IDENTIFIKASI PENCILAN DAN PETA PENCILAN PADA ANALISIS KOMPONEN UTAMA UNTUK DATA MENJULUR ANNA FAUZIYAH DEPARTEMEN STATISTIKA

Transkripsi

1 IDENTIFIKASI PENCILAN DAN PETA PENCILAN PADA ANALISIS KOMPONEN UTAMA UNTUK DATA MENJULUR ANNA FAUZIYAH DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 212

2 ABSTRAK ANNA FAUZIYAH. Identifikasi Pencilan dan Peta Pencilan pada Analisis Komponen Utama untuk Data Menjulur. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan I MADE SUMERTAJAYA. Analisis Komponen Utama (AKU) merupakan salah satu analisis peubah ganda yang pada dasarnya mentransformasikan secara linier peubah asal menjadi peubah baru yang dinamakan komponen utama. Akan tetapi, AKU yang didasarkan pada matriks ragam peragam ini sangat sensitif terhadap keberadaan pencilan. Sensitifitas terhadap pencilan pada Klasik dapat diatasi dengan AKU yang kekar (K) yang bekerja sangat baik pada data yang memiliki sebaran simetrik atau tidak menjulur. Apabila data peubah asal menjulur maka banyak titik data yang sebenarnya bukan pencilan dianggap sebagai pencilan atau sebaliknya. Kemudian dikembangkanlah pendekatan K yang cocok untuk data menjulur dengan mendefinisikan berbagai kriteria baru untuk menggambarkan pencilan yaitu KAO. Penelitian ini menggunakan empat metode yaitu Klasik, KMCD, K, dan KAO untuk mengetahui perbandingan efektifitas keempat metode tersebut dalam mengidentifikasi pencilan pada data menjulur. Keempat metode tersebut dicobakan pada dua set data yang dikontaminasi pencilan dengan proporsi %, %, %, dan 1%. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini menunjukkan bahwa metode KAO mampu mengatasi pengaruh kehadiran pencilan pada data menjulur karena memiliki tingkat kesalahan identifikasi yang paling kecil. Hal tersebut diperkuat dengan adanya peta pencilan yang memberikan gambaran secara visual dalam pengidentifikasian pencilan. Kata kunci : data menjulur, pencilan, analisis komponen utama kekar, peta pencilan.

3 IDENTIFIKASI PENCILAN DAN PETA PENCILAN PADA ANALISIS KOMPONEN UTAMA UNTUK DATA MENJULUR ANNA FAUZIYAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 212

4 Judul Nama NIM : Identifikasi Pencilan dan Peta Pencilan pada Analisis Komponen Utama untuk Data Menjulur : Anna Fauziyah : G1483 Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si NIP : Dr. Ir. I Made Sumertajaya, MS NIP : Mengetahui : Ketua Departemen, Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : Tanggal Lulus:

5 PRAKATA Tiada kata yang paling indah selain puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Identifikasi Pencilan dan Peta Pencilan pada Analisis Komponen Utama untuk Data Menjulur ini dapat terselesaikan. Ucapan terima kasih tak lupa penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu sehingga karya ilmiah ini selesai dengan baik, yaitu : 1. Bapak Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si dan Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, MS atas kesabarannya dalam membimbing, memberi saran, serta motivasi sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan 2. Seluruh dosen pengajar di Departemen Statistika 3. Ayahanda Yayat Suryatna, Ibunda Eeng Emalia serta kakak-kakak Dewi Noviyanti dan Nisa Sofianti yang selalu memberikan kasih sayang, semangat, dan doa 4. Ibu Markonah, Ibu Tri, Ibu Aat, Bang Ibay, Bang Iyus dan staf tata usaha lainnya yang telah banyak membantu. Rekan-rekan di Departemen Statistika IPB angkatan 4 khususnya Keluarga Pandhewi (Dinia Wihansah, Mulya Sari, Hanik Aulia, dan Hana Maretha), Ramadhiyan Firdan, Iin Puspitasari, Ratih Noviani, dan Hadi Septian atas segala kebersamaan, canda tawa, kenangan indah, dan masukan-masukan yang telah mengisi kehidupan penulis selama di kampus. Teman bimbingan skripsi yaitu Aji Setyawan, Tri Hardi Putra, dan Arni Nurwida atas semangat dan kebersamaannya 7. Teman-teman kostan SQ yaitu Mega, Delvi, Fatchah, Nengsih, Hilma, Ulan, Puji, Putri, Yuang, Fitri, Irma, Feby, Lia, Reffa dan Devi atas dukungan, semangat dan doa kepada penulis 8. Semua pihak yang tidak mungkin disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis selama ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Penulis mohon maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam karya ilmiah ini. Bogor, November 212 Anna Fauziyah

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kuningan, pada tanggal 8 April 199 dari Bapak Yayat Suryatna dan Ibu Eeng Emalia. Penulis merupakan putri ketiga dari tiga bersaudara. Penulis memulai pendidikannya di SD Negeri 1 Jambar dan lulus pada tahun 22. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan di SMP Negeri 2 Kuningan hingga tahun 2. Setelah menyelesaikan studinya di SMA Negeri 1 Kuningan pada tahun 28, penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) pada tahun yang sama. Selama satu tahun pertama di IPB, penulis melalui Tahap Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 29, penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika dengan minor Ilmu Ekonomi dan Studi Pembangunan. Selama kuliah, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan yaitu sekretaris divisi Komunikasi dan Informasi Lembaga Struktural Bina Desa BEM KM IPB selama dua periode pada tahun 29-2, anggota Departemen Sains Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta Departemen Statistika FMIPA IPB Periode 211. Penulis juga aktif dalam kegiatan kemahasiswaan yang diadakan oleh Departemen Statistika maupun Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, antara lain Spirit FMIPA 2 (Divisi Medis), The th Statistika Ria 2 (Divisi LO), Pesta Sains FMIPA 2 (Divisi K4), Welcome Ceremony Statistics (WCS) 211 serta Lomba Jajak Pendapat Statistika 211 (Sekretaris Umum). Pada bulan Februari-April 212 penulis diberikan kesempatan untuk praktik lapang di PT. Infomedia Nusantara.

