STATISTIKA NON-PARAMETRIK UJI CHI KUADRAT Pengujian Hipotesis Deskriptif untuk 1 Sampel Oleh : Suci Barlian Sari (H12115025) Melly Amelia (H12115009) UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2017
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang karena anugerah dari-nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan besar kita, yaitu Nabi Muhammad SAW yang telah menunjukkan kepada kita jalan yang lurus berupa ajaran agama Islam yang sempurna dan menjadi anugerah serta rahmat bagi seluruh alam semesta. Penulis sangat bersyukur karena telah menyelesaikan makalah yang menjadi tugas Statistika Non-Parametrik dengan judul "UJI CHI KUADRAT". Disamping itu, kami mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami selama pembuatan makalah ini berlangsung sehingga terealisasikanlah makalah ini. Demikian yang dapat kami sampaikan, semoga makalah ini bisa bermanfaat dan jangan lupa ajukan kritik dan saran terhadap makalah ini agar kedepannya bisa diperbaiki. Makassar, Februari 2017 Penyusun 1
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... ii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah... 1 1.2 Rumusan Masalah... 1 1.3 Tujuan... 1 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Defenisi Chi-Kuadrat... 2 2.2 Manfaat Chi-Kuadrat... 3 a) Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan... 4 b) Uji kebebasan ( independensi) dua faktor... 6 c) Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel... 10 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan... 13 DAFTAR PUSTAKA... 14 2
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Sebagaimana telah sering dilihat, hasil-hasil yang diperoleh dalam sampel tidak tepat sama dengan hasil-hasil yang secara teoritis diharapkan sesuai dengan aturanaturan abilitas. Misalnya, meskipun menurut pertimbangan pertimbangan teoritis kita dapat mengharapkan 50 kali angka dan 50 kali gambar jika sebuah mata uang yang seimbang dilemparkan sebanyak 100 kali, namun dari hasilnya yang demikian jarang diperoleh secara tepat. Andaikan bahwa dalam suatu sampel tertentu suatu himpunan kemungknan peristiwa E 1, E 2,..., E k tampak terlihat dengan frekuensi-frekuensi o 1, o 2,..., o k yang disebut frekuensi yang diamati dah bahwa menurut aturan-aturan probabilitas peristiwaperistiwa diharapkan terjadi menurut frekuensi-frekuensi e 1, e 2,..., e k yang disebut frekuensi yang diharapkan. (perhatikan tabel 1.1) Peristiwa E 1 E 2... E k Frekuensi yang diamati o 1 o 2... o k Frekuensi yang diharapkan e 1 e 2... e k Tabel 1.1 Seringkali kita ingin mengetahui apakah frekuensi yang diobservasi berbeda secara signifikan dari frekuensi yang diharapkan. Untuk kasus dimana hanya ada dua peristiwa maka dapat diselesaikan dengan metode chi-kuadrat. Chi-kuadrat adalah salah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus digunakan uji pada derajat yang terendah). 1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Apakah pengertian dari Chi-kuadrat? 2. Apakah manfaat dari distribusi chi-kuadrat? 1.3 TUJUAN 1. Untuk mengetahui pengertian dari Chi-Kuadrat. 2. Untuk mengetahui manfaat dari distribusi chi-kuadrat. BAB II PEMBAHASAN 1
2.1 DEFINISI CHI-KUADRAT Chi-kuadrat adalah teknik analisis komprasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi data yang sedang diobservasi (Sudijono: 2008). Suatu ukuran mengenai perbedaan yang terdapat antara frekuensi yang di observasi dengan frekuensi yang diharapkan disebut chi-kuadrat ( X 2 ). Chi-kuadrat dapat ditentukan oleh: X 2 = ( o 1 e 1 ) 2 (Tejo Dwi: 1993) k = e k i =1 e 1 + ( o 2 e 2 ) 2 e 2 + + ( o k e k ) 2 (o i e i ) 2 Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif. Bentuk distribusi ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Perhatikan table 2.1 Table 2.1: Nilai Chi-Kuadrat dk Taraf Signifikansi 50% 30% 20% 10% 5% 1% 1 0.455 1.074 1.642 2.706 3.481 6.635 2 0.139 2.408 3.219 3.605 5.591 9.210 3 2.366 3.665 4.642 6.251 7.815 11.341 