PERBANDINGAN METODE HOTELLING, MVE DAN WD DALAM PENDETEKSIAN PENCILAN PADA GRAFIK KENDALI ROBUST PEUBAH GANDA ADI PRANATA

Transkripsi

1 PERBANDINGAN METODE HOTELLING, MVE DAN WD DALAM PENDETEKSIAN PENCILAN PADA GRAFIK KENDALI ROBUST PEUBAH GANDA ADI PRANATA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 017

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode Hotelling, MVE dan WD dalam Pendeteksian pada Grafik Kendali Robust Peubah Ganda adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Januari 017 Adi Pranata G * pelimpahan hak cipta atas karya tulis dari penelitian kerjasama dengan pihak luar IPB harus didasarkan pada perjanjian kerjasama yang terkait

4 RINGKASAN ADI PRANATA. Perbandingan Metode Hotelling, MVE dan WD dalam Pendeteksian pada Grafik Kendali Robust Peubah Ganda. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan ERFIANI. Pengendalian kualitas merupakan metode yang digunakan untuk memonitor kualitas produk dan mendeteksi permasalahan yang terjadi pada proses produksi.. Alat bantu yang digunakan dalam pengendalian kualitas adalah grafik kendali. Berdasarkan karakteristik yang diamati, grafik kendali dibedakan menjadi grafik kendali peubah tunggal dan peubah ganda. Salah satu grafik peubah ganda yang sering digunakan adala grafik kendali T Hotelling. Namun grafik tersebut memiliki kelemahan yaitu tidak sensitif terhadap pencilan. Permasalahan tersebut dapat diatasi dengan cara menggunakan grafik kendali robust dalam mendeteksi pencilan. Dalam penelitian ini, dilakukan perbandingan grafik kendali robust untuk mendeteksi pencilan pada data dengan karakteristik yang salig berkorelasi maupun tidak berkorelasi. Grafik kendali tersebut adalah Minimum Vollume Ellipsoid (MVE) dan Weighted Mean Vector and Mean Square Successive (WD). Metode tersebut dianggap sebagai metode yang paling sensitif dalam mendeteksi pencilan. Parameter perbandingan grafik kendali yang digunakan adalah signal probability. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa grafik MVE merupakan grafik kendali yang robust terhadap pencilan dan tepat diterapkan pada data yang tidak berkorelasi sedangkan pada data berkorelasi, grafik WD merupakan grafik yang tepat diterapkan. Sensitifitas grafik kendali robust peubah ganda baik pada data yang berkorelasi maupun tidak berkorelasi, dipengaruhi oleh banyaknya karakteristik, proporsi pencilan serta hubungan antar karakteristik Kata kunci : grafik kendali peubah ganda, pencilan, robust, signal probability.

5 SUMMARY ADI PRANATA. Comparison of Hotelling, MVE and WD Method for Detecting Outlier in Robust Multivariate Control Chart. Supervised by KUSMAN SADIK dan ERFIANI. Quality control is a method used to monitor the product quality and detect problems happened during production process. Tool used in controlling quality is control charts. Based on the characteristics, control charts are differentiated into univariate control chart and multivariate control chart. One of common used multivariate control chart is T Hotelling chart but is not sensitive with outlier. This problem can be overcome by robust control chart to detect outliers. This study compares MVE method with WD method, considering that both methods are applied for outlier data in correlated or uncorrelated data by comparing signal probability of each method. Both methods are known best applicable to detect outliers. The result showed that MVE chart is the best control chart applied in uncorrelated data and WD chart is most sensitive to detect outlier in correlated data. Control chart sensitivity is affected by number characteristics, outlier proportion and ype of data. Keywords : multivariate control chart, outliers, robust, signal probability.

6 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 017 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

7 PERBANDINGAN METODE HOTELLING, MVE DAN WD DALAM PENDETEKSIAN PENCILAN PADA GRAFIK KENDALI ROBUST PEUBAH GANDA ADI PRANATA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 017

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Farit M. Afendi, MSi

9 Judul Tesis : Perbandingan Grafik Kendali Hotelling, MVE dan WD dalam Pendeteksian pada Grafik Kendali Robust Peubah Ganda Nama : Adi Pranata NIM : G Disetujui oleh Komisi Pembimbing Dr Kusman Sadik, MSi Ketua Dr Ir Erfiani, MSi Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana Dr Ir I Made Sumertajaya, MS Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr Tanggal Ujian : Oktober 016 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan proposal penelitian yang berjudul Perbandingan Metode Hotelling, MVE dan WD dalam Pendeteksian pada Grafik Kendali Robust Peubah Ganda. Keberhasilan penulisan proposal ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan petunjuk dari berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, M.Si dan Ibu Dr Ir Erfiani, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak memberi bimbingan, arahan, serta saran kepada penulis. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan sebesar-besarnya kepada seluruh Dosen Departemen Statistika IPB yang telah mengasuh dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan studi, serta seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan, pelayanan, dan kerjasamanya selama ini. Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga penulis ucapkan kepada Ayah Djuwari, Ibu Suciati tercinta yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang, Agus Hari Hadi, Sri Astuti, Thisya dan Angen yang selalu memberikan doa dan semangatnya kepada penulis. Tidak lupa, penulis ucapakan terima kasih kepada teman-teman Statistika 013 atas bantuan dan kebersamaannya selama ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Bogor, Januari 017 Adi Pranata

11 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Pengendalian Kualitas Peubah Ganda Grafik Kendali T Hotelling 4 Grafik Kendali T Minimum Volume Ellipsoid (MVE) 6 Grafik Kendali T Weighted Mean Vector and Successive Differences (WD) 7 Pengujian Normal Peubah Ganda 10 Penentuan Batas Kendali 11 Perbandingan Kinerja Grafik Kendali 1 Mendeteksi 1 3 METODE PENELITIAN 13 Data 13 Metode Analisis 14 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 16 Mendeteksi 16 Pengujian Normal Peubah Ganda 17 Penentuan Batas Kendali 18 Perbandingan Kinerja Grafik Kendali 19 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran 3 DAFTAR PUSTAKA 4 LAMPIRAN 5 RIWAYAT HIDUP 35 vi vi vi

12 DAFTAR TABEL 1 Rancangan Simulasi Perbandingan Kinerja Grafik Kendali 14 Hasil Pendeteksian pada Beberapa Rancangan Simulasi 17 3 Hasil Uji Normal Peubah Ganda pada Beberapa Rancangan Simulasi 18 4 Hasil Simulasi Batas Kendali dengan Karakteristik Tidak Berkorelasi dan korelasi 18 5 Signal Probability Grafik Kendali WD, MVE dan Hotelling Data Tidak Berkorelasi 19 6 Signal Probability Grafik Kendali WD, MVE dan Hotelling Data Berkorelasi 1 DAFTAR GAMBAR 1 Diagram Alir Penelitian 16 Perbandingan Signal Probability Data Tidak Berkorelasi p=3 Proporsi =5%, p=3 Proporsi =10%, p=5 Proporsi =5% dan p=5 Proporsi 10% 0 3 Perbandingan Signal Probability Data Berkorelasi p=3 Proporsi =5%, p=3 Proporsi =10%, p=5 Proporsi =5% dan p=5 Proporsi =10% 1 DAFTAR LAMPIRAN 1 Hasil Uji Pendeteksian 5 Hasil Pendeteksian pada Beberapa Rancangan Simulasi 7 3 Hasil Uji Normal Peubah Ganda 34

