METODE TRANSPORTASI Metode Kuantitatif. 70
POKOK BAHASAN VI METODE TRANSPORTASI Sub Pokok Bahasan : 1. Metode North West Corner Rule 2. Metode Stepping Stone. 3. Metode Modi 4. Metode VAM Instruksional Khusus : Setelah mempelajari Bab VI ini mahasiswa diharapkan mampu : 1. Memahami, menjelaskan dan menyelesaikan permasalahan transportasi dengan metode NWCR. 2. Memahami, menjelaskan dan menyelesaikan permasalahan transportasi dengan metode Stepping Stone. 3. Memahami, menjelaskan dan menyelesaikan permasalahan transportasi dengan metode Modi. 4. Memahami, menjelaskan dan menyelesaikan permasalahan transportasi dengan metode VAM. 5. Memahami, menjelaskan dan menyelesaikan permasalahan degeneracy, dan penggunaan variabel dummy. Metode Kuantitatif. 71
POKOK BAHASAN VI. METODE TRANSPORTASI 6.1. Pendahuluan Metode transportasi termasuk salah satu bentuk khusus dari linier programming. Agar dicapai kondisi optimal, maka fungsi batasan harus bertanda sama dengan (=). Metode ini digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi ini harus diatur, karena terdapat perbedaan biaya alokasi dari satu sumber ke tempat tujuan yang berbeda, dan atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda juga. Metode ini dapat dimodifikasi untuk memecahkan permasalahan dalam dunia bisnis antara lain : pembelanjaan modal, keseimbangan perakitan perencanaan dan penjadualan produksi, masalah periklanan, dan lain-lain. Ada beberapa macam metode transportasi yang semuanya terarah pada penyelesaian optimal dari permasalahan-permasalahan transportasi yang terjadi. Ahliahli yang mempelopori metode transportasi ini diantaranya adalah : F.L. Hitchcock (1941), T.C. Koopmans (1949), dan G.B. Dantziq (1951). 6.2. Asumsi Dasar Model umum suatu permasalahan transportasi klasik dilandasi dengan asumsiasumsi sebagai berikut : 1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkat tersedia dalam jumlah yang tetap dan diketahui. Metode Kuantitatif. 72
2. Bahwa produk tersebut yang akan dikirim melalui jaringan transportasi yang ada dengan memakai cara pengangkutan tertentu dari pusat pengadaan ke pusat-pusat permintaan. 3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaanpun diketahui dalam jumlah yang tertentu dan tetap. 4. Bahwa biaya angkut per unit produk yang diangkut juga diketahui, sehingga tujuan untuk meminimumkan biaya angkut total dapat dicapai. Model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut : (Source) (Supply Si) (Destination) (Demand Dj) X11 C11 i = 1 X12 C12 j = 1 X1n C1n X21 C21 i = 2 X22 C22 j = 2 X2n C2n Xm1 Cm1 i = m Xm2 Cm2 j = m Xmn Cmn Gambar 6.1: Diagram Permasalahan Transportasi Metode Kuantitatif. 73
6.3. Model Matematis Apabila ada sejumlah m pusat pengadaan (sumber) dan akan di distribusikan ke sejumlah n pusat permintaan (tujuan), maka secara matematis model transportasi dapat ditulis sebagai berikut : m n Fungsi : Minimumkan Z = c ij X ij i = 1 j = 1 Batasan : 1. X ij = a i j = 1 2. X ij = b j j = 1 n n m 3. a i = b j i = 1 j = 1 n 4. X ij 0 Dimana : X ij : Variabel keputusan, dalam hal ini jumlah produk yang diangkut dari sumber i ke tujuan j. a i : Jumlah yang disediakan untuk diangkut (jumlah supply) di titik asal i. b j : Jumlah yang diminta untuk didatangkan (jumlah permintaan) di titik tujuan j. c ij : Biaya pengangkutan per unit produk X ij yang bersangkutan (pada rute angkutan tertentu dengan memakai cara angkutan tertentu pula). m n : Jumlah pusat pengadaan (sumber). : Jumlah pusat permintaan (tujuan). Metode Kuantitatif. 74
6.4. Penyelesaian Persoalan Transportasi berikut : Secara skematis penyelesaian masalah transportasi dapat digambarkan sebagai Menentikan solusi fisibel Basis awal dengan : NWCR / VAM Solusi fisibel Sudah optimum? Ya Tulis (dengan SS / Modi) Solusi Tidak Menentukan entering variabel dan Leaving variabel dengan : SS / Modi NWCR SS VAM Modi : North West Corner Rule : Stepping Stone : Vogel Aproximation Methods : Modified Distribution = Multiplier Gambar 6.2: Penyelesaian Masalah Transportasi Metode Kuantitatif. 75
