SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BLACK-SCHOLES KASUS OPSI JUAL EROPA DAN AMERIKA DENGAN FLUKTUASI SAHAM BERLINTASAN BROWNIAN MUTIARA DEWI LESTARI

Transkripsi

1 OLUI NUMERIK PERAMAAN BLACK-CHOLE KAU OPI JUAL EROPA DAN AMERIKA DENGAN FLUKTUAI AHAM BERLINTAAN BROWNIAN MUTIARA DEWI LETARI DEPARTEMEN FIIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 06

2

3 PERNYATAAN MENGENAI KRIPI DAN UMBER INFORMAI ERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul olusi Numerik Persamaan Black-choles Kasus Opsi Jual Eropa dan Amerika dengan Fluktuasi aham Berlintasan Brownian adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. umber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 06 Mutiara Dewi Lestari NIM G740066

4 ABTRAK MUTIARA DEWI LETARI. olusi Numerik Persamaan Black-choles Kasus Opsi Jual Eropa dan Amerika dengan Fluktuasi aham Berlintasan Brownian. Dibimbing oleh HUIN ALATA. Opsi merupakan instrumen keuangan turunan dari aset yang mendasarinya. Opsi jual memberikan hak bukan kewajiban kepada pemegang opsi untuk menjual sejumlah tertentu dari sebuah aset yang menjadi dasar kontrak tersebut. Opsi tipe Amerika memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya setiap saat hingga waktu jatuh tempo. edangkan opsi tipe Eropa hanya memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya pada saat waktu jatuh tempo. Model yang digunakan untuk menentukan harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika adalah model Black-choles. elanjutnya, model pergerakan saham dimodelkan menggunakan random generator di Matlab untuk menghasilkan lintasan Brownian pada harga saham. Model ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eksplisit beda hingga. Kata kunci: Black-choles, opsi jual, Gerak Brownian, metode eksplisit beda hingga ABTRACT MUTIARA DEWI LETARI. Numerical olution of Black-choles Equation for European and American Put Option under tock Fluctuations with Brownian Path Characteristics. upervised by HUIN ALATA. Option is derivative finance instrument from underlying asset. Put option gives the holder right but not obligation to sell an underlying asset. American type option gives the holder chance to exercise the right during any trading day on or before expiration, while European type option gives its holder chance to exercise the right on expiration. Model which is used to determine American and European put option price is Black-choles model for put option. Furthermore, stock models use random generator at Matlab to produce stock fluctuations with Brownian path charateristic. This model can be solved numerically using explicit finite difference method. Keywords: Black-choles, put option, Brownian motion, explicit finite difference method

5 OLUI NUMERIK PERAMAAN BLACK-CHOLE KAU OPI JUAL EROPA DAN AMERIKA DENGAN FLUKTUAI AHAM BERLINTAAN BROWNIAN MUTIARA DEWI LETARI kripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar arjana ains pada Departemen Fisika DEPARTEMEN FIIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 06

6

7

8 PRAKATA Alhamdulillahirabbil alamin. egala Puji Bagi Allah WT sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penilitian yang dilaksanakan sejak bulan eptember 05 ini ialah olusi Numerik Persamaan Black-choles Kasus Opsi Jual dengan aham Berlintasan Brownian. Terima kasih banyak penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Husin Alatas selaku pembimbing utama dan Dinda Yuansa ulaeman selaku rekan dalam penelitian ini. Terima kasih kepada teman-teman Fisika 49 terutama Rezka, Hani, Leni, dan Zafur juga penulis ucapkan terima kasih kepada Choirul, Fikri, alamet, dan Ahmad sebagai teman seperbimbingan atas saran dan bantuannya. Ungkapan terima kasih yang utama disampaikan kepada Ibu, Ayah, Kak Riri, dan Difta serta seluruh keluarga di Bogor dan Jakarta, atas segala doa, kasih sayang, dan suntikan semangat tiada henti. emoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 06 Mutiara Dewi Lestari

9 DAFTAR II DAFTAR GAMBAR ix DAFTAR LAMPIRAN ix PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian TINJAUAN PUTAKA Pengertian Opsi Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asse aham Jenis Opsi 3 Nilai Opsi 4 Model Harga aham 5 Gerak Brown 5 Model Black-choles 6 Derivatif Persamaan Black-choles 8 Metode Beda Hingga 9 METODE 0 Waktu dan Tempat 0 Prosedur Penelitian 0 HAIL DAN PEMBAHAAN Model Black-choles yarat Awal dan yarat Batas Persamaan aham berlintasan Brownian imulasi Numerik 3 IMPULAN DAN ARAN 9 impulan 9 aran 9 DAFTAR PUTAKA 9 LAMPIRAN

10 RIWAYAT HIDUP 3

11 DAFTAR GAMBAR Payoff untuk opsi jual dengan E = 0 pada t = T 4 Zarah Brown yang tergantung di dalam fluida 6 3 Dinamika harga opsi jual terhadap pergerakan harga saham 3 4 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil 4 5 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar 5 6 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan saham dengan fluktuasi besar untuk jumlah iterasi Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil untuk jumlah iterasi Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil 7 0 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar 8 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 06 8 DAFTAR LAMPIRAN Tabel Harga aham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 06 Program Matlab

