APPLICATION OF THE LEAST SQUARES ADJUSTMENT METHOD WITH CONDITIONAL EQUATIONSIN CALCULATION OF RIVER DREDGING VOLUME

Transkripsi

1 APPLICATION OF THE LEAST SQUARES ADJUSTMENT METHOD WITH CONDITIONAL EQUATIONSIN CALCULATION OF RIVER DREDGING VOLUME APLIKASI METODE HITUNG PERATAAN KUADRAT TERKECIL DENGAN PERSAMAAN BERSYARAT DALAM PENGHITUNGAN VOLUME PENGERUKAN SUNGAI Irwan Syafri Peneliti di Balai Sungai, Puslitbang Sumber Daya Air, Kementerian Pekerjaan Umum Jl. Solo-Kartosuro km 7 Pabelan, Surakarta Telp.: (0271) , Fax.: (0271) irwansyafrijogja@yahoo.com ABSTRACT One way to handle the silting the river is dredged. To calculate the volume of river dredging, it is required river geometry data that presented in the form of river cross-section pictures and the distance between river cross-section. River cross-section picture obtained from measuremen. Implementation of the cross-section measurements should be conducted in conjunction with the mapping of river situation. Cross section measurement method can be done by tachymetri or echo sounding. Distance used for the calculation of river dredging volume are the average distance between the cross-section on the left bank of the river channel, the distance between the cross-section on the right bank of the river, and the distance between the cross section in the middle of the river channel. The value of the distances are measured on the river situation map. This least squares adjustment method with conditional equations is applied to calculate the volume dredging of Laweyan river. Laweyan river is one of the branches of the Bengawan Solo River estuary. Mathematical models are used as many as 20 models, which is based on relations of the average distance between cross section in each river segment and the average distance between cross sections in every two river segment. From the results can be known, that the large value of distance correction is given on a curved section of river channel and small value given on relatively straight channel. Total volume of dredging of Laweyan river that calculated using the least squares adjustment method is 359, m 3, while the total volume of dredging of river Laweyan that calculated not using the least squares adjustment method is ,001 m 3. Keywords: mathematical models, cross sections, distance, dredging volume. ABSTRAK Salah satu cara untuk menangani pendangkalan sungai adalah dilakukan. Untuk menghitung besarnya volume sungai, diperlukan data geometri sungai disajikan berupa gambar melintang sungai dan jarak antar melintang sungai. Gambar melintang sungai didapat dari hasil pengukuran. Pelaksanaan pengukuran melintang sebaiknya dilakukan bersamaan pemetaan situasi sungai. Metode pengukuran dapat dilakukan secara tachymetri atau cara echo sounding. Jarak digunakan untuk penghitungan volume sungai adalah jarak antar melintang pada tepi kiri alur sungai, jarak antar melintang pada tepi kanan alur sungai, dan jarak antar melintang pada tengah-tengah alur sungai. Nilai jarak-jarak tersebut diukur pada peta situasi sungai. Metode hitung perataan kuadrat terkecil persamaan bersyarat ini diaplikasikan untuk penghitungan volume Sungai Laweyan. Sungai Laweyan merupakan salah satu cabang dari muara Sungai