7 vii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 Data Menjulur... 1 Pencilan... 2 Analisis Komponen Utama... 3 Analisis Komponen Utama Kekar... 3 Analisis Komponen Utama Kekar untuk Data Menjulur... 4 Peta Pencilan... 4 METODOLOGI Data... Metode... HASIL DAN PEMBAHASAN Karakteristik Data... Identifikasi Pencilan pada n 1 =... Identifikasi Pencilan pada n 2 =... 8 Peta Pencilan... 9 Penerapan Klasik dan KAO... KESIMPULAN DAN SARAN 11 Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 13

8 viii DAFTAR TABEL Halaman 1. Nilai medcouple tiap peubah Persentase kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 1 =, p= dan k= Persentase kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 2 =, p= dan k= Ringkasan hasil komponen utama pada berbagai metode... DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Peta pencilan Persentase Kesalahan I pada n 1 = Persentase Kesalahan II pada n 1 = Persentase Kesalahan I pada n 2 = Persentase Kesalahan II pada n 2 = Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % pada (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % pada (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO.... DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Skema algoritma penelitian Rumus adjusted outlyingness (AO) Histogram data hasil pembangkitan Nilai korelasi antar peubah pada n 1 = dan p= Nilai korelasi antar peubah pada n 2 = dan p= Kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 1 =, p=, dan k= Kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 2 =, p=, dan k= Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan 1% (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan 1% (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO... 24

9 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Konsep dasar dari Analisis Komponen Utama (AKU) adalah pereduksian dimensi sekumpulan peubah asal menjadi peubah baru yang berdimensi lebih kecil yang saling bebas dan tetap mempertahankan informasi yang terkandung di dalamnya. Peubah baru tersebut disebut komponen utama. Akan tetapi, AKU yang didasarkan pada matriks ragam peragam ini sangat sensitif terhadap keberadaan pencilan. Hubert et al. (2) memperkenalkan pendekatan Analisis Komponen Utama Kekar (K) atau Robust Principal Component Analysis () yang menghasilkan komponen utama yang tidak dipengaruhi oleh pencilan. K menggabungkan konsep Projection Pursuit (PP) dengan Minimum Covariance Determinant (MCD). PP digunakan untuk inisiasi reduksi dimensi awal sedangkan MCD digunakan sebagai penduga matriks ragam peragam yang kekar. Pada tahap akhir K dilakukan pembobotan ulang dengan menggunakan penduga MCD. Jika pembobotan ulang tersebut tidak dilakukan maka metode tersebut dinamakan KMCD. KMCD menghasilkan subruang AKU yang sama dengan K tetapi tidak dengan nilai dari akar ciri dan vektor cirinya. Sensitifitas terhadap pencilan pada Klasik dapat diatasi dengan K yang bekerja sangat baik pada data yang memiliki sebaran simetrik atau tidak menjulur. Apabila data peubah asal menjulur maka banyak titik data yang sebenarnya bukan pencilan dianggap sebagai pencilan atau sebaliknya. Hubert et al. (29) mengembangkan pendekatan K yang cocok untuk data menjulur dengan mendefinisikan berbagai kriteria baru untuk menggambarkan pencilan. Pendekatan ini terdiri dari langkah-langkah yang sama dengan K sebelumnya akan tetapi pada pendekatan baru ini dilakukan beberapa modifikasi. Perbedaan mendasar dari pendekatan K baru ini dengan pendekatan K sebelumnya yaitu terletak pada penggantian perhitungan keterpencilan pada K yang menggunakan rumus Stahel-Donoho (K) dengan menggunakan rumus perhitungan keterpencilan baru yaitu adjusted outlyingness (KAO). Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Membandingkan efektifitas metode Klasik, KMCD, K, dan KAO dalam mengidentifikasi pencilan pada data menjulur yang memiliki berbagai proporsi pencilan 2. Menerapkan peta pencilan pada data menjulur 3. Menerapkan Klasik dan KAO pada data menjulur. TINJAUAN PUSTAKA Data Menjulur Bentuk dan ketidaksimetrian dari sebuah sebaran dapat diukur dari kemiringannya. Sebaran yang simetrik memiliki kemiringan nol, sebaran yang tidak simetrik yang ekornya menjulur ke kanan memiliki kemiringan positif, sedangkan sebaran yang ekornya menjulur ke kiri memiliki kemiringan negatif. Koefisien kemiringan klasik b 1 dari kumpulan data peubah tunggal X n ={x 1, x 2,..., x n } diambil dari sebaran kontinu yang didefinisikan sebagai berikut: b 1 X n = m 3(X n ) m 2 (X n ) 3 2 dimana m 2 merupakan momen empiris kedua dan m 3 merupakan momen empiris ketiga dari data. Akan tetapi, b 1 sangat sensitif terhadap pencilan dalam data sehingga harus menggunakan koefisien kemiringan yang kekar. Brys et al. (24) memperkenalkan ukuran kemiringan yang kekar terhadap pencilan yaitu medcouple. Nilai medcouple berkisar antara -1 sampai 1. Jika nilainya maka sebarannya tidak menjulur (simetrik). Misalkan X n ={x 1, x 2,..., x n } diambil dari sebaran kontinu dan kemudian diurutkan sehingga x 1 x 2... x n, maka median untuk X n adalah: m n = (x n 2 +x (n 2)+1) )/2, jika n genap x (n+1)/2, jika n ganjil berikut nilai MC n (medcouple): jika x i x j maka: MC n = med xi m n x j h(x i, x j ) h x i, x j = x j- m n - m n - x i x j x i

