkap dengan nomor telepon, faximile, email sekolah dan nama guru Matematika di tempat yang telah disediakan.. Tes
Lebih terperinciDrs. Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D. Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Dalam Matematika Drs. Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember Outline Berpikir Kritis 1 p 2 Penalaran Induktif 3 Bekerja dengan Pola Pola Bilangan Pola Geometri
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dalam belajar matematika. Kesulitan siswa tersebut antara lain: kesulitan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Berbagai masalah dihadapi oleh guru matematika dalam kegiatan belajar mengajar. Masalah tersebut salah satunya adalah kesulitan siswa dalam belajar matematika.
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciContoh Problem dalam Matematika beserta Solusinya dengan Strategi Menebak secara Bijak dan Mengujinya
Contoh Problem dalam Matematika beserta Solusinya dengan Strategi Menebak secara Bijak dan Mengujinya 1. Problem: Tentukan nilai x dan y, jika x dan y adalah bilangan bulat positif dan + =. Solusi: Banyak
Lebih terperinciMETHODIST-2 EDUCATION EXPO 2016
TK/SD/SMP/SMA Methodist- Medan Jalan MH Thamrin No. 96 Medan Kota - 0 T: (+66)56 58 METHODIST- EDUCATION EXPO 06 Lomba Sains Plus Antar Pelajar Tingkat SMA se-sumatera Utara NASKAH SOAL MATEMATIKA - Petunjuk
Lebih terperinci42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A)
42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. A. Pola Bilangan
BARISAN DAN DERET A. Pola Bilangan Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut: a. 1 2 3... b. 4 9 16... c. 31 40 21 30 16... Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi memungkinkan semua pihak
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi memungkinkan semua pihak dapat memperoleh informasi secara cepat dan mudah dari berbagai sumber. Dengan demikian
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah. Menurut Slameto (2010:3) belajar adalah proses usaha yang
1 BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Menurut Slameto (2010:3) belajar adalah proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan sebagai
Lebih terperinciANALISIS KESALAHAN MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA DALAM MEMECAHKAN MASALAH PROGRAM LINIER
ANALISIS KESALAHAN MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA DALAM MEMECAHKAN MASALAH PROGRAM LINIER Sri Irawati Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat : Jalan Raya Panglegur 3,5 KM
Lebih terperinciBAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret
BAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret Amy Arimbi PENDAHULUAN Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya
Lebih terperinciUnit 3. CARA TEPAT MEMILIH PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA Inawati Budiono
Unit 3 CARA TEPAT MEMILIH PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA Inawati Budiono Menurut petunjuk pelaksanaan kegiatan belajar mengajar di sekolah, bahwa penerapan strategi yang dipilih dalam pengajaran matematika
Lebih terperinciLomba dan seminar matematika XXV
NASKAH SOAL Lomba dan seminar matematika XXV Take a real mathematics adventure, make a better future. KODE NASKAH 002 HIMATIKA FMIPA UNY Sekretariat : Gelanggang Ormawa FMIPA UNY, Karangmalang, Depok,
Lebih terperinciKTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2
KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, PERANGKAT PEMBELAJARAN STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester : Matematika. : SMP/MTs. : VII s/d IX /1-2 Nama Guru
Lebih terperinciPEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN
PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI BALONGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Kode. Dok PBM.0 Edisi/Revisi A/0 Tanggal 7 Juli 207 Halaman dari RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembelajaran adalah suatu kombinasi yang tersusun meliputi unsur-unsur manusiawai, material, fasilitas, perlengkapan dan prosedur yg saling mempengaruhi mencapai tujuan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Manusia sebagai mahluk yang diberikan kelebihan oleh Allah swt dengan