13 1 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Pengendalian kualitas merupakan metode yang digunakan untuk memonitor kualitas produk dan mendeteksi permasalahan yang terjadi pada proses produksi. Pada proses produksi yang sama, suatu produk diharapkan memiliki karakteristik sedekat mungkin dengan produk lain atau ragam antar produk kecil. Pada kenyataan, dihasilkan produk yang berbeda antara satu dengan yang lain. Apabila pengendalian kualitas diterapkan dengan baik maka penyebab keragaman dalam proses produksi dapat diketahui sehingga dapat segera diperbaiki untuk mendapatkan produk yang homogen serta proses yang terkendali. Alat bantu yang digunakan dalam pengendalian kualitas adalah grafik kendali. Penerapan grafik kendali pada proses produksi bertujuan untuk memonitor keragaman suatu produk dengan cepat. Menurut skala pengukuran data, grafik kendali dibedakan menjadi grafik kendali atribut dan variabel. Menurut Montgomery (013), grafik kendali atribut merupakan grafik kendali yang digunakan pada karakteristik dengan data skala nominal dan ordinal sedangkan grafik kendali variabel digunakan untuk memonitor karakteristik dengan skala interval dan rasio. Grafik kendali variabel dapat diterapkan pada data peubah tunggal maupun peubah ganda. Grafik kendali peubah tunggal merupakan grafik kendali yang hanya mempertimbangkan satu karakteristik untuk diamati. Grafik kendali peubah ganda merupakan grafik kendali yang digunakan untuk mengamati beberapa karakteristik secara bersamaan terhadap suatu produk (Pan dan Chen 011). Salah satu grafik kendali peubah ganda yang umum digunakan adalah grafik kendali T Hotelling. Apabila grafik kendali T Hotelling dibandingkan dengan grafik kendali peubah ganda lain seperti grafik kendali MCUSUM maupun MEWMA, grafik kendali T Hotelling lebih mudah diterapkan karena memiliki prosedur perhitungan yang sederhana. Namun, grafik kendali T Hotelling memiliki kelemahan, menurut Chenouri et al (007) grafik kendali T Hotelling tidak sensitif mendeteksi pencilan. Menurut Abu-Shawiesh et al (014), pencilan dapat berdampak besar dalam pendugaan paramater sehingga menghasilkan proses yang tidak terkendali. Sullivan dan Woodall (000) dan Vargas (003) melakukan perubahan terhadap grafik kendali T Hotelling agar robust terhadap pencilan. Vargas (003) merekomendasikan pembentukan grafik kendali T dengan metode minimum volume ellipsoid (MVE). Metode MVE merupakan metode yang efektif dalam mendeteksi pencilan dengan cara membentuk suatu elipsoid terkecil yang dapat mencakup sebagian titik pengamatan. Namun, metode tersebut sulit diterapkan karena komputasi untuk mencari penduga titik tidak mudah serta prosedur perhitungan penduga titik tidak terjamin berasal dari data yang paling tepat. Pan dan Chen (011) memperkenalkan metode weighted mean vector and mean square successive differences (WD) sebagai salah satu metode yang robust terhadap munculnya beberapa permasalahan seperti terdapat pencilan maupun tren pada data. Metode tersebut merupakan metode yang menggabungkan antara metode successive differences dan MVE. Metode WD dianggap lebih mudah diterapkan dalam mendeteksi pencilan yaitu

14 dengan cara memboboti penduga rata-rata populasi dan memodifikasi perhitungan matrik variance-covariance. dapat muncul pada proses produksi yang mengamati beberapa karakteristik, baik muncul secara bersamaan, membentuk suatu pola tertentu maupun secara acak. Hal tersebut dapat mengganggu proses produksi karena pencilan dapat menyebabkan kesalahan pengambilan keputusan. Mengatasi hal tersebut diperlukan grafik kendali yang tepat untuk mendeteksi pencilan. Pada penelitian kali ini, mengambil topik membandingkan metode T Hotelling, MVE dan WD dan pada data dengan beberapa karakteritik yang saling berkorelasi maupun tidak. Penelitian ini diharapkan dapat memperoleh grafik kendali yang robust terhadap pencilan sehingga sensitif mendeteksi pencilan. Grafik T Hotelling digunakan sebagai dasar pembanding antara grafik kendali yang sensitif mendeteksi pencilan maupun tidak. Data simulasi digunakan agar data dibangun sesuai dengan tujuan penelitian Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah membandingkan sensitifitas grafik kendali robust peubah ganda T Hotelling, MVE dan WD dalam mendeteksi pencilan pada data dengan karakteristik yang saling berkorelasi maupun tidak. Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat bagi pengguna grafik kendali untuk menggunakan grafik kendali peubah ganda yang tepat apabila mengandung pencilan yang terjadi selama proses produksi. TINJAUAN PUSTAKA Pengendalian Kualitas Peubah Ganda Berdasarkan jumlah karakteristik kualitas yang diukur, grafik kendali dibedakan menjadi dua jenis, yaitu grafik kendali peubah tunggal dan ganda. Grafik kendali peubah tunggal merupakan grafik kendali yang berfungsi untuk memonitor pergerakan satu karakteristik kualitas sedangkan grafik kendali peubah ganda digunakan untuk memonitor dua atau lebih karakteristik kualitas secara bersamaan, baik yang saling berkorelasi maupun yang tidak berkorelasi (Pan dan Chen 011). Tujuan utama pembentukan grafik kendali, baik pada peubah tunggal maupun ganda adalah untuk mendeteksi kemunculan akibat keragaman produksi, seperti pergerakan rata-rata produksi, pencilan, maupun kasus lain yang menyebabkan suatu proses produksi tidak terkendali (Abu-Shawiesh et al 014). Sama seperti grafik kendali peubah tunggal yang berlandaskan pada distribusi normal, grafik kendali peubah ganda dibentuk dengan mengasumsikan bahwa data produksi menyebar normal peubah ganda, dapat dinotasikan:

