ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi tempt kedudukn titik-titik yng perndingn jrkny terhdp sutu titik dn sutu gris yng dikethui esrny tetp. ( e < ). Titik itu diseut fokus dn gris tertentu itu diseut direktriks. Untuk sutu elips, jrk terjuh ntr du titik pd elips diseut sumu myor, dengn titik-titik ujung sumu myor diseut titik-titik punck elips. Rus gris yng tegk lurus dn memgi sumu myor menjdi gin yng sm diseut sumu minor. y L 0 A Keterngn gmr : Koordint titik pust O (0,0) Koordint titik fokus F (c,0) dn F (-c,0) AA diseut sumu myor (sumu pnjng) BB diseut sumu minor (sumu pendek) Unsur unsur elips yitu :. Pust elips O (0,0). Sumu simetri dlh sumu X dn sumu Y 3. Fokusny F (c, 0) dn F (-c, 0)
4. Pnjng sumu myor =, pnjng sumu minor = 5. LL = Ltus Rectum = 6. PF + PF = 7. Perndingn jrk dri sutu titik pd elips ke titik focus dengn ke gris direktris g diseut eksentrisits (e) tu e= c. persmn gris direktriks g = e = c dn g = e = c 8. c= B. Persmn Elips. Persmn elips dengn pust di O (0,0) Berikut ini kn dierikn persmn elips erdsrkn letk titik pust elips.. Untuk elips yng erfokus pd sumu, persmn elipsny dlh Dengn : - Pust (0,0) - Fokus F (-c, 0) dn F (c,0). Untuk elips yng erfokus pd sumu y, persmn elipsny dlh : y y tu, Dengn : - Pust (0,0) - Fokus F (0,-c) dn F (0,c) Cttn : c Contoh Tentukn persmn elips yng erpust di O(0,0), fokus (-4,0) dn (4,0) dengn sumu myor 0 stun. Jw : Fokus di F (-4,0) dn F (4,0) mk c = 4 ( fokus pd sumu ) Pnjng sumu myor = 0, mk = 0. Sehingg = 5
3 c 5 6 9 3 Persmn elipsny : y 5 y 3 5 y 9 Jdi persmn elipny dlh Contoh y 5 9 y 6 9 Dikethui persmn elips, tentukn koordint titik punck, koordint titik fokus, pnjng sumu myor, sumu minor, eksentrisits, persmn direktriks dn pnjng lctus rectum! Jw : Dri persmn elips y 6 9, diperoleh = 6, mk = 4; = 9, mk = 3. c = -, sehingg c = 6 9 =7, mk c = 7. Dri dt dits diperoleh : - Titik punck (,0) = (4,0) dn (-,0)=(-4,0) - Titik focus ( -c,0) = (- 7,0 ) dn ( c,0)=( 7,0 ) - Pnjng sumu myor = =. 4 = 8 - Pnjng sumu minor = =. 3 = 6 - Eksentrisits: e= c = 7 4
4 - Persmn direktriks : e 4 7 4 6 7 6 7 7.9 8 4 - Pnjng lctus rectum = 4 4 Contoh 3 Tentukn : pust, focus, sumu simetri, sumu pnjng, sumu pendek, direktriks, dn eksentrisits dri persmn elips erikut : 9 + 5y = 900 Jw: Pertm nytkn persmn yng dierikn ke dlm entuk ku dengn memgi msing-msing rus dengn 900 dn diperoleh entuk ku y 00 36 = 0, = 6, c = 8 pust O(0,0) Fokus (8, 0) dn (-8, 0) Sumu simetri : sumu X dn sumu Y Sumu pnjng = = 0 Sumu pendek = = Direktriks : = c 00 = 8 = c 8 0 : e = 5 Eksentrisits 4