10 2 jika x i =x j =m n maka diberikan fungsi kernel h. Misalkan m 1 <... < m k melambangkan indeks dari pengamatan yang kembar dengan median m n dan x ml = m n untuk l = 1,..., k maka: h(m i, m j ) = -1 jika i + j - 1 < k jika i + j - 1 = k +1 jika i + j - 1 > k Salah satu contoh sebaran menjulur adalah sebaran normal inverse Gaussian (NIG). Sebaran tersebut merupakan kasus khusus dari sebaran generalized hyperbolyc (GH) yang didefinisikan sebagai Gaussian generalized inverse Gaussian mixing distribution yang sering digunakan pada bidang keuangan. Jika X~N µ, σ 2 maka 1/X bukan sebaran NIG. Sebaran GH didefinisikan sebagai berikut: gh x:λ,α,β,δ,µ = a λ,α,β,δ δ 2 + x-μ 2 x a λ, α, β, δ = dengan: K λ-1 2 (α δ 2 + x-μ 2 ) exp β x-μ α 2 β 2 λ 2 2πα λ 1 2 δ λ K λ δ α 2 β 2 δ, β < α jika λ > δ >, β < α jika λ = δ >, β α jika λ < Misalkan peubah acak X menyebar X~NIG α, β, δ,μ yang memiliki fungsi kepekatan peluang, nilai harapan, dan ragam sebagai berikut : f x x = αδ π exp δ α2 -β 2 +β x-μ β α E X = μ+δ (1-( β α) 2 ) 1 2 Var X = δ 2 α -1 β α 2 K 1 (α δ 2 + x-μ 2 1-( β α) δ 2 + x-μ 2 dengan x, µ ε R, δ, β α dimana: µ : parameter lokasi δ : parameter skala α, β : parameter bentuk yang menentukan panjang ekor dan kemenjuluran K 1 merupakan fungsi modifikasi Bassel dari persamaan: K n+ 1 2 x = π 2 x-1 2e -x (1+ n i=1 n+i! (2x) i ) n-i i! dengan x, µ ε R, δ, β < α dimana: K λ x = K -λ x maka K -1 2 x = K 1 2 x = π 2 x -1/2 e -x λ = n+ 1, n =, 1, 2, 2 Fungsi modifikasi Bassel hanya memperbolehkan pada kasus ketika λ=-1/2 dan λ=1. Pada λ=-1/2 diperoleh sebaran NIG sedangkan pada λ=1 diperoleh sebaran hyperbolic (HYP). Peubah acak NIG ganda menyebar NIG p α, β, tδ,tμ, untuk t >, berikut adalah fungsi kepekatan peluang, nilai harapan, dan ragamnya: f x (x) = 2δ α 2π p+1 2 exp δα E X = μ+δ ζ Π 1 2 K (p+1)/2 (α δ 2 +x' -1 x (δ 2 +x' -1 x (p+1)/4 Var X = δ 2 ζ -1 ζ +x -1 ζ Π 1 2 ' Π 1 2 dengan x, µ, β ε R p, δ >, α 2 > β β, ϵ R p, ζ = δ α 2 -β' β, Π = β 1 2 (α 2 -β ' β) 1 2, dan = δ 2 dimana: : matriks definit positif ζ : parameter kemenjuluran Π : parameter yang menentukan panjang ekor Σ : matriks ragam peragam (Prause 1999) Pencilan Pencilan adalah pengamatan ekstrim dan merupakan titik data yang tidak khas dari seluruh pengamatan data (Montgomery & Peck 1992). Dengan cara yang sama, Johnson (27) mendefinisikan pencilan sebagai suatu pengamatan pada rangkaian data yang terlihat tidak konsisten terhadap sisaan dari data tersebut. Menurut Draper dan Smith (1992), pencilan merupakan pengamatan yang nilai mutlak sisaannya jauh lebih besar daripada sisaan-sisaan lainnya dan bisa jadi terletak tiga atau empat simpangan baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata sisaannya. Pada umumnya pendeteksian pencilan untuk peubah ganda berbasis pada asumsi sebaran yang simetrik. Menurut Hubert dan Van der Veeken (28), pada data yang

11 3 sebarannya tidak simetrik atau menjulur pendeteksian pencilan dilakukan dengan menggunakan adjusted outlyingness (AO) dari data peubah ganda. Pada prakteknya AO tidak dapat dihitung dengan memproyeksikan pengamatan pada semua vektor peubah tunggal a. Oleh karena itu, harus dibatasi dengan cara memilih satu set arah acak. Simulasi menunjukkan bahwa banyaknya arah yang efisien dan hemat dalam waktu komputasi adalah sebanyak m=2p arah. Arah acak dihasilkan sebagai arah yang tegak lurus terhadap subruang yang direntang oleh p-pengamatan secara acak yang diambil dari kumpulan data. Setelah AO dihitung untuk setiap pengamatan, maka tahap selanjutnya yaitu memutuskan apakah pengamatan tersebut adalah pencilan atau bukan. Sebaran AO pada umumnya tidak diketahui (tetapi biasanya miring ke kanan karena dibatasi oleh nol). Oleh karena itu, dihitunglah diagram kotak garis yang disesuaikan (adjusted boxplot) dari nilai AO dan mendeklarasikan pencilan jika AO melebihi batas atas diagram kotak garis yang disesuaikan. cut off = Q e 3MC IQR dimana: Q 3 : kuartil ketiga dari AO i IQR : jangkauan antar kuartil MC : nilai medcouple. Analisis Komponen Utama Jollife (22) mendefinisikan bahwa ide sentral dari analisis komponen utama adalah untuk memperkecil dimensi dari peubah asal sehingga diperoleh peubah baru yang disebut komponen utama. Komponen tersebut tidak saling berkorelasi dan tetap mempertahankan sebagian besar informasi yang terkandung pada peubah asalnya. Menurut Johnson (27), komponen utama merupakan kombinasi linear terboboti dari p peubah acak X 1, X 2,..., X p yang mampu menerangkan data secara maksimum. Vektor acak x =[x 1, x 2,..., x p ] menyebar menurut sebaran tertentu dengan vektor nilai tengah µ dan matriks ragam peragam Σ. Komponen utama ke-j dari p peubah dapat dinyatakan sebagai: Y j =a 1j x 1 +a 2j x 2 + +a pj x p = a'x dan keragaman komponen utama ke-j adalah : λ 1, λ 2,, λ p adalah akar ciri dimana λ 1 λ 2 λ p. Total keragaman komponen utama adalah λ 1 + λ λ p = tr (Σ). Vektor ciri a sebagai pembobot dari transformasi linear peubah asal diperoleh dari persamaan: Σ λ j I a j = ; j = 1, 2,, p Analisis Komponen Utama Kekar Analisis Komponen Utama Klasik berbasis pada matriks ragam peragam yang sangat sensitif terhadap pencilan. Hubert et al. (2) memperkenalkan analisis komponen utama yang kekar terhadap pencilan. K merupakan kombinasi dua ide yaitu antara Projection Pursuit (PP) dan penduga ragam peragam yang kekar. Konsep PP digunakan dalam tahap inisiasi reduksi dimensi awal. Konsep penduga ragam peragam yang kekar menggunakan Minimum Covariance Determinant (MCD) kemudian diterapkan pada data dengan dimensi yang lebih rendah. Secara umum algoritma K terdiri dari tahap-tahap berikut: 1. Mereduksi ruang data, terutama ketika p n, dimana p merupakan jumlah peubah penjelas dan n adalah jumlah observasi. Langkah ini dilakukan dengan Metode Dekomposisi Nilai Singular terhadap mean-centered data matriks dengan rumus: X n,p 1 n μ ' ' = U n,r D r,r V r,p' dengan μ merupakan vektor rataan klasik, r =rank(x n,p 1 n μ ' ), D adalah matriks diagonal berukuran r x r, dan U U=I ro =V V, dimana I r adalah matriks identitas berukuran r x r 2. Menemukan h keterpencilan terkecil (least outlyingness), tahap ini dilakukan dengan memilih ½ < α < 1 untuk mendapatkan nilai h=max{[αn],[(n+k max +1)/2]}, dimana k max merupakan jumlah maksimum komponen yang akan dihitung. Selanjutnya keterpencilan dihitung dengan rumus Stahel-Donoho: Outl O (x i ) = max vεb x i ' v-μmcd (x j ' v) MCD (x j ' v) dengan μ MCD dan MCD merupakan penduga nilai tengah dan simpangan baku MCD, h pengamatan dengan nilai keterpencilan terkecil dihitung vektor nilai Var Y j = λ j ; j = 1,2,, p

