PENERAPAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI T

Transkripsi

1 PENERAPAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI T HOTELLING UNTUK PENGAMATAN INDIVIDUAL MENGGUNAKAN ESTIMATOR ROBUST RMCD (REWEIGHTED MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT) APPLICATION AND SIMULATION STUDY OF HOTELLING S T CONTROL CHART FOR INDIVIDUAL OBSERVATION WITH ROBUST ESTIMATOR RMCD (REWEIGHTED MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT) Oleh: Angelita Titis Pertiwi 6611 TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 1

2

3

4 ii

5 iii

6 iv

7 MOTTO Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan. (Amsal 1:7a) Tata Titi Tatas Titis Pepatah Jawa A dream is just a dream, A goal is a dream with a plan and a deadline. Harvey MacKay PERSEMBAHAN Karya ini ku persembahkan untuk: Keluarga Tercinta v

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR... ii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... Error! Bookmark not defined. HALAMAN PENGESAHAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v DAFTAR ISI... vi DAFTAR LAMPIRAN... vii ABSTRAK... 1 ABSTRACT... PENDAHULUAN... 3 MAKALAH PERTAMA... 4 MAKALAH KEDUA PEMBAHASAN... 3 SIMPULAN... 3 SARAN... 3 UCAPAN TERIMA KASIH... 3 DAFTAR PUSTAKA vi

9 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1: Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 1... L.1 Lampiran : Uji Normalitas Data... L.6 Lampiran 3: Program R Uji Normalitas Data... L.7 Lampiran 4: Diagram Alir Grafik Pengendali T Hotelling... L.8 Lampiran : Program R grafik Pengendali T Hotelling Biasa... L.9 Lampiran 6: Nilai Estimasi Least-Square dari Parameter Regresi... L.1 Lampiran 7: Program R grafik Pengendali T Hotelling RMCD... L.13 Lampiran 8: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Tiga Karakteristik Kualitas... L.17 Lampiran 9: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Dua Karakteristik Kualitas... L.3 4 Lampiran 1: Program R Studi Simulasi... L.6 8 Lampiran 11: Sertifikat Pemakalah... L.7 vii

10 ABSTRAK Dalam usaha mengendalikan kualitas proses secara multivariat (Multivariate Statistical Process Control) digunakan grafik pengendali T Hotelling (Hotelling s T Control Chart). Supaya grafik pengendali T Hotelling lebih tegar (robust) terhadap data pencilan (outlier) digunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi robust RMCD sebagai pengganti vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Dalam tugas akhir ini diuraikan studi kasus tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel) beserta studi simulasi yang bertujuan untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD ( T RMCD ) dibanding grafik pengendali T Hotelling biasa. Studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X yang mempunyai tiga variabel. Studi simulasi dilakukan menggunakan data simulasi. Data simulasi phase I diperoleh dengan membangkitkan data berdasarkan distribusi data asli pada studi kasus, kemudian dikotori dengan outlier. Kinerja grafik pengendali T dan T RMCD dapat diketahui dengan membandingkan sensitivitasnya, yaitu menghitung probabilitas signal di luar kendali pada data phase II. Dari studi kasus diketahui bahwa baik grafik pengendali T RMCD bivariat maupun trivariat hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali T RMCD walaupun selisihnya tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali yang besar, grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik pengendali T. Kata kunci: Hotelling s T Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control 1

11 ABSTRACT Hotelling s T control chart is used to monitor the quality of multivariate process. Estimator of location and scattered matrix RMCD as the replacement of sample mean vector and covariance matrix is used in order to make Hotelling s T control chart more robust toward the outlier. This study will elaborate a case study about the application of robust estimator RMCD in Hotelling s T control chart for bivariate and trivariate individual observation. It will also explain the simulation study which aim for recoqnizing Hotelling s T control chart performance as the individual obseravation using robust estimator RMCD ( T RMCD ) compare to standard Hotelling T control chart. The case study is applied in the data of teenager parfume quality characteristics from X company which have three variable. The simulation study is done by using simulation data. Phase I simulation data are obtained by generating the data based on the original data distribution in the case study that is interfered by the outlier. Performance of T and TRMCD control chart can be recoqnized by comparing their sensitifities (determine the probability of out of control signal in the data phase II). The case study shows that both the bivariat and trivariat TRMCD control chart only need twice iteration to achieve in control condition in phase I. The findings of the simulation study are both free outlier data phase I or data phase I which have outlier with less shifted mean and multiple constant, T control chart have better performance than TRMCD eventhough they have less margin. However, in the data phase I which have outlier with more shifted mean and multiple constant, T control chart has better performance than T control chart. RMCD Key words: Hotelling s T Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control

12 PENDAHULUAN Salah satu alat yang banyak digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses produksi adalah grafik pengendali kualitas atau control chart karena dalam control chart dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Faktanya pengendalian kualitas tidak cukup dilakukan secara univariat tetapi juga multivariat. Grafik pengendali T Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel (Montgomery,9). Karena Vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap data pencilan (outlier), dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T Hotelling. Ada dua grafik pengendali T Hotelling, yaitu: untuk data subgrup dan untuk pengamatan individual. Tugas akhir ini merupakan penelitian lanjutan dari Puspitoningrum (1) yang membahas tentang grafik pengendali T Hotelling pada tiga karakteristik kulitas (ph, RI, dan massa jenis) parfum remaja dari perusahaan X. Dalam tugas akhir ini digunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust, estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD) yang diusulkan oleh Chenouri et al. (9) supaya grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual lebih tegar terhadap outlier. Rumusan masalah dari tugas akhir ini adalah bagaimana menerapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat serta bagaimana kinerja grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD dibanding grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual klasik. Untuk menjawab rumusan masalah tersebut dilakukan penelitian yang terbagi menjadi dua bagian penelitian. Penelitian pertama dijelaskan pada makalah pertama (Pertiwi et al., 14a) yang bertujuan untuk menerapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat, yaitu pada tiga karakteristik kulitas parfum remaja dari perusahaan X. Penelitian kedua dilakukan untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD dibanding grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual klasik. Hasil penelitian kedua disajikan pada makalah kedua (Pertiwi et al., 14b). Makalah Pertama Judul : Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T Dipublikasikan pada Makalah Kedua Judul Dipublikasikan pada Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat : Seminar Nasional Matematika VIII. Universitas Negeri Semarang. Tanggal 8 November 14. : Studi Simulasi Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD : Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 14). Universitas Ahmad Dahlan. Tanggal 7 Desember 14. 3

13 Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat Angelita Titis Pertiwi 1), Adi Setiawan ), Bambang Susanto 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. -6, Salatiga 1) atitis37@gmail.com )3) Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. -6, Salatiga ) adi_setia_3@yahoo.com 3) bsusanto@gmail.com Abstrak Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik pengendali T Hotelling. Grafik pengendali T Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim (outliers) karena grafik pengendali T Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual supaya grafik pengendali T Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu ph parfum remaja, refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I. Kata Kunci Hotelling s T Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate Statistical Process Control A. Pendahuluan Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus secara multivariat. Menurut Montgomery (9), grafik pengendali T Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T Hotelling. Chenouri dkk (9) mengusulkan untuk menggunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang 4

14 robust (tegar), estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD), dalam penerapan grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual. Grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya disebut dengan grafik pengendali T RMCD. Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali T RMCD bivariat dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali T RMCD bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 11 yang diperoleh dari Lampiran I Puspitoningrum (1). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau proses. B. Tinjauan Pustaka Puspitoningrum (1) menggunakan grafik pengendali T Hotelling untuk memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel. Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (9) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual. Chenouri dkk (9) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n -1/, efisiensi tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (11) dan Vanpaemel (13). Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional adalah FAST-MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FAST-MCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (8). Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (9) bahwa grafik pengendali T RMCD lebih tegar dibanding grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual biasa ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh Prastyowati (9) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T Hotelling berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali T RMCD. Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (13) yang mengemukakan bahwa pada phase I, grafik pengendali T Hotelling menggunakan estimator RMCD baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari pada grafik pengendali T Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang grafik pengendali T RMCD dilakukan pula oleh Mohammadi dkk (1) dan penelitian tentang ketegaran grafik pengendali T RMCD phase II dilakukan oleh Mohammadi dkk (11).

15 C. Metode Penelitian Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD) Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD. Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (7) dalam software R. Estimator RMCD untuk vektor rata-rata dan matriks kovariansi Σ adalah vektor rata-rata yang diberi bobot dan matriks kovariansi n x RMCD = ω i x i i=1 n ω i i=1 (1) S RMCD m = c η,p d η,p pembobotan berdasar pada jarak n i=1 ω i x i x RMCD x i x RMCD n i=1 ω i () 1 D x i = x i x MCD S MCD x i x MCD sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4) (3) ω i = 1 jika D x i q η, yang lain (4) dan q η merupakan quantil ke- η dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (9) mengusulkan untuk menggunakan η=,97 yang dianjurkan dan digunakan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). Dengan menggunakan c η,p = (η/p(χ (p+) q η )) membuat S RMCD konsisten m dibawah distribusi normal multivariat. Faktor d η,p adalah koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk () pada () dengan d m 1 η,p = m(det (S MCD )) () m det S MCD = 1 m m det (S MCD (j ) ) 1/p j =1 Menurut Pison dkk () m(det (S MCD )) bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m kecil, dan untuk p tertentu m(det (S MCD )) naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati tak hingga. m Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas d η,p belum digunakan dalam penghitungan S RMCD, sehingga dianggap d m η,p = 1. 6