. Persmn elips yng erpust di P(α,β). Untuk elips yng erfokus pd sumu utm yng terletk pd / sejjr sumu, persmn elipsny dlh Dengn : - Pust (α,β) - Titik fokus di F α - c, β) F - Titik punck - Pnjng sumu myor = - Pnjng sumu minor = - Persmn direktriks c. Untuk elips yng erfokus pd sumu utm yng terletk pd / sejjr sumu y, persmn elipsny dlh Dengn : - Pust (α,β) - Titik fokus di F (α, β - c) & F (α, β + c) - Titik punck (α, β - ) & (α, β + ) - Pnjng sumu myor = - Pnjng sumu minor = - Persmn direktriks y c 5
6 Contoh 4 Tentukn titik pust, titik fokus, titik punck, pnjng sumu myor dn sumu minor dri persmn elips 4 9y 6 8y 0 Jw : Nytkn terleih dhulu persmn elips terseut ke dlm entuk ku y 4 9y 6 8y 0 y 4 6 9y 8y y y 4 4 9 4 9 y 4 4 9 y 4 6 9 9 y 4 9 6 9 y 4 9 36 y 9 4
7 Dri persmn dits diperoleh : α =, β =, = 9 mk = 3, = 4 mk =, c 3 9 4 5 - Pust ( α,β ) = (, ) - Titik fokus di F ( α-c, β ) = ( - 5, ) & F ( α+c, β ) =( + 5, ) - Titik punck ( α-, β ) = ( -3, ) = ( -, ) & ( α+, β ) = ( +3, ) = ( 5, ) - Pnjng sumu myor = =.3 = 6 - Pnjng sumu minor = =. = 4 Contoh 5 Tentukn : pust, focus, sumu simetri, sumu pnjng, sumu pendek, direktriks, dn eksentrisits dri persmn elips erikut : + 4y 4 + 4y + 4 = 0 Jw : + 4y 4 + 4y + 4 = 0 ( ) 4 + 4(y + 3) 36 = -4 ( ) + 4(y + 3) = 36 ( ) ( y 3) 36 9 pust (, -3) 39 9 7 3 3 = 6, = 3, c = 3 Fokus (3, -3) Sumu simetri : = dn y = -3 Sumu pnjng = = Sumu pendek = = 6 Direktriks : = c = 36 4 3 3 3
8 : e = Eksentrisits c 3 3 6 3 Contoh 6 Tentukn persmn ellips yng erpust di (5,3) dengn sumu myor dn sumu pendek erturutturut 6 dn 4. Jw : Sumu pnjng = 6, errti = 3 Sumu pendek = 4, errti = Jdi persmn ellipsny dlh : y ( 5 ) 3 + ( y ( 3) ) = ( 5 ) 9 + ( y+3) 4 = C. Persmn Gris Singgung Elips. Gris Singgung dengn grdien m pd pust O (0,0) Jik gris h : y = m + n menyinggung elips + y =, mk esrny diskriminn D = 0. Kit sudh mengethui hw diskriminn dri persmn kudrt yng dihsilkn oleh kedu persmn di ts dlh D = -4 (n - m ), sehingg diperoleh -4 (n - m ) = 0 n - m = 0 n = + m n = ± m +
9 Jdi, persmn gris singgung pd elips didefinisikn dengn persmn : + y = dengn grdient m y = m ± m +. Persmn gris singgung dengn grdient m dengn pust P(α,β) Dengn cr yng serup dengn di ts dpt ditemukn persmn gris singgung ellips yng tidk erpust di (0,0)misl di P (α,β) yitu: y β =m α ± m +. Persmn Gris singgung mellui seuh titik pd elips dengn pust O (0,0) y h P + Perhtikn gmr dits yng memperlihtkn seuh gris h yng menyinggung elips + y = di titik P (, y ). Persmn gris singgung elips persmn. + y = di titik P (, y ) didefinisikn dengn + y y = 3. Persmn gris singgung mellui seuh titik pd elips dengn pust P (α,β) ( α )( α) + ( y β ) ( y β ) = Contoh :