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Instrumentasi keuangan derivatif merupakan surat berharga yang nilainya bergantung pada surat berharga yang mendasari atau surat berharga acuan (underlying assets). urat berharga acuan dapat berupa saham, obligasi, indeks saham, indeks obligasi, dan mata uang (currency). Ada beberapa macam surat berharga derivatif seperti, bukti (righ, waran (warran, kontrak berjangka (future), dan opsi (option). Instrumentasi keuangan derivatif opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian diantara dua pihak. Pihak pertama selaku pembeli kontrak opsi (option holder) dan pihak kedua ialah penjual kontrak opsi (option writer). Pihak pertama memiliki hak bukan kewajiban untuk membeli (kontrak opsi beli) atau menjual (kontrak opsi jual) dari pihak kedua terhadap suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah disepakati sebelumnya. eorang pemodal yang menggunakan opsi dapat meminimumkan batas kerugian dan memaksimumkan laba yang akan diperolehnya. ehingga jika digunakan dengan cermat, opsi akan sangat berguna bagi perusahaan atau individu untuk mengurangi risiko keuangan yang membayangi. Karakteristik opsi yang bisa membatasi kerugian yang akan diperoleh pemodal dan membuat keuntungan yang tak terbatas nilainya ini sangat menarik untuk dikaji. Pada tahun 973, Fischer Black dan Myron choles menemukan sebuah cara baru dalam menghitung harga opsi yang adil di pasar modal dengan menggunakan model gerak Brown geometrik dan persamaan rambatan panas. Model ini sebenarnya merupakan peyempurnaan dari model yang dirancang oleh Bachelier pada tahun 900. Pada waktu itu Bachelier menggunakan pendekatan limit jalan acak (gerak Brown). Metode penentuan harga opsi secara umum dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode analitik dan metode numerik. Metode analitik merupakan suatu metode penentuan harga opsi yang menghasilkan nilai yang eksak, sedangkan metode numerik merupakan metode penentuan harga opsi yang menghasilkan nilai aproksimasi sehingga pada metode numerik mungkin akan terdapat error di dalamnya. 3 Metode numerik beda hingga adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan mengaproksimasikan turunan-turunan persamaan diferensial tersebut menjadi sistem persamaan linier. 3 Metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan model Black-choles secara numerik dalam penelitian ini adalah metode eksplisit dengan fluktuasi saham berlintasan Brownian. oftware Matlab digunakan untuk komputasi numeriknya. Perumusan Masalah Bagaimana pengaruh fluktuasi saham berlintasan Brownian terhadap harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika melalui persamaan Black-choles.

14 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika melalui metode eksplisit beda hingga. TINJAUAN PUTAKA Pengertian Opsi Opsi adalah suatu kontrak perjanjian antara dua pihak, di mana salah satu pihak (sebagai pembeli opsi) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. 8 Pembeli opsi mempunyai hak tetapi bukan kewajiban untuk melaksanakan opsinya. Opsi akan dijalankan ketika selama periode kontrak opsi berlaku, perubahan harga aset yang mendasari opsi tersebut akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asse Efek derivatif merupakan efek turunan dari efek utama, baik yang bersifat penyertaan maupun utang. Efek derivatif dapat berarti turunan langsung dari efek utama maupun turunan selanjutnya. Instrument keuangan derivatif merupakan suatu kontrak atau perjanjian yang nilai atau peluang keuntungannya terkait dengan kinerja aset lain. Aset lain ini disebut sebagai aset acuan (underlying asse. Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa underlying asset seperti, saham, obligasi, indeks saham, indeks obligasi, dan mata uang (currency). Dalam karya ilmiah ini, underlying asset yang digunakan adalah saham. aham aham merupakan salah satu produk yang diperjualbelikan di pasar modal. aham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan pemiliknya. ekarang ini, sistem tanpa warkat sudah dilakukan di pasar modal Indonesia. Bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tetapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat sehingga penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah. Daya tarik investasi saham adalah dua keuntungan yang dapat diperoleh pemodal dengan membeli saham atau memiliki saham, yaitu:. Dividen, ialah keuntungan yang diberikan perusahaan penerbit saham atas keuntungan yang dihasilkan perusahaan. Biasanya dividen dibagikan setelah adanya persetujuan pemegang saham dan dilakukan setahun sekali. Agar investor