Bengawan Solo. Model matematik digunakan sebanyak 20 model, disusun berdasarkan hubungan jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai jarak antar melintang pada tiap dua ruas sungai. Dari hasil penghitungan dapat diketahui, bahwa nilai koreksi jarak besar diberikan pada ruas alur sungai melengkung dan nilai koreksi jarak kecil diberikan ruas alur sungai relatif lurus. total sungai Laweyan menggunakan metode hitung perataan kuadrat terkecil sebesar ,689 m 3, sedangkan volume total sungai Laweyan tidak menggunakan metode hitung perataan kuadrat terkecil sebesar ,001 m 3. Kata Kunci: model matematik, melintang, jarak, volume. PENDAHULUAN Secara umum, pendangkalan sungai dapat terjadi karena adanya pengendapan partikel padatan terbawa arus sungai. Sumber utama partikel tersebut adalah erosi di daerah hulu sungai. Air hujan menggerus permukaan tanah, membawa gerusan tersebut ke sungai. Partikel terbawa ini biasanya berupa lumpur dan kemudian tersedimentasi di dasar sungai. Semakin lama, jumlah endapan sedimen tersebut semakin terakumulasi, sehingga terjadi pendangkalan sungai. Pendangkalan sungai berarti pengecilan tampang sungai, sehingga sungai tidak mampu lagi mengalirkan airnya, lalu airnya meluap dan terjadilah banjir. Salah satu cara untuk menangani pendangkalan sungai adalah dilakukan. Untuk menghitung besarnya volume sungai, diperlukan data geometri sungai disajikan berupa gambar melintang. Gambar melintang sungai didapat dari hasil pengukuran. Pelaksanaan pengukuran melintang sebaiknya dilakukan bersamaan pemetaan situasi sungai. Metode pengukuran dapat dilakukan dilakukan secara tachymetri atau cara echo sounding. 280 Dinamika TEKNIK SIPIL, Akreditasi BAN DIKTI No : 110/DIKTI/Kep/2009

2 Akan tetapi, dalam pelaksanaan pengukuran melintang sungai, ada beberapa masalah sering ditemukan. Pertama, apabila pengukuran melintang dilakukan secara tachymetri menggunakan rambu ukur, maka pengambilan detail mewakili bentuk dasar sungai hanyalah berdasarkan perkiraan, karena dasar sungai atau sebagian dari dasar sungai tertutup air. Kedua, seringkali jarak-jarak antar melintang sungai diukur tidak sama dan tidak beraturan. Ketiga, pada alur sungai melengkung, jarak antar melintang pada tepi kiri alur sungai tidak sama jarak antar melintang pada tepi kanan alur sungai. Disisi lain, walau bagaimanapun berpengalamannya seseorang dalam melakukan pengukuran, namun hasilnya akan selalu dihinggapi kesalahan, dan hal ini dapat dilihat dari tidak samanya hasil pengukuran satu hasil pengukuran lain, meskipun obyek diukur itu sama. Kebenaran hasil pengukuran juga tidak dapat diketahui secara pasti, sehingga kitapun tidak dapat secara langsung menentukan hasil pengukuran mana paling mendekati betul. Salah satu cara untuk mengatasi keadaan tersebut adalah menggunakan ilmu hitung perataan. TINJAUAN PUSTAKA 1. Penghitungan Prinsip penghitungan volume adalah 1 (satu) luasan dikalikan 1 (satu) wakil tinggi (jarak). Apabila ada beberapa luasan dan beberapa jarak, maka dibuat wakilnya, misalnya mekan luasan dan mekan jaraknya (Yuwono, 2004). Salah satu metode untuk penghitungan volume adalah metode, sebagai berikut : A1 A2 = d (1) 2 keterangan: A 1 = luas 1 A 2 = luas 2 d = jarak antar 1 dan 