16 Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1. Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke dalam matriks berukuran m p pada persamaan (6) X (m p) = x 11 x 1 x 1 x x 1p x p = x m1 x m x mp x 1 x x m (6) dengan x i = x i1 x i x ip, i=1,,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat dan diasumsikan vektor pengamatan in control, x i adalah vektor random identik, independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai N(μ, Σ). Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T Hotelling adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi μ dan matriks kovariansi populasi Σ. Estimator dari μ dan Σ adalah vektor rata-rata sampel x dan matriks kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T Hotelling pada persamaan (7) T i = (x i x) S 1 (x i x). (7) Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta x dan S sangat sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik (x dan S) digantikan oleh estimator RMCD yang tegar. Didapat statistik T Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan (8) T RMCD,i = x i x 1 RMCD S RMCD x i x RMCD. (8) Chenouri dkk (9) mengusulkan estimasi batas pengendali atas (BPA) untuk grafik pengendali T RMCD yang diberikan pada persamaan (9) f p,1 α,λ m = χ p,1 α a 1,p,1 α,λ + m a, p,1 α,λ (9) dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi a 1,p,1 α,γ dan a,p,1 α,γ diberikan oleh Chenouri dkk (9) pada Tabel 1 halaman 64. Sedangkan BPB (Batas Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual biasa, BPB =. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Phase I 1. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator robust RMCD sehingga didapat x RMCD dan S RMCD.. Menghitung T RMCD dengan menggunakan persamaan (8). 3. Menentukan titik breakdown 1 λ =, atau, dan α=,1 atau,1 untuk memilih estimasi least square a 1,p,1 α,λ dan a,p,1 α,λ dari Chenouri dkk. (9) pada Tabel 1 halaman 64, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9). 7

17 4. Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai T RMCD pada langkah dengan batas pengendali atas pada langkah 3.. Membuang pengamatan yang T RMCD > BPA dengan asumsi penyebab diketahui. 6. Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah hingga tercapai kondisi in control. 7. Phase II 8. Menghitung T RMCD menggunakan pengamatan baru dari x RMCD dan S RMCD yang sudah didapat dari phase I. 9. Memetakan T RMCD ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah diperoleh pada Phase I (langkah 4). 1. Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control points), yaitu jika T RMCD > BPA, atau polanya. Mendiagnosa proses jika diperlukan. Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yang diperoleh dari Lampiram I Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 1, Puspitoningrum (1) yang berdistribusi normal secara multivariat dengan menggunakan uji chi-square (Johnson & Wichern, ). Data yang digunakan memiliki tiga variabel (p=3) yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas, yaitu ph (batas spesifikasi perusahaan 4 sampai 8), refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas (batas spesifikasi perusahaan 1,349 sampai 1,369), dan masa jenis parfum remaja (batas spesifikasi perusahaan,884 sampai,93). Data memiliki sebanyak m=3 pengamatan, 16 pengamatan pertama dianggap sebagai data historis untuk phase I dan 16 pengamatan berikutnya dianggap sebagai pengamatan baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3..1 dan Matlab R9a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (p=, yaitu kombinasi dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali T RMCD yang sudah didapat kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali. D. Hasil dan Pembahasan Sebut variabel x 1 adalah karakteristik kualitas ph, x adalah karakteristik kualitas refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan x 3 adalah karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik kualitas parfum remaja periode April-Desember 1 berdistribusi normal multivariat. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali T RMCD bivariat dengan memilih α =,1; λ =, diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (9) kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant adalah (m p + 1) m. Dipilih λ=, karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi yang diperoleh adalah (16 + 1) 16 =,49,. 8

18 Iterasi I Iterasi II Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali T RMCD Bivariat Kombinasi Pembeda Jumlah titik di luar kendali Indeks titik di luar kendali x 1 dan x x dan x 3 x 1 dan x & 39 1 Nilai T RMCD titik di luar kendali 13,41 14,61 & 13, 11,9 x RMCD 6,83 1,36 1,36,91 6,8,91 S 1,47 1 1, 1, ,44 1 1, , RMCD, 1, ,44 1 1, , , BPA 9,698 9,698 9,698 Jumlah titik di ( in control) ( in control) ( in control) luar kendali Indeks titik di luar kendali Nilai T RMCD titik di luar kendali x RMCD 6,84 1,36 1,36,91 6,83,91 S 1, ,18 1, , 1 1, , 1 4 RMCD 7,18 1, , 1 1, , 1 4 1, BPA 9,76 9,7 9,76 Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali T RMCD bivariat di semua kombinasi variabel, yaitu x 1 dan x, x dan x 3, serta x 1 dan x 3. Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (7). Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD (x RMCD dan S RMCD ). x RMCD iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah 6,83 1,36, 1,36,91 dan 6,8,91. S RMCD iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah 1,47 1 1, 1, 1,4 1 6,, ,44 1 1,44 1 1, dan 1, , , , x RMCD dan S RMCD digunakan untuk menentukan nilai T RMCD sesuai langkah menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih α =,1; λ =,. Karena sudah diketahui p=, sehingga digunakan nilai estimasi a 1,p,1 α,λ =1387,41 dan a,p,1 α,λ =1,631. Dengan menggunakan persamaan (9) didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,698 karena pada iterasi I jumlah pengamatan masih sama (16 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan grafik pengendali 9

19 dilakukan pemetaan T RMCD dan BPA, grafik pengendali T RMCD bivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar, dan Gambar 3. Gambar 1. Grafik pengendali T RMCD iterasi I phase I untuk variabel x 1 dan x Gambar. Grafik pengendali T RMCD iterasi I phase I untuk variabel x dan x 3 Gambar 3. Grafik pengendali T RMCD iterasi I phase I untuk variabel x 1 dan x 3 Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar, dan Gambar 3 dapat diketahui ada titik-titik di luar kendali (T RMCD > BPA). Pada kombinasi pertama (x 1 dan x ) terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-1 dengan nilai T RMCD,1 = 13,41. Pada kombinasi kedua (x dan x 3 ) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 3 dan 39 dengan nilai T RMCD,3 = 14,61 dan T RMCD,39 = 13,. Pada kombinasi ketiga (x 1 dan x 3 ) terdapat titik di luar kendali di indeks 1 dengan nilai T RMCD,1 = 11,9. Titik-titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata, x RMCD yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu 6,84 1,36, 1,36,91 dan 6,83,91. Sedangkan S RMCD yang baru untuk semua kombinasi secara berurutan yaitu: 1, ,18 1 7,18 1,4 1 6,, , 1 1, 1 1, dan 1, , 1 4 7, 1 4 1, Dengan menggunakan x RMCD dan S RMCD yang baru dihitung kembali nilai-nilai T RMCD. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara berurutan yaitu 9,76; 9,7; dan 9,76. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga sama karena jumlah titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan pemetaan T RMCD dan BPA. 1

20 Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai T RMCD > BPA atau dengan kata lain tidak ada titik di luar kendali. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dapat dilanjutkan dengan phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali T RMCD bivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I pada semua kombinasi ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 4, Gambar, dan Gambar 6. Gambar 4. Grafik pengendali T RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel x 1 dan x Gambar. Grafik pengendali T RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel x dan x 3 Gambar 6. Grafik pengendali T RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel x 1 dan x 3 Pada langkah 7 dihitung T RMCD dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-3) mengunakan x RMCD dan S RMCD yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. Kemudian T RMCD dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik pengendali T RMCD bivariat baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik pengendali T RMCD bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar 7, Gambar 8, dan Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali T RMCD bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3. Gambar 7. Grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x 1 dan x Gambar 8. Grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x dan x 3 11

21 Gambar 9. Grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x 1 dan x 3 Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali T RMCD Bivariat Kombinasi Jumlah Titik di Luar Kendali Indeks Titik di Luar Kendali Nilai T RMCD Titik di Luar Kendali x 1 dan x 3 3 ;94;13,; 1,64; 3,41 x dan x ;73;78;93;13;14 11,9; 17,49;,9; 18,39; 8,; 6,9 x 1 dan x 3 3;13 4,11; 3, Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x 1 dan x yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu pada indeks 3, 94, dan 13, dengan nilai T RMCD secara berurutan adalah,; 1,64; dan 3,41. Diketahui pula pada grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x dan x 3 yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada indeks 61,73,78,93,13, dan 14, dengan nilai T RMCD secara berurutan adalah 11,9; 17,49;,9; 18,39; 8,; dan 6,9. Pada grafik pengendali T RMCD bivariat phase II untuk variabel x 1 dan x 3 yang diberikan oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali, yaitu pada indeks 3 dan 13, dengan nilai T RMCD secara berurutan adalah 4,11 dan 3,. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Trivariat Masih dipilih λ=, karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi yang diperoleh adalah ( ) 16 =,49,. Hasil penerapan prosedur phase I dari grafik pengendali T RMCD trivariat dengan memilih α =,1 ; λ =, diberikan oleh Tabel 4. Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali T RMCD Trivariat Pembeda Iterasi I II Jumlah Titik di Luar Kendali 3 (in control) Indeks Titik di Luar Kendali 3;39;1-1

22 Nilai T RMCD Titik 16,46; 1,8; 17,1 - di Luar Kendali x RMCD 6,83 1,36,91 6,84 1,36,91 S RMCD 1, ,93 1 7, ,93 1, 1 1,8 1 7, ,8 1 1, 1 4 1, ,1 1 6, 1 4 7,1 1,18 1 1,36 1 6, 1 4 1,36 1 1, 1 4 BPA 14,16 14,6166 Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control pada prosedur phase I grafik pengendali T RMCD trivariat (x 1,x, dan x 3 ). Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov sofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD, x RMCD dan S RMCD secara berurutan yaitu: x RMCD = 6,83 1,36 ; S RMCD =,9 1, ,93 1 7, ,93 1, 1 1,8 1. 7, ,8 1 1, 1 4 x RMCD dan S RMCD digunakan untuk menentukan nilai T RMCD sesuai langkah menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih α =,1 ; λ =,. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi a 1,p,1 α,λ =1333,973 dan a,p,1 α,λ =,18. Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk mendapatkan BPA=14,16. Berikutnya dilakukan pemetaan T RMCD pengendali T RMCD trivariat. Grafik pengendali T RMCD ditunjukkan oleh Gambar 1. dan BPA untuk mendapatkan grafik trivariat iterasi I pada phase I ini Gambar 1. Grafik pengendali T RMCD trivariat iterasi I phase I Dari grafik pengendali T RMCD trivariat iterasi I phase I pada Gambar 1 dapat diketahui ada tiga titik di luar kendali pada indeks 3, 39, dan 1 dengan nilai T RMCD secara berturutan adalah 16,46; 1,8; dan 17,1. Sesuai langkah, titik-titik di luar kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai. Pada iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah 6,83 1, ,1 1 6, 1 4 x RMCD = 1,36 dan S RMCD = 7,1 1,18 1 1,36 1.,9 6, 1 4 1,36 1 1,