15 berhak mendapatkan dividen, investor tersebut harus memiliki saham untuk kurun waktu tertentu. Dividen yang diberikan perusahaan dapat berupa dividen tunai atau dividen saham. Dividen tunai memberikan pemegang saham uang tunai sesuai dengan jumlah saham yang dimiliki. edangkan, dividen saham memberikan pemegang saham sejumlah saham tambahan.. Capital gain, merupakan selisih antara harga beli dan harga jual yang terjadi. Capital gain terbentuk dengan adanya aktivitas perdagangan di pasar sekunder. ebagai contoh, sebuah saham dibeli oleh seorang investor dengan harga per lembar Rp.800,- dan dijual kembali dengan harga Rp.00,-. Investor akan mendapatkan capital gain sebesar Rp 400 per lembar saham. Umumnya investor jangka pendek mengharapkan keuntungan dari capital gain. aham dikenal memiliki karakteristik high risk-high return. Hal ini berarti saham merupakan surat berharga yang memberikan peluang keuntungan yang tinggi namun juga diikuti dengan tingginya risiko. aham memungkinkan investor mendapatkan capital gain dalam jumlah besar dalam waktu singkat. Namun seiring dengan berfluktuasinya harga saham, saham juga dapat membuat investor mengalami kerugian besar dalam waktu singkat. 3 3 Jenis Opsi Opsi dapat dibedakan berdasarkan jenis haknya dan waktu pelaksanaan hak tersebut. Berdasarkan waktu pelaksanaan haknya, opsi dibedakan menjadi opsi Eropa (European option) dan opsi Amerika (American option). Opsi Eropa hanya mengizinkan pemegang opsi untuk melaksanakan haknya pada saat jatuh tempo. edangkan opsi yang mengizinkan pemegangnya untuk melaksanakan haknya sejak penandatanganan kontrak sampai jatuh tempo ialah opsi Amerika. Berdasarkan hak yang dimiliki oleh pemegangnya, opsi dapat dibedakan menjadi opsi beli (call option) dan opsi jual (put option). Opsi beli memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli surat berharga acuan pada saat jatuh tempo dengan harga kesepakatan (strike price) yang telah disepakati. edangkan pemegang opsi jual mempunyai hak untuk menjual surat berharga acuan pada saat jatuh tempo dengan harga pelaksanaan (strike price) yang sebelumnya disepakati. Payoff adalah imbalan atau hasil yang diperoleh pada saat opsi jatuh tempo atau pada saat opsi dieksekusi. Payoff untuk opsi jual (put option) pada waktu jatuh tempo adalah sebagai berikut: payoff max( E,0) Dengan E menyatakan harga pelaksanaan (strike price) dan adalah harga saham.

16 4 Gambar Payoff untuk Payoff opsi untuk jual dengan opsi jual E=0 dengan pada E t=t = 0 pada t = T Nilai Opsi Nilai opsi ialah besar biaya yang dikeluarkan oleh investor atau sebagai pembeli opsi (option holder) untuk memiliki kontrak opsi. Penjual opsi (option writer) memberikan hak ini sebagai ganti dari pembayaran sejumlah uang yang diterimanya. Pembayaran ini disebut dengan premi opsi. Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi dimana pada karya ilmiah ini focus pada nilai opsi jual (P), yaitu:. Harga saham (). Harga pelaksanaan / Harga strike (E) 3. Waktu jatuh tempo (T) 4. Volatilitas (σ) 5. Tingkat suku bunga bebas risiko (r) 6. Dividen (q). Ada beberapa istilah di hubungan antara harga saham () dan harga pelaksanaan (E) untuk kasus opsi jual (put option) :. Jika E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan out of money.. Jika E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan at the money. 3. Jika E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan in the money.

17 5 Model Harga aham Proses Markov merupakan suatu proses stokastik yang menyatakan bahwa peluang keadaan dari proses pada waktu mendatang tidak dipengaruhi oleh keadaan pada waktu-waktu yang lampau, tetapi hanya kejadian yang langsung mendahuluinya saja. Atau dengan kata lain, proses Markov merupakan proses dimana masa depan tidak tergantung pada sejarah masa lalu tetapi hanya tergantung pada keadaan sekarang. Model saham menyatakan bahwa prediksi harga saham yang akan datang tidak dipengaruhi oleh harga satu minggu, satu bulan atau harga saham satu tahun yang lalu. 7 Nama lain untuk proses stokastik ini adalah jalan acak (random walk). Proses jalan acak ini juga dinamakan proses gerak Brown (Brownian motion), sehingga sifat Markov dapat ditemukan pula pada gerak Brown. d Model umum return dari aset dinyatakan dengan yang dibagi ke dalam dua bagian. Bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan dt. merupakan ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau dikenal sebagai drift. diasumsikan sebagai rate obligasi bebas risiko dan merupakan fungsi dari dan t dan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan db. Dalam rumus ini, didefinisikan sebagai volatilitas dari saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari dan t. B dalam db menotasikan gerak Brown. ehingga, diperoleh persamaan diferensial stokastik: d dt db () dengan : = nilai ekspetasi rate of return saham = volatitlitas saham yang merupakan standar deviasi dari return B = gerak Brownian atau proses Wiener 7 Gerak Brown Gerak Brown adalah gerak acak malar zarah zat padat mikroskopik bila tercelup di dalam medium fluida. Nama Brown dinisbatkan kepada Robert Brown ( ). Ia menyebutkan bahwa penelitiannya tentang gerak acak ini berangkat dari temuan Leuwenhoek. Pada tahun 87 ketika sedang meneliti zarah tepung sari, Brown menemukan gejala serupa yaitu zarah-zarah kecil bergerak secara acak dengan cepat (rapid oscillatory motion). Pada awalnya, Brown mengira gerak ini merupakan perwujudan suatu bentuk kehidupan, namun ternyata zarah-zarah tak organik yang kecil juga menunjukkan perilaku serupa. umbangan Brown dalam menerangkan gejala rapid oscillatory motion ini adalah memberikan pijakan yang kuat bahwa gerakan ini merupakan gejala yang penting

