LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A) A. Itineraries Points with Prime Period 3 for Q c (x) = x 2 + c Misal kita ingin mencari titik-titik periodik periode 3 dari Q (x) = x + c. Secara analisis titik-titik tersebut merupakan solusi dari persamaan Q (x) = x ((x + c) ) + c = x atau x merupakan akar dari polinomial derajat enam: x + x + (3c + 1)x + (2c + 1)x + (3c + 3c + 1)x + (c + 2c + 1)x + c + 2c + c + 1. Secara analisis, nilai x tersebut sangat susah ditentukan. Oleh karena itu, dibutuhkan symbolic dynamic, sehingga perhitungan tersebut menjadi lebih mudah. Recall (or Check) the Following for Q c, c < 2 1. Titik tetap Q adalah p =, p = 2. I = [ p, p ] 3. x I x 4. = {x I Q (x) I untuk setiap n} 5. A = c p, c p adalah subinterval terbuka dari I yang memuat semua titik x sedemikian sehingga x < p, yaitu obit dari x di bawah Q lari menuju tak hingga setelah 1 iterasi. 6. A membagi I menjadi 2 subinterval tertutup, I dan I. Itineraries Sekarang ambil x I I. Untuk setiap n, x = Q (x) I I. Definisi. Itinerary dari x adalah barisan S(x ) dari 0 s dan 1 s yang diberikan oleh S(x ) = (s s s s ) sedemikian sehingga s = 0 jika x I. 1 jika x I Itenarary dari x merupakan representasi simbol dari orbit x di bawah Q.
Contoh. 1. S(p ) = (1111 ) karena x = p I untuk setiap n. 2. S( p ) = (0111 ) karena x = p I, tetapi x = p I untuk setiap n > 0. 3. S(p ) = (0000 ) karena x = p I untuk setiap n. 4. Jika 6 suku pertama dalam orbit x di bawah Q seperti berikut maka S(x ) = (001011 ). B. The Sequence Space Definisi 1. Sequence space adalah himpunan = {(s s s s )}, s = 0 atau 1, untuk i = 0,1,2,, n, }. Setiap itinerary dari setiap x berada di. Definisi 2. Jarak antara dua titik s = (s s s ) dan t = (t t t ) di didefinisikan sebagai d[s, t] =. Deret tak hingga di atas selalu konvergen, karena s t = 0 atau 1. Jadi d[s, t] = / = 2. Contoh Diberikan s = (000000 ), t = (111111 ), u = (010101 ), maka 1. d[s, t] = = / = 2 2. d[t, u] = 1 + 0 + + 0 + + = 1 + + + = = = / 3. d[u, s] = 0 + + 0 + + = + + = = =
C. d is Called a Distance Function, or Metric, on d: R memenuhi tiga sifat berikut. Untuk setiap s, t, u : 1. d[s, t] 0 dan d[s, t] = 0 s = t (Non-negativity) 2. d[s, t] = d[t, s] (Symmetry) 3. d[s, u] d[s, t] + d[t, u] (Triangle inequality) Bukti: Bukti dari tiga sifat d bergantung secara analog sifat-sifat pada nilai mutlak (absolute value) di R, yang digunakan untuk mendefinisikan jarak antara dua bilangan real a dan b, a b. 1. d[s, t] = 0; d[s, t] = 0 s = t s = t 2. d[s, t] = = = d[t, s] 3. d[s, u] = = = d[s, t] + d[t, u] Catatan: dengan d disebut ruang metrik (metric space), yaitu ruang yang dilengkapi dengan jarak, tetapi tidak seperti ruang R atau R. Misalnya, jarak terjauh antara sebarang dua titik di adalah 2. Tidak seperti R, dimana kita dapat memilih sebarang dua bilangan real dengan jarak yang kita inginkan. Meskipun demikian, dengan d yang didefinisikan pada di atas, kita dapat menganalisis secara geometri di. D. The Proximity Theorem Dengan metric d yang didefinisikan pada, kita dapat menentukan kapan dua barisan pada ruang barisan adalah close together. The Proximity Theorem. Diberikan s, t sedemikian sehingga s = t untuk 0 i n. Maka d[s, t]. Sebaliknya, jika d[s, t] <, maka s = t untuk 0 i n. Yaitu, 2 barisan close together jika sejumlah entri pertama mereka sama.