23 Dengan menggunakan x RMCD dan S RMCD yang baru dihitung kembali nilai-nilai T RMCD sesuai langkah. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu 14,6166. Kemudian dilakukan pemetaan T RMCD dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai-nilai T RMCD > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan prosedur phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali T RMCD trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I ditunjukkan oleh Gambar 11. Gambar 11. Grafik pengendali T RMCD trivariat iterasi II phase I Pada langkah 7 dihitung T RMCD dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-3) mengunakan x RMCD dan S RMCD yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. Kemudian T RMCD dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik pengendali T RMCD trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali T RMCD trivariat hasil penerapan phase II diberikan oleh Gambar 1. Gambar 1. Grafik pengendali T RMCD trivariat phase II Pada Gambar 1 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks 3, 46, 73, 78, 93, 13, 14, dan 13 dengan nilai T RMCD, secara berurutan yaitu 7,1941; 1,37344;,8837; 4,7137; 4,9873; 34,9869; 31,98614; dan 6, E. Simpulan dan Saran Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 1. Ternyata hanya diperlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali T RMCD bivariat 14

24 maupun grafik pengendali T RMCD trivariat. Puspitoningrum (1) menyebutkan bahwa seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T Hotelling. Dapat dilihat bahwa titik di luar kendali pada grafik pengendali T RMCD lebih sedikit dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (1) yang menggunakan grafik pengendali T Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor koreksi sampel terbatas (d m η,p ) pada S RMCD dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai ketegaran grafik pengendali T RMCD pada banyaknya outliers. F. Daftar Pustaka [1] Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 9. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, [] Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 8. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 8, Vol. 3, No. 1, DOI: 1.114/ [3] Johnson, R.A. and Wichern, D.W.. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall. [4] Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 11. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): [] Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 1. Re-weighted Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA1) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur. [6] Montgomery D.C. 9. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons. [7] Pison, G.,van Alest, S., Willems, G.. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika, [8] Prastyowati, Retno. 9. Diagram Kontrol T Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [9] Puspitoningrum, Fitria. 1. Penerapan Grafik Hotelling T pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X. Skripsi. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya Wacana. [1] Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 1-3. [11] Vanpaemel, Dina. 13. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value, Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. 1

25 [1] Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 13. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 13, Article ID 43. Hindawi Publishing Corporation. ( diakses 8 Oktober 14). [13] Zhang, Jianfeng. 11. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics. Carbondale: Southern Illionis University. 16

26 Studi Simulasi Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD Angelita Titis Pertiwi a, Adi Setiawan b, Bambang Susanto c Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro No. -6 Salatiga a atitis37@gmail.com b adi_setia_3@yahoo.com c bsusanto@gmail.com ABSTRAK Dalam tulisan ini akan dipresentasikan tentang kinerja grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ( T RMCD ) dengan studi simulasi. Data simulasi phase I diperoleh dengan membangkitkan data berdasarkan distribusi data asli (Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X ) yang memiliki tiga karakteristik kualitas, kemudian dikotori dengan outlier, yaitu menggeser rata-rata karakteristik kualitas (shift outlier), mengalikan matriks kovariansi dengan konstanta pengali k (scale outlier), dan gabungan shift outlier dengan scale outlier (radial outlier). Proporsi pengotoran outlier yaitu 1%, %, dan 3% dari data sebanyak dan 1 pengamatan yang dibangkitkan. Data simulasi phase II diperoleh dengan membangkitkan sebanyak data phase I berdasarkan distribusi data asli namun salah satu rata-rata karakteristik kualitas digeser dari hingga 6σ, dengan σ adalah simpangan bakunya. Penelitian dilakukan dengan membandingkan probabilitas signal di luar kendali hasil penerapan grafik pengendali T RMCD dan T biasa dengan 1 kali pengulangan tanpa penghapusan pada phase I. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali T RMCD walaupun selisihnya tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali yang besar, grafik pengendali pengendali T. T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik Kata Kunci : Hotelling s T Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control, Studi Simulasi 17

27 Pendahuluan Pengestimasian parameter pengendali pada phase I dalam penerapan grafik pengendali T, yaitu vektor rata-rata dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel yang digunakan dalam grafik pengendali T biasa. Chenouri et al. (9) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD (Reweighted Minimum Covariance Determinant) untuk diterapkan dalam grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual karena RMCD merupakan estimator yang affine equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n -1/, efisiensi tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Vanpaemel (13). Studi simulasi adalah cara yang biasa digunakan untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T. Studi simulasi tentang grafik pengendali T RMCD dilakukan pula oleh Mohammadi et al. (1) dan Chenouri et al.(9). Prastyowati (9) juga menggunakan studi simulasi untuk membandingkan kinerja grafik pengendali Hotelling T berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali Hotelling T menggunakan estimator RMCD ( T ) RMCD klasik. Studi simulasi lainnya dilakukan oleh Variyath dan Vattathoor (13) untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T RMCD dan grafik pengendali T RMVE. Puspitoningrum (1) menggunakan grafik pengendali T biasa untuk data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X. Kemudian sebagai penelitian lanjutan Pertiwi et al. (14) menerapkan grafik pengendali yang lebih tegar terhadap outlier, yaitu grafik pengendali T RMCD pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X. Bagaimanakah kinerja grafik pengendali T biasa dan T RMCD pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X? Untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T biasa dan T RMCD pada Data karakteristik kualitas 18

28 parfum remaja dari perusahaan X dilakukan studi simulasi dengan membandingkan grafik pengendali T biasa dan T RMCD pada data simulasi yang dibangkitkan berdasarkan distribusi data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan X dengan prosedur yang diuraikan pada metode penelitian. Metode Penelitian Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke dalam matriks berukuran X ( m p) x x xm x x x 1 m x1 p c' x p x ' xmp x m ' m p (1) dengan ' x x x x, i i=1,,...,m menunjukkan vektor pengamatan ke-i dari p-variat dan diasumsikan i1 i x i adalah vektor random identik, independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai N p (,Ʃ). Prosedur implementasi grafik pengendali T biasa Phase I ip 1. Menghitung estimator vektor ratarata ( x ) dan matriks kovariansi sampel (S) dari data historis phase I.. Menghitung T dengan menggunakan 1 - persamaan x x ' S x x T i 3. Menghitung BPA (Batas Pengendali Atas) dari Prastyowati (9) dan Montgomery (9). Phase II 4. Menghitung T pengamatan baru menggunakan x dan S yang sudah didapat dari phase I.. Memetakan T dan batas pengendali phase II yang diberikan oleh Montgomery (9). 6. Mendeteksi titik di luar kendali (out of control), y aitu jika T > BPA. Estimator Tegar RMCD Perlu menghitung estimator MCD (Minimum Covariance Determinant) terlebih dahulu sebelum mengestimasi estimator RMCD (Pertiwi et al., 14). Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang diusulkan Rousseuw dan Van Driessen (1999). FAST-MCD sudah diimplementasikan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan robustbase (Hubert et al.,8). Dalam penelitian ini i i. 19

29 digunakan fungsi CovMcd() pada paket rrcov untuk menghitung estimator MCD. Estimator RMCD untuk vektor ratarata dan matriks kovariansi Ʃ adalah vektor rata-rata yang diberi bobot x RMCD n i 1 wi x i / n i 1 dan matriks kovariansi S RMCD c d n m i 1, p, p w w i x x x x ' i i RMCD n i 1 w i i RMCD (). (3) Pembobotan berdasar pada jarak robust D 1 ( x ) x x ' S MCD x x (4) i i MCD i MCD sehingga bobot ditentukan dengan dan 1 jika D( x i ) q wi yang lain () q merupakan quantil ke- dari distribusi chi-kuadrat. Dipilih =.97, yang dianjurkan dan digunakan oleh Rousseeuw dan Van Driessen (1999). Dengan menggunakan c, ( P( X ( ) q )) membuat p p S RMCD konsisten dibawah distribusi normal multivariat. Faktor m d, p adalah koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison et al. (). Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas m d, p belum digunakan dalam perhitungan S RMCD, m sehingga dianggap d 1. pengendali, p Prosedur implementasi grafik Pertiwi et al. (14). Prosedur Simulasi TRMCD dapat dilihat pada Data yang digunakan adalah data simulasi yang dibangkitkan berdasarkan distribusi data asli. Data asli yang digunakan adalah Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X periode April-Desember 1 yang memiliki tiga karakteristik kualitas, yaitu ph, RI (Refractive Index), dan massa jenis Sudah diuji oleh Pertiwi et al. (14) bahwa Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X periode April- Desember 1 berdistribusi normal multivariat. Data bersih yang digunakan adalah data yang dibangkitkan berdasarkan distribusi Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X periode April-Desember 1 yang sudah dihapus outlier-nya menggunakan grafik pengendali T RMCD. Data yang dibangkitkan sebanyak m pengamatan dengan m= dan m=1, p karakteristik kualitas dengan p=

30 (kombinasi dari 3) dan p=3 baik untuk data phase I maupun phase II. Data phase I dikotori oleh 3 jenis outlier menurut Permana (9), yaitu: 1. Shift outlier Pengotoran menggunakan shift outlier dilakukan dengan menggeser vektor rata-rata sehingga merubah pusat data (pusat elipsoid). Pengotoran shift outlier diberikan oleh persamaan (6) f (.) (1 ) N (, ) ( * p N, ). (6). Scale outlier Pengotoran menggunakan scale outlier dilakukan dengan mengalikan matriks kovariansi dengan konstanta pengali k sehingga merubah bentuk elipsoid. Pengotoran scale outlier diberikan oleh persamaan (7) f (.) (1 ) N (, ) N (, k ). (7) p 3. Radial outlier Pengotoran menggunakan radial outlier dilakukan dengan menggeser vektor rata-rata dan mengalikan matriks kovariansi dengan konstanta pengali k sehingga merubah pusat dan bentuk elipsoid. Pengotoran scale outlier diberikan oleh persamaan (9) * f (.) (1 ) N (, ) N (, k ). (9) p Proporsi outlier untuk data phase I adalah % (bebas outlier), 1%, %, dan p p p 3%. Prosedur pengotoran outlier data phase I sebagai berikut: Kasus 1. Tidak memiliki outlier. Kasus. Shift outlier pergeseran kecil (σ). Kasus 3. Scale outlier pengali kecil (k=). Kasus 4. Radial outlier pergeseran dan pengali kecil. Kasus. Shift outlier pergeseran besar (6σ). Kasus 6. Scale outlier pengali besar (k=3). Kasus 7. Radial outlier pergeseran dan pengali besar. Kasus 8. Radial outlier pergeseran kecil dan pengali besar. Kasus 9. Radial outlier pergeseran besar dan pengali kecil. Menurut Prastyowati (9) kinerja grafik pengendali dikatakan baik apabila cepat membangkitkan tanda ketika terjadi perubahan dalam proses atau dengan kata lain grafik pengendali sensitif terhadap perubahan proses/pergeseran nilai tengah target (vektor rata-rata). Karena itu untuk mengukur kesensitifan grafik pengendali T dan TRMCD terhadap proses dilihat probabilitas signal/titik di luar kendali pada data phase II yang dibangkitkan berdasarkan distribusi data asli dengan menggeser salah satu rata-rata karakteristik kualitas sebanyak hingga 6σ, dengan σ adalah simpangan bakunya. Dilakukan 1