18 6 dan membuktikan bahwa gerakan ini tidak hanya berlaku untuk zarah organik tetapi juga ditemui pada zarah tak organik. Einstein mengandaikan bahwa zarah-zarah yang bergantung dalam sutu fluida secara bersama-sama menanggung gerak termal dari medium dan secara rata-rata tenaga kinetik translasi dari setiap zarah adalah 3/ kt, sesuai prinsip ekipartisi energi. Dalam pandangan ini, maka gerak Brown berasal dari tumbukan molekul-molekul fluida dan zarah-zarah yang tergantung mendapatkan tenaga kinetik rata-rata yang sama seperti molekul-molekul fluida tersebut. Zarah-zarah yang tergantung tersebut adalah sangat besar dibandingkan dengan molekul-molekul fluida dan semua sisinya ditembaki secara terus menerus oleh molekul-molekul tersebut. Jika zarah-zarah cukup besar dan jumlah molekul cukup banyak, maka jumlah molekul yang sama akan menumbuk semua sisi zarah-zarah pada setiap saat. Untuk zarah-zarah yang lebih kecil dan jumlah molekul yang lebih sedikit maka jumlah molekul yang menumbuk berbagai sisi zarah pada setiap saat semata-mata hanyalah merupakan kemungkinan. Besar jumlah ini mungkin tidak sama, sehingga akan terjadi fluktuasi. Gambar Zarah Brown yang tergantung di dalam fluida 4 Model Black-choles Model Black-choles merupakan suatu model yang digunakan untuk menentukan nilai opsi yang telah banyak digunakan di dunia keuangan, model ini hanya dapat digunakan pada penentuan nilai opsi tipe Eropa yang dijalankan pada waktu jatuh tempo (expiration date), sedangkan model ini tidak berlaku untuk opsi tipe Amerika karena opsi tipe Amerika dapat dijalankan setiap saat sampai waktu jatuh tempo (expiration date). Ada beberapa asumsi untuk merumuskan nilai opsi yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Myron choles:. ebaran harga saham adalah lognormal dan ragam dari return pada saham adalah konstan.. Tidak ada biaya transaksi dan pajak. 3. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe opsi Eropa.

19 4. Tidak ada kemungkinan arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko. 5. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan. 6. Perdagangan dari aset yang mendasari (underlying asse bersifat kontinu. 7. Penjualan pendek (short selling) diizinkan. 3 Untuk memodelkan persamaan Black-choles dibutuhkan beberapa definisi istilah, seperti:. Proses tokastik Proses stokastik X = {X(, t T} adalah kumpulan dari peubah acak. Untuk setiap t di kumpulan indeks T, X( ialah peubah acak. Intrepretasi t sebagai waktu dan X( ialah proses peubah acak pada waktu T. Ketika kumpulan indeks T tercacahkan disebut discrate-time stocasthic process dan ketika T kontinu, disebut continuous-time process. 9. Gerak Brown Proses stokastik X { X (, t T disebut gerak Brown jika:. X ( 0) 0. Untuk 0 t0 t... tn peubah acak X ( ti ) X ( ti ), i,,3,... n saling bebas, serta 3. Untuk t 0, X ( menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam t Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi Proses Wiener umum Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut: dx( adt bdw( () Dengan adt disebut komponen deterministik dan bdw ( disebut komponen stokastik, serta W ( adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masingmasing menyatakan rataan dan simpangan baku X Proses Ito Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak dan waktu t. ecara aljabar proses Ito dinyatakan sebagai: 8 dx ( a( X (, dt b( X (, dwt (3) 6. Lemma Ito Misalkan fungsi F ( x, merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan F F F secara parsial terhadap x dan t, yaitu,,. elanjutnya, t x x didefinisikan persamaan diferensial stokastik dari variable x dengan dengan drift rate a ( x, dan variance rate b ( x,, dx a( x, dt b( x, dw (4) 7

20 8 dengan dw merupakan gerak Brown, a dan b adalah fungsi dari x dan t. Maka fungsi F( x, akan mengikuti proses: F F V F (5) df a( x, b ( x, b( x, dw x t x x Derivatif Persamaan Black-choles v(, merupakan nilai opsi pada saham dan pada waktu t. Jika persamaan (5) diterapkan pada Lemma Ito, maka didapatkan: v v v v dv t db dt t (6) (, ) Nilai portofolio π yang terdiri dari opsi v dengan perubahan saham pada jangka pendek, yaitu: v (7) v Perubahan nilai portofolio dπ pada interval waktu singkat dt diberikan dengan: v v d dt t (8) Portofolio merupakan gabungan dari aset-aset. Portofolio ini dikatakan tidak beresiko karena tidak ada gerak random Brownian. Gerak Brownian menyebabkan terjadinya perubahan harga. Portofolio ini dikatakan konstan sehingga portofolio ini mempunyai pendapatan sama dengan saham jangka pendek lainnya yang bebas risiko. Jika pendapatan yang diperoleh lebih tinggi dari portofolio ini, maka arbitrase dapat memperoleh keuntungan dengan cara memilih saham bebas resiko ini untuk membeli portofolio. Tetapi jika pendapatan yang diperoleh lebih kecil maka arbitrase dapat memperoleh keuntungan bebas resiko dengan cara memilih portofolio dan menggunakan keuntungan ini untuk membeli saham bebas resiko. Portofolio bebas resiko dapat dinyatakan dengan, d rdt (9) dimana r adalah suku bunga bebas resiko. Dengan mensubstitusi d dan, v v v r t rv 0 (0) Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial Black-choles yang digunakan untuk menentukan harga opsi. 7