12 4 tengah (μ 1 ) dan matriks ragam peragamnya ( ) 3. Matriks ragam peragam didekomposisi sehingga diperoleh komponen utamanya. Sebanyak k komponen utama pertama dipilih dan semua data diproyeksikan pada subruang V berdimensi-k yang direntang oleh k vektor ciri pertama sehingga diperoleh X n,k 4. Untuk setiap pengamatan, dihitung jarak ortogonalnya (OD): OD i () = x i - x i,k dengan x i,k merupakan proyeksi dari x i pada subruang V. Kemudian diperoleh subruang kekar penduga V 1 sebagai subruang yang direntang oleh k vektor ciri dominan dari 1, yang mana matriks ragam peragam semua pengamatan x i OD () i c OD. Nilai cut off sebesar c OD = (μ + σz.97 ) 3 2 dimana μ dan σ diduga dari MCD dan z.97 adalah 97.% kuantil dari sebaran gaussian. Selanjutnya, semua data diproyeksikan pada subruang V 1. Menghitung kembali penduga nilai tengah dan matriks ragam peragam pada subruang berdimensi-k dengan menggunakan pembobot MCD pada data yang diproyeksikan. Pendugaan ini menggunakan algoritma FAST-MCD yang diadaptasi (Rousseeuw 1999). Komponen utama akhir adalah vektor ciri dari matriks ragam peragam tersebut. AKU Kekar MCD (KMCD) merupakan analisis dimana tahap akhir pada algoritma K di atas tidak dilakukan. Akar ciri kekar yang dihasilkan saling berkorespondensi dengan vektor ciri kekar dari matriks ragam peragam dari h pengamatan yang memiliki keterpencilan terkecil. Hal tersebut menghasilkan subruang AKU yang sama dengan K tetapi tidak dengan nilai dari akar ciri dan vektor cirinya. Analisis Komponen Utama Kekar untuk Data Menjulur AKU Klasik dan K keduanya digunakan pada data yang simetrik. Hal tersebut mengharuskan data peubah asal memiliki sebaran yang simetrik. Jika tidak terpenuhi maka dapat dilakukan transformasi terhadap peubah asal misalnya dengan menggunakan transformasi Box-Cox, tetapi peubah yang ditransformasi akan lebih sulit diinterpretasikan. Pada situasi seperti itu maka dilakukan analisis pada peubah asal dengan menggunakan teknik AKU yang cocok untuk data yang tidak simetrik. Pada K dilakukan modifikasi dimana analisis tersebut dapat digunakan pada data menjulur dengan mendefinisikan berbagai kriteria baru untuk menggambarkan pencilan. Menurut Hubert et al. (29), terdapat tiga modifikasi yang dilakukan pada K untuk data menjulur yaitu: 1. Mengganti perhitungan keterpencilan pada K sebelumnya dengan perhitungan keterpencilan baru yang disebut AO. Perhitungan tersebut berdasarkan pada adjusted boxplot. AO memiliki penyebut yang berbeda untuk memberi tanda pada data menjulur. Rumus AO disajikan pada Lampiran 1 2. Mengubah nilai cut off jarak ortogonal yaitu menggunakan nilai terbesar dari OD yang lebih kecil dari Q 3 ({OD}) + 1. e 3MC({OD}) IQR({OD}) 3. Selain menerapkan pembobotan pada penduga MCD, dilakukan juga perhitungan AO pada K untuk data menjulur pada subruang V 1 berdimensi-k kemudian menghitung nilai tengah dan matriks ragam peragam dari h pengamatan dengan AO terkecil. Peta Pencilan Selain menghitung komponen utama, K juga menggambarkan pencilan. Secara umum, pencilan merupakan pengamatan yang tidak mematuhi pola umum data. Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa dalam konteks AKU dapat dibedakan tiga jenis pencilan yaitu: 1. Amatan berpengaruh baik yaitu amatan yang terletak pada subruang komponen utama tetapi jauh dari pengamatan biasa (pengamatan 1 dan 2) 2. Pencilan ortogonal yaitu amatan yang memiliki jarak ortogonal yang besar ke subruang komponen utama sementara proyeksinya terletak pada subruang komponen utama (pengamatan 3 dan 4) 3. Amatan berpengaruh buruk yaitu amatan yang memiliki jarak ortogonal yang besar dan proyeksi pada ruang komponen utama jauh dari pengamatan biasa (pengamatan dan ). Jarak ortogonal adalah jarak antara pengamatan dan proyeksi dalam k-dimensi subruang V 1. Peta pencilan memplotkan jarak ortogonal dengan jarak skor (score distance). Garis ditarik untuk membedakan antara observasi yang memiliki jarak ortogonal antara jarak skor besar dan kecil.

13 SD i = k 2 t ij l j j=1 t i = P ' p,k(x i μ x ) dimana: t i : tingkat kekekaran P ' p,k : matriks loading dengan kolom ortogonal (vektor ciri) μ x : dugaan nilai tengah kekar l j : akar ciri dari MCD pada algoritma K. Gambar 1 Peta pencilan METODOLOGI Data Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari data simulasi. Data simulasi yang digunakan merupakan data menjulur dari hasil pembangkitan bilangan acak normal inverse Gaussian (NIG) dengan kontaminasi berbagai proporsi pencilan. Metode Penelitian ini dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut: 1. Membangkitkan data menjulur yaitu data yang menyebar NIG p α, β, tδ,tμ,. Dimana µ adalah parameter lokasi, δ adalah parameter skala, α adalah parameter bentuk yang menentukan panjang ekor, β merupakan parameter kemenjuluran, adalah matriks definit positif, dan t >. Jumlah peubah yang dibangkitkan sebanyak peubah dengan n 1 = dan n 2 =. Kemudian diberikan beberapa proporsi pencilan. Proporsi pencilan yang diberikan adalah % (tanpa pencilan), %, %, dan 1% sehingga terbentuk delapan set data Langkah-langkah dalam penyiapan data adalah sebagai berikut: 1.1 Penyiapan data simulasi dengan membangkitkan data menjulur yaitu data yang menyebar NIG α, β, δ,μ. Proses pembangkitan dilakukan dengan algoritma sebagai berikut: a. Membangkitkan data menjulur X~NIG(α, β, δ,μ) sebanyak n 1 = dan n 2 = b. Mengulangi langkah a sebanyak p atau kali dengan parameter yang sama sehingga diperoleh peubah X berukuran dan yaitu X 1, X 2,..., X c. Peubah X 1, X 2,..., X membentuk matriks berdimensi dan d. Menentukan nilai korelasi awal pada peubah X 1, X 2,..., X sehingga kesepuluh peubah tersebut saling berkorelasi e. Mengecek kemenjuluran dari dua set data tersebut dengan melihat nilai medcouple dari masingmasing peubah 1.2 Penyiapan data pencilan dan set data. Pembangkitan pencilan dilakukan dengan cara pengekstriman data pengamatan biasa pada h peubah dari p peubah pada setiap pengamatan yang terpilih dimana h<p. Proses pembangkitan dilakukan dengan algoritma sebagai berikut: a. Mempersiapkan dua set data menjulur X 1, X 2,..., X berdimensi dan yang akan dikontaminasi oleh berbagai proporsi pencilan b. Melakukan identifikasi pencilan pada dua set data tersebut dengan menggunakan adjusted outlyingness (AO). Jika AO i cut off yang ditentukan maka pengamatan tersebut dikatakan sebagai pencilan c. Melakukan pengekstriman pada pengamatan yang memiliki nilai AO i terbesar sesuai dengan proporsi pencilan yang diinginkan yaitu %, %, %, dan 1% sehingga terdapat empat set data menjulur berukuran dan empat set data menjulur berukuran. 2. Melakukan identifikasi pencilan dengan menggunakan metode Klasik, KMCD, K, dan KAO untuk setiap data pada langkah 1. Kemudian membandingkan hasil dari keempat

