MODEL PERSEDIAAN (Q, r, L) TANPA DAN DENGAN PENGURANGAN BIAYA PEMESANAN

Transkripsi

1 MODEL PERSEDIAAN (Q, r, L) TANPA DAN DENGAN PENGURANGAN BIAYA PEMESANAN oleh EKA HELY JAYANTI NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

2

3 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI viii DAFTAR GAMBAR x DAFTAR TABEL xi I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Landasan Teori Konsep Dasar Statistik Jenis-jenis permintaan commit.. to. user Jenis biaya dalam inventory viii

4 2.2.4 Variabel yang mempengaruhi biaya inventory Model Persediaan Economic Order Quantity (EOQ) Klasik Model Dasar Persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) Optimisasi Fungsi Multivariabel Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 25 IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Model Persediaan (Q,r,L) Penurunan Ulang Model Model Persediaan dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi Normal Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L, A) Penurunan Ulang Model Penyelesaian Optimal Penerapan Kasus V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 49 LAMPIRAN 50 ix

5 DAFTAR GAMBAR 2.1 Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan dengan- Permintaan bersifat Deterministik Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan dengan- Permintaan bersifat Probabilistik Model Persediaan EOQ Klasik Model Persediaan (Q, r, L) x

6 DAFTAR TABEL 4.1 Data Waktu Tunggu Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L) (L i dalam satuan minggu) Penyelesaian OptimalModelPersediaan(Q,r, L)(L i dalamsatuan minggu) Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L, A) (L i dalamsatuan minggu) Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L, A) (L i dalam satuan minggu) xi

7 Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Setiap perusahaan, seperti perusahaan retail yang menawarkan barang, tidak terlepas dari masalah persediaan barang. Menurut Handoko [6], persediaan merupakan suatu istilah yang digunakan untuk menunjukkan sumber daya yang disimpan sebagai antisipasi terhadap pemenuhan permintaan tiap waktu. Menurut Assauri [2], tanpa adanya manajemen persediaan, perusahaan akan dihadapkan pada resiko persediaan yang berlebih atau bahkan kekurangan persediaan. Persediaan yang berlebih, walaupun dapat mengurangi resiko terjadinya kekurangan persediaan (stock out), tetapi dapat mengakibatkan besarnya anggaran pembelian dan penyimpanan. Hal tersebut mengakibatkan biaya total yang dikeluarkan menjadi semakin besar. Namun, jumlah persediaan yang sedikit mengakibatkan naiknya frekuensi pemesanan. Selain itu, jumlah persediaan yang sedikit memungkinkan terjadinya kekurangan persediaan sehingga mengakibatkan bertambahnya biaya kerugian karena tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan. Oleh karena itu, perusahaan harus menentukan kebijakan untuk menjaga agar perusahaannya tidak mengalami kerugian yang berlebih dalam masalah persediaan. Di dalam sistem persediaan barang terdapat dua tipe permintaan yaitu permintaan yang bersifat deterministik dan probabilistik. Permintaan dikatakan bersifat deterministik jika laju permintaan di masa yang akan datang diketahui secara pasti dan dikatakan bersifat probabilistik jika laju permintaan di masa yang akan datang tidak diketahui secara pasti. Jika permintaan bersifat probabilistik, maka sangat dimungkinkan terjadinya kekurangan stok barang. Kekurangan stok barang dapat mengakibatkan hilangnya kepercayaan pelanggan. Menurut Wins- 1

8 ton [13], jika pelanggan bersedia menerima pesanannya kembali pada waktu yang akan datang, maka disebut kasus backorder. Jika pelanggan tidak bersedia menerima pesanannya kembali dan berpindah ke lain tempat, maka disebut kasus lostsales. Sedangkan pada kasus partial backorder, perusahaan tersebut mengalami kasus backorder, kasus lostsales maupun kedua-duanya. Taha [12] menyatakan bahwa permasalahan umum dari sebuah manajemen persediaan adalah menentukan berapa banyak barang yang harus dipesan (Q) dan berapa jumlah barang yang tersedia di gudang untuk dilakukan pemesanan ulang (r) agar permintaan dari waktu ke waktu dapat dipenuhi tetapi dapat meminimumkan biaya total persediaan. Selama melakukan pemesanan barang, dimungkinkan adanya waktu tunggu. Menurut Taha [12], waktu tunggu merupakan waktu antara pemesanan dan penerimaan barang dan diasumsikan konstan. Selama waktu tunggu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan, maka dapat menyebabkan kerugian karena kehilangan pelanggan. Oleh karena itu, perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang. Pada penelitian yang dilakukan oleh Ben-Daya dan Raouf [5] dan Ouyang et al. [8], kedatangan barang dapat dipercepat dengan menambahkan biaya percepatan pengiriman (crashing cost). Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L). Pada model persediaan (Q,r,L) diasumsikan biaya pemesanan (A) konstan. Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang. Menurut Ouyang et al. [7], biaya tersebut dapat berkurang jika ada investasi. Investasi adalah kegiatan yang dilakukan penanam modal yang berhubungan dengan keuangan dan ekonomi dengan harapan untuk mendapatkan keuntungan di masa yang akan datang ([4]). Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan biaya pemesanan dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L,A). Pada penelitian ini akan dikaji ulang tentang model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) pada kasus partial backorder saat jumlah barang yang diterima tidak 2

9 sesuai dengan jumlah barang yang dipesan. Setelah diperoleh model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A), akan dicari penyelesaian optimal untuk masing-masing model yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. menerapkan pada sebuah contoh kasus dan menginterpretasikannya. 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah berdasarkan latar belakang yang telah dijabarkan yaitu 1. bagaimana menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L)? 2. bagaimana menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L,A)? 3. bagaimana menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model yang diperoleh? 4. bagaimana menerapkannya pada sebuah contoh kasus dan menginterpretasikannya? 1.3 Batasan Masalah Permasalahan dalam penulisan skripsi ini dibatasi untuk permintaan selama waktu tunggu diasumsikan berdistribusi normal dan hanya untuk satu produk barang tertentu. 1.4 Tujuan Penulisan skripsi ini bertujuan untuk 1. dapat menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L), 2. dapat menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L,A), 3. dapat menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model, dan 4. dapat menerapkannya pada sebuah contoh kasus serta menginterpretasikan. 3

10 1.5 Manfaat Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai pengaplikasian matematika di kehidupan sehari-hari khususnya pada masalah persediaan barang. Diharapkan penelitian ini dapat digunakan sebagai informasi dalam menentukan keputusan yang terkait dengan masalah persediaan bagi perusahaan. 4

