Respons Dinamik Perkerasan Kaku Akibat Beban Kendaraan yang Bergerak dengan KecepatanTidak Konstan

Transkripsi

1 Respons Dinamik Perkerasan Kaku Akibat Beban Kendaraan yang Bergerak dengan KecepatanTidak Konstan Shear qy N y m 2 1 x m Prof. Ir. Sofia W. Alisjahbana M.Sc., Ph.D.

2 Jenis Perkerasan Kaku 1. Jointed Plain Concrete Pavements (JPCP) 2. Jointed Reinforced Concrete Pavements (JRCP) 3. Continuously Reinforced Concrete Pavements (CRCP) AASHTO, Integrated Material and Construction Practices for Concrete Pavement, Design Guide, 2004

3 Masalah Penelitian Idealisasi pelat beton perkerasan kaku Syarat batas tepi pelat : Simply supported atau fixed supported Menjadi fleksible supported (dowel : kekakuan tahanan vertikal, kekakuan rotasi) Sifat bahan pelat beton : Isotropik Orthotropik Model tanah di bawah pelat: Pondasi Winkler Pasternak Kerr Beban kendaraan : statik diam harmonik bergerak Bidang pelat horizontal

4 Pembatasan Masalah Penelitian 1. Pelat beton memiliki sifat bahan linier elastis homogen orthotropik Batas Plastis Batas Elastis

5 2. Jenis Pondasi Pasternak, pegas elastis dapat menerima gaya aksial tarik dan tekan secara menerus dengan syarat batas tahanan tepi sembarang. Pelat beton kaku orthotropik tebal h a Batang pengikat/ tie-bar X Dowel/ ruji ksy1, kry1 b ksx1, krx1 Vx+Acc.t ksx2, krx2 ksy2, kry2 Tahanan vetikal tepi pelat Pz(x,y,t)=Po(1+d.Cos[.t]) Y Tahanan rotasi tepi pelat 3. Dukungan tepi berupa dowel atau tie bar pada keempat sisi pelat terpasang di tengah tebal pelat dan diasumsikan tidak berubah tempat.

6 Batasan Lain Teori Lendutan kecil pada pelat lentur Kehilangan energi hanya akibat adanya redaman Bentuk dinamik berupa beban roda truk berupa beban terpusat ekivalen as tunggal (Equivalent Single Axle Load, ESAL) Beban bergerak mempunyai kecepatan dan percepatan positif di arah sumbu x dan bergerak di tengah lebar pelat. Gaya traksi horizontal akibat percepatan tidak diperhitungkan dalam penelitian Pengaruh suhu, perbedaan suhu pelat dan pengaruh suhu lingkungan diabaikan 5 0

7 Pelat perkerasan kaku yang ditinjau adalah di jalur tengah dari 3 jalur pelat beton Penyelesaian persamaan gerak pelat menggunakan Modified Bolotin Method (MBM)

8 Tujuan Penelitian Menganalisis respons dinamik pelat beton orthotropik yang berupa perkerasan kaku jalan raya didukung oleh pondasi elastis Pasternak. 1. Hubungan matematis parameter-parameter sistem yang secara langsung berinteraksi dengan pelat beton, pondasi pelat dan beban dinamik yang bergerak dengan kecepatan tidak konstan. 2. Studi parametrik Pengaruh variasi dari kekakuan pegas pondasi (k) dan koefisien geser pondasi (G s ) terhadap respons dinamik pelat. Analisis respons dinamik pelat akibat perubahan bermacam ukuran dowel.

9 Tujuan Pertama Hubungan Matematis Parameter Sistem

10 Jenis Pondasi Pendukung Pelat Pondasi Winkler (Winkler Foundation) Pondasi Pasternak (Pasternak Foundation) p(x,y) Pelat Lentur p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Geser Lapisan Pegas Linier Lapisan Pegas Linier Pondasi Jenis Kerr (Kerr Foundation) p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Pegas Linier 1 Lapisan Geser Lapisan Pegas Linier 2