21 9 Metode Beda Hingga Metode numerik beda hingga adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan mengaproksimasikan turunanturunan persamaan diferensial tersebut menjadi sistem persamaan linier. 3 Pada umumnya, metode beda hingga digunakan untuk menyelesaikan secara numerik persamaan Black-choles. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk menerapkan metode beda hingga pada suatu permasalahan persamaan diferensial, yaitu:. Diskretisasi Khusus pada permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial parsial, pendekatan yang dilakukan adalah dengan membawa bentuk persamaan diferensial parsial yang kontinu menjadi bentuk diskret atau biasa disebut diskretisasi. 0 Misalkan v(, menyatakan nilai opsi maka persamaan Black- choles dapat ditulis sebagai: v(, v(, v(, () r rv(, 0 t Diskretisasi persamaan Black-choles pada waktu dan harga saham. Bidang (, dipartisi menjadi mesh dan panjang untuk subinterval di antara mesh adalah dan t. elanjutnya, pada t dibagi menjadi M titik, yaitu t 0, t, t,..., t M. Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan turunan terhadap waktu dengan t t m t dan t T M. Misalkan dipartisi menjadi N titik, yaitu m 0,, N. Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan turunan,..., harga terhadap harga saham, dengan n dan N. elanjutnya, nilai dari opsi pada waktu t m ketika harga saham n dinyatakan oleh: n v v t, ) () m ( m n Dengan n 0,,,..., N dan m 0,,,..., M.. Aproksimasi Aproksimasi diperoleh dari ekspansi deret Taylor. Misalkan, ekspansi deret Taylor untuk v( t, ) dan v( t, ) adalah sebagai berikut: v v (3) v( t, ) v( t, s) v v (4) v( t, ) v( t, s) Menggunakan persamaan (3) diperoleh persamaan beda maju, yaitu: m m v vn v (5) n Menggunakan persamaan (4) diperoleh persamaan beda mundur, yaitu: m m v vn vn (6) n N

22 0 Hasil pengurangan persamaan (4) dari (3) akan diperoleh persamaan beda pusat, yaitu: m m v vn vn (7) Aproksimasi turunan kedua dapat diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (3) dan (4), selanjutnya diperoleh: m m m v vn vn vn (8) Ekspansi deret Taylor untuk v( t t, ) dan v( t t, ) v v v( t t, ) v( t, ) t t t t v v v( t t, ) v( t, ) t t t t (9) (0) Menggunakan persamaan (8) dan (9), diperoleh: m m v vn v () n t t METODE Waktu dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dimulai dari bulan eptember 05 sampai bulan April 06. Prosedur Penelitian Ada beberapa skema metode numerik beda hingga untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial. Dalam penelitian ini, skema metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Black-choles adalah metode eksplisit. Penyelesaian komputasi numerik pada penelitian ini menggunakan software Matlab R0a ( ). Ada beberapa langkah dalam menyelesaikan solusi numerik persamaan Black-choles, antara lain: a. Menentukan persamaan Black-choles yang akan diselesaikan. b. Menentukan kondisi syarat awal dan syarat batas.

23 c. Menentukan persamaan saham berlintasan Brownian. d. Melakukan simulasi numerik. HAIL DAN PEMBAHAAN Model Black-choles Persamaan Black-choles merupakan suatu persamaan diferensial parsial orde dua. Fischer Black dan Myron choles menemukan persamaan untuk menghitung nilai opsi yang adil di pasar modal pada tahun 973. Persamaan ini sekarang lebih dikenal dengan persamaan Black-choles. Persamaan ini penggunaannya terbatas pada tipe opsi Eropa dimana opsi dapat dieksekusi hanya pada waktu berakhirnya kontrak opsi. ecara umum persamaan Black-choles adalah sebagai berikut: 0 rv v r v t v Diskretisasi menggunakan persamaan (6), (7), dan (0), maka persamaan Black-choles menjadi: dt d r d v dt r d v dt d r d v v m n m n m n m n Perbedaan antara opsi tipe Eropa dan Amerika terletak pada waktu eksekusinya. Opsi tipe Eropa dapat dieksekusi hanya pada waktu saat kesepakatan kontrak opsi berakhir. Hal ini berbeda dengan opsi tipe Amerika yang dapat dieksekusi pada waktu kesepakatan kontrak opsi mulai berlaku sampai kontrak opsi berakhir. Perbedaan ini membuat rumus Black-choles untuk opsi tipe Amerika pun berbeda. ecara umum persamaan Black-choles untuk opsi tipe Amerika menjadi: 0 rv v r v t v (3) Diskretisasi menggunakan persamaan (6), (7), dan (0), maka persamaan Black-choles untuk opsi tipe Amerika menjadi: m n m n m n m n m n v dt d r d v dt r d v dt d r d v v, max yarat Awal dan yarat Batas Jika pada saat waktu T, harga strike kurang dari harga saham saat ini dan opsi jual akan menguntungkan ketika hal ini terjadi.,0 max ), ( E t P (5)