Contoh : Sebuah perusahaan mempunyai 3 pabrik di lokasi yang berbeda, yaitu di A, B, dan C. Perusahaan ini harus mendistribusikan produksinya ke 3 gudang yang lokasinya juga berlainan, yaitu di gudang I, II, dan III. Kapasitas pabrik, kebutuhan masing-masing gudang, dan biaya transportasi dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang adalah sebagai berikut : Gudang I Gudang II Gudang III X A1 X A2 X A3 Kapasitas Pabrik X B1 X B2 X B3 60 X C1 X C2 X C3 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Bagaimanakah alokasi barang produksi dari 3 pabrik ke 3 gudang agar biaya transportasi totalnya dapat minimum? a). Metode North West Corner Rule (NWCR) Metode North West Corner Rule (NWCR) ini merupakan metode awal. Metode ini belum tentu menghasilkan solusi yang optimum. Jika belum optimum maka dapat dilanjutkan dengan metode yang lainnya misalnya metode Staping Stone atau metode Modi. Metode Kuantitatif. 76
Langkah-langkah metode NWCR : *) Isilah sel pojok kiri atas dengan sejumlah maksimum sumber atau tujuan yang paling mungkin. *) Pengisian dilanjutkan ke sel sebelah kanan atau bawah yang masih bersisa. *) Isilah kotak tersebut dengan sejumlah maksimum sumber atau tujuan yang paling mungkin. *) Seterusnya sama seperti di atas sampai terisi sel pojok kanan bawah. Contoh : Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3 40 Kapasitas Pabrik 60 60 10 40 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Dengan alokasi barang seperti ini maka biaya transportasi total adalah sebesar = (20) + 40 (5) + 60 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 3260 b). Metode Stepping Stone Langkah-langkah Metode Stepping Stone : *) Setelah metode NWCR, dievaluasi apakah solusi awal telah optimum. Jika belum, dapat dilanjutkan dengan metode yang lain misalnya Stepping Stone. Metode Kuantitatif. 77
*) Perubahan alokasi dilakukan secara coba-coba (trial and error). Caranya tentukan entering variabel dan leaving variabel dengan membuat loop tertutup (circle) secara trial and error. Misalnya sel X A1 X B1 X B2 X A2. *) Pindahkan 1 satuan barang dari dari sel X A1 ke sel X B2, dan sebagai konsekuensinya pindahkan juga 1 satuan barang dari sel X B2 ke sel X A2. Kemudian hitunglah pengurangan biaya transportasi yang dapat dihemat = - 20 + 15-20 + 5 = - 20. Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3-40 + Kapasitas Pabrik + 60-60 10 40 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Karena tandanya (-) maka alokasikan sebanyak yang bisa (yaitu unit) sehingga : Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3 Kapasitas Pabrik 10 60 10 40 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Metode Kuantitatif. 78
Perubahan alokasi yang baru tersebut, maka biaya transportasi totalnya menjadi = (5) + (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 2260. Atau berkurang sebesar = 3260 2260 = 1000. Angka pengurangan sebesar 1000 tadi berasal = setiap alokasi 1 unit dapat mengurangi biaya transportasi 20, maka kalau yang dialokasikan sebanyak unit, maka biaya yang dapat dikurangi = 1000. *) Kemudian dengan cara yang sama dicobakan untuk alokasi pada segi empat (loop tertutup) yang lainnya. Jika dapat mengurangi biaya maka dialokasikan sebanyak yang bisa. *) Catatan, jika dalam pemindahan barang ternyata perubahan biaya transportasi ternyata bertanda positif, artinya justru akan berakibat menambah biaya transportasi, oleh karena itu jangan dilakukan, cobalah dengan sel-sel yang lainnya. Begitu seterusnya sampai diperoleh biaya transportasi total yang paling minimum. c). Metode VAM (Vogel Aproximation Method) Langkah-langkah : *) Hitung denda baris, dengan cara mengurangkan biaya terkecil dari setiap baris terhadap biaya terkecil kedua dari baris yang bersangkutan. Lakukan juga untuk setiap kolom. *) Pilih denda baris / kolom yang terbesar. *) Jika terdapat 2 nilai denda yang sama maka pilihlah salah satu diantaranya. *) Alokasikan sebanyak mungkin pada sel yang mempunyai ongkos / unit terkecil. *) Hilangkan baris / kolom dimana Si / dij sudah sama dengan nol. *) Ulangi sampai diperoleh optimum. Metode Kuantitatif. 79