11 Penyelesaian Persamaan Pelat Jenis Pondasi Pasternak

12 Persamaan Umum Diferensial Pelat w w w D x B. + D 2 2 y = p 4 z(x,y) x x y y

13 Persamaan Diferensial Jenis Pondasi Winkler p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Pegas Linier w w w D x B. + D 2 2 y + r 4 1 = p z(x,y) x x y y r1 = k. w Persamaan Gerak Diferensial Jenis Pondasi Pasternak p(x,y) Pelat Lentur Lapisan Geser Lapisan Pegas Linier w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t) D x + 2.B. + D y + ρ.h. 4 2 x x y y t 2 2 w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t) + γ.h. + k. w(x,y,t) G s. + = p 2 2 z(x,y,t) t x y r1 = k. w

14 Solusi total persamaan gerak diferensial (w t ) w t = w H + w P w H = Solusi homogen w P = Solusi partikuler Metode Pemisahan variabel w(x,y,t) = W(x,y). T(t) Fungsi Spatial Fungsi Temporal

15 Solusi Fungsi Spatial w(x,y,t) = W(x,y). T(t)

16 Penyelesaian Persamaan Auxiliary Pertama Asumsi Solusi Spatial : X(x) = Fungsi posisi di arah sumbu x q.π.y W(x,y) = X(x). Sin b p.π p.π π π X(x) = A 1.Cos.x + A 2.Sin.x + A 3.Cosh β.x + A 4.Sinh β.x a a ab ab Syarat batas di arah x X Kondisi Momen x = 0 x = a 2 2 A A w w w M (x=0) = Dx ν 2 y. = kr 2 x1. x y x ES-R ES-R 2 2 w w w M (x=a) = Dx ν 2 y. = kr 2 x2. x y x Kondisi Geser Vertikal B B 3 3 w B + 2.D t w V (x=0) = D x +. = ks 3 2 x1.w x Dx xy Y 3 3 w B + 2.D t w V (x=a) = D x +. = ks 3 2 x2.w x Dx xy

17 Matrix Syarat Batas di arah X x11 x12 x13 x14 A1 0 x x x x A 0 x31 x32 x33 x 34 A 3 0 x 41 x 42 x 43 x 44 A X =. = Syarat batas = 0 x x x x x x x x x x x x x x x x Pers1 = Det = Persamaan Transendental Pertama

18 Penyelesaian Persamaan Auxiliary Kedua Asumsi Solusi Spatial : Y(y) = Fungsi posisi di arah sumbu y p.π.x W(x,y) = Y(y). Sin a q.π q.π π π Y(y) = B 1.Cos.y + B 2.Sin.y + B 3.Cosh θ.y + B 4.Sinh θ.y b b ab ab Syarat batas di arah y X Kondisi Momen y = 0 ES-R 2 2 w w w M (y=0) = D y ν 2 x. = kr 2 y1. y x y A B 2 2 w w w M (y=b) = D y ν 2 x. = kr 2 y2. y x y y = b ES-R Kondisi Geser Vertikal 3 3 w B + 2.D t w V (y=0) = D y +. = ks 3 2 y1.w y Dy yx Y A B 3 3 w B + 2.D t w V (y=b) = D y +. = ks 3 2 y2.w y Dy yx

19 Matrix Syarat Batas di arah Y y11 y12 y13 y14 B1 0 y y y y B 0 y31 y32 y33 y 34 B 3 0 y41 y42 y43 y44 B Y =. = Syarat batas = 0 y y y y y y y y y y y y y y y y Pers2 = Det = Persamaan Transendental Kedua

20 Nilai p dan q x x x x x x x x x x x x x x x x Pers1 = Det = Persamaan Transendental 1 y y y y y y y y y y y y y y y y Pers2 = Det = Persamaan Transendental 2 roots p dan q

21 Koefisien A i dan B i x x x A = A A A = α.a + α.a + α.a x14 x14 x14 x + α.x x + α.x A = A A = α.a + α.a x 23 + α 13.x 24 x 23 + α 13.x 24 A = x 32 + α 11.x 34 + α 22. x 33 + α 13.x 34 x + α.x + α. x + α.x x + α.x + α. x + α.x = A1 x 42 + α 11.x 44 + α 22. x 43 + α 13.x 44 A A 1 = 1 y y y B = B B B = γ.b + γ.b + γ.b y14 y14 y14 y + γ.y y + γ.y B = B B = γ.b + γ.b y 23 + γ 13.y24 y 23 + γ 13.y24 B = y 32 + γ 11.y 34 + γ 22. y 33 + γ 13.y34 y + γ.y + γ. y + γ.y y + γ.y + γ. y + γ.y = B1 y 42 + γ 11.y 44 + γ 22. y 43 + γ 13.y44 B B 1 = 1 Koefisien A 1, A 2, A 3, A 4 W(x,y)=X(x).Y(y) Koefisien B 1, B 2, B 3, B 4