14 metode tersebut. Hal yang dibandingkan adalah jumlah pencilan yang teridentifikasi pada setiap metode 3. Membandingkan peta pencilan yang dihasilkan oleh metode Klasik, KMCD, K, dan KAO 4. Melakukan penerapan Klasik dan KAO pada data menjulur dengan proporsi pencilan % untuk n=, p=. Melakukan penerapan Klasik pada data menjulur dengan proporsi pencilan % untuk n=, p= tetapi pencilan yang teridentifikasi dihilangkan. Membandingkan hasil Klasik dan KAO pada langkah 4 dan. Hal yang dibandingkan adalah akar ciri dan proporsi kumulatif komponen utama pertama. Skema algoritma penelitian dapat dilihat pada Lampiran 1. Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB 7.7.(R28b) dan Microsoft Excel 27. Metode Klasik, KMCD, K, dan KAO dilakukan menggunakan program MATLAB yang terdapat pada situs l dan HASIL DAN PEMBAHASAN Karakteristik Data Data yang dibangkitkan merupakan data menjulur dari sebaran NIG α, β, δ,μ dengan parameter lokasi µ=, parameter skala σ=1, parameter panjang ekor γ=1 dan parameter kemenjuluran δ =.8. Data tersebut memiliki ukuran n 1 = dan n 2 = dengan p= untuk setiap ukuran. Histogram dari data hasil pembangkitan dapat dilihat pada Lampiran 2. Histogram tersebut menggambarkan bahwa data menjulur ke kanan karena pada awal pembangkitan parameter kemenjuluran data telah ditetapkan dengan nilai positif. Tabel 1 menunjukkan besarnya kemenjuluran data pada setiap peubah. Nilai medcouple melebihi nilai sehingga data dapat dikatakan menjulur. Nilai medcouple berkisar antara -1 sampai 1. Jika nilainya maka sebaran datanya tidak menjulur (simetrik). Besarnya korelasi antar peubah dapat dilihat pada Lampiran 3 dan 4. Lampiran 3 menunjukkan bahwa terdapat korelasi yang signifikan pada kesepuluh peubahnya (X1- X). Sedangkan pada Lampiran 4 terdapat korelasi yang tidak signifikan antara peubah X2 dan X (.14), antara peubah X3 dan X (.1), antara peubah X4 dan X9 (.23) serta peubah X dan X9 (.133). Tabel 1 Nilai medcouple tiap peubah Peubah n 1 = n 2 = X X X X X X X X X X Simulasi dilakukan dengan menggunakan metode Klasik, KMCD, K, dan KAO. Karena semua simulasi dilakukan pada set data yang mengandung pencilan sebesar %, %, %, dan 1%, maka α yang digunakan untuk setiap metode adalah sebesar 8%. Identifikasi Pencilan pada n 1 = Tabel 2 menunjukkan kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur dengan n 1 = data, p= dimensi dan rank k=2 (k adalah banyaknya komponen utama yang diambil) dikontaminasi dengan data yang diekstrimkan. Kesalahan I merupakan kesalahan dimana pencilan teridentifikasi sebagai data bukan pencilan. Sedangkan, Kesalahan II merupakan kesalahan dimana data bukan pencilan teridentifikasi sebagai pencilan. Metode yang baik adalah metode yang mengidentifikasi data secara tepat. Pada data tanpa pencilan (proporsi pencilan %) dan data dengan proporsi % tidak terdapat Kesalahan I untuk keempat metode (Gambar 2). Artinya, keempat metode tersebut mengidentifikasi pencilan secara tepat. Pada proporsi pencilan %, KAO memiliki persentase Kesalahan I sebesar 4%. Artinya, KAO mengidentifikasi pencilan sebagai data bukan pencilan sebanyak 1 pencilan dari 2 pencilan yang dikontaminasikan. Sedangkan, pada data dengan proporsi pencilan 1%, KAO memiliki persentase Kesalahan I yaitu sebesar.33%. Pada Tabel 2 terlihat bahwa keempat metode yaitu Klasik, KMCD, K, dan KAO memiliki persentase Kesalahan II yang beragam. Pada proporsi pencilan %, Klasik memiliki