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pendidikan merupakan salah satu kebutuhan pokok dalam kehidupan manusia yang berpikir bagaimana menjalani kehidupan dunia ini dalam rangka mempertahankan hidup
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2013 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan
Lebih terperinciStrategi Pemecahan Masalah dengan Menebak Secara Bijak dan Mengujinya
Strategi Pemecahan Masalah dengan Menebak Secara Bijak dan Mengujinya I. Strategi Menebak secara Bijak dan Mengujinya dalam Penyelesaian Masalah Sehari-hari Dalam menyelesaikan masalah matematika ada beberapa
Lebih terperinciLuky, S.Pt. RINGKASAN MATERI MATEMATIKA SD Ujian Sekolah
Kompetensi 1 Memahami konsep dan operasi hitung bilangan serta dapat menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari (1.) OPERASI HITUNG Urutan langkah pengerjaan : 1. Dikerjakan operasi dalam kurung terlebih
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Penelitian Penelitian tindakan kelas ini dilaksanakan di kelas II SD Kutowinangun 08. Penelitian tindakan kelas ini bertujuan untuk meningkatkan hasil belajar
Lebih terperinciDAYA MATEMATIS MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
Maret 2017 Vol. 1, No. 1, Hal. 97 DAYA MATEMATIS MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Hamdan Sugilar Pendidikan matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung hamdansugilar@uinsgd,ac,id Dikirim: 28
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. mengembangkan potensi dan kreativitasnya melalui kegiatan belajar. Oleh
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Interaksi belajar mengajar yang baik adalah guru sebagai pengajar tidak mendominasi kegiatan, tetapi membantu menciptakan kondisi yang kondusif serta memberikan
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORETIS
BAB II KAJIAN TEORETIS A. Kajian Teori 1) Berpikir Kreatif Berpikir kreatif adalah kemampuan untuk membuat hubungan yang baru dan lebih berguna dari informasi yang telah kita ketahui sebelumnya. Sehingga
Lebih terperinciSOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004
SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 004 A. ISIAN SINGKAT. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORETIS. matematika, para siswa dibiasakan untuk memperoleh pemahaman melalui
BAB II KAJIAN TEORETIS A. Kajian Teori 1. Pembelajaran Matematika Pembelajaran matematika bagi para siswa merupakan pembentukan pola pikir dalam pemahaman suatu pengertian maupun dalam penalaran suatu
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. 1. Strategi Thinking Aloud Pair Problem Solving (TAPPS) Felder (1994: 5) menjelaskan bahwa dalam strategi TAPPS siswa mengerjakan
II. TINJAUAN PUSTAKA A. Kajian Teori 1. Strategi Thinking Aloud Pair Problem Solving (TAPPS) Felder (1994: 5) menjelaskan bahwa dalam strategi TAPPS siswa mengerjakan permasalahan yang mereka jumpai secara
Lebih terperinciTAHAPAN DAN STRATEGI MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA. (Sumardyono, M.Pd.) Tahapan Pemecahan Masalah Matematika
TAHAPAN DAN STRATEGI MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA (Sumardyono, M.Pd.) Tahapan Pemecahan Masalah Matematika Seringkali kita melihat siswa mengabaikan tahap-tahap penting dalam memecahkan masalah. Oleh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Ali, dkk (2010) dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa There
BAB II LANDASAN TEORI A. Kajian Penelitian yang Relevan Ali, dkk (2010) dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa There exists a significant difference in the achievement of mathematics studenta taugh through
Lebih terperinciBeberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat
Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat Untuk menguji suatu bilangan bulat dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode
Lebih terperinciProfil Pemecahan Masalah Matematika Siswa Ditinjau dari Gaya Kognitif Reflektif dan Impulsif
JRPM, 2017, 2(1), 60-68 JURNAL REVIEW PEMBELAJARAN MATEMATIKA http://jrpm.uinsby.ac.id Profil Pemecahan Masalah Matematika Siswa Ditinjau dari Gaya Kognitif Reflektif dan Impulsif Imam Muhtadi Azhil 1,
