Teori Matematika Terkait dengan TBO

Transkripsi

1 Teori Matematika Terkait dengan TBO Pertemuan Ke-1 Sri Handayaningsih, S.T., M.T. ning_s12@yahoo.com Teknik Informatika 1

2 TIU dan TIK 1. Mengingatkan kembali teori matematika yang terkait dengan TBO 2. Memahami teori matematika terkait dengan himpunan, fungsi, relasi, graf dan teknik pembuktiannya. 2

3 Penggunaan Secara Matematik Himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik Pembuktian 3

4 Himpunan Himpunan adalah koleksi dari beberapa elemen A {1,2,3} B train {, bus, bicycle, airplane} Bisa ditulis 1 A ship B 1 anggota bagian dari A Ship bukan anggota bagian dari B 4

5 Representasi dari Himpunan C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b,, k } Set yang mempunyai akhir S = { 2, 4, 6, } Set yang tidak mempunyai akhir S = { j : j > 0, dan j = 2k untuk semua k>0 } S = { j : j bukan bilangan negatif dan ada } 5

6 A = { 1, 2, 3, 4, 5 } U 6 A Himpunan Universal :seluruh elemen yang mungkin ada U = { 1,, 10 } 6

7 Operasi Himpunan A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} Union A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Intersection A B A B = { 2, 3 } U Difference 2 3 A - B = { 1 } B - A = { 4, 5 } 1 Venn diagrams 7

8 Complement Himpunan Universal = {1,, 7} A = { 1, 2, 3 } A = { 4, 5, 6, 7} 4 5 A 1 A A = A 8

9 { even integers } = { odd integers } Baca : Negasi dari even integer adalah odd integer Integers 1 odd 3 2 even

10 Hukum DeMorgan s A U B = A U B A U B = A U B 10

11 Himpunan Kosong: = { } S U = S S = U = Universal Set S - = S - S = 11

12 Himpunan Bagian A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A U B Himpunan Bagian yang Sesuai: A B U B A 12

13 Himpunan Disjoint A = { 1, 2, 3 } B = { 5, 6} A B = U A B 13

14 Cardinalitas Himpunan Untuk set yang mempunyai nilai akhir A = { 2, 5, 7 } A = 3 (ukuran set) 14

15 Powersets Powerset adalah Himpunan dalam himpunan S = { a, b, c } Powerset dari S = himpunan dari seluruh subsets S 2 S = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Observasi: 2 S = 2 S = 2 3 = 8 15

16 Produk Cartesius A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) } A X B = A B Secara Umum untuk dua himpunan atau lebih A X B X X Z 16

17 4 5 domain FUNGSI range A B f(1) = a 1 a 2 b 3 c Jika A = domain f : A -> B maka f adalah funsi total Jika tidak f adalah function parsial (bagian) 17

18 RELASI R = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), } x i R y i e. g. if R = > : 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1 18

19 Equivalensi Relasi Refleksi: x R x Simetrik: x R y y R x Transitif: x R y dan y R z x R z Contoh: R = = x = x x = y x = y dan y = z y = x x = z 19

20 Untuk equivalensi relasi R Equivalensi Pada Clas equivalensi class adalah x = {y : x R y} Contoh: R = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3) } Equivalensi class dari 1 = {1, 2} Equivalensi class dari 3 = {3, 4} 20

21 Graf adalah node a GRAF b e d Nodes (Vertices) c V = { a, b, c, d, e } Edges E = { (a,b), (b,c), (b,e),(c,a), (c,e), (d,c), (e,b), (e,d) } 21

22 Pemberian Nama Graf 2 6 e b a 6 d 5 c 22

23 Lintasan a b c e d Lintasan adalah urutan dari edges yang berdekatan (e, d), (d, c), (c, a) 23

24 Path a b e d c Path adalah lintasan dimana tidak ada edge yang diulang Path sederhana : tidak ada node yang berulang 24

25 Cycle a base 3 2 b 1 c e d Cycle adalah lintasan dari node awal kembali ke node awal lagi Cycle sederhana : hanya node awal aja yang berulang 25

26 Lintasan Euler a 4 3 b c base e 1 2 d Sebuah cycle yang melintasi edge satu kali 26

27 Hamiltonian Cycle a 4 3 b 5 c base e 1 2 d Lintasan sederhana yang melintasi seluruh node 27

28 Contoh Soal : Temukan seluruh path sederhana a b e d c origin 28

29 Langkah 1 a b e d c base (c, a) (c, e) 29

30 Langkah 2 a b e d (c, a) c base (c, a), (a, b) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) 30

31 Langkah 3 a b e d (c, a) (c, a), (a, b) (c, a), (a, b), (b, e) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) c base 31

32 Langkah 4 a b e d (c, a) (c, a), (a, b) (c, a), (a, b), (b, e) (c, a), (a, b), (b, e), (e,d) (c, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) c base 32

33 Akar Trees Orang tua Daun anak Tree tidak memiliki cycle 33

34 akar Level 0 daun Level 1 Level 2 Height 3 Level 3 34

35 Binary Trees 35

36 TEKNIK PEMBUKTIAN Pembuktian dengan induksi Pembuktian dengan kontradiksi 36

37 Induksi Diketahui beberapa statemen P 1, P 2, P 3, Tentukan : untuk batas akhir b di mana P 1, P 2,, P b Adalah benar untuk k >= b maka P 1, P 2,, P k termasuk P k+1 maka setiap P i adalah benar 37

38 Pembuktian dengan Induksi Dasar Induksi Temukan P 1, P 2,, P b yang bernilai benar Hipotesis Induksi Asumsikan P 1, P 2,, P k adalah benar, Untuk setiap k >= b Langkah induksi Lihat P k+1 adalah benar 38

39 Contoh Teori: Sebuah binary tree mempunyai tinggi n maka mempunyai 2 n Pembuktian dengan Induksi: daun. lihat L(i) menjadi jumlah daun maksimum dari setiap subtree dengan tinggi i 39

40 Terlihat: L(i) <= 2 i Dasar Induksi L(0) = 1 (node pada akar) Hipotesis induksi Asumsikan L(i) <= 2 i untuk seluruh i = 0, 1,, k Langkah Induksi Buktikan L(k + 1) <= 2 k+1 40

41 Langkah Induksi Tinggi k+1 k Dari Hipotesis Induksi : L(k) <= 2 k 41

42 Langkah Induksi tinggi k L(k) <= 2 k k+1 L(k+1) <= 2 * L(k) <= 2 * 2 k = 2 k+1 (tambahkan 2 node untuk setiap daun pada level k) 42

43 Pembuktian dengan Kontradiksi Berharap untuk pembuktian pada a statemen P adalah benar assumekan P adalah salah kemudian dihasilkan kesimpulan yang tidak benar sehingga statemen P harus benar 43

44 Pustaka 1. Tedy Setiadi, Diktat Teori Bahasa dan Otomata, Teknik Informatika UAD, Hopcroft John E., Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, 2rd, Addison-Wesley, Martin C. John, Introduction to Languages and Theory of Computation, McGraw-Hill Internatioanal edition, Linz Peter,Introduction to Formal Languages & Automata, DC Heath and Company, Dulimarta Hans, Sudiana, Catatan Kuliah Matematika Informatika, Magister Teknik Informatika ITB, Hinrich Schütze, IMS, Uni Stuttgart, WS 2006/07, Slides based on RPI CSCI