15 7 Tabel 2 Persentase kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 1 =, p= dan k=2 Persentase Kesalahan I Proporsi Pencilan Klasik KMCD K KAO %.%.%.%.% %.%.%.% 4.% %.%.%.%.% 1%.%.%.%.33% % 8.2% 9.2% 1.%.% Persentase Kesalahan II % 2.74%.74% 12.3%.% %.%.% 11.11%.44% 1%.% 3.29% 8.47%.% Persentase Kesalahan Total.94% 2.23% 47.21%.37% Gambar 2 Persentase Kesalahan I pada n 1 = persentasi Kesalahan II yang beragam. Pada proporsi pencilan %, Klasik memiliki Kesalahan II sebesar 8.2%. Artinya, Klasik mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 41 pencilan dari data bukan pencilan (data pengamatan biasa). Pada KMCD terdapat Kesalahan II sebesar 9.2%. Artinya, KMCD mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 4 pencilan dari data bukan pencilan. Sedangkan pada K terdapat Kesalahan II yang relatif tinggi yaitu sebesar 1%. Artinya, K mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 7 pencilan dari data bukan pencilan. Berbeda dengan KAO yang memiliki Kesalahan II yang cukup kecil dibandingkan dengan ketiga metode yang lainnya yaitu sebesar.%. Artinya, KAO mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 3 pencilan dari data bukan pencilan. Pada data dengan proporsi pencilan %, tidak terdapat Kesalahan II untuk KAO. Sedangkan pada ketiga metode lainnya yaitu Klasik, KMCD, dan K memiliki Kesalahan II masing-masing sebesar 2.74%,.74%, dan 12,3%. Ketika proporsi pencilan ditambahkan menjadi % dan 1%, Klasik tidak mencatat Kesalahan II. Artinya, Klasik mengidentifikasi data bukan pencilan secara tepat. Pada KMCD terdapat Kesalahan II sebesar % ketika proporsi pencilan meningkat menjadi %. Pada K terdapat Kesalahan II sebesar 11.11%. Sedangkan pada KAO terdapat sedikit Kesalahan II yaitu sebesar.44%. Pada proporsi pencilan 1% KMCD dan K memiliki Kesalahan II masing-masing sebesar 3.29% dan 8.47%. Secara keseluruhan K memiliki Kesalahan II yang paling tinggi yaitu diatas 8% diikuti oleh KMCD dan Klasik. Sedangkan KAO memiliki Kesalahan II yang relatif kecil yaitu dibawah 1% (Gambar 3). K memiliki Kesalahan Total terbesar yaitu sebesar 47.21% diikuti KMCD dan Klasik yang memiliki Kesalahan Total masing-masing sebesar 2.23% dan.94%. Berbeda dengan ketiga metode lainnya, KAO memiliki Kesalahan Total paling kecil yaitu sebesar.37%. Kesalahan I dan Kesalahan II pada data n 1 = dapat dilihat lebih rinci pada Lampiran. Gambar 3 Persentase Kesalahan II pada n 1 =

16 8 Tabel 3 Persentase kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 2 =, p= dan k=2 Persentase Kesalahan I Persentase Kesalahan II Proporsi Pencilan Klasik KMCD K KAO %.%.%.%.% %.%.%.%.% %.%.%.%.% 1%.7%.%.%.7% % 8.% 14.% 18.% 3.% % 4.21%.3% 1.79% 2.11% % 7.78%.% 1.%.% 1%.% 3.3% 8.24%.% Persentase Kesalahan Total 2.% 38.% 7.8% 11.77% Identifikasi Pencilan pada n 2 = Pada Tabel 3 menunjukkan set data menjulur dengan n 2 =, p= dan k=2. Data dengan proporsi pencilan sebanyak %, %, dan % tidak mencatat Kesalahan I ketika menggunakan metode Klasik, KMCD, K, dan KAO. Artinya, keempat metode tersebut mengidentifikasi pencilan secara tepat pada proporsi pencilan %, %, dan %. Akan tetapi, Klasik mencatat Kesalahan I sebesar.7% pada proporsi pencilan 1%. Artinya, Klasik mengidentifikasi pencilan sebagai data bukan pencilan sebanyak 1 pencilan dari 1 pencilan yang dikontaminasikan. Selain itu KAO juga memiliki Kesalahan I sebesar.7%. bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 14 pencilan dari data bukan pencilan. Sedangkan pada K terdapat Kesalahan II yang relatif tinggi yaitu sebesar 18%. Artinya, K mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 18 pencilan dari data bukan pencilan. KAO memiliki Kesalahan II sebesar 3%, lebih kecil bila dibandingkan dengan ketiga metode lainnya. Artinya, KAO mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 3 pencilan dari data bukan pencilan. Gambar Persentase Kesalahan II pada n 2 = Gambar 4 Persentase Kesalahan I pada n 2 = Pada Tabel 3 terlihat bahwa keempat metode yaitu Klasik, KMCD,K, dan KAO memiliki persentasi Kesalahan II yang beragam sama seperti pada data n 1 =. Pada proporsi pencilan %, Klasik memiliki Kesalahan II sebesar 8%. Artinya, Klasik mengidentifikasi data bukan pencilan sebagai pencilan sebanyak 8 pencilan dari data bukan pencilan. Pada KMCD terdapat Kesalahan II sebesar 14.%. Artinya, KMCD mengidentifikasi data Kesalahan II pada data dengan proporsi pencilan % tidak jauh berbeda dengan data yang memiliki proporsi pencilan %. Pada Klasik, KMCD, K, dan KAO memiliki Kesalahan II masingmasing sebesar 4.21%,.3%, 1.79%, dan 2.11%. Ketika proporsi pencilan ditambahkan menjadi % dan 1%, KAO tidak mencatat Kesalahan II. Artinya, KAO mengidentifikasi secara tepat data bukan pencilan. Begitu pula pada Klasik yang tidak mencatat Kesalahan II ketika proporsi pencilan meningkat menjadi 1%. Pada proporsi pencilan %, Klasik memiliki Kesalahan II sebesar 7.78%. Pada

17 9 Gambar Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % pada (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO KMCD terdapat kesalahan sebesar %. Sedangkan pada K terdapat Kesalahan II yaitu sebesar 1.%. Pada proporsi pencilan 1%, KMCD dan K memiliki Kesalahan II masing-masing sebesar 3.3% dan 8.24%. Secara keseluruhan K memiliki Kesalahan Total terbesar yaitu sebesar 7.8% diikuti KMCD dan Klasik yang memiliki Kesalahan Total masing-masing sebesar 38.% dan 2.%. Sedangkan, KAO memiliki Kesalahan Total paling kecil yaitu sebesar 11.77%. Hasil tersebut tidak berbeda jauh dengan hasil pada n 1 =. Persentase Kesalahan Total pada n 1 = dan n 2 = menunjukkan bahwa KAO memiliki kesalahan yang paling kecil dalam mengidentifikasi pencilan. Kesalahan I dan Kesalahan II pada data n 2 = dapat dilihat lebih rinci pada Lampiran. Peta pencilan Peta pencilan merupakan peta yang memplotkan jarak ortogonal dengan jarak skor. Peta ini membedakan pencilan menjadi tiga jenis yaitu amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal, dan amatan berpengaruh buruk. Gambar menunjukkan peta pencilan pada saat proporsi pencilan % pada n 1 =, p= dengan k=2 dimensi. Gambar (a) merupakan peta pencilan untuk Klasik. Peta tersebut menggambarkan 13 amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 12 pencilan, dan 3 amatan berpengaruh buruk. Peta pencilan KMCD pada Gambar (b) memplotkan jarak ortogonal dengan urutan pengamatannya dan hanya menggambarkan pencilan secara keseluruhan. Peta tersebut menggambarkan sebanyak 7 pencilan. Gambar (c) merupakan peta pencilan K. Peta ini menggambarkan 33 amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 3 pencilan, dan 1 amatan berpengaruh buruk. Peta pencilan KAO pada Gambar (d) menggambarkan 4 amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 12 pencilan, dan 1 amatan berpengaruh buruk. Peta pencilan dengan proporsi pencilan %, %, dan 1% terlampir pada Lampiran 7, 8, dan 9. Gambar 7 merupakan peta pencilan pada saat proporsi pencilan % pada n 2 =, p= dengan k=2 dimensi. Peta pencilan Klasik pada Gambar 7(a) menggambarkan 4 amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 3 pencilan, dan 2 amatan berpengaruh buruk. Gambar 7(b) merupakan peta pencilan KMCD. Peta tersebut menggambarkan sebanyak 1 pencilan. Gambar 7(c) merupakan peta pencilan K yang menggambarkan amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 9 pencilan, dan amatan berpengaruh buruk. Peta pencilan KAO pada Gambar 7(d)