11 Bab II LANDASAN TEORI Bab II pada penulisan skripsi ini terdiri dari tiga sub bab yaitu tinjauan pustaka, landasan teori, dan kerangka pemikiran. 2.1 Tinjauan Pustaka Pada bagian tinjauan pustaka ini, memuat tentang hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Ben-Daya dan Raouf [5], Ouyang et al. [7], [8], Wu [14], dan Wu dan lin [15]. Ben-Daya dan Raouf [5] melakukan penelitian yang menghasilkan model persediaan(q, r) dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu atau dikenal dengan model persediaan (Q,r,L). Pada penelitian tersebut, biaya kerugian(shortage cost) yang diakibatkan karena kekurangan barang dianggap tidak ada dan kedatangan barang dapat dipercepat dengan adanya crashing cost. Kemudian Ouyang et al. [8] melakukan penelitian yang menghasilkan model persediaan (Q,r,L) dengan menambahkan adanya kasus stock out yang dapat mengakibatkan timbulnya biaya kerugian. Selanjutnya Ouyang et al. [7] melakukan penelitian yang menghasilkan model persediaan (Q, r) dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan pengurangan biaya pemesanan akibat adanya investasi atau dikenal dengan model persediaan (Q,r,L,A). Penelitian yang telah dilakukan oleh Ben-Daya dan Raouf [5], Ouyang et al. [7], dan [8] terjadi saat jumlah barang yang diterima sama dengan jumlah barang yang dipesan, sedangkan pada kenyataannya ada kemungkinan barang yang diterima jumlahnya tidak sesuai dengan jumlah barang yang dipesan (Silver [11]). Berdasarkan hal tersebut, Wu [14] meneliti model persediaan (Q,r,L) saat jumlah barang yang diterima tidak sesuai dengan jumlah barang yang dipesan sedangkan Wu dan Lin [15] menelitinya pada model persediaan (Q,r,L,A). 5

12 2.2 Landasan Teori Pada bagian ini akan diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah konsep dasar statistik, jenis-jenis permintaan, macam-macam biaya inventory, variabel-variabel yang mempengaruhi biaya inventory, model dasar (Q, r, L) dan (Q, r, L, A) dan optimisasi fungsi multivariabel. Berikut akan diberikan konsep dasar statistik berdasarkan Bain dan Engelhardt [3] Konsep Dasar Statistik Definisi Sebuah variabel random X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang bersekawan dengan sebuah bilangan real, yang dinyatakan dengan X(e) = x,e S. Terdapat dua tipe variabel random, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Definisi Jika semua nilai yang mungkin dari variabel random, X, adalah himpunan terhitung x 1, x 2, x 3,, x n, maka X merupakan variabel random diskrit. f(x) = P[X = x] x = x 1,x 2,x 3,, f(x) merupakan nilai probabilitas untuk masing-masing nilai x atau dapat disebut fungsi densitas probabilitas (pdf). Definisi Fungsi distribusi komulatifnya(cdf) dari variabel random diskrit X dapat didefinisikan sebagai F(x) = P[X x]. Definisi Variabel random Xcommit dikatakan to user variabel random kontinu jika terdapat fungsi f(x) yang disebut sebagai fungsi densitas probabilitas (pdf) dari X, 6

13 sedemikian sehingga fungsi distribusi komulatifnya (CDF) dapat didefinisikan sebagai F(x) = x f(t)dt. Teorema Fungsi f(x) adalah pdf untuk variabel random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat f(x) 0 untuk setiap x dan f(x)dx = 1. Definisi Jika X merupakan variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka nilai dari ekspektasi X dapat didefinisikan sebagai E(X) = xf(x)dx. Definisi Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 jika mempunyai pdf f(x,µ,σ) = 1 σ 1 2π exp dengan < x <, < µ <,σ > 0. 2 (x µ σ )2, Jika diberikan z = (x µ) σ maka didapat pdf normal standar dari z adalah φ(z) = 1 2π e z2 2 < z <. (2.1) Jika Persamaan 2.1 merupakan pdf normal standar dari z, maka fungsi distribusi komulatif (CDF) normal standar dari z adalah Φ(z) = z Var (Y x) = E([Y E(Y x)] 2 x) φ(t)dt. (2.2) Definisi Jika X dan Y adalah variabel random distribusi bersama, maka ekspektasi bersyarat dari Y jika diberikan X = x adalah E(Y x) = yf(y x)dy, dengan X dan Y merupakan variabel random kontinu. Definisi Variansi bersyarat dari Y jika diberikan X = x adalah = E(Y 2 x) [E(Y x)] 2. 7

14 2.2.2 Jenis-jenis permintaan Menurut Taha [12], permintaan akan suatu barang sangat berpengaruh terhadap pengambilan keputusan dalam inventory. Berdasarkan sifatnya, permintaan pelanggan akan suatu barang dapat dibedakan menjadi dua jenis. 1. Permintaan deterministik. Permintaan dikatakan bersifat deterministik jika laju permintaan di masa yang akan datang diketahui secara pasti jumlahnya, seperti pada Gambar 2.1. Gambar 2.1. Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan dengan Permintaan bersifat Deterministik 2. Permintaan probabilistik. Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat probabilistik apabila laju permintaan di masa yang akan datang tidak diketahui secara pasti jumlahnya, sehingga harus didekati dengan suatu distribusi tertentu, seperti pada Gambar Jenis biaya dalam inventory Terdapat empat jenis biaya yang perlu diperhitungkan dalam mengevaluasi persoalan persediaan. 1. Biaya pemesanan (ordering cost). Menurut Aminudin [1], ordering cost merupakan total biaya pemesanan dan pengadaan komoditas hingga siap untuk dipergunakan. Sedangkan 8

15 Gambar 2.2. Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan dengan Permintaan bersifat Probabilistik menurut Taha [12], ordering cost merupakan biaya yang dikeluarkan untuk pemesanan barang persediaan. Secara sederhana, biaya pemesanan diperoleh dengan mengalikan banyak barang yang dibeli dengan harga beli satuan barang tersebut. 2. Biaya penyimpanan (holding cost). Taha [12] menyatakan bahwa holding cost adalah biaya yang dikeluarkan selama proses penyimpanan barang, yaitu dari barang diterima di gudang sampai barang terjual lagi. Biaya penyimpanan ditentukan oleh jumlah barang yang disimpan dan lama penyimpanan per unit per tahun. Setiap waktu, jumlah barang yang disimpan akan berkurang, sehingga perlu diperhatikan tingkat persediaan rata-rata di gudang. Menurut Handoko [6], holding cost per periode semakin besar apabila jumlah barang yang dipesan semakin banyak. 3. Biaya penyiapan (setup cost). Menurut Handoko [6], setup cost terjadi ketika bahan baku tidak dibeli melainkan diproduksi sendiri. Konsep dari setup cost analog dengan orderingcost, sehingga dapat diasumsikan sama dengan ordering cost. 4. Biaya kerugian (shortage cost). Taha [12] menyatakan bahwa biaya commit kerugian to user terjadi apabila ada permintaan terhadap barang tetapi stok habis (stock out). 9