2 2. Hitung Perataan Metode hitung perataan diartikan sebagai suatu cara untuk menentukan nilai koreksi dan kemudian memberikan nilai koreksi tersebut pada hasil pengukuran sehingga hasil pengukuran memenuhi syarat geometrinya. (Mikhail dan Gracie, 1981). Dalam metode hitung perataan kuadrat terkecil ditentukan, bahwa nilai paling mendekati betul adalah nilai, serta memenuhi perinsip bahwa jumlah kuadrat dari nilai koreksinya harus minimum. [ P V V ] = minimum (2) keterangan : P = nilai berat V = nilai koreksi Pada metode hitung perataan kuadrat terkecil persamaan bersyarat, besaran-besaran akan ditentukan tidak bebas satu lainnya, tetapi harus memenuhi syarat geometris atau matematis. Jumlah model matematis diperlukan sama jumlah pengamatan lebih. Untuk model matematis tidak linier, dapat dilinierkan deret Taylor. r = n- u r = jumlah model matematik n = jumlah pengukuran dilakukan u = jumlah minimum pengukuran diperlukan Bentuk umum model matematiknya : Keterangan : = hasil ukuran terkoreksi = hasil ukuran = koreksi i = 1, 2, 3,., n j = a, b, c,., r dan n>r l 1, l2, l3,, ln 0 F j (3) Linierisasi persamaan (3) deret Taylor : Fj Fj Fj Fj l1, l2, l3,, ln V1 V2 Vn L1 L2 Ln dapat juga ditulis : F b v b v b v l l, l,, l 0 0 j n n 1, 2 3 n dalam bentuk matrik : BV + W = 0 (4) dimana: B = b 11, b 12, b 21,, b 1n = matrik koefisien V = v 1, v 2, v 3,, v n = matrik koreksi W = = matrik konstanta Untuk mendapatkan harga koreksi (v) memenuhi ketentuan/syarat kuadrat terkecil atau [V t PV] / [pvv] minimum : [pvv] = p 1 v 1 v 1 + p 2 v 2 v p n v n v n = V t PV (5) digunakan cara pengali langrange, yaitu membentuk suatu fungsi baru merupakan kombinasi dari (4) dan (5). f 1 (v 1, v 2,, v n ) = 0 f 2 (v 1, v 2,, v n ) = 0 f r (v 1, v 2,, v n ) = 0 [pvv] = φ(v 1, v 2,, v n ) Fungsi baru adalah : F = φ + λ 1 f 1 + λ 2 f λ r f r Karena f 1, f 2, f 3,, f r = 0, maka minimum dari F = minimum dari φ dan harga ini diperoleh menyamakan masingmasing turunan parsiil sama nol : = 2 p 1 v 1 + b 11 λ 1 + b 21 λ b r1 λ r = 0 = 2 p 2 v 2 + b 12 λ 1 + a 22 λ b r2 λ r = 0 = 2 p n v n + b 1n λ 1 + a 2n λ b rn λ r = 0 maka : b b b v 11k 21k r k r p1 p1 p1 b b b v 12 k 22 k r k r p2 p2 p2 b n b n b v rn n 1 k 2 1 k2 kr pn pn pn atau dalam bentuk matrik : V = matrik koreksi P = matrik berat B = matrik koefisien K = matrik korelat V = - P -1 B t K (6) Dinamika TEKNIK SIPIL/Vol.12/No.3/September 2012/Irwan Syafri/Halaman :

3 Bila persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (4), akan didapat : B (- P -1 B t K) + W = 0 -(B P -1 B t ) K + W = 0 K = (B P -1 B t ) -1 W (7) mensubstitusikan nilai K ke persamaan (6) akan didapat harga koreksi (v) untuk setiap ukuran, sehingga akan didapat harga pengamatan telah dikoreksi/diratakan dinyatakan oleh rumus : Selanjutnya Matrik Varian Kovarian : dimana : 2 0 V t PV r METODOLOGI 1 t 1 BP B t 1 F 0 P P B BP (8) 1. Data Digunakan Metode hitung perataan kuadrat terkecil persamaan bersyarat ini diaplikasikan untuk penghitungan volume Sungai Laweyan. Sungai Laweyan merupakan salah satu cabang dari muara Sungai Bengawan Solo. Sungai Laweyan memiliki panjang alur Km dan berada di wilayah kecamatan Ujung Pangkah, kabupaten Gresik, Provinsi Jawa Timur. r = n u r = 20 Ada 20 