15 3 X ~N p (μ, Σ) Keterangan: X = matrik hasil pengamatan produksi yang berukuran (m x p) m = banyaknya titik pengamatan p = banyaknya karakteristik yang diukur μ = vektor rata-rata populasi, berukuran (p x 1) Σ = matrik variance-covariance yang berukuran (p x p) Hasil pengamatan produksi pada karakteristik ke-p dan amatan ke-m dinotasikan dalam x jk, ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut: X = [ x 11 x 1 x m1 x 1 x x p x 1p x p ] x mp μ 1 μ μ = [ ] μ p Σ = [ σ 11 σ 1 σ 1p σ 1 σ σ p σ 1p σ p ] σ pp Rumus yang digunakan dalam pembentukan grafik kendali mengacu pada distribusi normal peubah ganda, yaitu menggunakan vektor rata-rata dan matrik variance-covariance. Begitu pula dengan pembentukan batas kendali yang didasarkan pada pembentukan selang kepercayaan. Luasan daerah yang dibatasi oleh batas kendali 3σ sebesar 99.7% sedangkan σ sebesar 95%. Pada pengendalian kualitas, proses pengendalian kualitas dibedakan menjadi fase, yaitu Fase I dan Fase II. Fase I merupakan fase pembentukan grafik kendali beserta batas kendali menggunakan data masa lampau sedangkan Fase II merupakan fase memonitor proses produksi dengan menggunakan batas kendali yang telah dibentuk pada Fase I (Chenouri et al 007). Pembentukan grafik kendali pada Fase I mengasumsikan bahwa data berasal dari proses yang terkendali. Suatu proses produksi dikatakan terkendali apabila menghasilkan suatu kualitas produk yang memiliki spesifikasi sedekat mungkin dengan produk lain atau homogen dan hanya mengandung galat yang bersifat acak. Apabila pada Fase I pembentukan grafik kendali berasal dari data produksi yang tidak terkendali, maka dilakukan dengan pendeteksian penyebab proses produksi tidak terkendali, menghilangkan titik pengamatan yang menyebabkan proses produksi tidak terkendali, kemudian membangun kembali grafik kendali. Rangkaian proses tersebut dapat mengakibatkan batas kendali berubah serta mengurangi keakuratan dalam mendeteksi perubahan proses produksi yang dilakukan pada Fase II (Chenouri et al 007). Salah satu penyebab proses tidak terkendali pada Fase I adalah munculnya pencilan, sehingga dapat dikatakan bahwa

16 4 Fase I merupakan fase untuk mendeteksi pencilan pada peubah ganda, mengenali akar permasalahan dan memperbaiki sumber data (Mohammadi et al 010). Salah satu cara untuk mengatasi pelanggaran asumsi pada Fase I adalah dengan menerapkan pengendalian kualitas yang robust. Pengendalian kualitas yang robust merupakan suatu metode yang mengakomodasi adanya keanehan data, mengidentifikasi pencilan dan juga secara otomatis menanggulangi pencilan yang berpengaruh terhadap proses pengendalian kualitas, salah satunya saat membentuk grafik kendali. Suatu grafik kendali dikatakan robust apabila batas kendali tidak terpengaruh oleh perubahan kecil maupun besar dari suatu titik pengamatan sehingga dapat dijadikan dasar keputusan dalam strategi perbaikan yang dilakukan. Apabila grafik kendali tidak sensitif, terdapat kemungkinan bahwa terdapat pencilan yang tidak terdeteksi. Hal tersebut berdampak pada kesalahan pengambilan keputusan pada tindakan perbaikan dan proses produksi tidak terkendali. Grafik Kendali T Hotelling Grafik kendali T Hotelling pertama kali diperkenalkan oleh Harold Hotelling. Konsep dasar grafik kendali ini adalah untuk memantau proses produksi pada beberapa karakteristik, baik yang berkorelasi maupun tidak. Grafik kendali T Hotelling diformulasikan berdasarkan statistik uji t yang digeneralisir. Misal X mengikuti sebaran N p (μ, Σ) dengan elemen matriks X adalah x jk, maka titik T dari observasi tunggal (n=1), adalah: T j = [x j x ] S 1 [x j x ] (1) Struktur data dinotasikan sebagai berikut: x 1 x x = [ ] x p S = [ S 11 S 1 S 1p S 1 S S p S 1p S p ] S pp dengan m x k = 1 m x jk j=1 ()

17 5 S ik = m 1 (m 1) (x ji x i)(x jk x k) j=1 (3) merupakan penduga vektor rata-rata dan matrik variance-covariance yang diperoleh dari metode maximum likelihood estimator (MLE). Keterangan: T j x j = titik T pada pengamatan ke-j, j = 1,,, m = vektor pengamatan ke-j, j = 1,,, m x = vektor rata-rata contoh S = matrik variance-covariance contoh x jk = pengamatan pada karakteristik ke-k dan amatan ke-j, k = 1,,, p; j = 1,,, m x k = rata-rata karakteristik ke-k, k = 1,,, p S ik = kovarian antara karakteristik ke-i dan ke-k, i = 1,,, p; k = 1,,, p dan i k, apabila i=k maka disebut dengan ragam m = banyaknya titik pengamatan p = banyaknya karakteristik yang diamati Beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk mendapatkan titik T Hotelling antara lain: 1. Data pada pengamatan tunggal dipastikan menyebar normal dengan melakukan pengujian normalitas.. Rata-rata tiap karakteristik yang diamati dan matrik variance-covariance contoh dihitung sebagai dasar perhitungan titik T Hotelling. Kelebihan dari grafik ini adalah memonitor beberapa karakteristik dengan cepat dan mudah diterapkan, namun tidak robust terhadap pencilan. Artinya apabila terdapat nilai yang menyimpang jauh dari pengamatan, rata-rata contoh tersebut bias. Demikian pula dengan matrik variance-covariance yang dihasilkan, Hubert dan Engelen (007) menjelaskan bahwa pencilan berdampak signifikan terhadap matrik variance-covariance dan penduga paramater yang ingin dihasilkan pada proses produksi. Oleh karena itu, penduga matrik variance-covariance yang robust terhadap pencilan dibutuhkan untuk menghasilkan penduga yang tidak bias dan konsisten. Salah satu strategi yang dilakukan untuk mengatasi data pencilan pada kasus peubah tunggal adalah dengan mensubstitusi rata-rata contoh dan simpangan baku dengan median dan median absolute deviation yang lebih robust terhadap pencilan. Sedangkan pada kasus peubah ganda, penanganan data pencilan dilakukan dengan cara mengganti penduga lokasi dan skala dengan penduga yang lebih robust terhadap pencilan (Abu-Shawiesh et al 014).