Bukti: Diberikan s = t untuk 0 i n, maka d[s, t] = = = / =. Di sisi lain, jika s t untuk beberapa j n, maka d[s, t]. Akibatnya, jika d[s, t] <, maka s = t untuk 0 i n. E. Calculus Review: Limits and Continuity Kita ingat kembali beberapa definisi berikut: 1. lim f(x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x a < δ f(x) L < ε. 2. f kontinu di titik c jika lim f(x) = f(c). 3. f kontinu pada interval terbuka (a, b) jika lim f(x) = f(c) untuk setiap c (a, b). 4. f Kontinu pada interval tertutup [a, b] jika lim f(x) = f(c) untuk setiap c (a, b), dan lim f(x) = f(a) dan lim f(x) = f(b). 5. f: R R kontinu pada R jika f kontinu di setiap titik c R. Four Definition, and New Ways to Describe Continuity Definisi 1. Suatu subset A R terbuka (open) jika merupakan gabungan dari interval-interval terbuka. Definisi 2. Suatu subset A R tertutup (closed) jika merupakan komplemen dari suatu himpunan terbuka. Yaitu R A terbuka. Definisi 3. Closure dari suatu subset A R adalah A, yaitu irisan semua himpunan tertutup yang memuat A. Definisi 4. Jika Y suatu subset dari R dan f: R R, maka f (Y) = {x R f(x) Y}
Teorema. Diberikan suatu fungsi f: R R. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen. 1. f kontinu pada R. 2. f (A) adalah open set untuk setiap open set A R. 3. Unuk setiap subset A R, f(a ) f(a). 4. f (A) adalah closed set untuk setiap closed set A R. Examples and Comments 1. R dan merupakan himpunan terbuka dan tertutup. 2. Gabungan sebarang sejumlah himpunan terbuka juga terbuka; Irisan sebarang berhingga himpunan terbuka juga terbuka. 3. Irisan sebarang sejumlah himpunan tertutup juga tertutup; Gabungan sebarang berhingga himpunan tertutup, juga tertutup. 4. (a, b) = [a, b]; jika A = n N, maka A = A {0}. 5. Diberikan f kontinu di x = c, dan gunakan pernyataan (2) pada teorema di atas. Untuk setiap ε > 0, A = (f(c) ε, f(c) + ε) merupakan interval terbuka, sehingga f (A) himpunan terbuka. Karena c f (A), maka terdapat interval terbuka (a, b) sedemikian sehingga c (a, b). Pilih δ = min {c a, b c}. Sehingga sifat kontinu dari f di x = c mengabibatkan lim f(x) = f(c). F. Open Intervas and Open Sets in Dengan menggunakan fungsi jarak d sebagaimana didefinisikan sebelumnya, himpunan terbuka (open set) di didefinisikan sebagai berikut. 1. Suatu interval terbuka (open interval) dengan jari-jari ε dan titik pusat di a adalah himpunan {s d[s, a] < ε}. 2. Suatu himpunan terbuka (open set) di adalah gabungan sebarang sejumlah interval-interval terbuka di. Catatan. Jika ε = 2 =, maka s berada pada interval terbuka dengan jari-jari ε dan pusat di a jika s = a, untuk 0 i n, berdasarkan Proximity Theorem. Yaitu, n + 1 entri pertama dari s harus sama dengan n + 1 entri pertama dari a.
G. Definition of the Shift Map Definisi. Shift map σ: didefinisikan sebagai σ(s s s s s ) = (s s s s ). Yaitu, untuk s, σ(s) diperoleh dari s dengan menghilangkan entri pertama. Sebagai contoh: 1. σ(010101 ) = (10101 ) 2. σ(011111 ) = (11111 ) 3. σ(001011 ) = (01011 ) Iterating the Shift Map Sangat mudah untuk menjalankan iterasi the shift map, yaitu cukup membuang entri pertama pada setiap langkah. Sebagai contoh: 1. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) = (s s s s ) 2. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) = (s s s s ) 3. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) Notation: Jika s = (s s s s s s s s s ) adalah barisan berulang, cukup ditulis s = (s). The Periodic Points of the Shift Map Jika s = (s) adalah barisan berulang (repeating sequence), maka σ (s) = s. Sebaliknya, sebarang titik periodik periode n untuk σ merupakan barisan berulang. Semua titik periodik untuk σ dapat ditulis: 1. σ hanya mempunyai 2 titik tetap, yaitu (11111 ) dan (00000 ). 2. σ hanya mempunyai 2 titik periodik periode 2, yaitu (01 ) atau (10 ), yang membentuk 2-cycle: σ(01 ) = (10 ) dan σ(10 ) = (01 ). 3. σ hanya mempunyai dua 3-cycle: (001 ) (010 ) (100 ) (001 ) dan (110 ) (101 ) (011 ) (110 ) Continuity of the Shift Map Teorema. Shift map σ: kontinu di setiap titik di. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap s, dan untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
d[s, t] < δ d[σ(s), σ(t)] < ε. Ambil bilangan bulat n dengan < ε dan pilih δ = Proximity Theorem diperoleh d[s, t] < s = t, untuk 0 i n + 1 σ(t) = (s s s s t t ) d[σ(s), σ(t)] < ε, dengan menggunakan Proximity Theorem lagi. H. Conjugacy. Maka berdasarkan Connections, Connections,..., and a Commuting Diagram Kita mempunyai Q :, σ, dan S. Apa hubungan antara ketiga fungsi tersebut? Teorema ( dan sama). Jika c <, maka S suatu homeomorphism (bijektif, kontinu, dan invers kontinu). Teorema. Jika x, maka (S Q )(x) = (σ S)(x), yaitu S Q = σ S dan berlaku diagram berikut Bukti: Ambil x dan diberikan S(x) = (s s s s ). Hal ini berarti Q (x) I, untuk n 0, dengan I adalah I atau I, bergantung pada s. Yaitu Q (x) I, Q (x) I, Q (x) I, dan itinerary dari Q (x) adalah (s s s ). Akibatnya. S(Q (x)) = (s s s ) = σ(s s s s ) = σ(s(x)), atau ekuivalen dengan (S Q )(x) = (σ S)(x).