Contoh : Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3 Kapasitas Pabrik Denda Baris 3 60 5 9 Kebutuhan Gudang 110 40 200 Denda Kolom 5 5 2 Karena 9 adalah denda baris yang paling besar maka pada baris pabrik C dialokasikan pada kotak yang biaya transpornya paling kecil (Gudang 2) sebanyak yang bisa (X C2 = unit), dan baris dihilangkan karena kapasitasnya sudah habis. Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3 Kapasitas Pabrik Denda Baris 3 60 5 Kebutuhan Gudang 60 40 200 Denda Kolom 5 15 2 Metode Kuantitatif. 80
Denda yang paling besar adalah 15, maka analog dialokasikan pada kotak X A2 sebesar 60 unit. Kolon gudang 2 dihilangkan karena kapasitasnya sudah habis. Gudang 1 Gudang 3 20 8 Kapasitas Pabrik Denda Baris 30 12 15 10 60 5 Kebutuhan Gudang 40 200 Denda Kolom 5 2 Analog pada kotak X A3 dialokasikan sebanyak 30 unit, dan baris pabrik A dihilangkan. Gudang 1 Gudang 3 Kapasitas Pabrik Denda Baris 15 10 60 5 Kebutuhan Gudang 10 200 Denda Kolom 5 2 Metode Kuantitatif. 81
Karena tinggal 1 baris maka barang sebanyak 60 unit dialokasikan ke kotak X B1 sebanyak unit dan kotak X C3 sebanyak 10 unit. Sehingga akhirnya distribusi barang yang dapat memberikan biaya transportasi total yang minimum adalah sebagai berikut : Gudang 1 Gudang 2 Gudang 3 60 30 Kapasitas Pabrik Denda Baris 3 10 60 5 9 Kebutuhan Gudang 110 40 200 Denda Kolom 5 5 2 Jadi biaya transportasi totalnya adalah = 60 (5) + 30 (8) + (15) + 10 (10) + (10) = 18. Biaya transportasi ini adalah yang paling minimum. d). Metode MODI (Modification Distribution) Metode MODI (Modification Distribution) merupakan menyempurnaan dari metode stepping stone, yaitu dengan menentukan segi empat kosong yang dapat mengurangi biaya dengan cara yang lebih cepat dan pasti. Langkah-langkah Metode MODI: *) Buat Cij = Ui + Vj pada variabel dasar. Ui adalah nilai baris, dan Vj adalah nilai kolom, sedangkan Cij adalah biaya pengangkutan 1 unit barang dari sumber I ke tujuan j. Metode Kuantitatif. 82
*) Cari harga Ui dan Vj. Sebagai langkah awal nilai baris pertama diberi nilai nol. Sedangkan nilai kolom atau baris yang lain dihitung menggunakan rumus diatas. C A1 = U A + V 1 20 = 0 + V 1 V 1 = 20 C A2 = U A + V 2 5 = 0 + V 2 V 2 = 5 C B2 = U B + V 2 20 = U B + 5 U B = 15 C C2 = U C + V 2 10 = U C + 5 U C = 5 C C3 = U C + V 3 19 = 5 + V 3 V 3 = 14 *) Hitung Cij - (Ui + Vj) pada sel bukan variabel dasar. Angka ini disebut sebagai indeks perbaikan. C B1 - (U B + V I ) = 15 (15 + 20) = - 20 C C1 - (U C + V 1 ) = 25 (5 + 20) = 0 C A3 - (U A + V 3 ) = 8 (0 + 14) = - 6 C B3 - (U B + V 3 ) = 10 - (15 + 14) = - 19 Dipilih indek perbaikan yang bernilai negatif paling besar, yaitu kotak X B1. Dari kotak ini dibuat segi empat tertutup (loop tertutup) seperti pada stepping stone. U A = 0 U B = 15 U C = 5 Gudang 1 V 1 = 20 Gudang 2 V 2 = 5 Gudang 3 V 3 = 14-40 + + 60-10 40 Kapasitas Pabrik 60 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Metode Kuantitatif. 83
U A = 0 U B = 15 U C = 5 Gudang 1 V 1 = 0 Gudang 2 V 2 = 5 Gudang 3 V 3 = 14-10 + + 10 40 - Kapasitas Pabrik 60 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Dengan perubahan alokasi ini biaya transportasi total menjadi = (5) + (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 2260. U A = 0 U B = - 4 U C = 5 Gudang 1 V 1 = 19 Gudang 2 V 2 = 5 Gudang 3 V 3 = 14 - + 10 + 20 30 - Kapasitas Pabrik 60 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Biaya transportasi total = (5) + (15) + 10 (10) + 20 (10) + 30 ( 19) = 2070 *) Bila Cij - (Ui + Vj) 0, solusi belum optimal. *) Begitu seterusnya sampai diperoleh biaya transportasi total yang terendah. Metode Kuantitatif. 84