18 6 Grafik Kendali T Minimum Volume Ellipsoid (MVE) MVE diperkenalkan oleh Vargas (003) merupakan salah satu metode yang digunakan dalam membentuk grafik kendali peubah ganda yang robust. Konsep dasar MVE adalah mencari volume ellipsoid yang terkecil dan mampu menjangkau paling tidak setengah dari m titik pengamatan. Perhitungan titik T MVE adalah sebagai berikut: T MVE,j = [x j x MVE ] S 1 MVE [x j x MVE ] (4) Struktur data dinotasikan sebagai berikut: x MVE 1 x MVE x MVE = [ ] x MVE p S MVE = [ S 11 S 1 S 1p S 1 S S p S 1p S p ] S pp dengan Keterangan: x MVE,k = 1 m m j=1 w j j=1 w j x jk 1 S MVE,ik = m w w j 1 j (x ik j=1 m j=1 (5) x MVE,i)(x jk x MVE,j) (6) T MVE,j x j x MVE S MVE x jk = titik T pada pengamatan ke-j, j = 1,,, m = vektor pengamatan ke-j, j = 1,,, m = vektor rata-rata contoh untuk grafik MVE = matrik variance-covariance contoh untuk grafik MVE = pengamatan pada karakteristik ke-k dan amatan ke-j, k = 1,,, p; j = 1,,, m x MVE,k = rata-rata karakteristik ke-k, k = 1,,, p S MVE,ik = kovarian antara karakteristik ke-i dan ke-k, i = 1,,, p; k = 1,,, p dan i k, apabila i=k maka disebut dengan ragam m p w j = banyaknya titik pengamatan = banyaknya karakteristik yang diamati = pembobot ke-j= { 1, RD(x j) χ p, , lainnya

19 7 RD(x j ) = [x j x u] S u 1 [ x j x u], dengan j = 1,, m u = p + 1 diperkenalkan oleh Rousseeuw dan Zomeren (1990) m + p + 1 h = diperkenalkan oleh Rousseeuw dan Zomeren (1990) x u = vektor rata-rata dari u titik pengamatan = matrik variance-covariance dari u titik pengamatan S u Beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk mendapatkan titik T MVE adalah: 1. Memilih secara acak sejumlah u titik pengamatan dari m titik pengamatan dan menghitung nilai RD(x j ) dan memilih urutan nilai RD(x j ) yang ke h (m j ).. Menghitung nilai V j = m j determinan S u. 3. Mengulangi langkah 1 dan hingga ditemukan nilai V j yang paling minimum 4. Menghitung titik T MVE dari data dengan V j minimum. Menurut Pan dan Chen (011) metode MVE dapat mendeteksi pencilan dengan baik, namun komputasi metode tersebut sulit dilakukan dan sejumlah titik u yang terpilih tidak menjamin berasal dari proses yang terkendali. Grafik Kendali T Weighted Mean Vector and Mean Square Successive Differences (WD) Pan dan Chen (011) memperkenalkan metode baru yang dapat menyederhanakan komputasi metode MVE. Metode tersebut adalah Weighted Mean Vector and Mean Square Successive Differences (WD). Berikut titik T WD: T WD = [x j x WD ] S 1 WD [x j x WD ], (7) Struktur data dinotasikan sebagai berikut: x WD 1 x WD x WD = [ ] x WD p S WD = [ S 11 S 1 S 1p S 1 S S p S 1p S p ] S pp dengan x WD,k = 1 m m j=1 W j j=1 W j x jk (8)

20 8 1 S WD = m W W j [x j x j 1 ][x j x j 1 ] (9) j j= S WD didapatkan dari perkalian matrik successive differences Keterangan: T WD,j = titik T untuk pengamatan ke-j, j = 1,,, m x j = vektor titik pengamatan ke-j dengan j = 1,, m x WD = vektor rata-rata contoh S WD = matrik variance-covariance contoh x WD,k = rata-rata karakteristik ke-k, k = 1,,, p m = banyaknya titik pengamatan p = banyaknya karakteristik yang diamati W j = pembobot = { 1, T J m 1 (m 1) Beta (0.975; p 0, lainnya f p 1, ) Sebelum mendapatkan titik pengamatan berdasarkan metode WD perlu didefinisikan beberapa rumus sebagai berikut: 1. Membentuk pengamatan yang berbeda dengan mengambil subsampel dengan anggota tiap subsampel sebesar p + 1 secara acak dan diberi index J = (j 1, j,, j p+1 ), j =,, m.. Dari subsampel tersebut dihitung vektor rata-rata contoh dan matrik mean square successive difference sebagai berikut: x J 1 x J x J = [ ] x J p p+1 x J k = 1 p + 1 x jk j=1 (10) S D,J = 1 (p + 1) [x j x j 1 ][x j x j 1 ] (11) S D,J merupakan matrik definit positif untuk setiap J sehingga dapat digunakan untuk mencari jarak elipsoid yang sesuai dan dapat digunakan untuk menghitung jarak sesuai dengan rumus: T J,j = [x j x J] S 1 D,J [x j x J], j = 1,,, m. (1) dan mencari nilai V j = (det[t J,(h) S D,J ])

21 9 Keterangan: T J,(h) h det [T J,(h) S D,J ] = orde statistik ke-h dari T J,j = nilai integer dari (m+p+1) = determinan dari matrik [T J,(h) S D,J ] 3. Mengulangi langkah 1 dan sebanyak min(c m 1 p+1, 1500). Ulangan sebanyak 1500 sesuai dengan ketentuan Rousseeuw dan Leroy. 4. Amati subsampel ke-j pada saat V j merupakan nilai minimum. Data subsampel tersebut digunakan untuk menghitung nilai x J dan T J,(h) yang merupakan penduga lokasi dan dispersi, sehingga [x j x J] [(T J,(h) S D,J )] [x j x J] dapat ditulis δ = z Az. A = [(T J,(h) S D,J )] 1 merupakan matrik simetris dan positif sedangkan z = (x j x J). Volume dari elipsoid proposional terhadap [det(a)] 1/ sehingga volume elipsoid tersebut berhubungan dengan [(T J,(h) S D,J )] 1 yang proporsional terhadap V j dengan karakteristik p. 5. Penduga µ dan Σ berdasarkan data contoh adalah: x J 1 x J x J = [ ] x J p x J = 1 p + 1 x jk jεj S J = c m,ps D,J T J,(h) m(m 1) (Beta (0.5; p 1 f p 1, )) (13) (14) Keterangan: c m,p = ( m p ) merupakan faktor koreksi f = (m 1), diperkenalkan oleh Scoholz dan Tosch tahun m 4 Beta(0.5; d 1 ; d ) = persentil ke-50 dari distribusi beta dengan parameter d 1 & d Titik inisial T dapat dirumuskan sebagai berikut T J,j = [x j x J ] S 1 J [x j x J ], j = 1,,, m. (15)