model matematik : 1. L 1 + L 2 L 1 2 = 0 2. L 3 + L 4 L 3 4 = 0 3. L 5 + L 6 L 5 6 = 0 4. L 7 + L 8 L 7 8 = 0 5. L 9 + L 10 L 9 10 = 0 6. L 11 + L 12 L = 0 7. L 13 + L 14 L = 0 8. L 15 + L 16 L = 0 9. L 17 + L 18 L = L 19 + L 20 L = L 21 + L 22 L = L 23 + L 24 L = L 25 + L 26 L = L 35 + L 36 L = L 37 + L 38 L = L 39 + L 40 L = 0 Keterangan : L i = Jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai L i i+1 = Jarak antar melintang pada tiap dua ruas sungai 3. Analisa Ketelitian Analisa ketelitian dilakukan berdasarkan hasil penghitungan vatrik varian kovarian : 1 t 1 BP B t F 0 P P B BP dimana : 2 0 V t PV r 1 HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Hasil Pengukuran Jarak dan Luas Penampang Melintang Rencana Sungai Laweyan : Gambar 1. Sketsa muara Sungai Bengawan Solo Kondisi sedimentasi di muara sungai Bengawan Solo sangat dinamis. Setiap tahun sedimentasi terjadi semakin meningkat sehingga muara Sungai Bengawan Solo menjadi semakin dangkal dan menyempit. Data digunakan sebagai berikut : Peta situasi Sungai Laweyan dalam skala 1 : Gambar melintang Sungai Laweyan dalam skala horizontal 1 : 500 dan skala vertikal 1 : 200, sebanyak 41. Luas melintang rencana Sungai Laweyan dalam skala horizontal 1 : 500 dan skala vertikal 1 : 200, sebanyak 41. Jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai, sebanyak 40 jarak. Jarak antar melintang pada tiap dua ruas sungai, sebanyak 20 jarak. 2. Model Matematik Model matematik disusun berdasarkan hubungan antar melintang pada tiap satu ruas sungai jarak antar melintang pada tiap dua ruas sungai. Tabel 1. Jarak dan luas melintang rencana Sungai Nomor melintang Jarak antar melintang Tiap satu Tiap dua Luas melintang rencana Tiap 1 66,237 Rata-rata dua 34 59, ,7 51, , , , ,45 83,022 60,5 106, ,542 51,5 114, ,46 98, Dinamika TEKNIK SIPIL, Akreditasi BAN DIKTI No : 110/DIKTI/Kep/2009

4 Lanjutan Tabel 1 : Nomor melintang Jarak antar melintang Tiap satu Tiap dua Luas melintang rencana Tiap Rata-rata dua Nomor melintang Jarak antar melintang Tiap satu Tiap dua Luas melintang rencana Tiap Rata-rata dua 58 93, , , ,46 92,99 60,5 87, ,341 62,5 116, ,98 151,575 64,5 133, , , ,97 76, , ,374 43,5 132, ,7 98, , , , ,95 117, , ,317 72,5 150, ,97 140,63 66,5 124, ,379 77,5 124, ,2 139,845 80,5 128, , , ,95 113, , ,582 65,5 140, ,44 126, , ,435 73,5 99, ,98 90,723 66,5 101, , , ,94 146, , ,494 75,5 114, ,97 130,197 98,5 116, , , ,4 123,09 69,5 127, , ,5 135, ,25 139, , ,04 92,5 134, ,68 136, , , ,5 148, ,2 152, ,5 134, , , ,2 95, ,5 123, , Model Matematik Telah Dilinierkan 1. L 1 + V 1 + L 2 + V 2 L 12 + V 12 = 0 2. L 3 + V 3 + L 4 + V 4 L 34 + V 34 = 0 3. L 5 + V 5 + L 6 + V 6 L 56 + V 56 = 0 4. L 7 + V 7 + L 8 + V 8 L 78 + V 78 = 0 5. L 9 + V 9 + L 10 + V 10 L V 9 10 = 0 6. L 11 + V 11 + L 12 + V 12 L V = 0 7. L 13 + V 13 + L 14 + V 14 L V = 0 8. L 15 + V 15 + L 16 + V 16 L V = 0 9. L 17 + V 17 + L 18 + V 18 L V = L 19 + V 19 + L 20 + V 20 L V = L 21 + V 21 + L 22 + V 22 L V = L 23 + V 23 + L 24 + V 24 L V = L 25 + V 25 + L 26 + V 26 L V = L 27 + V 27 + L 28 + V 28 L V = L 29 + V 29 + L 30 + V 30 L V = L 31 + V 31 + L 32 + V 32 L V = 0 Dinamika TEKNIK SIPIL/Vol.12/No.3/September 2012/Irwan Syafri/Halaman :