Lebih terperinci3. Graph Euler dan Graph Hamilton
3. Graph Euler dan Graph Hamilton Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Masalah Exploring dan Travelling 2. Graph Euler 3. Graph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. menyatakan bahwa pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk
BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang masalah Salah satu masalah yang dihadapi dunia pendidikan kita adalah masalah lemahnya proses pembelajaran. Dalam proses pembelajaran peserta didik kurang didorong untuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pendidikan merupakan usaha sadar dan penuh tanggung jawab dari orang dewasa dalam membimbing, memimpin dan mengarahkan peserta didik dengan berbagai problema
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciBAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA
BAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA Soal-soal matematika yang muncul dalam IMO dan OMN umumnya merupakan soal yang memberikan tantangan untuk dikerjakan, tetapi tidak atau belum jelas benar
Lebih terperinciAnalisis Kesalahan Konten Matematika pada Buku Siswa Tematik Sekolah Dasar Kelas V Semester I Kurikulum 2013
Suska Journal of Mathematics Education (p-issn: 2477-4758 e-issn: 2540-9670) Vol. 3, No. 2, 2017, Hal. 74 82 Analisis Kesalahan Konten Matematika pada Buku Siswa Tematik Sekolah Dasar Kelas V Semester
Lebih terperinciSTRATEGI SOLUSI DALAM PEMECAHAN MASALAH POLA BILANGAN PADA SISWA KELAS X SMA NEGERI 2 PONTIANAK. Nurmaningsih. Abstrak. Abstract
STRATEGI SOLUSI DALAM PEMECAHAN MASALAH POLA BILANGAN PADA SISWA KELAS X SMA NEGERI 2 PONTIANAK Nurmaningsih Program Studi Pendidikan Matematika, IKIP-PGRI Pontianak, Jalan Ampera No. 88 Pontianak e-mail:
Lebih terperinciMenurut Jhonson dan Myklebust (1967:244), matematika adalah bahasa. simbolik yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan
KESULITAN BELAJAR MATEMATIKA Oleh: Dra.Hj.Ehan, M.Pd. A. PENDAHULUAN Menurut Jhonson dan Myklebust (1967:244), matematika adalah bahasa simbolik yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan
Lebih terperinciBab 6. Barisan dan Deret. Standar Kompetensi
Bab 6 Barisan dan Deret Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana Kompetensi Dasar 6.1 Menentukan pola barisan bilangan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. memunculkan persaingan yang cukup tajam, dan sekaligus menjadi ajang seleksi
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Kehidupan masyarakat yang cenderung bersifat terbuka memberi kemungkinan munculnya berbagai pilihan bagi seseorang dalam menata dan merancang kehidupan masa
Lebih terperinciSatya Mardi Ayuningrum 1, Rubono Setiawan 2. Pendidikan Matematika, Universitas Sebelas Maret Surakarta
ANALISIS PENGGUNAAN STRATEGI MENERKA LALU MENGUJI KEMBALI DAN MELIHAT DARI SUDUT PANDANG LAIN DALAM MATEMATIKA NON RUTIN UNTUK PENYELESAIAN MENCARI NILAI x PADA SUATU PERSAMAAN Satya Mardi Ayuningrum 1,
Lebih terperinciPEMBUKTIAN, PENALARAN, DAN KOMUNIKASI MATEMATIK. OLEH: DADANG JUANDI JurDikMat FPMIPA UPI 2008
PEMBUKTIAN, PENALARAN, DAN KOMUNIKASI MATEMATIK OLEH: DADANG JUANDI JurDikMat FPMIPA UPI 2008 PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Bukti menurut Educational Development Center (2003) adalah suatu argumentasi logis
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penelitian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penelitian Pendidikan merupakan suatu hal yang sangat penting. Salah satu mata pelajaran yang diajarkan pada semua jenjang pendidikan adalah pelajaran matematika. Peran
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis
6 BAB II LANDASAN TEORI A. Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Menurut Polya (1985), suatu pertanyaan merupakan masalah jika seseorang tidak mempunyai aturan tertentu yang dapat digunakan untuk menjawab
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang konsep, kaidah,
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang konsep, kaidah, prinsip serta teorinya banyak digunakan dan dimanfaatkan untuk menyelesaikan hampir semua
Lebih terperinci