22 Frekuensi Alami Sistem ω = k + G + + D + 2.B. + D ρh a b a a b b pπ qπ pπ pπ qπ qπ pq s x y a b h k G s D x, D y B ρ ν x ν y p q = Panjang pelat di arah sumbu x = Lebar pelat di arah sumbu y = Ketebalan pelat = Kekakuan lapisan pegas = Modulus geser lapisan geser pondasi Pasternak = Kekakuan lentur pelat secara berturut-turut di arah x dan di arah y = Kekakuan relatif puntir pelat = Massa jenis pelat = Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu x = Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu y = Bilangan riil positif di arah x = Bilangan riil positif di arah y

23 Solusi Fungsi Temporal w(x,y,t) = W(x,y). T(t)

24 Fungsi Temporal T (t) = T ˆ (t) + T Solusi Total * pq pq pq (t) Solusi homogen fungsi waktu Solusi partikuler fungsi waktu -ζ.ω pq ˆT.t 2 2 pq (t) = e a 0[p,q].Cos[ωpq 1-ζ ].t + b 0[p,q].Sin[ωpq 1-ζ ].t t a b -ζ.ω pq.(t-τ) * P z (x,y,t) e 2 T pq (t) = X pq (x) dx Y pq(y) dy Sin 1-ζ ω 2 pq (t-τ) dτ ρ.h.q 0 pq x=0 y=0 1-ζ ω pq

25 Solusi Homogen w H -ζ.ω pq.t 2 2 w H = X pq (x).y pq (y).e a 0[p,q].Cos[ωpq 1-ζ ].t + b 0[p,q].Sin[ωpq 1-ζ ].t p=1 q=1 w = X (x).y (y). P pq pq p=1 q=1 Solusi Partikuler w P X (x) dx Y (y) dy Sin 1-ζ ω (t-τ) dτ t a b -ζ.ω pq.(t-τ) P z (x,y,t) e 2 pq pq 2 pq 0 ρ.h.q pq x=0 y=0 1-ζ ωpq

26 Fungsi Beban Dinamik Fungsi beban dinamik dinyatakan dalam fungsi Dirac s Delta P z (x,y,t) = p[x(t),y(t),t] = P(t).δ[x-x(t)].δ[y-y(t)] 1 P(t) = P0 1 + Cos[ωt] 2 Dengan adanya percepatan (+) di arah x, fungsi beban dinyatakan : 1 1 P(x,y,t) = P 1 + Cos[ωt] δ x x Vo.t +.Acc.t.δ y y

27 Respons Dinamik Sistem Solusi Total w t = w H + w P 2 2 w(x,y,t) = X (x).y (y). e a.e +b.e +e p=1 q=1 -ζ.ω pq 0 pq 0 pq.(t-t i.ω 1-ζ (t-t ) -i.ω 1-ζ (t-t ) 0 ) -ζ.ω pq.t pq pq 0pq 0pq 1 P 1 + Cos[ωτ] t 0 a pq ρ.h.q 0 pq 2 x=0 b pq 0 2 pq y=0 1-ζ ωpq X (x).δ x x Vo.τ +.Acc.τ dx. ζ.ω pq.τ e 2 Y (y). y y dy. Sin 1-ζ ω (t-τ) dτ

28 Respons Dinamik Pelat Interval 0 < t < t 0 w(x,y,t) = X pq (x).y pq (y) +e p=1 q=1 ζ.ω.τ pq 2 1-ζ ωpq -ζ.ω.t 2 Sin 1-ζ ω pq (t-τ) dτ pq 1 t P01 + Cos[ωτ].Y(y 0) 2 1 ρ.h.q 0 pq 2 e 0 t 0 >t 0 2.X pq Vo.τ +.Acc.τ. Interval t > t 0 13 pq w(x,y,t) = X (x).y (y).e w.cos[ω. 1-ζ.t] + p=1 q=1 ζ.ω.w + v -ζ.ω.t 2 pq pq 0pq pq pq 0pq 0pq 2 pq 2 ω pq. 1-ζ.Sin[ω. 1-ζ.t]