More Commuting Diagram yaitu S Q = σ S. yaitu S Q = σ S. Secara umum S Q = σ S. Orbits of x under Q c and Orbits of S(x) under σ. Jadi, S mengubah (convert) orbit dari x di bawah Q menjadi orbit dari S(x) di bawah σ, yaitu x, Q (x), Q (x), Q (x),, Q (x), menjadi S(x), σs(x), σ S(x), σ S(x),, σ S(x), Dengan mengetahui tentang orbit di bawah σ kita berharap dapat berbicara sesuatu tentang orbit di bawah Q. Further Properties of S Dapat dibuktikan sifat-sifat dari S berikut 1. S satu-satu: S(x) = S(y) x = y 2. S pada (onto): ( s )( x ) S(x) = s 3. S Kontinu, yaitu: jika x, maka untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga x, y, y x < δ d[s(y), S(x)] < ε 4. S : juga kontinu. What is a Homeomorphism? Diberikan h: X Y dan d dan d adalah fungsi jarak yang berturut-turut didefinisikan pada X dan Y. Maka h disebut homeomorphism jika 1. h satu-satu: h(x) = h(y) x = y 2. h onto: ( y Y)( x X)h(x) = y 3. h kontinu, yaitu: jika x X, maka untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga d [x, y] < δ d [h(y), h(x)] < ε 4. h : Y X juga kontinu
Ekuialen. h: X Y merupakan homeomorphism jika h bijektif yang memetakan himpunan terbuka ke himpunan terbuka, dan himpunan tertutup ke himpunan tertutup. Akibat. x dan x close together di X jika dan hanya jika h(x ) dan h(x ) close together di Y. Contoh. S merupakan homeomorphism. Demikian juga h(x) = x, h: R R merupakan homeomorphism. Conjugacy Definisi. Diberikan dua fungsi F: X X dan G: Y Y. F dan G disebut conjugate jika terdapat suatu homeomorphism h: X Y sedemikian sehingga h F = G h; h disebut conjugacy. h F = G h F = h G h G = h F h The Conjugacy Theorem Teorema. Shift map σ pada merupakan conjugate ke Q pada ; S adalah conjugacy. S Q = σ S Q = S σ S σ = S Q S Hal ini berarti bahwa dinamika dari σ pada dan Q pada secara esensial sama. Sebagai contoh: 1. S mengubah orbit dari x di bawah Q menjadi orbit S(x) di bawah σ. 2. S mengubah orbit dari s di bawah σ menjadi orbit dari S (s) di bawah Q.
3. Jika s periodic point untuk σ maka S (s) adalah periodic point untuk Q, dengan periode yang sama. 4. Jika s eventually periodic point untuk σ maka S (s) adalah eventually periodic point untuk Q. Misalnya: σ(s) = s S σ(s) = S (s) Q S (s) = S (s) I. The N-Shift Diberikan, yaitu ruang barisan dengan entri-entri bilangan bulat positif 0,1,2,, N 1, dan σ adalah shift map pada. Untuk s, t, didefinisikan fungsi jarak d[s, t] =. Shift map σ N : N N kontinu. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap s, dan untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga d[s, t] < δ d[σ (s), σ (t)] < ε. Ambil bilangan bulat n dengan < ε dan pilih δ =. Maka berdasarkan Proximity Theorem diperoleh d[s, t] < s = t, untuk 0 i n + 1 σ (t) = (s s s s t t ) d[σ (s), σ (t)] < ε, dengan menggunakan Proximity Theorem lagi. Jumlah Titik Periodik Periode 2 yang Dimiliki σ N Terdapat N titik tetap σ, yaitu (000 ), (111 ),, ((N 1), (N 1), (N 1), ). Terdapat N titik tetap dari σ, dimana N diantaranya merupakan titik tetap dari σ. Jadi terdapat N N titik periodik periode 2. Didefinisikan fungsi jarak baru: d [s, t] = δ (s, t) N dengan δ = 1 jika s t 0 jika s = t Dapat ditunjukkan d [s, t] merupakan metric pada.
Jarak Maksimum dua Titik Menggunakan d δ [s, t] di N Jarak maksimum diperoleh dengan memaksimalkan setiap suku pada penjumlahan d : d [s, t] = (,) =. Dapat dicek jarak tersebut merupakan jarak antara (000 ) dan (111 ).