24 Persamaan (5) merupakan syarat awal dari pemodelan harga opsi dengan saham berlintasan Brownian. elanjutnya, syarat batas pada pemodelan ini ialah pada saat 0 dan. Jika saat waktu tertentu 0, keuntungan akhir dari opsi jual ialah sebesar harga strike (E). Lalu untuk menentukan P ( 0, diperlukan penentuan nilai harga strike di waktu T yang dirumuskan seperti berikut: r( T P(, Ee (6) Pada saat, opsi tidak akan dieksekusi seperti yang dirumuskan pada persamaan (7) P (, 0 (7) Persamaan aham berlintasan Brownian Persamaan saham berdasarkan persamaan (5) : d dt db Lalu persamaan (5) menjadi: d dt db (8) d didefinisikan menjadi persamaan (9) dan (30), d (9) j (30) ubstitudi persamaan (9) dan (30) ke dalam persamaan (5) menjadi: dt db j t n n n n t n n n n ehingga persamaan saham berlintasan Brownian menjadi: n n ( dt db) (3) elanjutnya persamaan gerak saham berlintasan Brownian seperti persamaan (3) akan digunakan dalam simulasi numerik dengan db menggunakan random generator pada matlab fungsi rand untuk fluktuasi kecil dan fungsi randn untuk fluktuasi besar. db db

25 3 imulasi Numerik Pada bagian ini akan ditunjukkan hasil simulasi numerik. Hasil simulasi ini menggunakan software Matlab R0a ( ) dan algoritme komputasinya dapat dilihat pada lampiran. Plot grafik pada model ini mengambil nilai opsi dari matriks m n nilai opsi pada t sama dengan t saham. Model opsi yang digunakan adalah sebagai berikut:. Opsi jual tipe Eropa Instrumentasi keuangan derivatif opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian diantara dua pihak. Pihak pertama selaku pembeli kontrak opsi (option holder) dan pihak kedua ialah penjual kontrak opsi (option writer). Pihak pertama memiliki hak bukan kewajiban untuk menjual kontrak opsi jual kepada pihak kedua terhadap suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah disepakati sebelumnya. Opsi jual akan menarik di pihak pertama (option holder) pada saat dinamika harga saham yang mendasari opsi mengalami trend negative. Hal ini tidak membuat kontrak opsi jual menjadi tidak menarik bagi sebagian calon option holder. Karakteristik dari opsi yang merupakan hak dan bukan kewajiban untuk menjalankan kontrak menjadikan kontrak opsi jual akan selalu menarik mengingat pergerakan harga saham yang tidak bisa dianalisis secara akurat. Pada penelitian ini pergerakan harga saham dimodelkan berlintasan Brownian dimana terjadi fluktuasi harga dengan kecenderungan harganya ialah naik. Tipe opsi jual yang selanjutnya akan dimodelkan ialah tipe Eropa. Option holder hanya bisa mengeksekusi kontraknya pada expiration date saja. elanjutnya, pemodelan dinamika harga opsi jual dari dinamika harga saham yang mendasarinya menggunakan fungsi rand untuk fluktuasi harga saham kecil dan fungsi randn untuk fluktuasi harga saham besar pada Matlab. Gambar 3 Dinamika harga opsi jual terhadap pergerakan harga saham

26 4 Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E 7.5. Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 0 dan N 0 yang hasilnya disajikan pada gambar 3. Dari gambar 3 dapat ditunjukkan bahwa semakin meningkatnya harga saham pada kontrak opsi yang memiliki waktu jatuh tempo (expiration date) 0 hari maka akan menurunkan harga opsi jual. Dalam keadaan seperti ini, apabila harga saham pada expiration date lebih besar dari harga strike, ed > E, maka pemegang kontrak opsi (option holder) tidak akan mengeksekusi kontraknya karena akan lebih menguntungkan menjual aset saham tersebut di pasar saham. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya menggunakan random generator pada Matlab untuk fluktuasi kecil adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 0 dan N 0 yang hasilnya disajikan pada gambar 4. Gambar 4 menunjukkan bahwa dinamika pergerakan saham yang fluktuatif berpengaruh terhadap harga opsi. Pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil menunjukkan harga saham yang lebih variatif dibandingkan dengan gambar. Harga saham seperti ini membuat harga opsi semakin menarik, terlihat pada harga opsi baru sampai pada titik 0 pada saat hari terakhir kontrak opsi berakhir. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya menggunakan random generator pada Matlab untuk fluktuasi besar adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 0 dan N 0 yang hasilnya disajikan pada gambar 5. Gambar 4 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil

27 Gambar 5 menunjukkan bahwa dinamika pergerakan saham yang lebih fluktuatif terjadi. Pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar menimbulkan adanya penurunan harga saham saat hari ke- kontrak opsi berlaku dan mengalami penurunan dari hari ke-9 ke hari ke-0 atau saat kontrak opsi berakhir. Harga opsi merupakan turunan dari dinamika pergerakan harga saham. Harga opsi setelah sampai ke titik 0 masih berfluktuatif naik pada hari ke-5 dan di hari ke-7. Pemodelan harga saham dengan fluktuasi besar lebih mendekati pada keadaan sebenarnya di pasar saham dimana harga saham per hari bisa saja turun dan bisa saja naik. 5 Gambar 5 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar Gambar 6 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan saham dengan fluktuasi besar untuk jumlah iterasi 00