29 Tujuan Kedua Studi Parametrik

30 Parameter Pelat Beton Notasi Nama Nilai Satuan a Panjang pelat (sejajar sumbu x) 5 m b Lebar pelat (sejajar sumbu y) 3.5 m h Tebal pelat 0.25 m ρ Massa jenis beton 2500 Kg/m 3 γ Berat jenis beton 2450 N/m 3 E x Modulus elastisitas beton di arah sumbu x 27.0 x 10 9 N/m 2 E y Modulus elastisitas beton di arah sumbu y 22.5 x 10 9 N/m 2 ν x Poisson rasio beton di arah sumbu x 0.18 ν y Poisson rasio beton di arah sumbu y 0.15 G Modulus geser beton x 10 8 N/m 2 K Modulus dukungan beton pada dowel 2.71 x N/m 2

31 Studi Kasus Perkerasan Kaku Case a b h k G s Dowel kr1 ks1 P 0 Acc Ket m m m MN/m 3 MN/m mm N/rad/m MN/m/m KN m/det 2 Case 1 a Soft b Soil c d e Case 2 a Medium b Soil c d e Case 3 a Hard b Soil c d e

32 Frekuensi Alami Sistem Frekuensi Alami Sistem Case1a ω (rad/det) m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 m=8 m= Mode ragam - n Frekuensi alami sistem untuk Case1a. Parameter beban P 0 =80kN, ω beban =100rad/det, v=90km/jam, rasio redaman ζ=5%, Acc=2m/det 2

33 Kecepatan Kritis Case 1, Case 2, Case 3 Kecepatan Kritis Case 1 Kecepatan vs Lendutan Kecepatan Kritis Case 2 Kecepatan vs Lendutan Lendutan Absolut (m) [1a] D=0% [1a] D=5% [1a] D=10% [1b] D=0% [1b] D=5% [1b] D=10% [1c] D=0% [1c] D=5% [1c] D=10% [1d] D=0% [1d] D=5% [1d] D=10% [1e] D=0% [1e] D=5% [1e] D=10% Absolute Displacement (m) [2a] D=0% [2a] D=5% [2a] D=10% [2b] D=0% [2b] D=5% [2b] D=10% [2c] D=0% [2c] D=5% [2c] D=10% [2d] D=0% [2d] D=5% [2d] D=10% [2e] D=0% [2e] D=5% [2e] D=10% Kecepatan (km/jam) Velocity (km/h) Kecepatan Kritis Case 3 Kecepatan vs Lendutan Parameter: P 0 = 80kN ω beban = 100rad/det Acc = 2 m / 2 det Lendutan Absolut (m) [3a] D=0% [3a] D=5% [3a] D=10% [3b] D=0% [3b] D=5% [3b] D=10% [3c] D=0% [3c] D=5% [3c] D=10% [3d] D=0% [3d] D=5% [3d] D=10% [3e] D=0% [3e] D=5% [3e] D=10% Kecepatan (km/jam)

34 Respons Spektra Lendutan Pelat Dynamic Deflection m Dynamic Deflection m Time sec Dynamic Deflection m Time sec Dynamic Deflection m Time sec Time sec Parameter: P 0 = 80kN V = 90 km / jam Acc = 2m/det 2

35 Momen dan Gaya Geser Case 1a Parameter : y = b / 2 P 0 = 80kN V = 90 km / jam Acc = 2 m / 2 det T = det Parameter : x = a / 2 P 0 = 80kN V = 90 km / jam Acc = 2 m / 2 det T = det

36 Analisis Frekuensi Alami vs Variasi Dowel k(v) k(r) dowel Case 1 Case 2 Case 3 (MN/m/m) (N/rad/m) (mm) w(1,1) (rad/det) (%) w(1,1) (rad/det) (%) w(1,1) (rad/det) (%) Keterangan : Case: 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras Frekuensi Alami Case2 (Tanah Sedang) diameter dow el vs Frekuensi Alami Pelat Konstanta Pondasi vs (rad/det) Diameter dowel (mm) Case 2 (rad/det) Konstanta Pondasi (k dan G s ) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras d=22 d=25 d=28 d=32 d=36