5 17. L 33 + V 33 + L 34 + V 34 L V = L 35 + V 35 + L 36 + V 36 L V = L 37 + V 37 + L 38 + V 38 L V = L 39 + V 39 + L 40 + V 40 L V = 0 Dalam bentuk matrik : 20B V 1 = 20 W 1 20B V 1 = 20 W 1 Keterangan : B = Matrik koefisien koreksi V = Matrik koreksi W = Matrik konstanta P = Matrik berat V 1 0, V 2 0, V 3 0, V 4 0, V 5 0, V 6 0, V 7-0, V 8 0, V 9 0, V 10 = -0, V 11 0, V 12 0, V 13 0, V 14 0, V 15 0, V 16 0, V 17 0, V 18-0, V 19-0, V 20 0, P40 matriks diagonal (34 ; 47 ; 41 ; 60,5 ; 51,5 ; 58 ; 64; 60,5 ; 62,5 ; 64,5 ; 49 ; 43 ; 43,5 ; 49 ; 66 ; 73 ; 72,5 ; 66,5 ; 77,5 ; 80,5 ; 70 ; 74 ; 65,5 ; 87 ; 73,5 ; 66,5 ; 86 ; 78 ; 75,5 ; 98,5 ; 97 ; 69,5 ; 104,5 ; 105 ; 92,5 ; 117 ; 121,5 ; 127,5 ; 104 ; 111,5 ) 3. Penyelesaian Persamaan Normal : MK W = 0 1 t 20M 20 20B40 40P40 40B20 K 1 t 1 20B40 40P40 40B20 20W 1 Matrik B merupakan matrik koefisien koreksi, terdiri dari dua puluh baris, empat puluh kolom. Matrik P merupakan matrik bobot, berupa matrik diagonal, dan dalam hal ini menggunakan nilai jarak tiap satu ruas sungai.matrik W merupakan konstanta, terdiri dari dua puluh baris, satu kom. Dari penyelesaian matrik persamaan normal didapat matrik nilai K sebanyak dua puluh baris, satu kolom. Berikutnya nilai K digunakan untuk menghitung nilai koreksi. 0, , , , , , , , , K 1 = -0, , , , , , , , , , Penghitungan Nilai Koreksi dan Jarak Terkoreksi : V 1 P BK Li Li Vi Keterangan : i L = nilai jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai telah dikoreksi. L i = nilai jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai dari hasil pengukuran. V i = nilai koreksi 284 Dinamika TEKNIK SIPIL, Akreditasi BAN DIKTI No : 110/DIKTI/Kep/2009

6 5. Ketelitian : 2 0 = 0, = 0, ; Tabel 2. Hasil penghitungan volume rencana Sungai Laweyan Luas ratarata total Jarak Koreksi No tiap satu melintang jarak ruas ruas rencana Jarak tiap satu ruas dikoreksi terkoreksi total jarak terkoreksi Ketelitian , , ,001-0, , , ,689 0, , ,713-0, , , , ,762-0, , , ,5 106, ,061-0, , , ,5 114, ,004-0, , , , ,156-0, , , , ,312-0, , , ,5 87, ,513-0, , , ,5 116, ,625-0, , , ,5 133, ,239-0, , , , ,095-0, , , , ,423-0, , , ,5 132, ,873 0, , ,5987 Dinamika TEKNIK SIPIL/Vol.12/No.3/September 2012/Irwan Syafri/Halaman :

7 No ruas Lanjutan Tabel 2 : Jarak tiap satu ruas Luas ratarata melintang rencana total Koreksi jarak Jarak tiap satu ruas dikoreksi terkoreksi , ,561 0, , , , ,056-0, , , , ,434-0, , , ,5 150, ,579-0, , , ,5 124, ,549-0, , , ,5 124, ,680 0, , , ,5 128, ,130 0, , , , ,765-0, , , , ,082-0, , , ,5 140, ,033-0, , , , ,688 0, , , ,5 99, ,307-0, , , ,5 101, ,605-0, , , , ,003-0, , , , ,888-0, , , ,5 114, ,085-0, , , ,5 116, ,325-0, , , , ,961-0, , , ,5 127, ,454-0, , , ,5 135, ,944-0, , , , ,298-0, , , ,5 134, ,125 0, , , , ,201 0, , , ,5 148, ,050 0, , , ,5 134, ,489 0, , , , ,820-0, , , ,5 123, ,929-0, , ,4791 total jarak terkoreksi Ketelitian Penghitungan volume rencana sungai Laweyan ini menggunakan metode, dalam hal ini luas melintang rencana dikali jarak antar melintang. Ada beberapa jarak antar melintang sungai, yaitu jarak antar patok, jarak antar melintang pada tepi kiri alur sungai, jarak antar melintang pada tepi kanan alur sungai, dan jarak antar melintang pada tengah-tengah alur sungai. Jarak antar patok dapat diukur