18 Gambar 7 Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % pada (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO menggambarkan 3 amatan berpengaruh baik, pencilan ortogonal sebanyak 2 pencilan, dan 2 amatan berpengaruh buruk. Peta pencilan dengan proporsi pencilan %, %, dan 1% terlampir pada Lampiran, 11, dan 12. Secara keseluruhan peta pencilan Klasik, KMCD, dan K pada n 1 = dan n 2 = hampir sama karena pada peta pencilan ketiga metode tersebut terlalu banyak menggambarkan pengamatan biasa sebagai pencilan dan sebaliknya. Sedangkan pada peta pencilan KAO, pencilan yang Komponen Klasik Akar Ciri Klasik tanpa pencilan KAO digambarkan cukup sesuai dengan proporsi pencilan yang dikontaminasikan. Penerapan Klasik dan KAO Klasik dan K merupakan analisis yang digunakan untuk data simetrik. Oleh karena itu data peubah asal harus memiliki sebaran yang simetrik. Jika datanya tidak simetrik maka akan banyak titik data yang sebenarnya bukan pencilan dianggap sebagai pencilan dan sebaliknya. Pada penelitian ini dilakukan penerapan Tabel 4 Ringkasan hasil komponen utama pada Klasik, Klasik tanpa pencilan, dan KAO Klasik Proporsi Kumulatif Klasik tanpa pencilan KAO

19 11 p= yang dikontaminasi pencilan sebesar %. Klasik pada data menjulur dengan n=, Kemudian analisis tersebut juga diterapkan pada data ketika pencilan yang teridentifikasi dihilangkan. Pencilan yang dihilangkan adalah pencilan yang teridentifikasi yaitu sebanyak 38 pencilan (lihat Lampiran 4). Selain itu dilakukan juga penerapan analisis komponen utama kekar untuk data menjulur (KAO) pada n=, p= yang dikontaminasi pencilan sebesar %. Tabel 4 menunjukkan ringkasan hasil analisis komponen utama pada Klasik, Klasik tanpa pencilan, dan KAO. Hal yang dibandingkan yaitu akar ciri dan proporsi kumulatif komponen utama pertama. Klasik menghasilkan akar ciri pertama sebesar dan mampu menerangkan keragaman data sebesar.488 atau 48.8%. Ketika pencilan yang teridentifikasi dihilangkan, Klasik menghasilkan akar ciri pertama yang nilainya lebih kecil yaitu sebesar 12.8 dan mampu menerangkan keragaman data sebesar.4 atau 4%. Proporsi kumulatif data yang diterangkan Klasik menurun ketika pencilan yang teridentifikasi dihilangkan. Hal tersebut terjadi karena data dengan pencilan memiliki keragaman lebih tinggi daripada data tanpa pencilan. Sedangkan KAO menghasilkan akar ciri pertama sebesar 27. dan proporsi kumulatif data yang diterangkannya yaitu sebesar,27 atau 2.7%. Nilai akar ciri pertama komponen utama pada KAO mampu menerangkan keragaman data yang lebih besar bila dibandingkan dengan nilai akar ciri pertama komponen utama pada Klasik dan Klasik tanpa pencilan. Menurut Johnson (27) salah satu kriteria penentuan banyaknya jumlah komponen utama yang digunakan adalah dengan mengambil sejumlah komponen utama yang mampu menjelaskan 8% total keragaman dari data. Peubah yang digunakan pada penelitian ini sebanyak buah. Pada Klasik diperlukan sebanyak komponen utama. Pada Klasik tanpa pencilan diperlukan sebanyak komponen utama. Sedangkan pada KAO hanya diperlukan sebanyak 4 komponen utama. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Analisis komponen utama kekar untuk data menjulur (KAO) menunjukkan hasil yang lebih baik dalam mengidentifikasi pencilan pada data menjulur daripada Klasik, K, dan KMCD. KAO mengidentifikasi pencilan secara tepat dan konsisten dibandingkan dengan ketiga metode lainnya yang menganggap titik data pencilan sebagai pencilan (Kesalahan I) dan titik data bukan pencilan sebagai pencilan (Kesalahan II). Klasik, KMCD, dan K didesain untuk data simetrik sehingga kurang tepat jika digunakan pada data menjulur. KAO mampu mengatasi pengaruh kehadiran pencilan pada data menjulur dengan n 1 = maupun data dengan n 2 = karena memiliki Kesalahan Total paling kecil. Hal tersebut diperkuat dengan adanya peta pencilan yang memberikan gambaran secara visual dalam pendeteksian pencilan. Saran Penetapan α yang digunakan untuk setiap metode perlu ditetapkan secara tepat agar terdapat keseimbangan antara kekekaran dan efisiensi dalam komputasi karena semakin kecil α semakin kekar K tetapi semakin tidak akurat. DAFTAR PUSTAKA Brys G, Hubert M, Struyf A. 24. A Robust Measure of Skewness. Journal of Computational and Graphical Statistics. 13: Draper NR, Smith H Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. Sumantri B. penerjemah. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. Hubert M, Rousseeuw PJ, Vanden-Branden K. 2. : A New Approach to Robust Principal Component Analysis. Technometrics. 47: Hubert M, Rousseeuw PJ, Verdonck T. 29. Robust PCA for Skewed Data and Its Outlier Map. Computational Statistics & Data Analysis. 3: Hubert M, Van der Veeken S. 28. Outlier Detection for Skewed Data. Journal of Chemometrics. 22: Johnson RA, Wichern DW. 27. Applied Multivariate Statistical Analysis. Ed ke-. New Jersey : Prentice Hall. Inc. Jolliffe IT. 22. Principal Component Analysis. Ed ke-2. New York: Springer- Verlag. Inc. Montgomery DC, Peck EA Introduction to Linear Regression