22 10 Titik inisial tersebut digunakan sebagai dasar penentuan pemberian bobot dengan kondisi debagai berikut: W j = pembobot = { 1, T J m 1 (m 1) Beta (0.975; p 0, lainnya f p 1, ) Bobot tersebut kemudian digunakan untuk mencari titik sesuai dengan rumus (7). Menurut Pan dan Chen (011), kelebihan metode ini adalah lebih sensitif mendeteksi pencilan baik yang bersifat acak maupun tidak dengan komputasi yang lebih mudah dengan memboboti penduga rata-rata populasi dan memodifikasi perhitungan matrik variance-covariance. Pengujian Normal Peubah Ganda Pengujian normal peubah ganda dilakukan untuk memastikan data menyebar normal peubah ganda. Salah satu metode pengujian normal peubah ganda adalah Uji Henze-Zirkler (HZ). Uji tersebut diterapkan berdasarkan pada nilai jarak nonnegatif fungsi yang mengukur jarak antar dua fungsi distribusi dengan hipotesis sebagai berikut (Korkmaz et al 015): H 0 = Data berdistribusi normal peubah ganda H 1 = Data tidak berdistribusi normal peubah ganda Jika H 0 benar, maka statistik uji HZ mengikuti sebaran Lognormal dengan parameter μ dan σ. Statistik uji HZ adalah p m HZ = 1 m e β D ij (1 + β ) p Keterangan: p m i=1 j=1 p e i=1 β (1+β ) D ij + m(1 + β ) p ~LN(μ, σ ) i = 1,,.. p j = 1,,, m (16) = banyaknya karakteristik yang diamati = banyaknya pengamatan β = koefisien smoothing = 1 (m(p+1) ) 4 D ij = (x i x j ) S 1 (x i x j ) = (x i x ) S 1 (x i x ) D i p 1 p+4 μ = 1 a (1 + pβ a + (p(p + )β 4 ) a σ = (1 + 4β ) p + a p (1 + pβ 4 ) 3p(p + )β8 a + 4a 4 4ω p β (1 + 3pβ4 p(p + )β8 + ω ) β ω β

23 11 a = 1 + β ω β = (1 + β ) + (1 + 4β ) Sehingga rata-rata dan ragam Lognormal dari statistik uji HZ dapat didefinisikan sebagai berikut: μ4 log(μ) = log ( σ + μ ) log(σ ) = log ( σ + μ σ ) dengan menggunakan parameter distribusi Lognormal, dapat dicari signifikansi dari pengujian normal peubah ganda. Parameter tersebut digunakan untuk mencari titik kritis pengujian normal peubah ganda. Suatu data dikatakan menyebar normal peubah ganda apabila Statistik uji HZ lebih kecil dibanding nilai LN(μ, σ ) atau nilai p > α (0.05) (Svantesson dan Wallace 010). Penentuan Batas Kendali Sebelum melakukan perbandingan kinerja grafik kendali, perlu dibentuk batas kendali. Batas kendali (c α ) dengan peluang suatu titik pengamatan grafik kendali sebesar α dinotasikan sebagai berikut: 1 α = p ( max 1 j m T j c α μ = 0) (17) Menurut Jensen et al (007) titik titik pengamatan sebagai hasil perhitungan metode MVE merupakan titik yang asimtotis sehingga diperlukan simulasi untuk membentuk batas kendali pada Fase I. Sebagai akibat titik T, T MVE dan T WD, merupakan penduga yang bersifat invariance atau tidak mengalami perubahan akibat transformasi maupun perubahan susunan, maka μ dan Σ pada proses yang terkendali diasumsikan secara berturut-turut bernilai 0 dan Σ a merupakan matrik identitas untuk karakteristik saling independen atau Σ b merupakan matrik variancecovariance untuk karakteristik saling berkorelasi Pembentukan batas kendali dilakukan dengan simulasi sesuai prosedur sebagai berikut: 1. Membangkitkan data sebanyak m titik pengamatan yang berdistribusi normal peubah ganda (N p (0, Σ)).. Menghitung statistik T j, j = 1,,, m dan memilih nilai maksimum (T (m) ) pada tiap metode kemudian diulang sebanyak n kali, sehingga terdapat n buah T (m). 3. Batas kendali merupakan persentil ke (1 α) dari n buah T (m) pada tiap metode. Hasil simulasi Pan dan Chen pada tahun 011 dengan nilai α = 0.05, menunjukkan bahwa semakin besar jumlah amatan (m) maka akan meningkatkan batas kendali T Hotelling dan menurunkan batas kendali dari T MVE. Sedangkan batas kendali dari grafik T Hotelling dan WD dipengaruhi oleh banyak pengamatan dan karakteristik.

24 1 Perbandingan Kinerja Grafik Kendali Perbandingan kinerja grafik kendali melibatkan kombinasi antara banyaknya karakteristik (p), banyaknya pengamatan (m) dan banyaknya pencilan (k). Dari m pengamatan, terdapat k titik yang merupakan pencilan yang dibangkitkan dari proses yang tidak terkendali sedangkan sebanyak m-k pengamatan yang dibangkitkan dari proses terkendali. Proses terkendali merupakan proses dimana semua titik berada dibawah batas kendali dan diasumsikan menyebar normal peubah ganda dengan μ 0 = (0, 0,,0) dan Σ a merupakan matrik identitas untuk karakteristik saling independen atau Σ b merupakan matrik variance-covariance untuk karakteristik saling berkorelasi. Sedangkan proses tidak terkendali diasumsikan menyebar normal peubah ganda dengan matrik variance-covariance yang sama namun vektor rata-rata bergerak beberapa nilai. Nilai tersebut bergantung pada nilai parameter non-central, dengan rumus: λ = (μ 1 μ 0 ) Σ 1 (μ 1 μ 0 ) μ 0 = (0, 0,,0) μ 1 = (λ, 0,, 0) μ 1 merupakan vektor perubahan rata-rata. Suatu grafik kendali dikatakan sensitif terhadap pencilan apabila mampu mendeteksi pencilan namun parameternya tidak berubah. Sensitifitas grafik kendali ditunjukkan oleh signal probability sehingga perbandingan kinerja grafik kendali dapat dilakukan menggunakan signal probability. Signal probability merupakan peluang mendeteksi sinyal adanya proses yang tidak terkendali. Peluang tersebut dirumuskan sebagai berikut: Keterangan: Y i n r i = 1,, n r (18) Y i = banyaknya titik keluar dari batas kendali (T >c α ) n r = banyaknya titik pengamatan Signal probability bergantung pada nilai parameter non-central λ. Semakin besar nilai parameter non-central maka signal probability akan meningkat. Sebaliknya apabila nilai parameter non-central meningkat namun signal probability semakin turun menunjukkan bahwa metode tersebut tidak dapat mendeteksi pencilan (Jensen et al 007). Mendeteksi merupakan suatu titik pengamatan yang menyimpang jauh dibanding dengan pengamatan yang lain dan dapat muncul baik secara acak maupun dengan pola tertentu. Menurut penelitian Pan dan Chen (011), proporsi