16 Menurut Taha [12], model dasar inventory dapat didefinisikan sebagai berikut. Biaya persediaan = biaya + biaya pemesanan penyiapan total (2.3) + biaya penyimpanan + biaya kerugian Variabel yang mempengaruhi biaya inventory Selain keempat jenis yang telah dibicarakan pada sub bab sebelumnya, terdapat variabel lain yang mempengaruhi biaya total persediaan. 1. Waktu Tunggu (lead time). Menurut Taha [12], waktu tunggu merupakan waktu antara pemesanan dan penerimaan barang. Selama waktu tunggu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan maka dapat menyebabkan kekurangan persediaan. Oleh karena itu, perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang (Ben-daya dan Raouf [5]). 2. Persediaan penyelamat (safety stock). Menurut Assauri [2], persediaan penyelamat adalah persediaan tambahan yang diadakan untuk melindungi atau menjaga kemungkinan terjadinya stock out. Kasus stock out terjadi karena adanya ketidakteraturan permintaan dan kekurangan persediaan. 3. Titik pemesanan kembali (reorder point). Menurut Assauri [2], titik pemesanan kembali (reorder point) adalah suatu titik atau batas jumlah persediaan yang ada pada suatu saat dimana pemesanan harus dilakukan. Dalam penentuan reorder point harus diperhatikan besarnya penjualan barang selama barang yang dipesan belum diterima dan persediaan minimum barang tersebut. 10

17 4. Siklus pemesanan (ordering cycle). Menurut Assauri [2], siklus pemesanan (ordering cycle) adalah suatu cara pemesanan barang dengan interval waktu tetap, misalnya tiap minggu atau tiap bulan. Akan tetapi, Taha [12] mengklasifikasikan ordering cycle menjadi dua yaitu (a) periodic review, pemesanan dilakukan dengan interval waktu yang sama, misalnya setiap minggu atau bulan dan (b) continuous review, pemesanan dilakukan ketika level persediaan mencapai reorder point Model Persediaan Economic Order Quantity (EOQ) Klasik Menurut Aminuddin[1], model persediaan Economic Order Quantity (EOQ) klasik merupakan salah satu bentuk model persediaan sederhana. Model persediaan EOQ klasik untuk kasus permintaan yang bersifat deterministik semua parameter-parameternya diketahui secara pasti. Asumsi dasar dari model EOQ Gambar 2.3. Model Persediaan EOQ Klasik klasik adalah 1. barang yang dipesan dan disimpan commit hanya to user barang sejenis, 2. permintaan per periode diketahui secara pasti dan konstan, 11

18 3. biaya pemesanan konstan, 4. biaya penyimpanan konstan dan berdasarkan rata-rata persediaan yang berada di gudang, 5. harga per unit barang konstan, dan 6. ketika persediaan mencapai titik nol, pemesanan kembali segera dilakukan dan langsung diterima seketika itu juga (tanpa waktu tunggu), sehingga tidak terjadi kerugian. Berdasarkan Gambar 2.3, Q merupakan jumlah barang yang dipesan untuk mengisi persediaan yang akan ditentukan oleh pihak perusahaaan. Setiap siklus persediaan mempunyai periode T, yang artinya setiap T satuan waktu, pemesanan kembali dilakukan. Nilai T tergantung pada besarnya permintaan D yang konstan setiap waktu, sehingga dapat didefinisikan sebagai T = Q D. Selain itu, Q/D juga melambangkan laju persediaan habis, sehingga dapat didefinisikan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun = D Q. Jika biaya pemesanan per pemesanan(a) proporsional terhadap banyaknya frekuensi pemesanan per tahun, maka besarnya biaya pemesanan per tahun dapat didefinisikan biaya pemesanan per tahun = A D Q. Komponen biaya kedua adalah biaya penyiapan. Biaya penyiapan per tahun ditentukan oleh banyaknya permintaan D dan biaya penyiapan sebesar c setiap unit barang, sehingga biaya penyiapan = Dc. Komponen biaya ketiga adalah biaya penyimpanan. Biaya penyimpanan per tahun yang ditentukan oleh jumlah barang yang disimpan dan lama penyimpanan per unit per tahun. Setiap waktu, jumlah barang yang disimpan akan 12

19 berkurang, sehingga perlu diperhatikan tingkat persediaan rata-rata di gudang. Pada Gambar 2.3, persediaan bergerak dari Q unit sampai nol unit, sehingga persediaan rata-rata untuk setiap siklus dapat didefinisikan sebagai Q 2. Jika terdapat biaya penyimpanan per unit barang sebesar h dengan rata-rata persediaan per siklus Q 2 dan banyaknya persediaan selama satu siklus Q D, maka besarnya biaya penyimpanan per siklus adalah h Q 2 Q D = hq2 2D. Besarnya biaya penyimpanan per tahun adalah banyaknya biaya penyimpanan per siklus yang proporsional terhadap banyaknya frekuensi pemesanan per tahun, dapat didefinisikan sebagai, hq 2 2D D Q = hq 2. Berdasarkan persamaan (2.3), maka model persediaan EOQ klasik adalah D Q +Dc+hQ Model Dasar Persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) Menurut Rangkuti [9], pada pengendalian persediaan dimungkinkan terjadi pada kondisi tidak tentu dan terdapat pemesanan kembali. Pada Gambar 2.4, laju permintaan per siklus dan laju permintaan selama waktu tunggu bersifat probabilistik. Pada siklus pertama, permintaan selama waktu tunggu lebih besar dari jumlah persediaan pengaman yang disediakan sehingga mengakibatkan adanya kekurangan persediaan. Pada siklus kedua, adanya persediaan pengaman cukup untuk memenuhi permintaan sampai dengan barang diterima. Sejumlah pemesanan, Q, dipesan kembali apabila persediaan telah mencapai titik pemesanan kembali, R, dengan persediaan pengaman sebesar S. Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model commit persediaan to user (Q,r,L) menurut Ouyang et al. [8]. Asumsi yang digunakan pada model ini adalah 13