20 12 Analysis. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons. Inc. Prause K The generalized hiperbolic model: estimation, financial derivatives, and risk measures [disertasi]. Freiburg: Albert-Ludwigs Universitat Rousseeuw PJ. Driessen KV A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics. 41:

21 LAMPIRAN

22 Lampiran 1 Skema algoritma penelitian Bangkitkan data menjulur X~NIG(,.8,1,) sebanyak n 1 = dan n 2 = Ulangi sebanyak kali dengan parameter yang sama sehingga diperoleh peubah X berukuran dan yaitu X 1, X 2,..., X Tentukan nilai korelasi awal pada peubah X 1, X 2,..., X sehingga kesepuluh peubah tersebut saling berkorelasi Cek kemenjuluran dari dua set data dengan melihat nilai medcouple dari masing-masing peubah TIDAK YA Terdapat empat set data menjulur berukuran dan empat set data menjulur berukuran yang sudah dikontaminasi Melakukan pengekstriman pada pengamatan yang memiliki nilai AO i terbesar sesuai dengan proporsi pencilan yang diinginkan yaitu %, %, %, dan 1% Hitung nilai adjusted outlyingness (AO). Jika AO i cut off yang ditentukan maka pengamatan tersebut dikatakan sebagai pencilan Peubah X 1, X 2,..., X membentuk matriks berdimensi dan Lakukan identifikasi pencilan dengan menggunakan metode Klasik, KMCD, K, dan KAO Metode Klasik, KMCD, K, dan KAO menghasilkan peta pencilan Persiapkan data menjulur dengan proporsi pencilan % untuk n=, p= Persiapkan data menjulur dengan proporsi pencilan % untuk n=, p= tapi pencilan yang teridentifikasi dihilangkan Bandingkan hasilnya Bandingkan hasilnya Lakukan metode Klasik dan KAO Lakukan metode Klasik 14

23 1 Lampiran 2 Rumus adjusted outlyingness (AO) AO i =max v B x i ' v-med(x j ' v) c 2 -med x j ' v I[x i ' v>med x j ' v ]+(med x j ' v -c 1 v I[x i ' v<med x j ' v ] dimana: c 1 : pengamatan terkecil yang lebih besar dari Q 1-1.e -4MC IQR c 2 : pengamatan terbesar yang lebih kecil dari Q 3 +1.e 3MC IQR Q 1 : kuartil pertama Q 3 : kuartil ketiga IQR : jangkauan antar kuartil MC : medcouple Lampiran 3 Histogram data hasil pembangkitan Nilai 1 Nilai Frekuensi (a) Histogram data n 1 =, p= (b) Histogram data n 2 =, p= Lampiran 4 Nilai korelasi antar peubah pada n 1 = dan p= Frekuensi X1 X2 X3 X4 X X X7 X8 X9 X X1 r 1. nilai-p. X2 r.8 1. nilai-p.. X3 r nilai-p... X4 r nilai-p.... X r nilai-p..... X r nilai-p X7 r nilai-p X8 r nilai-p X9 r nilai-p X r nilai-p

24 Lampiran Nilai korelasi antar peubah pada n 2 = dan p= X1 X2 X3 X4 X X X7 X8 X9 X X1 r 1. nilai-p. X2 r nilai-p.. X3 r nilai-p... X4 r nilai-p..2.. X r nilai-p X r nilai-p..148*.2*... X7 r nilai-p X8 r nilai-p X9 r nilai-p....19*..187*... X r nilai-p Keterangan. *Korelasi tidak signifikan pada taraf nyata. 1

25 17 Lampiran Kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 1 =, p=, dan k=2 Proporsi pencilan % % % 1% Metode Klasik KMCD Data Hasil Deteksi Bukan Pencilan Pencilan Total Kesalahan I Kesalahan II Pencilan Bukan Pencilan % 8.2% Pencilan Bukan Pencilan 4 44.% 9.2% K Pencilan Bukan Pencilan 7 42.% 1.% KAO Klasik KMCD Pencilan Bukan Pencilan %.% Pencilan 2 2 Bukan Pencilan % 2.74% Pencilan 2 2 Bukan Pencilan %.74% K Pencilan 2 2 Bukan Pencilan % 12.3% KAO Klasik KMCD Pencilan %.% Bukan Pencilan Pencilan.%.% Bukan Pencilan 4 4 Pencilan Bukan Pencilan %.% K Pencilan Bukan Pencilan 4 4.% 11.11% KAO Klasik KMCD Pencilan Bukan Pencilan %.44% Pencilan 7 7.%.% Bukan Pencilan Pencilan 7 7 Bukan Pencilan % 3.29% K Pencilan 7 7 Bukan Pencilan % 8.47% KAO Pencilan %.% Bukan Pencilan 42 42

26 18 Lampiran 7 Kesalahan identifikasi pencilan pada data menjulur n 2 =, p=, dan k=2 Proporsi pencilan % % % 1% Metode Klasik KMCD Data Hasil Deteksi Bukan Pencilan Pencilan Total Kesalahan I Kesalahan II Pencilan Bukan Pencilan 8 92.% 8.% Pencilan Bukan Pencilan 14 8.% 14.% K Pencilan Bukan Pencilan % 18.% KAO Klasik KMCD Pencilan Bukan Pencilan 3 97.% 3.% Pencilan Bukan Pencilan % 4.21% Pencilan Bukan Pencilan 8 9.%.3% K Pencilan Bukan Pencilan % 1.79% KAO Klasik KMCD Pencilan Bukan Pencilan % 2.11% Pencilan Bukan Pencilan % 7.78% Pencilan Bukan Pencilan %.% K Pencilan Bukan Pencilan % 1.% KAO Klasik Pencilan Bukan Pencilan 9 9.%.% Pencilan %.% Bukan Pencilan 8 8 Pencilan 1 1 KMCD Bukan Pencilan % 3.3% K Pencilan 1 1 KAO Bukan Pencilan % 8.24% Pencilan %.% Bukan Pencilan 8 8

27 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 19 Lampiran 8 Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA (a) Index (b) (c) (d)

28 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 2 Lampiran 9 Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA (a) Index (b) (c) (d)

29 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 21 Lampiran Peta pencilan data menjulur n 1 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan 1% (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA Index (a) (b) (c) (d)

30 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 22 Lampiran 11 Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA Index (a) (b) (c) (d)

31 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 23 Lampiran 12 Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan % (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA (a) Index (b) (c) 1 2 (d)

32 Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance Orthogonal distance (2 LV) 24 Lampiran 13 Peta pencilan data menjulur n 2 =, p= dan k=2 dengan proporsi pencilan 1% (a) Klasik, (b) KMCD, (c) K, (d) KAO CPCA Index (a) (b) (c) 1 2 (d)