25 13 pencilan sebesar 5% dan 10% dari banyaknya pengamatan dinilai merupakan kondisi optimal untuk memperlihatkan kinerja grafik kendali. dapat dideteksi dengan membandingkan titik pengamatan yang satu dengan yang lain dengan suatu pengujian tertentu. Mendeteksi pencilan pada kasus peubah ganda dapat menggunakan jarak Mahalanobis, dengan hipotesis sebagai berikut: H 0 = Titik bukan merupakan pencilan H 1 = Titik merupakan pencilan Statistik uji Mahalanobis dapat ditulis sebagai berikut (Zurich Institute, 010): MD j = (x j x ) S 1 ( x j x ) (19) Suatu titik dikatakan sebagai pencilan apabila MD > Q Keterangan: x j = vektor pengamatan ke-j dengan j = 1,, m x = vektor rata-rata contoh S = matrik variance-covariance contoh Q = Kuantil ke 97.5 dari distribusi chi s square dengan derajat bebas p (χ p ) Sebelum melakukan proses pengendalian kualitas peubah ganda, dilakukan pendeteksian pencilan terhadap data hasil pengamatan. Suatu titik pengamatan dikatakan sebagai pencilan apabila jarak mahalanobis dari data peubah ganda tersebut lebih dari nilai kuantil distribusi chi s square dengan derajat bebas p atau banyaknya karakteristik yang diamati. 3 METODE PENELITIAN Data Data dalam penelitian ini adalah data simulasi. Data simulasi merupakan data bangkitan dengan banyaknya pengamatan (m) dengan tipe data numerik yang ditinjau dari beberapa aspek yaitu banyaknya karakteristik yang diamati (p) dan proporsi pencilan. Data simulasi yang digunakan merupakan hasil pembangkitan bilangan acak normal peubah ganda N p (μ, Σ a ) dengan Σ a adalah matrik identitas untuk karakteristik saling independen serta N p (μ, Σ b ) dengan Σ b adalah matrik variance-covariance untuk karakteristik saling berkorelasi dengan elemen non diagonal merupakan hasil perhitungan antara korelasi dengan simpangan baku setiap karakteristik. Besar simpangan baku yang dipilih untuk setiap karakteristik adalah 1. Korelasi antar karakteristik merupakan korelasi kuat berdasarkan kategori Colton (1974) dan arah korelasi adalah positif. Besaran koefisien korelasi Pearson yang digunakan dalam penelitian yaitu 0.95, untuk mengetahui efek korelasi antar

26 14 karakteristik terhadap sensitifitas grafik kendali. nya karakteristik yang diamati (p) dalam penelitian ini sebanyak 3 dan 5 dikarenakan pada penelitian metode MVE sebelumnya, metode MVE menghasilkan penduga yang optimal saat p > dan akan mengalami kerumitan dalam pendugaan apabila p besar. (Vargas 003). Proporsi pencilan yang digunakan dalam penelitian kali ini adalah sebesar 5% dan 10% artinya bahwa terdapat 5% atau 10% dari banyaknya pengamatan menyimpang dari sebagian besar titik pengamatan yang lain. Penelitian oleh Pan dan Chen (011) menunjukkan bahwa pada saat proporsi pencilan dibawah 0%, grafik kendali berdasarkan metode WD masih mampu mendeteksi adanya pencilan, namun pada saat proporsi 0% metode WD tidak sensitif terhadap pencilan dengan menunjukkan penurunan nilai signal probability, sehingga proporsi pencilan yang digunakan sebesar 5% dan 10%. Letak pencilan pada penelitian ini tersebar secara acak. nya pengamatan sebanyak 50 dipilih berdasarkan hasil penelitian oleh Rousseeuw dan Zomeren (1990) yang merekomendasikan penerapan MVE ketika m > 5, dengan mempertimbangkan pula faktor lain yang mempengaruhi kinerja p grafik kendali seperti, banyaknya pengamatan dan karakteristik yang diamati. Pada pembentukan grafik kendali, peluang suatu titik lebih besar dibanding batas kendali (α) yang digunakan sebesar 0.05 dan pada perbandingan kinerja grafik kendali ditetapkan nilai parameter non-central adalah λ = 5, 10, 15, 0. Nilai parameter non-central dipilih secara bertahap agar dapat diketahui perubahan signal probability tiap metode dari perubahan yang kecil (λ = 5) hingga perubahan besar(λ = 0). Tabel 1 Rancangan simulasi perbandingan kinerja grafik kendali m p Parameter non-central (λ ) Proporsi pencilan Korelasi 50 3, 5 5, 10, 15, 0 5%, 10% 0, 0.95 Simulasi yang dilakukan diulang hingga 100 kali. Metode Analisis Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membangkitkan data yang menyebar normal peubah ganda N p (μ, Σ a ) dan N p (μ, Σ b ) dengan aspek simulasi yaitu banyaknya karakteristik (p) yang diamati sebanyak 3 dan 5 karakteristik dan banyaknya titik pengamatan (m) = 50. Proporsi pencilan yang diberikan adalah 5% dan 10% sehingga terdapat 8 set data. Langkah-langkah penyiapan data adalah sebagai berikut: 1.1. Membangkitkan data yang menyebar normal peubah ganda dengan μ 0 = [ 0, 0,..0] dan matrik variance-covariance untuk setiap p adalah Σ a = [ 0 1 0] atau Σ b = [ ]

27 15 Σ a = [ ] atau Σ b = [ ] 1.. Mengganti 5% dan 10% data bangkitan hasil langkah 1.1 secara acak dengan nilai yang bergerak dari μ 0 bergerak ke μ 1, pergerakan tersebut sesuai dengan nilai λ yang telah ditetapkan.. Membuktikan terdapat pencilan pada data hasil langkah 1 sesuai dengan proporsi menggunakan jarak Mahalanobis. 3. Menghitung titik titik pengamatan sesuai dengan metode Hotelling, MVE dan WD. 4. Menghitung banyaknya titik pengamatan yang keluar dari batas kendali pada setiap metode. Tahapan ini dilakukan untuk menghitung signal probability dari tiap grafik kendali yang terbentuk dengan tujuan melihat kinerja grafik kendali. Batas kendali tiap grafik didapatkan dari simulasi dengan langkah sebagai berikut: 4.1. Membangkitkan data sebanyak m pengamatan yang menyebar N p (μ, Σ a ) dan N p (μ, Σ b ). 4.. Menghitung titik pengamatan dan mencari nilai titik pengamatan yang paling besar (T (m) ) Mengulangi langkah 4.1 dan 4. sebanyak 100 kali Mencari persentil ke (1 α)% dari (T (m) ) dan menjadikan nilai tersebut sebagai batas kendali. 5. Mengulangi 100 kali tahap ke 1 hingga 4 Tahapan ini dilakukan untuk evaluasi kinerja tiap grafik kendali agar lebih reliable dengan menghitung signal probability kemudian membandingkan nilai tersebut sesuai dengan aspek simulasi. Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak R dan Microsoft Excel. Skema algoritma penelitian ini ditampilkan pada Gambar 1.