U A = 0 U B = 2 U C = 5 Gudang 1 V 1 = 13 Gudang 2 V 2 = 5 Gudang 3 V 3 = 8 60 30 10 Kapasitas Pabrik 60 Kebutuihan Gudang 110 40 200 Akhirnya biaya transportasi total = 60 (5) + 30 (8) + (15) + 10 (10) + (10) = 18. Biaya ini adalah yang paling minimum (optimal) karena indek perbaikannya sudah tidak ada yang bernilai negatif. 6.5. Kapasitas Tidak Sama Dengan Kebutuhan Jika kebutuhan tujuan tidak sama dengan kapasitas sumber maka untuk menyelesaiakannya harus dibuat kolom dummy atau baris dummy tergantung mana yang lebih banyak dari yang lainnya baris atau kolomnya. Dengan tambahan kolom atau baris dummy ini, maka penyelesaian dapat diteruskan sampai tercapai kondisi optimal. 6.6. Masalah Degeneracy Dalam mengisi tabel awal dengan metode NWCR, kadang terjadi masalah degeneracy, yaitu jika banyaknya segi empat kurang dari m + n 1. (m = banyaknya Metode Kuantitatif. 85
baris dan n = banyaknya kolom). Dengan adanya masalah degeneracy ini pengisian kotak tidak bisa dilanjutkan karena ada kotak yang kosong. Untuk mengatasi masalah ini kita bisa isi kotak yang kosong tersebut dengan angka 0 (nol). Dengan demikian pengisian dapat kita lanjutkan sampai kotak kanan bawah. 6.7. Ringkasan 1. Metode transportasi merupakan bentuk khusus dari model linear programming. 2. Metode ini hanya mengenal masalah minimisasi, karena trnsportasi termasuk unsur biaya. Tetapi tidak menutup kemungkinan metode ini dapat diterapkan untuk bidang yang lain dalam masalah maksimisasi. 3. Ada banyak metode untuk menganalisis masalah transportasi, tetapi dapat dikategorikan ke dalam metode awal dan metode lanjutan. 4. Yang termasuk metode awal adalah metode NWCR (North West Corner Rule) dan VAM. 5. Yang termasuk metode lanjutan adalah metode Stepping Stone, Modi dan VAM. 6. Untuk kasus-kasus khusus, dapat ditambahkan variabel dummy. 6.8. Soal-Soal 1. Seorang pedagang besar beras mempunyai 3 gudang di Cianjur, Cikampek dan Sumedang, yang masing-masing menyimpan beras sebanyak 60, 80, dan 100 ton. Pedagang besar tersebut mempunyai daerah pemasaran di Bandung, Bogor, Jakarta, dan Cirebon, yang masing-masing membutuhkan beras sebanyak 40, 60, 80, dan ton. Ongkos angkut tiap-tiap ton beras dari : Cianjur, Cikampek, dan Metode Kuantitatif. 86
Sumedang ke: Bandung, Bogor, Jakarta, dan Cirebon adalah sebagai berikut (dalam rupiah/ton) : Dari Ke Bandung Bogor Jakarta Cirebon Cianjur 11.000 12.000 13.000 14.000 Cikampek 14.000 13.000 12.000 10.000 sumedang 10.000 12.000 12.000 11.000 Saudara diminta mengalokasikan pendistribusian beras yang optimum, dan berapa ongkos transportasi totalnya? 2. Sebuah perusahaan minyak goreng memiliki 3 daerah perkebunan, yaitu di A, B, dan C. Kapasitas produksi CPO masing-masing perkebunan berturut-turut adalah : 600.000 liter, 0.000 liter, dan 800.000 liter setiap harinya. Minyak CPO tersebut diangkut ke pabrik pengolahan yang ada di 3 lokasi yaitu : X, Y, dan Z. Kapasitas masing-masing pabrik pengolahan minyak goreng berturut-turut adalah : 400.000 liter, 800.000 liter dan 700.000 liter CPO. Biaya pengangkutan per 100.000 liter CPO adalah sebagai berikut : Dari A ke X, dan Y adalah : Rp. 120.000 dan Rp. 180.000. Ke Z tidak dilakukan pengiriman. Dari B ke X, Y, Z masing-masing : Rp. 300.000, Rp. 100.000, dan Rp. 80.000. Dari C ke X, Y, Z masing-masing : Rp. 200.000, Rp. 2.000, dan Rp. 120.000. Bagaimana usul Saudara untuk mendistribusikan CPO tersebut sebaik-baiknya? Metode Kuantitatif. 87
Daftar Pustaka 1. Hani Yuraningsih, Linda Kurniawati, 1995, Riset Operasional, Sekolah Tinggi Informatika & Teknik Komputer, Surabaya. 2. Nasendi B,D, Affendi Anwar, 1995, Program linear dan Variasinya, Gramedia, Jakarta 3. Pangestu Subagyo, Marwan A, T. Hani Handoko, 1992, Dasar-Dasar Operations Research, BPFE, Yogyakarta. 4. Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati, 2003, Operations Research Model-Model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algensindo, Bandung. Metode Kuantitatif. 88