MODIFIKASI PERSAMAAN GERAK ROKET KLASIK TSIOLKOVSKY UNTUK ROKET YANG BERGERAK MENDEKATI KECEPATAN CAHAYA

Transkripsi

1 MODIFIKASI PERSAMAAN GERAK ROKET KLASIK TSIOLKOVSKY UNTUK ROKET YANG BERGERAK MENDEKATI KECEPATAN CAHAYA Oleh Ridho Muhammad A ( ) dan Muhammad Baharuddin R( ) Jurusan Fisika Institut Teknologi Bandung Desember 2013 Abstrak Sebuah roket bergerak degan memanfaatkan gaya aksi-reaksi yang berasal dari perubahan momentum roket karena propulsi bahan bakar berkecepatan tinggi ke arah yang berlawanan dengan arah gerak roket. Selama geraknya, roket akan terus kehilangan massanya akibat propulsi ini. Menurut persamaan gerak roket klasik yang dikemukakan oleh Konstantin Tsiolkovsky pad 1903, apabila tidak ada sumber energi/gaya selain dari propulsi bahan bakar, maka rasio persamaan gerak roket merupakan fungsi logaritmik sederhana dalam variabel rasio massa awal roket dengan massa akhir riket dan suatu konstanta (effective exhaust rate) atau kecepatan propulsi bahan bakar. Akan tetapi, timbul pertanyaan apabila kecepatan gerak roket telah mencapai kecepatan relativistik dimana perhitungan fisika secara klasik harus digantikan dengan perhitungan fisika secara relativistik. Degan memasukkan perhitungan relativistik ke dalam persamaan gerak roket, maka didapat rasio persamaan gerak roket merupakan fungsi tangen hyperbolic yang juga memuat fungsi logaritmik dengan variabel rasio massa roket awal dengan massa roket akhir serta konstanta dan c Didapat bahwa untuk kecepatan diatas sekitar 0,3c, maka perhitungan relativistik harus dimasukkan sementara untuk kecepatan dibawahnya, perhitungan non relativistik masih dapat diberlakukan. Kata kunci: Gerak roket, persamaan Tsiolovski, roket relativistik 1. PENDAHULUAN Prinsip propulsi bahan bakar roket seperti disebutkan sebelumnya telah dipakai selama berpuluh-puluh tahun oleh roket sederhana dan berhasil mendaratkan manusia di bulan, mendaratkan robot di Planet Mars, serta mengrobitkan ribuan satelit buatan di dalam tata surya ini. Akan tetapi, banyak sekali masalah yang muncul untuk melakukan penjelajahan luar angkasa yang lebih jauh seperti bobot pesawat yang sangat berat dikarenakan harus membawa bahan bakar yang sangat banyak dan kecepatan pesawat yang sangat kurang sehingga perjalanan luar angkasa akan memakan waktu yang sangat panjang. Oleh karena itu, para ilmuwan dan insinyur mulai mengembangkan berbagai jenis roket yang mampu bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi dan tetap ringan seperti roket yang memanfaatkan propulsi ion atau roket yang memanfaatkan gaya 1

2 electromagnet dari angin matahari (solar sail with solar wind) sampai roket yang memanfaatkan energi dari proses anihilasi antara elektron dan positron dan akan mempropulsikan foton (pion rocket). Akan tetapi, roket semacam ini, yang mampu bergerak dengan kecepatan sangat tinggi, tidak dapat dianalasisis geraknya dengan menggunakan hukum fisika klasik sehingga persamaan rocket klasik Tsiolkovsky perlu dimodifikasi menggunakan teori relativitas. Dalam paper ini, penulis mencoba menurunkan persamaan relativistik untuk roket yang bergerak sangat cepat dengan memanfaatkan propulsi bahan bakar propellant seperti roket-roket klasik yang ada saat ini. Dasar yang sama digunakan untuk menganalisis gerak roket jenis lain seperti pion rocket. 2. ASUMSI-ASUMSI YANG DIGUNAKAN Untuk menyederhanakan perhitungan, beberapa asumsi digunakan dalam paper ini. Asumsi pertama adalah bahan bakar roket dipropulsikan dalam satu arah saja sehingga thrust yang diberikan kepada roket juga hanya pada satu arah yaitu arah kecepatan roket. Dengan kata lain, gerak roket ditinjau hanya dalam satu dimensi ruang saja. Asumsi kedua adalah bahwa roket bergerak pada ruang hampa udara. Pada kenyataannya, ketika roket meluncur dari bumi, ada gaya-gaya lain yang bekerja pada roket yaitu gaya gravitasi bumi/gaya berat roket, drag force oleh udara, gaya angkat udara (lift force), dan gaya magnus jika roket melakukan manuver rotasi. Manuver rotasi ini cukup umum dilakukan untuk mengurangi drag force atau gaya gesek udara. Dengan asumsi bahwa roket bergerak pada ruang hampa, maka gaya-gaya aerodinamis roket dapat diabaikan. Asumsi ini dirasa tepat karena akan sangat sulit bagi sebuah roket, yang memiliki massa besar, untuk bergerak mencapai kecepatan mendekati kecepatan cahaya di dalam pengaruh gaya-gaya aerodinamis seperti gaya hambat udara (drag force). Dari asumsi kedua, gaya-gaya yang bekerja pada roket hanya tinggal thrust oleh mesin roket serta gaya gravitasi. Dalam asumsi ketiga, gaya gravitasi dianggap tidak ada atau roket diasumsikan berada dalam medan gravitasi yang sangat lemah. Pada kenyataannya, gaya gravitasi suatu planet atau benda langit lain dapat berpengaruh besar terhadap gerak roket. Beberapa pesawat ruang angkasa seperti Explorer bahkan memanfaatkan gaya gravitasi benda-benda langit untuk bergerak. Asumsi-asumsi yang digunakan pada paper ini menjadikan gerak roket yang ditinjau adalah gerak roket tanpa pengaruh gaya-gaya lain selain thrust dari propulsi bahan bakar roket. Untuk mendapatkan permodelan yang lebih akurat tentuya akan lebih baik apabila asumsi-asumsi tersebut tetap dimasukkan dalam perhitungan yang tentunya akan membuat perhitungan menjadi semakin rumit. 3. PERSAMAAN GERAK ROKET KLASIK TSIOLKOVSKY Gambar 1. Gambaran propulsi bahan bakar roket menimbulkan thrust/gaya dorong pada roket 2