20 Gambar 2.4. Model Persediaan (Q, r, L) 1. waktu tunggu (lead time), L, bersifat deterministik dan diasumsikan permintaan selama waktu tunggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata permintaan per tahun D, rata-rata permintaan selama waktu tunggu DL, dan variansi σ 2 L, 2. titik pemesanan kembali reorder point, r, merupakan ekspektasi permintaan selama lead time + persediaan pengaman (safety stock), S, dengan S merupakan k x σ L dan k merupakan faktor pengaman serta σ L merupakan standar deviasi permintaan selama lead time L, sehingga r = DL+kσ L, dan 3. sejumlah pemesanan Q dipesan ketika persediaan telah mencapai reorder point r (continuous review). Biaya total persediaan merupakan jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan dan crashing cost yang terjadi pada kasus partial backorder. 1. Biaya Pemesanan (B p ). 14

21 Besarnya biaya pemesanan pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama karena biaya pemesanan hanya dipengaruhi oleh banyaknya frekuensi pemesanan per tahun. Biaya pemesanan (B p ) per tahun = A D Q. 2. Biaya Penyimpanan (B s ). Pada awal siklus, kondisi persediaan maksimum adalah Q + S dan akan minimum pada akhir siklus sebesar S, dengan S merupakan nilai ekspektasi persediaan bersih pada saat pemesanan datang atau ekspektasi persediaan pengaman selama terjadinya waktu tunggu. Jika diasumsikan rata-rata permintaan tetap maka jumlah persediaan di gudang akan berkurang secara linear dari Q+S menjadi S sehingga rata-rata jumlah persediaan di gudang selama satu siklus adalah m = 1 2 (Q+S)+ 1 2 S = Q 2 +S. (2.4) (a) Kasus backorder dengan batasan Y = Q. Jika x merupakan jumlah permintaan selama waktu tunggu, maka jumlah persediaan pengaman selama waktu tunggu adalah ξ(x, r) = r x. Pada kasus backorder, nilai ξ(x,r) dapat bernilai negatif. Hal ini dikarenakan pelanggan bersedia menunggu sampai barang yang dipesan tersedia, sehingga diperoleh ekspektasi jumlah persediaan pengaman selama terjadinya waktu tunggu adalah, S = ξ(x,r)f(x)dx = (r x)f(x)dx = rf(x)dx xf(x)dx = r DL. Jika nilai S disubstitusikan ke dalam Persamaan 2.4, maka biaya penyim- 15

22 panan per siklus pada kasus backorder adalah B s = biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus = hm Q D = h[ Q 2 +S]Q D = h[ Q +r 2 DL]Q. D Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per siklus yang proporsional terhadap banyaknya frekuensi pemesanan per tahun dapat dinyatakan sebagai berikut, B s = h[ Q 2 +r DL]Q D = h[ Q 2 +r DL]. D Q (b) Kasus lostsales dengan batasan Y = Q. Pada kasus lostsales jumlah persediaan pengaman selama waktu tunggu ξ(x, r) tidak boleh bernilai negatif. Hal ini dikarenakan, jika permintaan pelanggan tidak dapat dipenuhi, maka perusahaan akan kehilangan pelanggan. Dapat didefinisikan jumlah persediaan pengaman selama waktu tunggu pada kasus lostsales adalah r x, r x 0; ξ(x,r) = 0, r x < 0, sehingga diperoleh ekspektasi jumlah persediaan pengaman selama waktu tunggu pada kasus lostsales adalah S = ξ(x,r)f(x)dx = r ξ(x,r)f(x)dx = r (r x)f(x)dx = (r x)f(x)dx (r x)f(x)dx r = (r x)f(x)dx+ (x r)f(x)dx r = r DL+E(X r). 16

23 Jika nilai S disubstitusikan ke dalam Persamaan 2.4, maka biaya penyimpanan per siklus pada kasus lostsales adalah B s = biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus = hm Q D = h[ Q 2 +S]Q D = h[ Q +r DL+E(X 2 r)]q. D Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun dapat dinyatakan sebagai berikut, B s = h[ Q 2 +r DL+E(X r)]q D = h[ Q 2 +r DL+E(X r)]. D Q (c) Kasus partial backorder dengan batasan Y = Q. Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0 β 1 maka pada kasus partial backorder rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus adalah m = β( Q 2 +r DL)+(1 β)(q +r DL+E(X r)) 2 (2.5) = Q +r DL+(1 β)e(x r). 2 Biaya penyimpanan per siklus pada kasus partial backorder adalah B s = biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus = hm Q D = h[ Q 2 +r DL+(1 β)e(x r)]q D Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun dapat dinyatakan sebagai berikut, B s = h[ Q +r DL+(1 β)e(x 2 r)]q D D Q (2.6) = h[ Q +r DL+(1 β)e(x r)]. 2 17

24 3. Biaya Kekurangan Persediaan (B k ). Biaya kekurangan persediaan disediakan untuk mengantisipasi kerugian akibat kehabisan persediaan selama waktu tunggu. Kehabisan persediaan mengakibatkan hilangnya kepercayaan pelanggan. Jumlah permintaan selama waktu tunggu yang mengalami kehabisan persediaan pada kasus backorder maupun lost sales adalah 0, x r < 0; η(x,r) = x r, x r 0. Ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan selama waktu tunggu adalah η(x,r) = r η(x, r)f(x)dx = r (x r)f(x)dx = E(X r), sehingga ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan selama waktu tunggu selama satu tahun adalah η(x,r) D = E(X r) D. Q Q (a) Kasus Backorder dengan batasan Y = Q. Pada kasus ini, perusahaan tidak akan mengalami kehilangan penjualan tetapi perusahaan akan kehilangan kepercayaan dari para pelanggannya. Jika terdapat sebesar π yang merupakan biaya kerugian karena hilangnya kepercayaan dari pelanggan, maka besarnya biaya kekurangan persediaan pada kasus backorder adalah B k = πe(x r) D Q. (b) Kasus lostsales dengan batasan Y = Q. Pada kasus ini perusahaan akan kehilangan penjualan karena pelanggan tidak mau menunggu barang yang dipesan dan kehilangan keper- cayaan dari para pelanggannya. Jika terdapat biaya sebesar π dan 18

25 π 0 yang merupakan biaya kerugian yang dikarenakan hilangnya penjualan, maka besarnya biaya kekurangan persediaan pada kasus lost sales adalah B k = (π +π 0 )E(X r) D Q. (c) Kasus partial backorder dengan batasan Y = Q. Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0 β 1 maka pada kasus partial backorder biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder denganbatasan Y = Q adalah B k = βπe(x r) D Q +(1 β)(π+π 0)E(X r) D Q = (π +(1 β)π 0 )E(X r) D Q. (2.7) 4. Crashing Cost (R(L)). Besarnya crashing cost (R(L)) merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan untuk mempercepat kedatangan barang per siklus. Misalkan L 0 = n j=1 b j, merupakan waktu tunggu awal sebelum adanya pengurangan waktu tunggu. Diasumsikan bahwa waktu tunggu L memiliki sejumlah n komponen yang saling asing. Masing-masing komponen i memiliki durasi waktu tungguminimuma i, durasiwaktutunggunormalb i, danbiayapengurangan waktutungguperunitwaktuadalahc i denganc 1 c 2 c n. Besarnya c i digunakan sebagai biaya percepatan kedatangan barang pesanan. L i merupakan lama waktu tunggu yang telah di crash dengan masing-masing komponen. Menurut Ben Daya dan Raouf [5], dapat ditulis sebagai L i = n j=1 b j i j=1 (b j a j ), dengan i = 1,2,...,n. Besarnya R(L) untuk L [L i,l i 1 ] per siklus adalah R(L) = c i (L i 1 L) + i 1 j=1 c j(b j a j ) dan R(L 0 ) = 0. Besarnya crashing cost pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama. Besarnya R(L) selama satu tahun adalah R(L) D Q. 19