37 Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi Dowel ζ=0% Dowel (mm) k & G s 22 (m) 25 (m) 28 (m) 32 (m) 36 (m) % Lendutan Maksimum Dowel vs Lendutan ζ=5% Dowel (mm) k & G s 22 (m) 25 (m) 28 (m) 32 (m) 36 (m) % Lendutan (m) Diameter dowel (mm) C1 D=0% C2 D=0% C3 D=0% ζ=10% Dowel (mm) Lendutan Maksimum Dowel vs Lendutan k & G s 22 (m) 25 (m) 28 (m) 32 (m) 36 (m) % Lendutan (m) C1 D=5% C2 D=5% C3 D=5% Diameter dowel (mm) Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

38 Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi k & G s (ζ=0%) D=22 k & G s (m) % D=25 (m) % D=28 (m) % D=32 (m) % D=36 (m) % (ζ=5%) D=22 k & G s (m) % D=25 (m) % D=28 (m) % D=32 (m) % D=36 (m) % (ζ=10%) D=22 k & G s (m) % D=25 (m) % D=28 (m) % D=32 (m) % D=36 (m) % Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras Lendutan Pelat Redaman 0%, Variasi k da G s dan variasi Dowel Lendutan Pelat Redaman 5%, Variasi k da G s dan variasi Dowel Lendutan (m) D=22 D=25 D=28 D=32 D=36 Lendutan (m) D=22 D=25 D=28 D=32 D= Konstanta Pondasi (k dan G s) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras Konstanta Pondasi (k dan G s) 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

39 Momen dan Geser vs Variasi Dowel Case1 (ζ=5%) Dowel (mm) mx (Nm) my (Nm) Gaya dalam qx (N) qy (N) my (Nm) Momen y redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi Ukuran dowel (mm) C1 my C2 my C3 my Momen x redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi Geser y redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi mx (Nm) Ukuran dowel (mm) C1 mx C2 mx C3 mx qx (N) Geser x redaman 5% variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi C1 qx C2 qx C3 qx qy (N) Ukuran dowel (mm) C1 qy C2 qy C3 qy Ukuran dowel (mm)

40 Mode Shape Pelat Ragam getar mode (1,1) sampai (3,3) akibat beban dinamik P 0 = 80kN, V = 90 km/jam, Acc = 2 m/det 2, ω beban = 100 rad/det, ζ = 5%

41 Animasi 3D Lendutan Pelat Akibat Beban Bergerak Defleksi total pelat beton persegi panjang orthotropik, akibat beban P 0 =80.0kN, V=90km/jam, Acc=2m/det 2, ω beban =100 rad/det, ζ=5%, interval waktu 0 < t < t 0 18

42 K e s i m p u l a n 1. Syarat batas tepi pelat yang sembarang atau memiliki kondisi jepit elastis di setiap sisi tepi pelat, sudah mendekati keadaan sebenarnya di lapangan di mana kondisi tepi pelat yang ditinjau tersebut memiliki ruji (dowel) sebagai alat transfer beban yang memberikan tahanan vertikal dan tahanan rotasi pada tepi pelat. 2. Kontribusi dari masing-masing ragam (mode) terhadap defleksi dinamik maksimum berkurang sejalan dengan meningkatnya ragam sistem. Mengikutsertakan enam buah ragam getar di arah x dan empat buah ragam getar di arah y untuk menghitung defleksi maksimum sistem adalah lebih dari cukup hingga diperoleh defleksi dinamik sistem yang akurat. 3. Beban roda kendaraan yang dimodelkan sebagai beban terpusat harmonik yang bergerak dengan kecepatan tidak konstan menyebabkan fungsi beban menjadi lebih kompleks, sehingga integrasi Duhamel dari fungsi beban yang melibatkan perkalian pangkat dua dari fungsi waktu (t) dengan fungsi cosinus dan sinus, menyebabkan penyelesaiannya menjadi rumit.

43 4. Sejalan dengan peningkatan konstanta tahanan vertikal dari 150 MN/m/m sampai 400 MN/m/m (penggunaan dowel diameter 22 mm sampai dengan diameter 36 mm) pada tepi pelat, terjadi peningkatan frekuensi alami sistem besarnya peningkatan mulai 1.05% sampai dengan 1.09 %. Peningkatan frekuensi alami ini terjadi akibat meningkatnya kekakuan pelat. 5. Akibat peningkatan kekakuan vertikal tepi pelat seperti Butir 4 membuat lendutan dinamik di pusat pelat bertambah besar mulai dari 0.84% sampai 9.44%. 6. Peningkatan konstanta pondasi pendukung pelat k dan G s sebesar 100% sampai 300% untuk 3 jenis tanah pendukung mulai dari tanah lunak k=27.2 MN/m 3, G s =9.52 MN/m (soft soil), tanah sedang k=54.4 MN/m3, Gs=19.04 MN/m (medium soil) dan tanah keras k=108.8 MN/m 3, Gs=38.08 MN/m (hard soil) mengakibatkan meningkatnya frekuensi alami sistem sebesar 23.65% sampai 53.85%. Hal ini menunjukkan bahwa sistem yang ditinjau semakin kaku. 7. Peningkatan konstanta pondasi seperti pada Butir 6 mengakibatkan lendutan dinamik di pusat pelat menurun mulai sebesar 5.94% sampai dengan 53.94%.