3 Pada gambar di atas, terlihat proses propulsi bahan bakar roket yang menyebabkan pertambahan kecepatan roket sebesar. Dari selang waktu, perubahan momentum roket sama dengan perubahan momentum bahan bakar yang ditembakkan oleh roket. (1) (2) dimana; dan masing-masing adah massa roket setelah menembakkan bahan bakar, perubahan kecepatan roket, kecepatan roket mulamula, dan kecepatan propulsi bahan bakar roket menurut pengamat yang ada di bumi. Selanjutnya, persamaan (2) juga dapat ditulis menjadi; (3) dimana adalah laju propulsi bahan bakar roket relatif terhadap roket. Dalam peluncuran roket, kecepatan propulsi bahan bakar roket relatif terhadap roket biasanya dibuat konstan ( konstan). Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2), kita dapatkan; (4) Persamaan (4) adalah persamaan gerak roket klasik Tsiolkovsky dimana dan masingmasing adalah perubahan kecepatan roket, massa mula-mula roket, dan massa akhir roket setelah proses propulsi bahan bakar berakhir (akhir dari suatu stage roket). 4. PERSAMAAN GERAK ROKET RELATIVISTIK Perbedaan peninjauan dalam perhitungan dengan menggunakan fisika klasik dan fisika relativistik adalah bahwa pengamat di bumi akan mengamati bahwa massa roket dan massa bahan bakar yang dibuang ketika roket bergerak tidaklah sama dengan ketika roket diam; (5) (6) (7) dimana dan masing-masing adalah massa roket menurut kerangka bumi, massa bahan bakar yang dipropulsikan menurut kerangka bumi, massa diam roket, dan massa diam bahan bakar yang dipropulsikan. Selain itu, kelajuan propulsi bahan bakar roket relatif terhadap kerangka acuan bumi menjadi; (8) dengan adalah kelajuan propulsi bahan bakar roket relatif terhadap roket dan bernilai konstan. Seperti halnya pada kasus non-relativistik, perubahan momentum roket sama dengan momentum bahan bakar yang dipropulsikan oleh roket; (9) Menurut kerangka di bumi, perubahan energi roket sebelum dan setelah melepaskan bahan bakar sama dengan energi bahan bakar yang dilepaskan; (10) 3

4 Dengan mensubstitusikan persamaan (8) dan (10) ke dalam persamaan (9), kita dapatkan; (11) Jika kita kerjakan turunan dari maka kita dapatkan; (12) Dengan mengekspansi persamaan (11) dan mensubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (11) lalu membagi kedua ruas dengan maka didapat; (13) Kelompokkan suku-suku yang mengandung dan didapat; akhir. Untuk one stage rocket, massa awal roket adalah massa roket dengan muatannya ditambah dengan massa bahan bakar sedangkan massa akhir roket adalah massa roket dengan muatannya saja sehingga dapat ditulis; (17) dengan adalah rasio massa bahan bakar terhadap massa roket. Dari persamaan (19), persamaan (4) dapat ditulis menjadi; (20) Sementara itu, persamaan (17) dapat ditulis menjad; 1 2 (14) (21) Persamaan (14) dapat disederhanakan lagi menjadi; (15) Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (15) didapat; (16) Persamaan (20) adalah persamaan gerak roket tanpa menyertakan perhitungan relativistik sedangkan persamaan (21) adalah persamaan gerak roket yang memperhitungkan efek relativistik. Pada kedua persamaan ini, adalah rasio massa bahan bakar terhadap massa roket yang diperlukan untuk mendapatkan kecepatan akhir sebesar setelah sejak propulsi dimulai sampai propulsi berakhir. 5. PERSAMAAN YANG LEBIH REALISTIS 6. KELAJUAN TRANSISI Pengurangan massa roket hanya terjadi karena pembuangan bahan bakar, atau pelepasan bagian struktur roket untuk multistage rocket. Mari kita definisikan kembali massa awal, dan massa Persamaan (20) dan (21) memperlihatkan bahwa perumusan gerak roket tanpa dan dengan memperhitungkan efek relativitas memberikan hasil 4