26 Model dasar persediaan (Q,r,L) pada kasus partial backorders menurut Ouyang et al. [8] adalah B t (Q,r,L) = A D Q +h[q +r DL+(1 β)e(x r)] 2 (2.8) + D[π +π Q 0(1 β)]e(x r)+ DR(L). Q Pada Persamaan 2.8 biaya pemesanan (A) konstan. Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang. Menurut Ouyang et al. [7], biaya tersebut dapat berkurang jika ada investasi. Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan biaya pemesanan dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L,A). Menurut penelitian yang dilakukan oleh Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]), sejumlah investasi I(A) dapat mengurangi besarnya biaya pemesanan. Jika terdapat A 0 yang merupakan besarnya biaya pemesanan awal yang dikeluarkan oleh perusahaan, maka besarnya akan berkurang sampai dengan A dengan laju pengurangan sebesar δ, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut I(A) = b ln( A 0 A ) 0 < A A 0 dengan b = 1 δ, Jika diberikan sejumlah potongan sebesar θ per tahun, maka besarnya biaya investasi per unit waktu adalah θi(a). Diperoleh fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) adalah B t (Q,r,L,A) = θ b ln( A 0 A )+AD Q +h[q 2 +r DL+(1 β)e(x r)] + D Q [π +π 0(1 β)]e(x r)+ D Q R(L). (2.9) Optimisasi Fungsi Multivariabel Menurut Rao [10], optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan keadaan yang memberikan nilai maksimum atau minimum terhadap suatu fungsi. Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan(memaksimumkan atau meminimumkan) suatu commit besaran to user skalar yang merupakan harga suatu fungsi dari n-buah variabel x 1,x 2,,x n. Permasalahan dalam persediaan 20

27 barang adalah untuk meminimumkan biaya total persediaan, sehingga akan dicari nilai dari masing-masing variabel yang dapat meminimumkan biaya total persediaan. Definisi (Chong dan Zak, 1996). Bentuk kuadratik f : R n R adalah sebuah fungsi f(x) = x T Qx, dengan Q merupakan matrik berukuran n x n dan simetri, Q = Q T. 1. Matrik Q dikatakan semidefinit positif jika x T Qx 0 untuk setiap vektor tak nol x R n dan sekurang-kurangnya terdapat satu x, sehingga x T Qx = Matrik Q dikatakan definit positif jika x T Qx > 0 untuk setiap vektor tak nol x R n. Penyelesaian optimum (meminimumkan) suatu fungsi multivariabel dapat ditemukan jika syarat perlu berupa f(x) = 0 dan matriks Hessian H f bersifat semi definit positif. Penentuan sifat semi definit positif dapat dilihat dari nilai principal minor determinant test. Definisi (Winston, 2003). Principal minor ke-i dari matriks berukuran n n adalah determinan dari matrik berukuran i i yang diperoleh dengan menghapus n i baris dan n i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut. a 11 a 1n Menurut Rao [10], principal minor dari matriks A =..... a n1 a nn adalah 1 = a 11, 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 bersifat nonnegatif, atau dapat didefinisikan, n = [A]. Sifat semidefinit positif terpenuhi jika semua principal minor determinant test 1 0, 2 0,

28 Teorema (ChongdanZak, 1996). Bentuk kuadratik x T Qx,Q = Q T, definit positif jika dan hanya jika principal minor dari Q semua bernilai positif. Definisi (Bazaraa dan Shetty, 1979). Fungsi f(x) dikatakan memiliki minimum relatif (minimum lokal) di x dalam D jika terdapat N x (persekitaran x di dalam D) sedemikian hingga f(x) f(x ), x N x. Definisi (Bazaraa dan Shetty, 1979). Fungsi f(x) dikatakan memiliki minimum mutlak (minimum global) di x dalam D jika x D,f(x) f(x ). Definisi (Bazaraa dan Shetty, 1979). Suatu fungsi f(x) adalah convex pada suatu selang S jika untuk setiap dua titik x 1 dan x 2 di dalam S dan untuk sembarang 0 λ 1, maka berlaku f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Teorema (Bazaraa dan Shetty, 1979). K merupakan himpunan konveks tak kosong. Diberikan f : K R terdiferensial dua kali, maka berlaku f fungsi konveks jika dan hanya jika semi definit positif x K Teorema (Bazaraa dan Shetty, 1979). Diberikan f : R n R dengan x minimum lokal 1. jika f fungsi konveks, maka x merupakan titik minimum global dan 2. jika f fungsi konveks tegas maka x merupakan satu-satunya titik minimum global. Vektor gradien f dari sebuah fungsi f(x 1,x 2,,x n ) adalah matriks kolom turunan parsial dari f, atau dapat didefinisikan f(x) = f(x) x 1 f(x) x 2. f(x) x n commit = [ f(x) to user f(x) x 1 x 2 22 f(x) x n ] t.