28 16 Mulai Data simulasi Tidak Tidak Uji normal peubah ganda Ya Mendeteksi Ya Diulang 100 kali Menghitung statistik uji T Grafik kendali berdasarkan metode Hotelling Grafik kendali berdasarkan metode MVE Grafik kendali berdasarkan metode WD Menghitung batas kendali tiap grafik Menghitung signal probability Selesai Gambar 1 Diagram alir penelitian 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Data bangkitan dengan banyaknya titik pengamatan sebesar (m) 50 merupakan data yang menyebar normal (N p (μ, Σ)), dengan parameter lokasi μ 0 =[ 0, 0,..0] dan parameter skala Σ a merupakan matrik identitas untuk data tidak berkorelasi dan Σ b merupakan matrik variance-covariance untuk data berkorelasi. Beberapa pengujian atau perhitungan perlu dilakukan sebelum melakukan simulasi, agar sesuai dengan asumsi penelitian. Berikut beberapa pengujian atau perhitungan yang dilakukan Mendeteksi Proporsi pencilan yang dicobakan dalam data simulasi adalah 5% dan 10%. Pendeteksian pencilan dilakukan dengan tujuan menguji bahwa data yang dibangkitkan mengandung pencilan sesuai dengan yang telah ditentukan.

29 17 Pendeteksian pencilan tersebut dilakukan dengan menggunakan jarak Mahalanobis, dengan hipotesis: H 0 = Titik bukan merupakan pencilan H 1 = Titik merupakan pencilan Titik pengamatan dikatakan menolak H 0 apabila hasil perhitungan jarak Mahalanobis lebih besar dari Q (9.34) untuk p = 3 dan Q (1.83) untuk p = 5. Berikut disajikan proporsi hasil pendeteksian pencilan pada beberapa rancangan simulasi dengan jumlah amatan sebesar 50. Tabel Hasil pendeteksian pencilan pada beberapa rancangan simulasi nya Parameter Proporsi Hasil Simulasi Jenis Data karakteristik non-central Ulangan * (p) 5% 4.9% 5 Tidak 3 10% 9.9% Berkorelasi 5% 5.9% 10 10% 9.0% 5% 5.% 15 10% 9.8% Berkorelasi 5 5% 4.9% 0 10% 10% * Merupakan rata-rata proporsi pencilan yang terdeteksi Hasil pengujian menggunakan jarak Mahalanobis, terbukti bahwa data yang dibangkitkan telah mengandung pencilan sebesar 5% dan 10%. Hasil pendeteksian pencilan secara menyeluruh tersaji pada Lampiran 1 dan dengan keterangan bahwa jarak Mahalanobis yang lebih besar dari kriteria akan diberi tanda TRUE. Pengujian Normal Peubah Ganda Data yang mengandung pencilan tersebut diasumsikan menyebar normal, sehingga perlu diuji kenormalan data. Uji normal peubah ganda menggunakan uji HZ. Hipotesis yang digunakan pada uji ini adalah: H 0 = Data berdistribusi normal peubah ganda H 1 = Data tidak berdistribusi normal peubah ganda Data simulasi dikatakan normal peubah ganda apabila H 0 diterima dengan ketentuan nilai peluang uji HZ > Berikut pada Tabel 3 disajikan contoh hasil uji normal peubah ganda pada beberapa rancangan simulasi dengan jumlah amatan sebesar 50.

30 18 Tabel 3 Hasil uji normal peubah ganda pada beberapa rancangan simulasi nya Parameter Proporsi Jenis Data karakteristik noncentral Nilai-p * Keterangan (p) 5% 0.93 Normal 5 Tidak 10% 0.77 Normal 3 Berkorelasi 5% 0.54 Normal 10 10% 0.35 Normal 5% 0.07 Normal 15 10% 0.1 Normal Berkorelasi 5 5% 0.40 Normal 0 10% 0.33 Normal * Hasil uji normal peubah ganda pada salah satu data hasil simulasi Hasil uji dari data bangkitan tersebut menyatakan bahwa data yang mengandung pencilan baik pada proporsi 5% dan 10% merupakan data yang menyebar normal peubah ganda. Hasil pengujian normal peubah ganda tersaji pada Lampiran 3. Penentuan Batas Kendali Batas kendali dari tiap metode didapatkan dari hasil simulasi sebanyak 100 kali dengan asumsi bahwa μ = 0 dan Σ a untuk matrik variance-covariance data yang tidak berkorelasi serta Σ b untuk matrik variance-covariance data yang berkorelasi. Hasil simulasi batas kendali setiap metode disajikan pada Tabel 4. Tabel 4 Hasil simulasi batas kendali dengan karakteristik tidak berkorelasi dan korelasi Jenis Data nya m=50 karakteristik (p) Hotelling (T ) MVE (T MVE ) WD (T WD ) Tidak berkorelasi Berkorelasi Batas kendali yang tersaji dalam Tabel 4 merupakan hasil simulasi pada data tidak berkorelasi dan berkorelasi. Nilai korelasi antar karakteristik untuk data tidak berkorelasi sebesar 0 dan data berkorelasi sebesar Batas kendali data berkorelasi dan tidak berkorelasi memiliki nilai yang relatif sama untuk nilai p yang sama. Perbedaan batas kendali pada masing-masing metode akan terjadi apabila banyak karakteristik berbeda. Semakin banyak karakteristik yang diamati maka batas kendali semakin meningkat.

31 19 Perbandingan Kinerja Grafik Kendali Kinerja grafik kendali diukur dengan menghitung signal probability selama diketahui banyaknya titik yang diamati. Signal probability merupakan suatu besaran yang menunjukkan peluang tepat satu titik pengamatan keluar dari batas kendali. Semakin besar nilai signal probability suatu metode, maka semakin sensitif mendeteksi pencilan dan menunjukkan bahwa grafik kendali robust terhadap pencilan. Signal probabilty harus diuji dalam berbagai kondisi dengan menggunakan perubahan dalam parameter non-central, untuk melihat konsistensi grafik kendali dalam mendeteksi pencilan. Pada penelitian kali ini besaran parameter non-central sebesar 5, 10, 15 dan 0. Dengan kata lain, perubahan rata-rata sebagai akibat adanya pencilan sebesar 5, 10, 15 dan 0 dengan proporsi pencilan sebesar 5% dan 10%. Perhitungan signal probability didapatkan dari hasil simulasi dengan membandingkan jumlah titik pengamatan yang keluar dari batas kendali dengan total titik pengamatan hasil simulasi. Titik pengamatan yang keluar dari batas kendali merupakan suatu pertanda bahwa proses produksi tidak berjalan dengan baik namun tidak dapat didefinisikan bahwa setiap titik yang keluar dari batas kendali merupakan suatu pencilan. Hasil perhitungan signal probability pada data yang tidak saling berkorelasi dengan berbagai kondisi disajikan pada Tabel 5. Tabel 5 Signal probability grafik kendali WD, MVE dan Hotelling data tidak berkorelasi nya Parameter Proporsi pencilan karakteristik noncentral 5% 10% (p) Hotelling MVE WD Hotelling MVE WD Dari tabel 5, terlihat bahwa semakin banyak karakteristik yang diamati maka nilai signal probability setiap grafik semakin kecil. Selain dapat dibandingkan berdasarkan banyak karakteristik yang diamati, sensitifitas grafik kendali dapat dilihat melalui proporsi pencilan. Semakin besar proporsi pencilan, maka sensitifitas grafik kendali dalam mendeteksi pencilan semakin menurun. Hal tersebut dibuktikan bahwa nilai signal probability setiap grafik kendali pada proporsi sebesar 10% lebih kecil dibanding proporsi 5%. Berikut hasil perbandingan signal probability antara grafik kendali Hotelling, MVE dan WD pada p = 3 dan proporsi pencilan sebesar 5% dan 10% untuk setiap pergerakan sejauh λ yang tersaji dalam bentuk grafik.