28 6 Pemodelan pergerakan saham dengan fluktuasi kecil (Gambar 6) untuk M 00 dan N 00 menunjukkan bahwa pada kontrak opsi sudah tidak bernilai mulai hari ke-3 karena pergerakan saham yang sudah melewati harga strike. udah dapat dipastikan option holder di saat expiration date tidak akan mengeksekusi kontrak opsi karena akan lebih menguntungkan jika menjual saham di pasar saham. Pemodelan pergerakan saham dengan fluktuasi besar (Gambar 7) untuk M 00 dan N 00 menunjukkan bahwa kontrak opsi bernilai 0. pada saat expiration date. Pergerakan saham dengan fluktuasi besar membuat pemodelan dinamika harga opsi maupun harga saham lebih berdinamika. eperti yang telah disebutkan sebelumnya, penggunaan pergerakan saham fluktuasi besar pada pemodelan dinamika harga opsi terhadap harga saham lebih mendekati ke keadaan sebenarnya. Gambar 8 menunjukkan dinamika harga opsi terhadap harga saham PT Astra International, Tbk (AII) selama periode Februari 06. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Eropa dari dinamika saham yang mendasarinya adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M dan N yang hasilnya disajikan pada gambar 4. Option holder pada expiration date mempunyai pilihan mengeksekusi opsinya atau tidak karena opsi bernilai Gambar 7 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil untuk jumlah iterasi 00 Gambar 8 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 06

29 . Opsi jual tipe Amerika Opsi jual tipe Amerika mempunyai suatu kekhususan yaitu kebebasan waktu eksekusi. Option holder dapat melaksanakan opsi mulai dari waktu berlakunya kontrak opsi sampai berkakhirnya kontrak tersebut. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Amerika dari dinamika saham yang mendasarinya adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 00 dan N 00 yang hasilnya disajikan pada gambar 9 dan gambar 0. Gambar 0 menunjukkan dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil. Option holder disarankan untuk mengeksekusi opsi jual sebelum hari ke-. etelah hari ke-, opsi bernilai 0 karena pergerakan harga saham yang semakin tinggi dari hari ke hari. Keadaan seperti ini menganjurkan option holder untuk segera mengeksekusi opsinya atau tidak melaksanakan opsinya dan menjual aset saham di pasar saham. Pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar ditunjukkan pada Gambar 9. Pemodelan seperti ini memperlihatkan keadaan yang paling menguntungkan untuk mengeksekusi opsi jual tipe Amerika. Pada hari ke-3 saat opsi bernilai.9 ialah posisi yang sangat disarankan untuk mengeksekusi opsi karena mempunyai nilai opsi tertinggi dibandingkan dengan posisi lainnya. Pemodelan dengan pergerakan harga saham berlintasan Brownian dengan fluktuasi besar untuk opsi jual tipe Amerika berguna untuk analisis awal calon option holder agar keuntungan yang diperoleh dari kontrak opsi jual maksimal. Gambar menunjukkan dinamika harga opsi terhadap harga saham PT Astra International, Tbk selama periode Februari 06. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Amerika dari dinamika saham yang mendasarinya adalah ( ) 6. 45, r 0. 05, , E Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M dan N yang hasilnya disajikan pada gambar 0. Option holder disarankan mengeksekusi segera kontrak opsi di hari ke-3 saat opsi jual bernilai.5. 7 Gambar 9 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil

30 8 Gambar 0 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar Gambar Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 06

31 9 IMPULAN DAN ARAN impulan Dalam penelitian ini telah berhasil dalam menyelesaikan solusi numerik persamaan Black-choles dengan lintasan saham Brownian dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit. Dinamika harga opsi jual terhadap harga saham yang berfluktuasi besar memberikan analisis lebih kompleks dibandingkan dengan fluktuasi kecil. Peggunaan model Black-choles pada harga saham PT. Unilever, Tbk. periode Februari 06 pada tipe Opsi Amerika memberikan analisis kepada option holder mengenai dinamika harga opsi jual terhadap harga saham sebagai upaya mendapatkan keuntungan maksimal. aran Persamaan Black-choles merupakan persamaan yang digunakan untuk menentukan nilai opsi tipe Eropa. Dalam penelitian ini, nilai opsi Eropa dan Amerika menggunakan asumsi tidak adanya dividen, serta parameter r dan σ dibuat tetap. Metode eksplisit beda hingga digunakan untuk menyelesaikan solusi numerik dari model Black-choles dengan lintasan saham Brownian. Penyelesaian numerik model Black-choles juga dapat menggunakan metode beda hingga lain seperti, metode upwind, metode Crank-Nicholson, dan metode finite volume. DAFTAR PUTAKA. Resmiyanto Rachmad. Nalar Fisika di Pasar aham: Pengantar Ekonofisika. Yogyakarta: GRE Publishing Weston J.F & Copeland T.E. Manajemen Keuangan. Binarupa Aksara: Jakarta Affandi Irfan Nur. Penyelesaian numerik model Black-choles menggunakan metode beda hingga upwind [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor artono R.A. Manajemen Keuangan: Teori dan Aplikasi. BPE: Yogyakarta Berlianta, H.C. Mengenal Valuta Asing. Gajah Mada University Press: Yogyakarta Keown A.J, Yermukanova Binur, Zhexembay Laila. Dasar-Dasar Manajemen Keuangan Buku. alemba Empat: Jakarta Prahmana Rully Charitas I, umardi. Penentuan harga opsi untuk model Black- choles menggunakan metode beda hingga Crank-Nicolson, dipresentasikan pada Konferensi Nasional Matematika (KNM) XIV IndoM di Universitas riwijaya, Palembang, 4-7 Juli Hull JC. Option, Future, and Other Derivatives. Ed ke-7. New Jersey(U): Pearson Education. 009.