44 8. Besarnya gaya dalam : momen x, momen y, geser x dan geser y meningkat seiring dengan meningkatnya kekakuan vertikal tepi pelat yaitu dengan memperbesar ukuran dowel dari 22 mm sampai dengan 36 mm. 9. Lendutan dinamik maksimum yang terjadi di pusat pelat untuk parameter beban yang dipilih yaitu : P 0 =80kN, ω beban =100 rad/det, Acc=2 m/det 2 terjadi pada saat kecepatan beban berada di antara 140 km/jam sampai dengan 160 km/jam. Kecepatan ini merupakan kecepatan kritis untuk sistem yang ditinjau. Namun demikian kecepatan kritis ini sukar dicapai oleh sebuah truk yang bergerak di jalan raya. 10. Kecepatan beban yang bergerak di antara 80 km/jam sampai dengan 100 km/jam sesuai dengan grafik-grafik pada butir no. 9 akan diperoleh lendutan dinamik pelat minimum untuk parameter beban seperti pada butir no. 9. Kecepatan ini adalah kecepatan aman dan sesuai dengan kecepatan ijin maksimum yang diperbolehkan oleh PT. Jasa Marga pada jalan bebas hambatan

45 Partisipasi Ragam Getar dan Frekuensi Alami m n p q ω Lendutan Lendutan absolut Mode Participation Total rad/det m m % % E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

46 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

47 Daftar Pustaka Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2008), Dynamic response of rigid concrete pavements under dynamic traffic loads, proceeding of the EASEC-11, Taipei, November. Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2012), Dynamic analysis of rigid roadway pavement under moving traffic loads with variable velocity, Interaction and Multiscale Mechanics, Vol. 5, No.2 (2012), Are E. B., Idowu A. S., Gbadeyan J. A. (2013), Vibration of damped simply supported rectangular plates resting on elastic Winkler foundation, subjected to moving loads, Advances in Applied Science Research, 2013, 4(5), Gbadeyan, J.A. and Oni, S.T. (1992), Dynamic response to moving concentrated masses of elastic plates on a non-winkler elastic foundation, J. Sound Vib., 154(2),

48 Mingliang Li, Tao Qian, Yang Zhong, Hua Zhong (2014), Dynamic response of the rectangular plate subjected to moving loads with variable velocity, J. of Eng. Mech., 140(4), 1-7. Mohamed Gibigaye, Crespin Prudence Yabi, I. Ezechiel Alloba (2016), Dynamic response of a rigid pavement plate based on an inertial soil, International Scholarly Research Notices Volume 2016, Article ID , 9 pages. Paliwal, D. N., Siddharth K. Ghosh (2000), Stability of orthotropic plates on a Kerr foundation, AIAA J., 38(10), Pevzner, P. (2000), Further modification of Bolotin method in vibration analysis of rectangular plates, AIAA J., 38(9), Syed Oliur Rahman, Iftekhar Anam. (2005), Dynamic analysis of concrete pavement under moving loads, UAP Journal of Civil and Environmental Engineering., Vol 1, No 1, 1-6.

49 Nama Parameter Notasi Nama Satuan Dimensi Satuan Gaya N Newton (N) [kgm-m/det 2 ] Tegangan P Pascal (Pa) [N/m 2 ] Lendutan w Meter (m) [m] Kecepatan v [m/det] Massa Jenis ρ [kgm-n/m 3 ] Berat Jenis γ [N/m 3 ] Kekakuan translasi/meter ks N/m/m Kekakuan rotasi/m kr N-m/rad/m Frekuensi sudut ω rad/det Konstanta pegas Winkler k N/m 3 Konstanta geser Pasternak Gs N/m

50