31 1 kali pengulangan pada setiap pengukuran, tanpa adanya penghapusan pada prosedur phase I. Pada studi simulasi ini digunakan batas pengendali dengan tingkat konfidensi 1-α=.99. Probabilitas signal di luar kendali dari grafik pengendali T dan T RMCD disajikan dalam bentuk grafik. Probabilitas signal di luar kendali grafik pengendali T, grafik pengendali T RMCD menggunakan λ=, dan λ=,7 dinotasikan secara berurutan oleh Biasa, RMCD dan RMCD7. m=1 ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 1 dan Gambar. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI dan massa jenis analog. Gambar 1. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data Phase II (m=) Hasil dan Pembahasan Studi Simulasi pada Data dengan Tiga Karakteristik Kualitas (p=3) Dalam studi simulasi pada data dengan tiga karakteristik kualitas data bersih yang dibangkitkan beristribusi N 3 (,Ʃ), dengan dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 1 1,1 1 7,9 1, ,8 1,36,,91 7,9 1 1, ,8 1 6,8 1 9,8 1 9, Untuk Kasus 1, probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran ratarata ph data Phase II dengan m= dan Gambar. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data Phase II (m=1) Untuk m= dan m=1 dengan pergeseran salah satu rata-rata karakteristik kualitas ph, RI, atau massa jenis data phase II, kinerja grafik pengendali T lebih baik dibanding T RMCD karena T lebih sensitif terhadap perubahan proses. Pada m= grafik pengendali T RMCD dengan

32 λ=, memiliki kinerja lebih baik dari pada grafik pengendali T RMCD λ=,7. Pada m=1 nilai RMCD dan RMCD7 selalu berhimpitan, artinya grafik pengendali T RMCD dengan λ=, dan λ=,7 memiliki kinerja yang sama-sama baik. Untuk Kasus, Kasus 3, dan Kasus 4 grafik pengendali T dan T RMCD memiliki kinerja yang hampir sama dengan Kasus 1 pada semua pergeseran rata-rata karakteristik kualitas data phase II. Kinerja grafik pengendali T dan T RMCD hampir sama, tidak ada penurunan kinerja yang berarti pada proporsi 1%, %, maupun 3% outlier kecuali pada pergeseran ratarata ph phase II. Untuk Kasus 3 dan Kasus 4 penurunan kinerja secara berurutan dimulai pada proporsi 3% dan % outlier, ditunjukkan Gambar 3 dan Gambar 4. Gambar 3. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, 3% Kasus 3,m= Gambar 4. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, % Kasus 4, m= Untuk Kasus, Kasus 6, dan Kasus 7 dengan proporsi 1%, %, dan 3 % outlier grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih bagus dibandingkan grafik pengendali T di pergeseran rata-rata semua karakteristik kualitas data phase II. Namun pada pergeseran rata-rata ph data phase II baik grafik pengendali T maupun grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja paling buruk dibandingkan pada pergeseran rata-rata RI dan massa jenis. Hal ini terjadi karena simpangan baku ph parfum paling tinggi, yaitu,36 dibanding karakteristik kualitas lainnya (simpangan baku RI=,14, simpangan baku massa jenis=,98). Penurunan kinerja pada pergeseran rata-rata ph data phase II grafik pengendali T dan T RMCD untuk Kasus dimulai pada 1% outlier, 3

33 Kasus 6 dan Kasus 7 dimulai pada % outlier, ditunjukkan oleh Gambar, Gambar 6, dan Gambar 7. grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang lebih baik dari pada data dengan m=. Pada m= grafik pengendali T RMCD dengan λ=, memiliki kinerja lebih baik daripada grafik pengendali T RMCD λ=,7 dan keduanya memiliki kinerja yang sama baik pada m=1. Hal ini ditunjukkan dengan membandingkan Gambar 8 dan Gambar 9. Gambar. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, 1% Kasus, m= Gambar 8. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II, 1% Kasus, m= Gambar 6. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, % Kasus 6, m= Gambar 9. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II,1% Kasus,m=1 Gambar 7. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, % Kasus 7, m= Jika dibandingkan berdasarkan banyaknya pengamatan maka pada m=1 Untuk Kasus 8 dan Kasus 9 secara keseluruhan grafik pengendali T RMCD 4

34 memiliki kinerja yang jauh lebih bagus daripada grafik pengendali T. Pada pergeseran rata-rata baik ph, RI, maupun massa jenis data phase II kinerja kedua grafik pengendali lebih bagus untuk Kasus 8 dari pada Kasus 9, artinya kinerja kedua grafik pengendali banyak dipengaruhi oleh outlier dengan pergeseran rata-rata dari pada outlier dengan perubahan matriks kovariansi. Hal ini dengan jelas ditunjukkan Gambar 1 dan Gambar 11. Gambar 1. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, % Kasus 8, m= Dapat dilihat pula pada Gambar 1 dan Gambar 11 pada data phase I dengan % outlier yang memiliki pergeseran rata-rata atau pengali yang besar, grafik pengendali T RMCD tetap memiliki kinerja yang baik. Pada data phase I dengan 3% outlier yang memiliki pergeseran rata-rata atau pengali yang besar kinerja grafik pengendali sudah tidak baik. T RMCD Studi Simulasi pada Data dengan Dua Karakteristik Kualitas (p=) Pada studi simulasi ini yang dibahas pertama adalah untuk kombinasi pertama (ph dan RI). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi ini yang dibangkitkan beristribusi N (,Ʃ), dengan dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 1,36,91 dan 1, 1 6, ,9 1 1, Gambar 11. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, % Kasus 9, m= Sebagian besar hasil hampir sama dengan studi simulasi pada data dengan p=3, hanya saja untuk studi simulasi pada kombinasi pertama kinerja grafik pengendali T RMCD jauh lebih bagus. Terlebih pada hasil simulasi Kasus, Kasus 6, dan Kasus 7 untuk pergeseran rata-rata ph data phase II perbedaan sangat

35 terlihat jelas. Kinerja T RMCD sangat bagus pada p= dengan kombinasi ph dan RI sedangkan Kinerja T RMCD buruk pada p=3. Kinerja grafik pengendali T sama-sama buruk baik pada p= kombinasi ini maupun pada p=3. Perbedaan kinerja grafik pengendali T dan T RMCD pada data dengan p=3 dan p= ditunjukkan Gambar 1 dan Gambar 13. Gambar 1. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, 1% Kasus, m=, p= kombinasi pertama Studi simulasi selanjutnya adalah untuk kombinasi (RI dan massa jenis). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi ini yang dibangkitkan beristribusi N (,Ʃ), dengan dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 6,8 1,36 dan 6 6 1,77 1 9, ,79 1 9,48 1 Hasil hampir sama dengan kombinasi karakteristik ph dan RI. Namun pada kombinasi RI dan massa jenis kinerja grafik pengendali T RMCD jauh lebih baik dibanding pada kombinasi sebelumnya. Sebagai contoh pada Kasus dengan pergeseran rata-rata RI data phase II yang ditunjukkan oleh Gambar 14 dan Gambar 1. Gambar 13. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, 1% Kasus, m=, p=3 Gambar 14. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II, 1% Kasus, m=, p= kombinasi kedua 6

36 Gambar 1. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II, 1% Kasus, m=, p= kombinasi pertama Gambar 16. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, % Kasus 9, m=, p= kombinasi pertama Studi simulasi yang terakhir adalah untuk kombinasi ketiga (ph dan massa jenis). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi ini yang dibangkitkan beristribusi N (,Ʃ), dengan dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 6,84,91 dan 1 4 1,4 1,4 1. 4,4 1 9,7 1 Hasil simulasi pada kombinasi ini tidak jauh berbeda dengan hasil simulasi pada kombinasi pertama dapat dilihat pada Gambar 16 dan Gambar 17. Gambar 17. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata ph data phase II, % Kasus 9, m=, p= kombinasi ketiga Kinerja grafik pengendali T RMCD lebih buruk pada kombinasi ketiga dibanding dengan kombinasi kedua, ditunjukkan oleh Gambar 18 dan Gambar 19. 7

37 rata-rata dan konstanta pengali yang besar, grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik pengendali T. Gambar 18. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 3% Kasus 8, m=1, p= kombinasi kedua Saran Untuk penelitian selanjutnya faktor koreksi sampel terbatas m d, p sebaiknya digunakan dalam perhitungans RMCD supaya estimator RMCD lebih konsisten. Untuk lebih jelas lihat Pison et al. (). Gambar 18. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 3% Kasus 8, m=1, p= kombinasi ketiga Kesimpulan Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali T RMCD walaupun selisihnya tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran Pustaka Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 9. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 8. High- Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 8, Vol. 3, No. 1, DOI: 1.114/ Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 11. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): Montgomery D.C. 9. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons. Permana, Lucky. 9. Perbandingan Kinerja RMCD dan MVV dalam Mendeteksi Outlier pada Data p- 8

38 Variate. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: ITS. Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto,B. 14. Penerapan Grafik Pengendali Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T Hotteling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat. Telah diseminarkan pada Seminar Nasional Matematika VIII jurusan Matematika FMIPA UNNES Semarang, 8 November 14. Pison, G.,van Alest, S., Willems, G.. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika, Prastyowati, Retno. 9. Diagram Kontrol T Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: ITS. Puspitoningrum, Fitria. 1. Penerapan Grafik Hotelling T pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X. Skripsi. Program Studi Matematika FSM. Salatiga: UKSW. Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 1-3. Vanpaemel, Dina. 13. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value, Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Arenberg Doctoraatsschool,GroepWetenscha p&technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 13. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 13, Article ID 43. Hindawi Publishing Corporation. 9