32 0 9. Ross M. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. outh California (U): Elsevier Darmianti Rahmi. Penetuan harga opsi barrier dengan metode beda hingga eksplisit dan implisit [skripsi]. Makassar (ID): Universitas Hasanuddin Niwiga DB. Numerical method for valuation of financial derivatives [tesis]. outh Africa (ZA): University of Western Cape Karjanto Natanael, et all. Black-choles Equation [paper]. New York (U): Cornell University Endang Triana. Model peramalan harga saham dengan jaringan syaraf tiruan propagasi balik [tesis]. Bogor (ID): Bogor Agricultural University Wilmott P. Introduces Quantitative Finance. New York (U): John Wiley&ons. 00.

33 LAMPIRAN Lampiran Tabel Harga aham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 06 No. Tanggal Harga aham (IDR) -Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb Feb umber: http//finance.yahoo.com

34 Lampiran Program Matlab %RANDN %kasus put option clear all; clc; s()=6.45; %harga saham awal r=0.05; %Tingkat Bagi Hasil sigma=0.086; % Volatilitas aham M=00; % Number of time points N=00; % Number of share price points T=; % Maturation (expiry)of contract dalam tahun u=0.005; %mu=nilai ekspetasi "rate of return" saham v(:n,:m) = 0.0; dt=t/m; load('random'); for p=:n t(p)=p*dt; s(p)=(s(p-))*(+sigma*rrandomm(p-)+u*d; ds=s(p)-s(p-); end E=7.5*ones(size(:N)); v(,:m)= E*exp(-r*(T-t(p))); v(n+,:m)= zeros(m,)'; v(:n+,)=max((e-s),zeros(size(:n))); aa= ((((-0.5*sigma^*s.^)/ds^)-(r*s./*ds))*d; bb= (((((-0.5*sigma^*s.^)/ds^)+r)*d+); cc= ((((-0.5*sigma^*s.^)/ds^)-(r*s./*ds))*d; for i=:m for j=:n+ v(j,i)= (v(j+,i-)*aa(j-))+(v(j,i-)*bb(j-))+(v(j-,i-)*cc(j-)); if v(j,i)<0; v(j,i)=0; else v(j,i)=v(j,i); end end end for i=:m+ W(i-)=v(i-,i-); end figure() for i=:n q(i)=i; e(i)=s(,i); r(i)=w(,i); [ax, h, h]=plotyy(q(,:),e(,:),q(,:),r(,:),'plot'); grid off; set(gca,'color',[ ]) xlabel('waktu') set(get(ax(), 'Ylabel'), 'tring', 'aham'); set(get(ax(), 'Ylabel'), 'tring', 'Opsi'); pause(0.) end

35 3 RIWAYAT HIDUP Putri kelahiran Jakarta pada tanggal 8 Maret 994 dari pasangan Deni Awaludin dan Muhinah diberi nama Mutiara Dewi Lestari. Mutiara terlahir sebagai anak tengah dimana mempunyai satu kakak perempuan dan satu adik perempuan. Hampir seluruh pendidikan formal diselesaikan olehnya di kota Bogor. Mulai dari TK Indria Ciomas Bogor ( ), DN Panaragan Bogor ( ), MPN 4 Bogor ( ), dan MAN 5 Bogor (009-0). Mutiara lolos seleksi NMPTN Undangan dan berkuliah di Institut Pertanian Bogor mulai bulan Juli 0. Penulis pernah berpatisipasi menjadi panitia kegiatan mahasiswa seperti, Gebyar Nusantara 04 serta IPB Art Contest 04 juga Pesta ains Nasional 03, 04, dan 05. elain itu, di tahun 04 penulis pernah menjadi volunter Exchange Winter Programme Aiesec Chapter IPB. elain aktif menjadi panitia kegiatan mahasiswa, penulis menekuni salah satu hobinya yaitu menjadi Master of Ceremony. Penulis pernah menjadi MC di beberapa acara yang diselenggarakan oleh Himafi, BEM FMIPA, dan FFI Chapter Bogor. Penulis pernah menjabat sebagai sekretaris departemen PDM Himafi 05 dan staf divisi health and education komunitas FFI Chapter Bogor pada tahun Penulis bersama rekan-rekannya ialah penerima dana hibah DIKTI untuk program usulan PKM bertema kayu gelam tahun 05. Penulis dapat dihubungi melalui mutiaradewilestari@gmail.com.