5 yang sangat berbeda dimana yang satu hanya merupakan fungsi logaritmik biasa sementara yang lain merupakan fungsi hiperbolik yang memuat fungsi logaritmik. Kecepatan sebesar 0.3c tentunya merupakan kecepatan yang sangat besar. Setidaknya dibutuhkan mesin roket yang mampu menghasilkan kecepatan propulsi bahan bakar sebesar 0.4c itu pun Gambar 2. Grafik Perbandingan Perhitungan Relativistik dengan Perhitungan Non-Relativistik Grafik berikut ini menunjukkan perbandingan antara persamaan gerak roket klasik dengan persamaan gerak roket relativistik. Eror mulai muncul ketika kecepatan mencapai 0.3c. Kecepatan sebesar 0.3c ini disebut dengan kelajuan transisi atau kelajuan batas berlakunya perhitungan mekanika klasik pada gerak roket. Meskipun eror di titik sekitar 0.3 c kecil, akan tetapi jika dikalikan dengan kecepatan cahaya sebesar tentunya itu merupakan perbedaan yang besar. Selebihnya, pada kecepatan kurang dari 0.3c, kedua grafik berimpit yang artinya perhitungan secara klasik masih dapat digunakan. Pada grafik juga terlihat bahwa dengan perhitungan mekanika klasik, roket diizinkan memiliki kelajuan lebih dari c ( sementara pada prhitungan mekanika relativistik, roket tidak dapat mencapai kecepatan cahaya. Gambar 3. Grafik kelajuan roket terhadap kecepatan propulsi bahan bakar yang dibutuhkan dengan jumlah bahan bakar sebesar 5 kali massa roket beserta muatannya. masih menggunakan bahan bakar dalam jumlah besar yaitu sekitar 5 kali massa roket. 5

6 7. KESIMPULAN Dari perhitungan matematis di atas, didapat bahwa persamaan gerak roket dengan memasukkan efek relativitas merupakan fungsi tangen hiperbolik yang memuat fungsi logaritmik sedangkan persamaan gerak roket secara mekanika klasik adalah fungsi logaritmik sederhana. Persamaan gerak roket relativistik tereduksi menjadi persamaan gerak roket klasik saat kelajuan roket berada dibawah 0,3c sementara di atas nilai itu, persamaan roket klasik tidak lagi dapat digunakan. Dibutuhkan kecepatan propulsi bahan bakar setdaknya sebesar 0.1c untuk dapat mencapai kelajuan transisi. 8. PENUTUP Untuk mencapai kelajuan sebesar 0.3c tentunya diperlukan gaya yang sangat besar. Teknologi roket yang paling canggih saat ini, roket berbahan bakar nuklir, hanya mampu memberikan kecepatan propulsi bahan bakar sebesat 5 km/detik, masih jauh dari kecepatan propulsi yang dibutuhkan. Oleh karena itu, kini para ilmuwan dan insinyur sedang mengembangka roket berbahan bakar lain salah satunya adalah roket berbahan bakar ion yang mampu memberikan kecepatan propulsi sampai 100km/s atau sekitar 0.1c. Selain itu, juga dikembangkan roket yang memanfaatkan energi anihilasi antara elektron dan positron (materi dan anti-materi) sehingga mempropulsi foton dengan kecepatan c. Jenis-jenis roket tersebut tidak dijelaskan pada paper ini namun dasar perhitungan untuk menentukan persamaan gerak roket-roket tersebut sama seperti yang dibahas pada paper ini. 9. TINJAUAN PUSTAKA 1. Forward, L. Robert A Transparent Derivation of Relativistic Rocket Equation. Malibu, CA: America Institute of Aeronautics and Astronautics. 2. Westmoreland, Shawn. A Note on Relativistic Rocketry. Kansas, USA: Department of Mathematics Kansas State University 3. Variable Mass System: Rocket Equation. MIT Open Course (diakses pada 23 November 2013) 4. Walker, Halliday, dan Resnick Principle of Physics 9 th Edition (chapter 37: Relativity). John Wiley & Sons, Inc ocket_equation (diakses pada 24, 28 November 2013) cket (diakses pada 24 November 2013). 6