29 Jika f ada, maka dikatakan f terdiferensiabel. Notasi f(x ) menunjukkan harga gradien di x. Matriks Hessian H f = 2 f dari sebuah fungsi f(x 1,x 2,,x n ) adalah matriks kolom turunan parsial kedua dari f yang kontinu, atau dapat didefinisikan H f = 2 f(x) = 2 f(x) x f(x) x n x 1 2 f(x) x 1 x n f(x) x 2 n Jika H f = 2 f ada maka dikatakan f terdiferensiabel tingkat dua. Notasi H f (x ) = 2 f(x ) menunjukkan harga dari matriks Hessian di x. Matriks Hessian adalah matriks yang simetri, yaitu jika A = H f maka A = A t. Teorema (Rao, 1984). Jika f(x) mempunyai titik ekstrim (maksimum atau minimum) saat X = X maka turunan parsial pertama dari f(x) pada X, adalah. f (X ) = f (X ) = = f (X ) = 0. x 1 x 2 x n Teorema (BazaraadanShetty, 1979). Diberikan f : R n R terdiferensial dua kali pada x. Jika x merupakan titik lokal minimum, maka turunan parsial pertama, f(x ) = 0 dan matriks Hessian, H(x ), merupakan semidefinit positif. Teorema (BazaraadanShetty, 1979). Diberikan f : R n R terdiferensial dua kali pada x. Jika turunan parsial pertama, f(x ) = 0 dan matriks Hessian, H(x ), merupakan semidefinit positif, maka x merupakan titik lokal minimum. 2.3 Kerangka Pemikiran Persediaan merupakan salah satu hal penting dalam sebuah perusahaan. Perencanaan persediaan yang baik akan memperkecil resiko kerugian karena stock out dan memperkecil kelebihan barang di gudang. Persediaan barang didalam gudang, dapat dimodelkan secara matematis untuk menentukan jumlah barang yang harus dipesan (Q) dan jumlah barang yang tersedia di gudang untuk dilakukan pemesanan ulang (r) yang dapat meminimalisasi total biaya persedi- 23

30 aan. Pada saat pemesanan barang, dimungkinkan adanya waktu tunggu. Selama waktu tunggu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan maka dapat menyebabkan biaya kerugian karena hilangnya pelanggan. Oleh karena itu, perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang. Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L). Pada model persediaan (Q,r,L) diasumsikan biaya pemesanan konstan. Biaya pemesanan dapat berkurang jika ada investasi. Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan biaya pemesanan dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L,A). Ketika barang yang dipesan sampai pada perusahaan, terkadang jumlah barang yang diterima tidak sesuai dengan jumlah barang yang dipesan sehingga diperlukan model persediaan yang tepat dengan mempertimbangkan waktu tunggu, adanya pengurangan biaya pemesanan dan ketidaksesuaian barang yang diterima dengan barang yang dipesan. 24

31 Bab III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini. 1. Menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) pada kondisi barang yang diterima berbeda dengan barang yang dipesan. Berikut langkah-langkah yang harus dilakukan adalah (a) menentukan asumsi yang diperlukan untuk menurunkan ulang model persediaan pada kasus backorders, lost sales dan partial backorders, (b) menurunkan ulang model persediaan pada kasus backorders, lost sales dan partial backorders dengan batasan barang yang diterima sama dengan barang yang dipesan, Y = Q, (c) menurunkan ulang model persediaan pada kasus partial backorders dengan batasan barang yang diterima tidak sama dengan barang yang dipesan. Menurut Silver[11], jika barang yang diterima berbeda denganbarang yang dipesan, maka ekspektasi jumlah barang yang diterima adalah E(Y Q) = α Q, sehingga diperoleh model persediaan (Q,r,L), dan (d) menurunkan ulang model persediaan(q,r,l,a) berdasarkan model(q,r,l) dengan menambahkan adanya investasi yang telah diteliti oleh Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]) sehingga diperoleh model persediaan (Q, r, L, A). 2. Menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model yang diperoleh. 25

32 Langkah-langkah yang dilakukan untuk menemukan penyelesaian optimal dari kedua model tersebut adalah (a) menentukan matriks Hessian, (b) menentukan nilai determinant test leading prinsipal minor berdasarkan matriks Hessian, dan (c) menentukan jenis definit dari matriks Hessian berdasarkan nilai dari determinant test leading prinsipal minor, jika nilai dari determinant test leading principal minor > 0 maka model tersebut merupakan fungsi yang konveks sehingga dapat ditentukan nilai dari Q, r, L maupun A yang dapat meminimumkan biaya total persediaan dengan turunan parsial pertama sama dengan nol, dan (d) nilai Q, r, L maupun A diperoleh dengan melakukan iterasi berdasarkan algoritma Wu [14] dan [15]. 3. Menerapkan pada sebuah kasus penjualan disket dengan menggunakan model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) kemudian menginterpretasikan. 26

33 Bab IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan diturunkan ulang model persediaan(q,r,l) dan(q,r,l,a) pada kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan mengacu pada bab II. Selanjutnya penyelesaian optimal pada model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) dicari untuk meminimumkan biaya total persediaan. Kemudian menerapkan model persediaan(q,r,l) dan (Q,r,L,A) pada sebuah kasus penjualan disket. Asumsi yang diperlukan dalam pembentukan model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) adalah 1. waktu tunggu atau lead time (L) bersifat deterministik dan diasumsikan permintaan selama waktu tunggu mengikuti distribusi normal dengan ratarata permintaan per tahun D, rata-rata permintaan selama waktu tunggu DL, dan variansi σ 2 L, 2. titik pemesanan kembali atau reorder point (r) merupakan ekspektasi permintaan selama waktu tunggu + persediaan pengaman atau safety stock (S) dengan S merupakan k x σ L dan k merupakan faktor pengaman serta σ L merupakan standar deviasi permintaan selama waktu tunggu L, sehingga r = DL+kσ L, 3. ekspektasi jumlah barang yang diterima, E(Y Q) = α Q, dengan α merupakan faktor bias yang bernilai 0 α 1 jika ekspektasi barang yang diterima lebih sedikit atau sama dengan jumlah barang yang dipesan, sedangkan α > 1 jika ekspektasi barang yang diterima lebih besar dari jumlah barang yang dipesan dan diberikan nilai Var(Y Q) = σ0 2 +σ2 1 Q2, dan 4. sejumlah pemesanan Q dipesan ketika persediaan telah mencapai reorder point r (continuous review). 27

34 4.1 Model Persediaan (Q,r,L) Penurunan Ulang Model Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan(q,r,l) pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan. Biaya total persediaan merupakan jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan dan crashing cost yang terjadi pada kasus partial backorder. 1. Biaya Pemesanan (B p ). Jika terdapat Y jumlah barang yang diterima, maka banyaknya frekuensi pemesanan per tahun adalah D. Berdasarkan asumsi ekspektasi banyaknya Y frekuensi pemesanan per tahun adalah D = D. Besarnya biaya peme- E(Y Q) αq sanan pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama, karena biaya pemesanan hanya dipengaruhi oleh banyaknya frekuensi pemesanan per tahun. B p = Biaya pemesanan sekali pesan x banyaknya frekuensi pemesanan = AD αq. per tahun 2. Biaya Penyimpanan (B s ). Pada awal siklus, kondisi persediaan maksimum adalah Q + S akan minimum pada akhir siklus sebesar S, dengan S merupakan ekspektasi persediaan pengaman selama terjadinya waktu tunggu. Jika diasumsikan rata-rata permintaan tetap, maka jumlah persediaan di gudang akan berkurang secara linear dari Q + S menjadi S, sehingga rata-rata jumlah persediaan di gudang selama satu siklus adalah m = 1 2 (Q+S)+ 1 2 S = Q 2 +S. Penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) pada biaya penyimpanan untuk kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima sama 28