39 PEMBAHASAN Pembahasan uji normalitas data dan program MATLAB yang dipakai pada makalah pertama dapat dilihat di Lampiran halaman L.. Hasil studi simulasi untuk tiga karakteristik kualitas (p=3) dan dua karakteristik kualitas (p=) lebih lengkap dapat dilihat pada Lampiran 8 di halaman L.17 dan Lampiran 9 di halaman L.34. Hasil Studi Simulasi pada Data dengan Tiga Karakteristik Kualitas Grafik probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran ph, RI, dan massa jenis menggunakan data phase I yang bebas outlier secara berurutan ditunjukkan oleh Tabel 4.1, Tabel 4., dan Tabel 4.3. Dari tabel ini diketahui bahwa grafik pengendali T bekerja lebih baik dibanding T RMCD, walaupun selisihnya kecil. Juga dapat dibandingkan dengan jelas bahwa pada m= (Tabel 4.1 sampai 4.3 kolom pertama) grafik pengendali T RMCD dengan λ=, memiliki kinerja lebih baik dari pada grafik pengendali T RMCD λ=,7. Pada m=1 (Tabel 4.1 sampai 4.3 kolom kedua) nilai RMCD dan RMCD7 selalu berhimpitan, artinya grafik pengendali T RMCD dengan λ=, dan λ=,7 memiliki kinerja yang sama-sama baik. Untuk Kasus (ditunjukkan oleh Tabel 4.4 sampai 4.6), Kasus 3 (ditunjukkan oleh Tabel 4.1 sampai 4.1), dan Kasus 4 (ditunjukkan oleh Tabel 4.16, 4., dan 4.4) grafik pengendali T dan T RMCD memiliki kinerja yang hampir sama dengan Kasus 1 pada semua pergeseran rata-rata karakteristik kualitas data phase II. Kinerja grafik pengendali T dan TRMCD hampir sama, tidak ada penurunan kinerja yang berarti pada proporsi 1%, %, maupun 3% outlier kecuali pada pergeseran rata-rata ph phase II (lihat Tabel 4.4, Tabel 4.1, dan Tabel 4.16). Untuk Kasus (ditunjukkan oleh Tabel 4.7 sampai 4.9), Kasus 6 (ditunjukkan oleh Tabel 4.13 sampai 4.1), dan Kasus 7 (ditunjukkan oleh Tabel 4.19, 4.3, dan 4.7) dengan proporsi 1%, %, dan 3 % outlier grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih bagus dibandingkan grafik pengendali T di pergeseran rata-rata semua karakteristik kualitas data phase II. Untuk Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel 4.17, 4.1, 4. dan Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel 4.18, 4., 4.6. Hasil Studi Simulasi pada Data dengan Dua Karakteristik Kualitas (p=) 1. Kombinasi I (ph dan RI) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel I.1 dan I. Kasus ditunjukkan oleh Tabel I.3 dan I.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel I.7 dan I.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel I.11 dan I.1 3

40 Kasus ditunjukkan oleh Tabel I. dan I.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel I.9 dan I.1 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel I.14 dan I.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel I.1 dan I.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel I.13 dan I.17. Kombinasi II (RI dan Massa Jenis) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel II.1 dan II. Kasus ditunjukkan oleh Tabel II.3 dan II.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel II.7 dan II.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel II.11 dan II.1 Kasus ditunjukkan oleh Tabel II. dan II.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel II.9 dan II.1 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel II.14 dan II.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel II.1 dan II.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel II.13 dan II Kombinsi III (ph dan Massa Jenis) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel III.1 dan III. Kasus ditunjukkan oleh Tabel III.3 dan III.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel III.7 dan III.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel III.11 dan III.1 Kasus ditunjukkan oleh Tabel III. dan III.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel III.9 dan III.1 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel III.14 dan III.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel III.1 dan III.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel III.13 dan III.17 31

41 SIMPULAN Berdasarkan makalah (Pertiwi et al., 14a) dan (Pertiwi et al., 14b) dapat disimpulkan: 1. Dari penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 1 didapat bahwa hanya diperlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali T RMCD bivariat maupun grafik pengendali T RMCD trivariat.. Lebih lanjut, titik di luar kendali pada grafik pengendali T RMCD lebih sedikit dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (1) yang menggunakan grafik pengendali T Hotelling biasa. 3. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali T RMCD walaupun selisihnya tidak banyak. 4. Pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali yang besar, grafik pengendali T RMCD memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik pengendali T. SARAN Saran yang dapat diberikan untuk penelitian berikutnya adalah sebaiknya digunakan m faktor koreksi sampel terbatas d, p supaya perhitungans RMCD (matriks kovariansi estimator RMCD) lebih konsisten. Penjelasan dapat dilihat pada Pison et al. (). UCAPAN TERIMA KASIH Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena senantiasa melimpahkan berkat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat waktu. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: Dekan Fakultas Sains dan Matematika (FSM) Dr. Surya Satriya Trihandaru, M.Sc.,nat. Dr. Bambang Susanto,M.S selaku Kaprogdi Matematika sekaligus pembimbing pendamping yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis dan mengoreksi tugas akhir ini. Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku pembimbing utama yang telah meluangkan banyak waktu untuk memberikan arahan, bimbingan, petunjuk dan perbaikan tugas akhir ini.wali studi, Dra. Lilik Linawati, M.Kom yang telah mendampingi dan memberikan semangat yang tiada henti kepada penulis selama belajar di FSM UKSW hingga selesainya tugas akhir ini. Dosen pengajar Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc, Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, Didit Budi Nugroho, D.Sc, dan Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si untuk ilmu dan bimbingan selama penulis belajar di FSM UKSW hingga selesainya tugas akhir ini. Staff FSM: Pak Edy laboran Lab Komputer FSM yang sudah membantu, staff TU Mbak Eny yang banyak sekali memberikan informasi dan Bu Ketut, dan staff FSM lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Bapak dan Ibu atas doa, semangat, dan pengorbanan yang tiada habisnya, Kakak 3

42 (A. Ageng D. U.) dan Petrus H.K.G. serta keluarga besar yang telah memberikan semangat dan dukungan yang sangat berarti. Terima kasih untuk sahabat (Priska,Purwoto,Aji,Ferry,Hera dan Yaya), sahabat dan teman seperjuangan Prodi Matematika 11 (Dewi,Daivi,Dwi,Malik, dan Kevin), fungsionaris LKF-FSM 1/13 dan 13/14 serta sahabat-sahabat lain yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dari awal hingga terselesaikanya tugas akhir ini. Semua pihak yang telah membantu dan terlibat dalam penulisan ini terima kasih banyak. Tuhan Memberkati. DAFTAR PUSTAKA Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 9. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology. Vol 41. No Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Alest, Stefan. 8. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 8. Vol. 3. No DOI: 1.114/ Johnson, R. A. and Wichern, D.W.. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall. Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 11. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 1. Re-weighted Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics. Statistics and its Applications (ICMSA1) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur. Montgomery, D.C. 9. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition. United States of America: John Wiley and Sons. Permana. Lucky. 9. Perbandingan Kinerja RMCD dan MVV dalam Mendeteksi Outlier pada Data p-variate. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto,B. 14a. Penerapan Grafik Pengendali Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T Hotteling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat. Prosiding: Seminar Nasional Matematika VIII. Jurusan Matematika. FMIPA. Universitas Negeri Semarang. ISBN Hal Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto, B. 14b. Studi Simulasi Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD. Prosiding: Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD14). Universitas Ahmad Dahlan. ISSN : Hal Pison, G., van Alest, S., Willems, G.. Small Sample Corrections for LTS and MCD, Metrika Prastyowati, Retno. 9. Diagram Kontrol T Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. 33

43 Puspitoningrum, Fitria. 1. Penerapan Grafik Hotelling T pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan X. Skripsi. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana. Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics. Vol 41. No Vanpaemel, Dina. 13. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value. Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool. Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 13. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering. Volume 13. Article ID 43. Hindawi Publishing Corporation. Zhang, Jianfeng. 11. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics. Carbondale: Southern Illionis University. 34

44 Lampiran 1: Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 1 Massa Massa No Tanggal ph RI No Tanggal ph RI Jenis Jenis 1 4-Apr 6,8 1,364,98 4-Apr 7 1,361,9 3 4-Apr 6,46 1,361, Apr 7,11 1,364,9 4-Apr 6,9 1,364, Apr 7,4 1,36, Apr 6,9 1,364, Apr 6,48 1,36,91 9 -Apr 6,7 1,361,9 1 -Apr 7,1 1,361, Apr 6,47 1,36,9 1 -Apr 7, 1,364, Apr 6,1 1,36, Apr 6,9 1,364, Apr 6,39 1,364, Apr 6,7 1,364, Apr 6,1 1,36, Apr 6,16 1,36, Apr 7,13 1,361,978 7-Apr 6,93 1,361, Apr 6,91 1,36,918 7-Apr 6, 1,361, Apr 7 1,36,9 4 8-Apr 6,8 1,36, Apr 6,4 1,36, Apr 7,1 1,364,9 7 8-Apr 6,79 1,364,9 8 8-Apr 6,9 1,364, Apr 6,81 1,364, Apr 6,9 1,361, Apr 6,77 1,364, Apr 6,6 1,361, Apr 6,4 1,36, Apr 6,77 1,36, Apr 6,96 1,36, Apr 6,1 1,36, Apr 6,66 1,36, Apr 7,3 1,36, Apr 6,44 1,36, Apr 7,1 1,363, Apr 6,78 1,36, Apr 6,84 1,363, Apr 6,74 1,363, Apr 6,4 1,363,9 4 -Apr 6,8 1,363, Apr 7,13 1,361, Apr 7,6 1,364, Apr 6,81 1,36, Apr 7, 1,361,94 -Apr 7,4 1,364, Apr 6,8 1,361,931 3-Apr 7,9 1,363, Apr 7,1 1,363, Apr 6,4 1,364,9 6-Apr 7,4 1,364, Apr 7,4 1,364, Apr 7,1 1,361, Apr 7, 1,361, Apr 6,83 1,361, Apr 7,6 1,361, Apr 6,96 1,364,9 6 8-Apr 7,6 1,363, Apr 6,9 1,36, Apr 6,89 1,36, Apr 6,6 1,364, Apr 6,6 1,36, Apr 6,93 1,364, Apr 6,91 1,364, Apr 6,69 1,36, Apr 6,77 1,36, Apr 6,8 1,36, Apr 6,64 1,36, Apr 6,84 1,36, Apr 6,7 1,36,91 7 -Mei 6,7 1,363, Mei 6,6 1,364, Mei 7, 1,36, Mei 7, 1,364, Mei 6,4 1,36, Mei 7,1 1,363,9198 L.