langsung pada saat pemasangan patok untuk pengukuran melintang dan dapat juga diukur pada peta situasi sungai. Akan tetapi jarak antar patok tidak bisa mewakili panjang alur sungai, karena garis lurus merepresentasikan jarak tersebut tidak sejajar tepi alur sungai. Maka jarak digunakan untuk penghitungan volume diukur pada peta situasi sungai, yaitu ratarata jarak antar melintang pada tepi kiri alur sungai, jarak antar melintang pada tepi kanan alur sungai, dan jarak antar melintang pada tengah-tengah alur sungai. Namun demikian jarak-jarak tersebut tetap mengandung kesalahan, terutama pada ruas alur sungai melengkung. Dari hasil penghitungan matrik V dapat dilihat bahwa nilai koreksi jarak besar diberikan pada L 1, L 2, L 19, L 20, L 33, L 34, L 35, L 36, L 37, L 38, L 39 dan L 40, dan nilai koreksi jarak sangat kecil diberikan pada L 9, L 13 dan L 26. Hal ini dapat dipahami karena ruas alur sungai antara melintang pertama (P 1 ) dan melintang kedua ( P 2 ), antara P 2 dan P 3, antara P 19 dan P 20, antara P 20 dan P 21, antara P 33 dan P 34, antara P 34 dan P 35, antara P 35 dan P 36, antara P 36 dan P 37 antara P 37 dan P 38, antara P 38 dan P 39, dan antara P 39 dan P 40 melengkung. Sedang ruas alur sungai antara P 9 dan P 10, antara P 13 dan P 14, dan antara P 26 dan P 27 relatif lurus. Pada tabel-2, dapat dilihat, bahwa volume tanpa mengoreksi hasil pengukuran jaraknya berbeda volume terlebih dahulu mengoreksi jaraknya. total sungai Laweyan tanpa mengoreksi hasil pengukuran jaraknya sebesar ,001 m 3, sedangkan volume total sungai Laweyan terlebih dahulu mengoreksi hasil pengukuran jaraknya sebesar ,689 m 3. Ini berarti ada perbedaan jumlah volume sebesar 190,311 m 3. Bila perbedaan jumlah volume tersebut digunakan dalam pelaksanaan, maka akan sangat berpengaruh pada nilai biaya, tenaga, dan waktu pelakasaan. 286 Dinamika TEKNIK SIPIL, Akreditasi BAN DIKTI No : 110/DIKTI/Kep/2009

8 KESIMPULAN 1. Model matematik digunakan sebanyak 20 model, disusun berdasarkan hubungan jarak antar melintang pada tiap satu ruas sungai antar melintang pada tiap dua ruas sungai. 2. Nilai koreksi jarak besar diberikan pada ruas alur sungai melengkung dan nilai koreksi jarak kecil diberikan ruas alur sungai relatif lurus. 3. total sungai Laweyan menggunakan metode hitung perataan kuadrat terkecil sebesar ,689 m 3, sedangkan volume total sungai Laweyan tidak menggunakan metode hitung perataan kuadrat terkecil sebesar ,001 m 3. DAFTAR PUSTAKA Armawi, K.M, (1979). Ajabar Linier, Edisi Pertama, Armico, Bandung, Vi hal. Edward. M. Mikhail, and Gordon Gracie, (1981). Analysis And Adjustment Of Survey Measurement, Van Nostrand Reinhold Campany Inc, New York, Xii P. Hasjimi Masidin, (1974). Hitung Pengamatan I, Bagian Teknik Geodesi Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, iii + 55 hal. Paul R. Wolf, Ph.D, (1981). Adjustment Computations, Second Edition, P.B.L, Publishing Co, Wisconsin, X P. PT. Bekada Mitratama, (2011). Studi Identifikasi Pengukuran Bathymetri Muara Bengawan Solo. Surakarta. Yuwono, (2004). Pendidikan dan Pelatihan Teknis Pengukuran dan Pemetaan Kota, Prodi Teknik Geodesi FTSP ITS Surabaya, Materi Bab XV,. Dinamika TEKNIK SIPIL/Vol.12/No.3/September 2012/Irwan Syafri/Halaman :