35 dengan jumlah barang yang dipesan telah dibahas pada bab landasan teori sehingga diperoleh persamaan (2.6). Selanjutnya akan akan dibahas penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) untuk biaya penyimpanan pada kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan. Kasus partial backorder merupakan kondisi perusahaan mengalami kasus backorder, kasus lostsales maupun kedua-duanya. Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0 β 1. Pada kasus partial backorder, mengacu pada persamaan (2.5), rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus adalah m = β( Y 2 +r DL)+(1 β)(y +r DL+E(X r)) 2 = Y 2 +r DL+(1 β)e(x r). Biaya penyimpanan per siklus pada kasus partial backorder adalah B s = biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus = hm Y D = h[ Y +r DL+(1 β)e(x 2 r)]y, D karena jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan maka digunakan E(Y Q), B s = h[ Y 2 +r DL+(1 β)e(x r)]y D = h Y D = E[h Y D sehingga diperoleh Y 2 +hy r D hy D DL+hY (1 β)e(x r) D Y 2 Q]+E[hY D r Q]+E[hY D DL Q]+E[hY (1 β)e(x r) Q], D B s = h αq D [r DL+(1 β)e(x r)]+ h 2D [σ2 0 +(σ 2 1 +α 2 )Q 2 ]. Besarnya biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun dapat dinyatakan sebagai berikut, B s = [h αq h [r DL+(1 β)e(x r)]+ D 2D [σ2 0 +(σ0 2 +α 2 )Q 2 ]] D αq = h[r DL+(1 β)e(x r)]+ h 2αQ [σ2 0 +(σ2 0 +α2 )Q 2 ]. 29

36 3. Biaya Kekurangan Persediaan (B k ). Biaya kekurangan persediaan disediakan untuk mengantisipasi kerugian akibat kehabisan persediaan selama waktu tunggu. Kehabisan persediaan mengakibatkan hilangnya kepercayaan pelanggan. Jumlah permintaan selama waktu tunggu yang mengalami kehabisan persediaan pada kasus backorder maupun lost sales adalah 0, x r < 0; η(x,r) = x r, x r 0. Ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan selama waktu tunggu adalah η(x,r) = r η(x, r)f(x)dx = r (x r)f(x)dx = E(X r) sehingga ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan selama waktu tunggu selama satu tahun adalah η(x, r) D E(Y Q) = E(X r) D αq. Penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) untuk biaya kekurangan persediaan pada kasus backorder, lostsales, dan partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima sama dengan jumlah barang yang dipesan telah dibahas pada bab landasan teori, sehingga diperoleh persamaan (2.7). Selanjutnya akan akan dibahas penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) untuk biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan. Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0 β 1, sehingga biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder adalah B k commit (π +(1 β)π to user E(Y Q) 0)E(X r) = D = D αq (π +(1 β)π 0)E(X r) 30

37 4. Crashing Cost (R(L)). Besarnya crashing cost (R(L)) merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan untuk mempercepat kedatangan barang per siklus. Misalkan L 0 = n j=1 b j, merupakan waktu tunggu awal sebelum adanya pengurangan waktu tunggu. Diasumsikan bahwa waktu tunggu L memiliki sejumlah n komponen yang saling asing. Masing-masing komponen i memiliki durasi waktu tungguminimuma i, durasiwaktutunggunormalb i, danbiayapengurangan waktutungguperunitwaktuadalahc i denganc 1 c 2 c n. Besarnya c i digunakan sebagai biaya percepatan kedatangan barang pesanan. L i merupakan lama waktu tunggu yang telah di crash dengan masing-masing komponen. Menurut Ben Daya dan Raouf [5], dapat ditulis sebagai L i = n j=1 b j i j=1 (b j a j ), dengan i = 1,2,...,n. Besarnya R(L) untuk L [L i,l i 1 ] per siklus adalah R(L) = c i (L i 1 L) + i 1 j=1 c j(b j a j ) dan R(L 0 ) = 0. Besarnya crashing cost pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama. Besarnya R(L) selama satu tahun adalah R(L) D α Q. Diperoleh model biaya total persediaan pada kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu atau model persediaan (Q,r,L) adalah B t (Q,r,L) = B p +B s +B k +R(L) = AD αq +h[r DL+(1 β)e(x r)]+ h 2αQ [σ2 0 +(σ2 1 +α2 )Q 2 ] + D αq (π +(1 β)π 0)E(X r)+ R(L)D αq. (4.1) 31

38 4.1.2 Model Persediaan dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi Normal Jika permintaan selama waktu tunggu diasumsikan berdistribusi normal dengan mean DL dan standar deviasi σ L, maka ekspektasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan adalah E(X r) = r 1 (x r) σ 2πL e 1 2 (x DL σ L )2 dx. (4.2) Jika dimisalkan z = x DL σ L, dx = σ L dz, maka persamaan (4.2) menjadi E(X r) = 1 2π σ L (z k)e 1 2 z2 dz = σ L (z k)φ(z)dz k k = σ L(φ(k) k[1 Φ(k)]) = σ LΨ(k) (4.3) dengan Ψ(k) = (φ(k) k[1 Φ(k)]), φ, dan Φ secara berturut-turut merupakan pdf dan CDF dari distribusi normal standar Penyelesaian Optimal Tujuan dari permasalahan persediaan barang adalah mengambil keputusan yang optimal tetapi dapat meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Pada bagian ini akan dicari penyelesaian optimal pada model persediaan (Q,r,L) yang dapat meminimumkan biaya total persediaan. Pada landasan teori telah dijelaskan bahwa untuk dapat meminimumkan biaya total persediaan, maka fungsi biaya total merupakan fungsi yang konveks. Kekonveksan suatu fungsi dapat dilihat dari matriks Hessian dengan sifat definit positif. Jika fungsi biaya total (B t (Q,r,L)) pada persamaan (4.1), dengan r disubstitusikan dengan r = DL + kσ L dan E(X r) disubstitusikan dengan persamaan (4.3) maka fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L) menjadi B t (Q,k,L) = AD +h[kσ L+(1 β)σ αq LΨ(k)]+ h 2αQ [σ2 0 +(σ1 2 +α 2 )Q 2 ] + D αq (π +(1 β)π 0)σ LΨ(k)+ R(L)D αq. (4.4) 32