45 Lampiran 1 (Lanjutan 1) No Tanggal ph RI Massa Jenis 81 1-Mei 6,9 1,364, Mei 6,89 1,361, Mei 6,99 1,361, Mei 6,68 1,36, Mei 6,88 1,361, Mei 6,96 1,36, Mei 6,7 1,364, Mei 7,3 1,364, Mei 6,3 1,361, Mei 6,3 1,361, Mei 6,66 1,361, Mei 6,34 1,361, Mei 6,6 1,363, Mei 6,4 1,361, Mei 6,1 1,361, Mei 6,3 1,364, Mei 6,46 1,364, Mei 6,7 1,36, Mei 6,87 1,361, Mei 7,9 1,366, Mei 7,6 1,364, Mei 6,4 1,364, Mei 7, 1,364, Mei 6, 1,36, Mei 6,86 1,364, Mei 6,81 1,364, Mei 6,89 1,364, Mei 6,86 1,36, Mei 6,77 1,36, Mei 7,16 1,363, Mei 6,7 1,361, Mei 6,,69 1,361, Mei 6,91 1,361, Mei 6,78 1,364, Mei 7,6 1,364, Mei 6,91 1,36, Mei 6, 1,364, Jun 6,84 1,364, Jun 7, 1,364, Jun 6,7 1,36,937 No Tanggal ph RI Massa Jenis 11 8-Jun 6,87 1,36, Jun 6,46 1,363, Jun 7, 1,363, Jun 6,86 1,363, Jun 7,3 1,364, Jun 6,9 1,364, Jun 7,9 1,36, Jun 7,9 1,36, Jun 6,9 1,361, Jun 6,87 1,361, Jun 6, 1,364, Jun 6,96 1,363, Jun 6,7 1,361, Jun 7,4 1,361, Jun 6,8 1,361, Jun 7,8 1,364, Jun 6,74 1,361, Jun 7,4 1,361, Jun 7,36 1,361, Jun 7,31 1,361, Jun 6,7 1,361, Jun 7,69 1,364, Jun 7,38 1,36, Jun 7,8 1,364, Jun 6,74 1,364, Jun 7,19 1,364, Jun 6,79 1,363, Jun 7,41 1,361, Jun 7,4 1,361, Jul 6,7 1,361, Jul 6,37 1,364, Jul 6,1 1,364, Jul 6,9 1,364, Jul 6,9 1,364,89 1 -Jul, 1,364,9 16 -Jul 7,18 1,364, Jul 6,78 1,363, Jul 7,3 1,363,9 19 -Jul 6,81 1,364, Jul 6,94 1,36,93 L.

46 Lampiran 1 (Lanjutan ) No Tanggal ph RI Massa Jenis Jul 6,46 1,36, Jul 6,9 1,361, Jul 6, 1,361, Jul 7 1,36, Jul 6,89 1,364, Jul 6,64 1,363, Jul 6,11 1,361, Jul 6,71 1,36, Jul 6,97 1,363, Jul 6,3 1,36, Jul 7,7 1,364, Jul 6,86 1,363, Jul 7,4 1,363, Jul 7,18 1,36, Jul 6,9 1,361, Jul 6,1 1,361, Jul 6,6 1,364, Jul 7,16 1,363, Jul 7,7 1,36, Jul 7,1 1,36, Jul 6,86 1,361, Jul 6,97 1,361, Jul 7,4 1,364, Jul 6,96 1,364, Jul 6,91 1,364, Jul 6,3 1,361, Jul 6,94 1,364, Jul 6,7 1,364, Jul 6,83 1,36, Jul 7,1 1,364, Jul 7, 1,364,9 19 -Jul, 1,364, Jul 6, 1,361, Jul 6,78 1,361, Jul 6,78 1,36, Jul 6,8 1,361, Jul 7 1,361, Jul 6,6 1,361, Jul 7,37 1,361,971 3-Jul 6,9 1,361,973 No Tanggal ph RI Massa Jenis 1 3-Jul 7, 1,363,979 6-Jul 7,4 1,363, Jul 6,98 1,363, Jul 7,3 1,36,97 6-Jul 7,4 1,364, Jul 7,66 1,364, Jul 6,94 1,364, Jul 7,3 1,364, Jul 6,87 1,36, Jul 6,89 1,361, Jul 6,73 1,36,9 1 9-Jul 6,61 1,361, Jul 6,9 1,364, Jul 6,64 1,364, Jul 6,61 1,361, Agust 6,64 1,361, Agust 7,11 1,364, Agust 7,74 1,364, Agust 7,17 1,364,994 4-Agust 6,88 1,363, Agust 7,14 1,364,973 4-Agust 7,7 1,364, Agust 7,9 1,364, Agust 7,8 1,364, Agust 6,7 1,361, Agust 6,91 1,361, Agust 7,1 1,364, Agust 7,3 1,364, Agust 6,8 1,364, Agust 7, 1,361, Agust 7, 1,364, Agust 6,9 1,364, Agust 6,96 1,36, Agust 6,77 1,361, Agust 7, 1,361, Agust 7, 1,361, Agust 6,91 1,361, Agust 6,74 1,36, Agust 6,6 1,36,9 4 3-Agust 7,18 1,363,9181 L.3

47 Lampiran 1 (Lanjutan 3) No Tanggal ph RI Massa Jenis 41 3-Agust 6,78 1,364, Agust 6,8 1,364, Sep 6,9 1,364, Sep 6,7 1,36,94 4 -Sep 6,6 1,36, Sep 6,6 1,363, Sep 7,34 1,36, Sep 6,91 1,361, Sep 6,87 1,363,9 1-Sep 6,93 1,363, Sep 6,78 1,36,93 1-Sep 6,6 1,361, Sep 6,33 1,366, Sep 6,4 1,366,98 3-Sep 6, 1,363, Sep 6,6 1,36, Sep 6,86 1,36, Sep 6,97 1,363, Sep 6,86 1,363, Okt 6,84 1,363, Okt 6,1 1,364,94 6 -Okt 6,4 1,363, Okt 6,49 1,366, Okt 6,67 1,366,9 6 7-Okt 6,8 1,364, Okt 6,6 1,361, Okt 6,1 1,361, Okt 6,94 1,364, Okt 6,4 1,361, Okt 7,3 1,364, Okt 6,63 1,361, Okt 6,6 1,364, Okt 6, 1,364, Okt 6,69 1,361, Okt 6, 1,361, Okt 7 1,364, Okt 6,6 1,361, Okt 7,1 1,364, Okt 6,9 1,364, Okt 6,68 1,363,99 No Tanggal ph RI Massa Jenis 81 1-Nop 6, 1,36, Nop 6,74 1,363, Nop,8 1,361, Nop 6,8 1,364, Nop 7,9 1,363, Nop 6,8 1,361, Nop 7,33 1,36, Nop 6,81 1,361, Nop 6,87 1, Nop 6,18 1,36, Nop 6,1 1,364, Nop 6,38 1,36, Nop 7,1 1,36, Nop 6,3 1,364, Nop 6,86 1,36, Nop 7,7 1,364, Nop 7,4 1,364, Nop 6,71 1,363, Nop 6,31 1,364,99 3 -Nop 7,31 1,366, Nop 6,1 1,36,94 3 -Nop 7,36 1,36, Nop 6,81 1,36, Nop 6,9 1,36, Nop 6,81 1,36, Nop 7,8 1,364, Nop 6,9 1,361, Nop 7,1 1,361, Nop 7,34 1,36, Nop 7,33 1,364, Nop 7,6 1,364, Des 6,81 1,36, Des 6,91 1,364, Des 6,9 1,364, Des 7,7 1,363, Des 6,73 1,364, Des 7,11 1,361, Des 6,89 1,361, Des 6,6 1,361, Des 7,1 1,36,97 L.4

48 Disimpan ke notepad (Data1.txt) untuk keperluan pemrograman sebagai contoh: L.

49 Lampiran : Uji Normalitas Data H: Data berdistribusi normal multivariat H1: Data tidak berdistribusi normal multivariat Menurut Johnson & Wichern () ada dua teknik untuk menyelidiki data yang berdistribusi normal multivariat. 1. Jika separuh dari d kurang dari sama dengan kuantil distribusi chi-square j q c, p (.) maka data berdistribusi normal multivariat. 1 d ( x j x )' S ( x j x ) Disini: j x j menunjukkan vektor kolom pengamatan ke-j dengan j=1,,3,...,m, x dan S secara berurutan adalah vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel.. Plot para d j yang sudah diurutkan ( d( 1) d() d(3)... d( m) ) terhadap qc, p (( 1.)/ m), qc, p ((.)/ m),..., qc, p (( m.)/ m) secara berurutan. Jika plot tersebut mendekati garis lurus yang memiliki gradien 1 dan melewati origin maka data berdistribusi normal multivariat. Informasi lebih lengkap dapat di lihat pada halaman 186. Berdasarkan kedua teknik di atas, uji kenormalan untuk data pada Lampiran 1 menunjukkan bahwa H diterima karena ada sebanyak 198 > 3/ d j yang kurang dari sama dengan kuantil distribusi chi-square (. q c, p ) ditunjukkan Gambar L1 dan plot ( d j, q c, p (( j.)/ m) ) mendekati garis lurus yang memiliki gradien 1 dan melewati origin ditunjukkan oleh Gambar L. Gambar L1. Hasil pemetaan squared distance, garis merah menunjukkan q (. c, p ) Gambar L. Hasil Chi-square plot data karakteristik kualitas parfum remaja L.6