32 0 Signal Probability 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, λ Signal Probability 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, λ (a) (b) Signal Probability 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, λ Signal Probability 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, λ (c) (d) Gambar Perbandingan signal probability data tidak berkorelasi (a) p = 3 proporsi pencilan = 5% (b) p = 3 proporsi pencilan = 10% (c) p = 3 proporsi pencilan = 5% dan (d) p = 5 proporsi pencilan = 10% Pada Gambar a, signal probability grafik Hotelling, MVE dan WD meningkat seiring dengan perubahan nilai λ. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketiga metode mampu mendeteksi pencilan saat p = 3 dan proporsi pencilan sebesar 5%. Grafik MVE merupakan grafik yang paling sensitif karena memiliki signal probability yang paling tinggi dibandingkan dengan grafik lain. Begitu pula pada Gambar b, grafik MVE merupakan grafik kendali yang paling sensitif pada saat p = 3 dan proporsi pencilan sebesar 10% karena memiliki signal probability yang paling tinggi dibandingkan dengan grafik lain. Pada Gambar c maupun d, grafik MVE memiliki nilai signal probability yang tinggi dibanding dengan grafik lain sehingga grafik MVE merupakan grafik yang paling baik dalam mendeteksi pencilan pada saat p = 5. Terlihat pula, signal probability grafik Hotelling dan WD menurun seiring dengan meningkatnya proporsi pencilan pada suatu data. Hal tersebut menjelaskan bahwa grafik tersebut

33 1 tidak mampu mendeteksi pencilan dengan baik. Secara umum, pada data dengan karakteristik yang tidak berkorelasi grafik kendali MVE merupakan grafik yang paling sensitif dalam mendeteksi pencilan. Hasil perhitungan signal probability data yang saling berkorelasi pada berbagai kondisi ditampilkan pada Tabel 6 berikut. Tabel 6 Signal probability grafik kendali WD, MVE dan Hotelling data berkorelasi nya Parameter Proporsi pencilan karakteristik noncentral 5% 10% (p) Hotelling MVE WD Hotelling MVE WD Apabila dibandingkan dengan Tabel 5, nilai signal probability data berkorelasi lebih besar sehingga grafik kendali lebih sensitif mendeteksi pencilan pada data yang berkorelasi dibandingkan dengan data yang tidak berkorelasi. Perbandingan signal probability grafik kendali Hotelling, MVE dan WD pada data berkorelasi tersaji pada grafik berikut: (a) Signal Signal Probability Probability 0,40 0,35 0,30 0,40 0,5 0,35 0,0 0,30 0,15 0,5 0,10 0,0 0,05 0,15 0,00 0,10 0,05 0,00 (b) λ λ Signal Signal Probability Probability 0,40 0,35 0,30 0,40 0,5 0,35 0,0 0,30 0,15 0,5 0,10 0,0 0,05 0,15 0,00 0,10 0,05 0, λ λ (c) (d) Gambar 3 Perbandingan signal probability data berkorelasi (a) p = 3 proporsi pencilan = 5% (b) p = 3 proporsi pencilan = 10% (c) p = 3 proporsi pencilan = 5% dan (d) p = 5 proporsi pencilan = 10% Pada Gambar 3, semakin banyak karakteristik yang diamati maka signal probability dari grafik kendali Hotelling, MVE dan WD mengalami peningkatan. Apabila ditinjau dari proporsi pencilan, grafik kendali MVE mengalami

34 peningkatan signal probability seiring dengan peningkatan proporsi pencilan sedangkan grafik kendali Hotelling dan MVE mengalami peningkatan signal probability pada nilai parameter non-central tertentu. Parameter non-central memberikan pengaruh terhadap sensitifitas grafik kendali robust. Pada saat p = 3 dan proporsi pencilan sebesar 5% (Gambar 3a), grafik kendali WD memiliki signal probability paling tinggi dan mengalami peningkatan seiring perubahan parameter non-central dengan nilai signal probability lebih besar dibandingkan dengan grafik kendali MVE. Namun, pada saat proporsi pencilan 10%, grafik kendali MVE memiliki signal probability paling tinggi dan mengalami peningkatan seiring dengan perubahan parameter non-central meskipun pada saat λ = 10 mengalami penurunan nilai signal probability. Signal probability grafik WD mengalami peningkatan seiring dengan peningkatan parameter non-central pada saat p = 5 dengan proporsi pencilan sebesar 5% (Gambar 3c). Sedangkan pada proporsi pencilan sebesar 10%, grafik kendali MVE memiliki signal probability yang paling tinggi dibanding dengan grafik kendali lain. Hasil simulasi pada data berkorelasi maupun tidak, menunjukkan bahwa grafik MVE memiliki nilai signal probability yang tinggi pada beberapa rancangan simulasi sehingga dapat dikatakan bahwa grafik MVE dapat diterapkan sebagai grafik kendali yang sensitif terhadap pencilan. 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Grafik kendali MVE merupakan grafik kendali yang robust terhadap pencilan, baik pada data yang berkorelasi maupun tidak. Hal tersebut ditunjukkan dengan signal probability grafik MVE yang konsisten meningkat pada berbagai rancangan simulasi. Sensitifitas grafik kendali robust peubah ganda dipengaruhi oleh banyaknya karakteristik. Pada data yang tidak berkorelasi, semakin banyak karakteristik yang diamati, sensitifitas grafik kendali menurun sedangkan pada data berkorelasi, semakin banyak karakteristik yang diamati maka grafik kendali semakin sensitif. Selain banyaknya karakteristik, proporsi pencilan merupakan faktor yang juga mempengaruhi sensitifitas grafik kendali peubah ganda. Pada data tidak berkorelasi, pada saat proporsi pencilan sebesar 10% maka kemampuan mendeteksi pencilan semakin turun dibandingkan dengan proporsi pencilan sebesar 5%. Berbeda dengan data tidak berkorelasi, sensitifitas grafik kendali data berkorelasi meningkat seiring dengan proporsi pencilan yang meningkat hingga 10%. Hasil simulasi tersebut terbatas pada besar proporsi pencilan sebesar 5% dan 10%. Sensitifitas grafik kendali robust pada tingkat proporsi pencilan yang lebih besar dapat berbeda dari rancangan simulasi yang telah dibangun.

35 3 Saran Penelitian selanjutnya perlu dilakukan peninjauan terhadap pencilan yang memiliki pola tertentu seperti tren dan terdapat autokorelasi pada data peubah ganda serta diterapkan pada pengamatan yang memiliki data subgrup.