39 Turunan parsial kedua dari fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) adalah B t(q,k,l) Q B t(q,k,l) = AD αq 2 h 2αQ 2 σ h 2α (σ2 1 +α2 ) (π+(1 β)π 0)D αq 2 = hσ L (1 β)hσ LΨ (k) (π+(1 β)π 0)D σ LΨ (k), k αq B t(q,k,l) = 1 Hkσ L 2 L + 1 H(1 β)σψ(k) 2 L + 1 σ(π+(1 β)π 0 )DΨ(k) 2 LαQ + R (L)D, αq = 2AD + h σ 2 αq 3 αq (π+(1 β)π 0)D σ LΨ(k)+ 2R(L)D αq 3 αq 3 2 B t(q,k,l) Q 2 2 B t(q,k,l) Q k 2 B t(q,k,l) Q L 2 B t(q,k,l) = 2 B t(q,k,l) = (π+(1 β)π 0)D σ LΨ (k), k Q αq 2 = 2 B t(q,k,l) L Q = 1 2 (π+(1 β)π 0 )Dσ LαQ Ψ(k) R (L)D, 2 αq 2 = (1 β)hσ LΨ (k)+ (π+(1 β)π 0)D σ LΨ (k), k 2 αq 2 B t(q,k,l) k L 2 B t(q,k,l) dan = 2 B t(q,k,l) L k = 1 2 L hσ L (1 β)hσψ (k)+ 1 2 L L 2 = 1 4 Hkσ 1 L 3/2 4 H(1 β)σψ(k) 1 σ(π+(1 β)π 0 )DΨ(k) + R (L)D. L 3/2 4 L 3/2 αq αq σ LΨ(k) 2R(L)D αq 2, (π+(1 β)π 0 )D σψ (k), αq dengan Ψ (k) = (1 Φ(k)), Ψ (k) = φ(k), R (L) = c i, dan R (L) = 0. Dengan demikian, diperoleh matriks Hessian untuk fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) adalah 2 B t (Q,k,L) = 2 B t(q,k,l) Q 2 2 B t(q,k,l) k Q 2 B t(q,k,l) L Q 2 B t(q,k,l) Q k 2 B t(q,k,l) k 2 2 B t(q,k,l) L k 2 B t(q,k,l) Q L 2 B t(q,k,l) k L 2 B t(q,k,l) L 2. (4.5) Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.5), diperoleh nilai determinant test principal minor ke-1 adalah 2 B t (Q,k,L) Q 2 = 2AD αq 3 + h αq 3σ (π +(1 β)π 0)D αq 3 σ LΨ(k)+ 2R(L)D αq 3 > 0, dan 2 B t (Q,k,L) = (1 β)hσ LΨ (k)+ (π +(1 β)π 0)D σ Lφ(k) > 0, k 2 αq 2 B t (Q,k,L) = 1 Hkσ L 2 4 L 1 H(1 β)σψ(k) 1 σ(π +(1 β)π 0 )DΨ(k) < 0. 3/2 4 L 3/2 4 L 3/2 αq Berdasarkan nilai dari determinant test principal minor ke-1 terlihat bahwa fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) tidak definit positif. Hal tersebut dikarenakan nilai determinant test principal minor ke-1 33

40 dari matriks Hessiannya bernilai negatif, sehingga merupakan fungsi yang tidak konveks pada Q,k, dan L. Jika diberikan nilai Q dan k tetap, maka fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) merupakan fungsi konkav yang penyelesaian optimumnya adadi titikujunginterval [L i,l i 1 ]. Namun, jika diberikannilail [L i,l i 1 ] tetap, maka matriks Hessian dari fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) adalah 2 B t (Q,k,L) = 2 B t(q,k,l) Q 2 2 B t(q,k,l) k Q 2 B t(q,k,l) Q k 2 B t(q,k,l) k 2. (4.6) Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.6), diperoleh nilai determinant test principal minor ke-1 adalah 2 B t (Q,k,L) Q 2 = 2AD αq 3 + h αq 3σ (π +(1 β)π 0)D αq 3 σ LΨ(k)+ 2R(L)D αq 3 > 0 dan 2 B t (Q,k,L) = (1 β)hσ Lφ(k)+ (π +(1 β)π 0)D σ Lφ(k) > 0, k 2 αq nilai determinant test principal minor ke-2 adalah 2 B t (Q,k,L) Q 2 x 2 B t (Q,k,L) k 2 2 B t (Q,k,L) Q k x 2 B t (Q,k,L) k Q > 0. Berdasarkan nilai dari determinant test principal minor ke-1 dan 2 terlihat bahwa jika diberikan nilai L [L i,l i 1] tetap, maka fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) merupakan fungsi konveks. Berdasarkan hal tersebut penyelesaian optimal untuk Q dan k adalah, 2D[A+ h 2D Q = σ2 0 +(π +(1 β)π 0 )σ LΨ(k)+R(L)] dan (4.7) h(σ1 2 +α2 ) berikut. Φ(k) = 1 hαq h(1 β)αq+d(π +(1 β)π 0 ). (4.8) Nilai Q dan k diperoleh dengan iterasi menggunakan algoritma Wu [14] 1. Untuk setiap L i,i = 0,1,,n dilakukan langkah sebagai berikut 34

41 (a) Dimulai dengan memberikan nilai awal k i1 = 0. Berdasarkan tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(k i1 ) = , Φ(k i1 ) = 0.5, dan Ψ(k i1 ) = (b) Kemudian mensubstitusikan Ψ(k i1 ) = ke Persamaan 4.7 sehingga diperoleh nilai Q i1. (c) HasilQ i1 selanjutnyadisubstitusikankepersamaan4.8sehinggadiperoleh nilai Φ(k i2 ). (d) Dengan melihat tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(k i2 ) dan Ψ(k i2 ). (e) Mengulangi langkah (a) sampai (d) sehingga diperoleh nilai Q dan k yang konvergen. 2. Masing-masing biaya total (Q i,k i,l i ) diperoleh dengan mensubstitusikan nilai Q i dan k i yang telah konvergen serta nilai L i,i = 0,1,,n ke Persamaan Selanjutnya, mencarinilaimin i=0,1,,n biayatotal(q i,k i,l i ). Jikamin i=0,1,,n biaya total (Q i,k i,l i ) = biaya total(q,k,l ) maka (Q,k,L ) merupakan penyelesaian optimal dengan titik pemesanan kembali r = DL + k σ L. 4.2 Model Persediaan (Q, r, L, A) Penurunan Ulang Model Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan(q,r,l,a) pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang pesan. Biaya pemesanan (A) pada fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L) persamaan (4.1) diasumsikan konstan. Menurut penelitian yang dilakukan oleh Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]), sejumlah investasi I(A) dapat mengurangi besarnya biaya pemesanan. Jika terdapat A 0 yang merupakan besarnya bi- aya pemesanan awal yang dikeluarkan oleh perusahaan, maka besarnya akan 35