50 Lampiran 3: Program R Uji Normalitas Data qq.plot_multi<-function(x) { m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[] xbar<-ubah.v(apply(x,,mean)) sigma<-cov(x) isigma<-solve(sigma) dis<-matrix(,m,1) for(i in 1:m) { dis[i,1]<-t(ubah.v(x[i,]-xbar))%*%isigma%*%(ubah.v(x[i,]-xbar)) } d<-sort(dis) q<-matrix(,m,1) for(i in 1:m) { cari<-(i-.)/m q[i,1]<-qchisq(cari,p) } u<-1:m x<-1:1 y<-x cs<-qchisq(.,p) #plot syarat windows() plot(d,q,type="p",xlim=c(,),ylim=c(,1),xlab="squared distance",ylab="chi-square quantile") par(new=true) plot(x,y,type="l",xlim=c(,),ylim=c(,1),xlab="squared distance",ylab="chi-square quantile") #garis windows() plot(dis,ylab="squared distance",type="p",pch=18) #plot syarat 1 lines(u,rep(cs,length(u)),lty=,col="red") } #uji normal trivariat Z<-ubah(read.table('Data1.txt')) qq.plot_multi(z) L.7

51 Lampiran 4: Diagram Alir Grafik Pengendali T Hotelling Diagram Alir untuk Phase I Diagram alir untuk Phase II L.8

52 Lampiran : Program R grafik Pengendali T Hotelling Biasa #mengubah input data ke matrix ubah <- function(x) { m<-dim(x)[1] n<-dim(x)[] has<-matrix(,m,n) for (i in 1:m) { for(j in 1:n) has[i,j]<-x[i,j] } has } #mengubah input data ke vektor kolom ubah.v <- function(x) { m<-length(x) has<-matrix(,m,1) for (i in 1:m) { has[i,1]<-x[i] } has } #fungsi phase I untuk T biasa #M=input data #alfa=tingkat konfidensi Biasa.I<-function(M,alfa) { x<-ubah(m)#mengubah input data ke matriks berukuran mxp m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[] Xbar<-apply(x,,mean) S<-cov(x) invs<-solve(s) #menghitung T T<-matrix(,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-xbar v<-ubah.v(coba) T[i,1]<-t(v)%*%invS%*%v } #membuat control chart L.9

53 } qbta<-qbeta(1-alfa,p/,(m-p-1)/) UCLf<-(((m-1)^)/m)*qbta LCLf<- BB <- min(lclf-sd(t), min(t)-sd(t)) BA <- max(uclf+sd(t), max(t)+sd(t)) plot(t,ylim=c(bb,ba), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=.1) lines(u,rep(uclf,length(u)),lty=, col="red") lines(u,rep(lclf,length(u)),lty=) text(1,uclf,"bpa") text(1,lclf,"bpb") out <- which(t > UCLf) #output: indeks outofcontrol,nilai T out,s dan X,BPA) hasil<-list(out,t[out],s,xbar,uclf) return(hasil) #fungsi prosedur phase I T biasa ppi.biasa<-function(x,alfa) { i<-1 tout<- pi<-biasa.i(x,alfa) while(length(pi[[1]])!=) { i<-i+1 out<-pi[[1]] tout<-c(tout,out) X<-X[-out,] pi<-biasa.i(x,alfa) } S<-pI[[3]] X<-pI[[4]] BPA<-pI[[]] #output:banyaknya iterasi,indeks outofcontrol,s dan X in control,bpa has<-list(i,tout,s,x,bpa) return(has) } #fungsi phase II T biasa #M=input data baru #Xbar= vektor rata-rata in control #S=matriks kovariansi in control #alfa=tingkat konfidensi Biasa.II<-function(M,Xbar,S,alfa) { L.1

54 x<-ubah(m) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[] invs<-solve(s) #menghitung T T<-matrix(,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-xbar v<-ubah.v(coba) T[i,1]<-t(v)%*%invS%*%v } } #membuat control chart qef<-qf(1-alfa,p,m-p) UCLf<-((p*(m+1)*(m-1))/(m*(m-p)))*qef LCLf<- BB <- min(lclf-sd(t), min(t)-sd(t)) BA <- max(uclf+sd(t), max(t)+sd(t)) plot(t,ylim=c(bb,ba), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=.1) lines(u,rep(uclf,length(u)),lty=, col="red") lines(u,rep(lclf,length(u)),lty=) text(1,uclf,"bpa") text(1,lclf,"bpb") out <- which(t > UCLf) #output:banyaknya outofcontrol,indeks out, nilai Tout,BPA hasil<-list(length(out),out,t[out],uclf) return(hasil) L.11

55 Lampiran 6: Nilai Estimasi Least-Square dari Parameter Regresi a 1,p,1 α,λ dan a,p,1 α,λ Tabel Estimasi Nilai Least-Square dari Parameter Regresi a 1,p,1 α,λ dan a,p,1 α,λ untuk Dimensi p=,3,...,1, Tingkat Konfidensi 1 α =,99;,999 dan Titik Breakdown 1 λ =,;, p λ =, λ =, 7 99% quantil 99,9% quantil 99% quantil 99,9% quantil a 1,p,1 α,λ a,p,1 α,λ a 1,p,1 α,λ a,p,1 α,λ a 1,p,1 α,λ a,p,1 α,λ a 1,p,1 α,λ a,p,1 α,λ 1387,41 1,63 6,43 1,79 8,836 1,1 1476,9 1, ,973, ,68,4 83, 1,474 33,978 1, ,9, ,, ,98 1,63 343,37, 41744,3, ,,838 76,1 1, ,71 1, , 3, , 3,19 137,11 1,9 97,744, ,, , 3,19 433,449, ,, , 3,9 173,, ,6, ,6, , 3, , 3, ,116, ,6, , 3, , 3, ,37,14 793,,9 Disimpan ke notepad (leastsquare.txt) untuk keperluan pemrograman sebagai berikut: L.1

56 Lampiran 7: Program R grafik Pengendali T Hotelling RMCD #fungsi untuk phase I T RMCD #M=input data #eta: dipilih.97, Lihat Rouseew & van driessen (1999) #1-lamda= titik breakdown #biasa dipilih lamda=. atau.7 Lihat Chenouri et al.(9) #alfa=.1 atau.1 merupakan tingkat konfidensi RMCD.I<-function(M,eta,lamda,alfa) { #mengubah input M ke matriks x x<-ubah(m) #inisialisasi jumlah pengamatan(m) dan karakteristik kualitas(p) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[] #menghitung estimator MCD mcd<-covmcd(x,lamda) Xmcd<-getCenter(mcd) Smcd<-getCov(mcd) invsmcd<-solve(smcd) #inisialisasi bobot dan jarak robust D<-matrix(,m,1) w<-matrix(,m,1) #bobot qeta<-qchisq(eta,p-1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-xmcd v<-ubah.v(coba) D[i,1]<-sqrt(t(v)%*%invSmcd%*%v) w[i,1]<-ifelse(d[i,1]<=qeta,1,) } #pengamtan yg dibobot T<-matrix(,m,p) for (i in 1:m) { T[i,]<-(w[i,1]*x[i,]) } #estimator vektor rata-rata rmcd Xrmcd<-apply(T,,sum)/sum(w) #faktor konsistensi c<-eta/pchisq(qeta,p+) #faktor koreksi sampel terbatas d<-1 #pembilang Srmcd pembilang<-matrix(,p,p) L.13

57 for (k in 1:m) { coba<-(x[k,]-xrmcd) v<-ubah.v(coba) hasil<-w[k,1]*v%*%t(v) pembilang<-pembilang+hasil } Srmcd<-c*d*pembilang/sum(w) invsrmcd<-solve(srmcd) #menghitung Trmcd Trmcd<-matrix(,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-xrmcd v<-ubah.v(coba) Trmcd[i,1]<-t(v)%*%invSrmcd%*%v } #membuat control chart #menentukan parameter least square a1 dan a (Chenouri,9) tabel<-read.table('leastsquare.txt') a1.a<-function(tabel,p,lamda,alfa) { if (lamda==. && alfa==.1) a<-tabel[p-1,1:] if (lamda==. && alfa==.1) a<-tabel[p-1,3:4] if (lamda==.7 && alfa==.1) a<-tabel[p-1,:6] if (lamda==.7 && alfa==.1) a<-tabel[p-1,7:8] a } a<-a1.a(tabel,p,lamda,alfa) a<-ubah(a) a1<-a[1,1] a<-a[1,] qcsq<-qchisq(1-alfa,p) UCL<-qcsq+(a1/(m^a)) LCLf<- BB <- min(lclf-sd(trmcd), min(trmcd)-sd(trmcd)) BA <- max(ucl+sd(trmcd), max(trmcd)+sd(trmcd)) #plot(trmcd,ylim=c(bb,ba), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=.1) lines(u,rep(ucl,length(u)),lty=, col="red") lines(u,rep(lclf,length(u)),lty=, col="red") text(1,ucl,"bpa") L.14

58 } text(1,lclf,"bpb") out <-which(trmcd>ucl) #output:indeks outofcontrol,nilai Tout,S dan X RMCD,BPA has<-list(out,trmcd[out],srmcd,xrmcd,ucl) return(has) #fungsi prosedur phase I T rmcd #input sama dengan fungsi RMCD.I ppi.rmcd<-function(x,eta,lamda,alfa) { i<-1 tout<- pi<-rmcd.i(x,eta,lamda,alfa) while(length(pi[[1]])!=) { i<-i+1 out<-pi[[1]] tout<-c(tout,out) X<-X[-out,] pi<-rmcd.i(x,eta,lamda,alfa) } S<-pI[[3]] X<-pI[[4]] BPA<-pI[[]] #output: banyaknya iterasi, indeks outofcontrol,s dan X RMCD in control,bpa has<-list(i,tout,s,x,bpa) return(has) } #fungsi untuk phase II T RMCD #Mbaru=input pengamatan baru #Srmcd,Xrmcd, dan BPA dari fungsi ppi.rmcd RMCD.II<-function(Mbaru,Srmcd,Xrmcd,BPA) { #mengubah input M ke matriks x x<-ubah(mbaru) #inisialisasi jumlah pengamatan(m) dan karakteristik kualitas(p) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[] invsrmcd<-solve(srmcd) #menghitung Trmcd Trmcd<-matrix(,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-xrmcd L.1