0 Persmn gris singgung pd elips gris singgung terseut! 4 + y =, dengn grdient m = 3. Tentukn persmn 6 Jw: 4 + y =, diperoleh = 4 = 6 = 6 = 4 Persmn gris singgungny dlh: y=m ± + m 3 ± + m 3 ± 6+4 9 3 ± 6+36 3 ± 5 Jdi persmn gris singgungny dlh y = 3 ± 36+6 Contoh: Tentukn persmn gris singgung pd elips y 6 0, dititik P(,)? Jw: + y - 6 = 0 + y = 6 6 + y 8 =
Di titik P, 6 + y 8 = ini rtiny P(,) terletk pd elips 6 + y 8 =, jdi persmn gris singgungny: + y y = ( ) 6 + () 8 = + 4y = 6 + y = 8 y = 8 y = 4 4. Menentukn Persmn Gris Singgung Pd Elips dri Sutu Titik di Lur Elips. Untuk menentukn gris singgung elips mellui titik di lur elips, tidk terdpt rumus yng ku, untuk menentuknny dpt digunkn rumus pd utir dn segi dsr pertolongn perhitungn. Contoh: Tentukn persmn gris singgung pd elips singgungny? y 00 5 mellui titik p (,7), tentukn titik Jw : yy. 00 + y.7 5 = y= 5 + 4 7
y 00 5 00 +( 4 + 5 7 ) 5-48 = 0 ( - 8) ( + 6) = 0 = 8 dn = -6 8 untuk mk 6 untuk mk y 4 y.8 4 5 3 7 5 7 6 4 titik singgungny dlh 8,3 dn 6,4 yy.8 00 y.3 5 3y 5 0 yy Persmn gris singgung mellui titik 8,3 6,4 dn titik dlh 6 00 y.4 5 3 8y 50 0
3 BAB III PENUTUP A. Kesimpuln Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Untuk sutu elips, jrk terjuh ntr du titik pd elips diseut sumu myor, dengn titiktitik ujung sumu myor diseut titik-titik punck elips. Rus gris yng tegk lurus dn memgi sumu myor menjdi gin yng sm diseut sumu minor.. Persmn elips dengn pust di O (0,0) o Untuk elips yng erfokus pd sumu. y y tu, o Untuk elips yng erfokus pd sumu y. y y tu,. Persmn elips yng erpust di P(α,β) o Untuk elips yng erfokus pd sumu utm yng terletk pd / sejjr sumu, persmn elipsny dlh o y Untuk elips yng erfokus pd sumu utm yng terletk pd / sejjr sumu y, persmn elipsny dlh
4 y 3. Persmn gris singgung elips. o Persmn gris singgung elips dengn pust O (0,0) dengn grdient m y=m ± m + o Persmn gris singgung elips dengn pust dengn grdient m ( y β )=m( α)± m + DAFTAR PUSTAKA https://www.google.co.id/url? s=t&rct=j&q=&esrc=s&source=we&cd=&cd=rj&uct=8&ved=0cb8qfjaa&url=http%3a %F%Ftoermoedy.files.wordpress.com%F00%F%F-v- ellips.pdf&ei=yzztvkjhlcjamaxsigqca&usg=afqjcnful-ppv7- cigoplovpjk4dsdtjw&sig=lzikcqictbrmrv5fpz0ka Di kutip pd 4 Novemer 04 https://www.google.co.id/url? s=t&rct=j&q=&esrc=s&source=we&cd=4&ved=0cdiqfjad&url=http%3a%f %Fgis.fns.uni.sk%Fvyuk%Fkzg %Fellipse_pp.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXsIGQCA&usg=AFQjCNFtQ0p6nwGANzJGIkS4680uu7 la&sig=hvqjsrcgjoci9h4s_z6ig Di kutip pd 0 Novemer 04 http://ndisudrmnsulns.logspot.com/03//modul-tentng-persmn-elips.html Di kses pd 0 Novemer 04