59 } v<-ubah.v(coba) Trmcd[i,1]<-t(v)%*%invSrmcd%*%v } #membuat control chart UCLf<-BPA qef<-qf(1-.1,p,m-p) #UCLf<-((p*(m+1)*(m-1))/(m*(m-p)))*qef LCLf<- BB <- min(lclf-sd(trmcd), min(trmcd)-sd(trmcd)) BA <- max(uclf+sd(trmcd), max(trmcd)+sd(trmcd)) plot(trmcd,ylim=c(bb,ba), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=.1) lines(u,rep(uclf,length(u)),lty=, col="red") lines(u,rep(lclf,length(u)),lty=) text(1,uclf,"bpa") text(1,lclf,"bpb") out <- which(trmcd > UCLf) #output:banyaknya outofcontrol,indeks out,nilai Trmcd out,bpa has<-list(length(out),out,trmcd[out],bpa) return(has) #cara menggunakan #load package: rrcov Z<-read.table('Data1.txt') #mengambil data X<-Z[1:16,] #data historis tiga karakteristik kualitas #X<-cbind(Z[1:16,1], Z[1:16,]) #data historis dua karak. kualitas kombinasi 1 Mbaru<-Z[161:3,] #data baru tiga karakteristik kualitas #Mbaru<- cbind(z[161:3,1], Z[161:3,]) #data baru dua karak. kualitas kombinasi 1 eta<-.97 lamda<-. alfa<-.1 phasei<-ppi.rmcd (X,eta,lamda,alfa) #hasil keluaran ppi.rmcd phasei Srmcd<- phasei[[]] Xrmcd<- phasei[[3]] BPA<- phasei[[4]] RMCD.II (Mbaru,Srmcd,Xrmcd,BPA) L.16

60 Lampiran 8: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Tiga Karakteristik Kualitas m=banyaknya pengamatan Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel 4.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel 4.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 L.17

61 Tabel 4.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel 4.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier L.18

62 1 Tabel 4.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.19

63 Tabel 4.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel 4.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier L.

64 1 Tabel 4.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.1

65 Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.

66 1 Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.3

67 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.4

68 1 Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.

69 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.6

70 1 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.7

71 Tabel Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel 4.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.8

72 1 Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.9

73 Tabel 4.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel 4.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.3

74 1 Tabel 4.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.31

75 Tabel 4.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel 4.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.3

76 1 Tabel 4.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.33

77 Lampiran 9: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Dua Karakteristik Kualitas Kombinasi I : ph dan RI Tabel I.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel I.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel I.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier L.34

78 1 Tabel I.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.3

79 Tabel I.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% % 3% 1 Tabel I.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier L.36

80 1 Tabel I.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.37

81 Tabel I.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel I.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.38

82 1 Tabel I.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.39

83 Tabel I.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel I.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.4

84 1 Tabel I.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.41

85 Tabel I.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel I.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.4

86 1 Tabel I.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.43

87 Tabel I.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel I.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.44

88 1 Kombinasi II : RI dan Massa Jenis Tabel II.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel II.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 L.4

89 Tabel II.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel II.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier L.46

90 1 Tabel II.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.47

91 Tabel II.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel II.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.48

92 1 Tabel II.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.49

93 Tabel II.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel II.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.

94 1 Tabel II.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.1

95 Tabel II.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel II.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.

96 1 Tabel II.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.3

97 Tabel II.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel II.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.4

98 1 Tabel II.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.

99 Tabel II.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Kombinasi III : ph dan Massa Jenis Tabel III.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 L.6

100 Tabel III.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier m = m =1 Tabel III.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.7

101 Tabel III.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel III.. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% % 3% L.8

102 1 Tabel III.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.9

103 Tabel III.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel III.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.6

104 1 Tabel III.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.61

105 Tabel III.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel III.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.6

106 1 Tabel III.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.63

107 Tabel III.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel III.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata ph Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier L.64

108 1 Tabel III.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.6

109 Tabel III.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 Tabel III.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k= m 1% outlier % outlier 3% outlier L.66

110 1 Tabel III.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=3 m 1% outlier % outlier 3% outlier 1 L.67

111 Lampiran 1: Program R Studi Simulasi #load package: rrcov dan Mass #fungsi mencari data in control #X=input data asli #eta=.97 #lamda=. #alfa=.1 caribersih<-function(x,eta,lamda,alfa) { i<-1 tout<- kotor<-rep(,dim(x)[]) RMCDI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) while(length(rmcdi[[1]])!=) { i<-i+1 out<-rmcdi[[1]] tout<-c(tout,out) kotor<- rbind(kotor,x[out,]) X<-X[-out,] RMCDI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) } kotor<-ubah(kotor) kotor<-kotor[-1,] mb<-apply(x,,mean) sb<-cov(x) has<-list(mb,sb,kotor) return(has) } #fungsi untuk membangkitkan data simulasi phase II #shift=pergeseran #a=karakteristik kualitas yg digeser #k=konstanta pengali matriks kovariansi #p=banyaknya karakteristik kualitas #ukuran=jumlah pengamatan yang dibangkitkan #mu=vektor rata-rata bersih #sig=matriks kovariansi bersih data.ia<-function(shift,a,k,p,ukuran,mu,sig) { sig<-k*sig mu[a]<-mu[a]+shift M<-mvrnorm(ukuran,mu,sig) M } L.68

112 #fungsi untuk membangkitkan data simulasi #outlier=proporsi banyaknya pengotoran outlier(,.1,.,.3) #mb=vektor rata-rata bersih #sb=matriks kovariansi bersih data.sim1<-function(shift,a,k,p,ukuran,outlier,mb,sb) { ms<-mb ms[a]<-ms[a]+shift ss<-k*sb M<-matrix(,ukuran,p) u<- for(i in 1:ukuran) { i b<-zeros(p) u<-runif(1) if(u<outlier)b<-mvrnorm(1,ms,ss) if(u>=outlier)b<-mvrnorm(1,mb,sb) M[i,]<-b } M } #fungsi untuk simulasi menghitung probabilitas signal out of control #tanpa prosedur penghapusan phase I #iterasi=banyaknya pengulangan, dipilih 1 sim1<-function(shift,a,k,p,ukuran,outlier,iterasi) { Z<-read.table('Data1.txt') #pilih banyaknya variabel dengan menghilangkan (#) #tiga variabel Y<-Z #dua variabel #kombinasi 1: ph dan RI #Y<-cbind(Z[,1],Z[,]) #kombinsi : RI dan massa jenis #Y<-cbind(Z[,],Z[,3]) #kombinasi 3: ph dan massa jenis #Y<-cbind(Z[,1],Z[,3]) bersih<-caribersih(y,.97,.,.1) mu<-bersih[[1]] sig<-bersih[[]] S<-matrix(,p,p) Xbar<-rep(,p) Srmcd<-matrix(,p,p) Xrmcd<-rep(,p) BPA<- L.69

113 Srmcd7<-matrix(,p,p) Xrmcd7<-rep(,p) BPA7<- for(i in 1:iterasi) { i X<-data.sim1(shift,a,k,p,ukuran,outlier,mu,sig) BiasaI<-Biasa.I(X,.1)#(out,T[out],S,Xbar,UCLf) #BiasaI<-ppI.Biasa(X,.1) S<-(S+BiasaI[[3]]) Xbar<-(Xbar+BiasaI[[4]]) RMCDI<-RMCD.I(X,.97,.,.1)#(out,Trmcd[out],Srmcd,Xrmcd,UCL) RMCDI7<-RMCD.I(X,.97,.7,.1)#(out,Trmcd[out],Srmcd,Xrmcd,UCL) #RMCDI<-ppI.RMCD(X,.97,.,.1) #RMCDI7<-ppI.RMCD(X,.97,.7,.1) Srmcd<-(Srmcd+RMCDI[[3]]) Xrmcd<-(Xrmcd+RMCDI[[4]]) BPA<-(BPA+RMCDI[[]]) Srmcd7<-(Srmcd7+RMCDI7[[3]]) Xrmcd7<-(Xrmcd7+RMCDI7[[4]]) BPA7<-(BPA7+RMCDI7[[]]) } S<-S/iterasi Xbar<-Xbar/iterasi Srmcd<-Srmcd/iterasi Xrmcd<-Xrmcd/iterasi BPA<-BPA/iterasi Srmcd7<-Srmcd7/iterasi Xrmcd7<-Xrmcd7/iterasi BPA7<-BPA7/iterasi shift<-seq(,3,by=.) #k<-c(1,seq(,3,by=)) prob<-rep(,length(shift)) prob<-rep(,length(shift)) prob7<-rep(,length(shift)) for (i in 1:length(shift)) { pb<-rep(,iterasi) pb<-rep(,iterasi) pb7<-rep(,iterasi) for(j in 1:iterasi) { M<-data.Ia(shift[i],a,1,p,ukuran,mu,sig) BiasaII<-Biasa.II(M,Xbar,S,.1)#(length(out),out,T[out],UCLf) RMCDII<- RMCD.II(M,Srmcd,Xrmcd,BPA)#(length(out),out,Trmcd[out],BPA) L.7

114 RMCDII7<- RMCD.II(M,Srmcd7,Xrmcd7,BPA7)#(length(out),out,Trmcd[out],BPA) pb[j]<-biasaii[[1]]/ukuran pb[j]<-rmcdii[[1]]/ukuran pb7[j]<-rmcdii7[[1]]/ukuran } prob[i]<-mean(pb) prob[i]<-mean(pb) prob7[i]<-mean(pb7) } #memetakan probabilitas biasa, RMCD dan RMCD7 plot(shift,prob,xlab="pergeseran",ylab="probabilitas signal",ylim=c(,1),type="b",col="blue",pch=) par(new=true) plot(shift,prob,xlab="pergeseran",ylab="probabilitas signal",ylim=c(,1),type="b",col="red",pch=18) par(new=true) plot(shift,prob7,xlab="pergeseran",ylab="probabilitas signal",ylim=c(,1),type="b",col="darkgreen",pch=8) } #cara menjalankan program simulasi iterasi<-1 a<-1 #bebas outlier shift<- k<-1 outlier<- windows() sim1(shift,a,k,3,,outlier,iterasi) windows() sim1(shift,a,k,3,1,outlier,iterasi) #pergeseran. sampai 3 #shift outlier (shift diubah) #scale outlier (scale diubah) #radial outlier (shift dan k diubah) outlier<-seq(.1,.3,by=.1) shift<-3 k<- for(i in 1:length(outlier)) { windows() sim1(shift,a,k,3,,outlier[i],iterasi) windows() sim1(shift,a,k,3,1,outlier[i],iterasi) } L.71

115 L.7

116 L.73