4 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 13.277 5 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 15.086 6 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 16.812 7 6.346 8.383 9.803 12.017 14.017 18.475 8 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 20.090 9 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 21.666 10 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 23.209 11 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 24.725 12 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 26.217 13 12.340 15.19 16.985 19.812 22.368 27.688 14 13.332 16.222 18.151 21.064 23.685 29.141 15 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 30.578 16 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 32.000 17 16.337 19.511 21.615 24.785 27.587 33.409 18 17.338 20.601 22.760 26.028 28.869 34.805 19 18.338 21.689 23.900 27.271 30.144 36.191 20 19.337 22.775 25.038 28.514 31.410 37.566 21 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 38.932 22 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 40.289 23 22.337 26.018 28.429 32.007 35.172 41.638 24 23.337 27.096 29.553 33.194 35.415 42.980 e i 2
25 24.337 28.172 30.675 34.382 37.652 44.314 26 25.336 29.246 31.795 35.563 38.885 45.642 27 26.336 30.319 32.912 36.741 40.113 46.963 28 27.336 31.391 34.027 37.916 41.337 48.278 29 28.336 32.461 35.139 39.087 42.557 49.588 30 29.336 33.530 36.250 40.256 43.775 50.892 Contoh : Berapa nilai ² untuk db = 5 dengan = 0.010? (15.0863) Berapa nilai ² untuk db = 17 dengan = 0.005? (35.7185) Pengertian pada Uji ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan H 0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut : : luas daerah penolakan H 0 = taraf nyata pengujian 0 + 2.2 MANFAAT CHI KUADRAT Beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain : a) Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan. b) Untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi c) Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal. 3
a). Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan Misalkan kita mempunyai suatu sampel tertentu berupa kejadian A 1, A 2, A 3,,A k yang terjadi dengan frekuensi o 1,o 2,o 3,,0 k, yang disebut frekuensi yang diobservasi (diamati) dan bahwa berdasarkan probabilitas kejadia-kejadian yang diharapkan adalah dengan frekuensi e 1,e 2,e 3,,e k, yang disebut frekuensi yang diharapkan atau frekuensi teoritis. Dalam hal ini ingin diketahui perbedaan yang signifikan antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan Kejadian Frekuensi yang diobservasi Frekuensi yang diharapkan A 1, A 2, A 3,,A k o 1,o 2,o 3,,0 k e 1,e 2,e 3,,e k Perbedaan antara frekuensi yang diobservasi dengan yang diharapkan ditentukan sebagai k χ 2 = i=1 (o i e i ) 2 e i Jika χ 2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan adalah tepat sama. Jika χ 2 >0, maka frekuensi observasi berbeda dengan frekuensi yang diharapkan. Makin besar nilai χ 2, makin besar beda antara frekuensi obsevasi dengan frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan dapat dihitung atas dasar hipotesis nol (H 0 ). Langkah-langkah untuk melakukan uji chi-kuadrat, adalah sebagai berikut : 1. Merumuskan hipotesis yang akan diuji meliputi, H 0 dan H 1 2. Menetapkan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan θ untuk memperoleh nilai kritis χ α 2 dimana : a. θ=k 1, jika frekuensi yang diharapkan dapat dihitung tanpa harus menduga parameter populasi dengan statistik sampel. b. θ=k 1 m, jika frekuensi yang diharapkan dapat dihitung hanya dengan menduga parameter populasi sebanyak m dengan taksiran statistik sampel 4
3. Menentukan statistik uji (statistik hitung) : k χ h 2 = i=1 ( o i e i ) 2 e i 4. Menyimpulakan apakah menolak atau menerima H 0. Tolak H 0 jika nilai χ h 2 > χ α 2 dan terima H 0 jika χ h 2 χ α 2. (Supranto:hal 485: 1985) Contoh 1 Uji keselarasan dengan frekuensi harapan sama Contoh Soal: Pemerintah menghendaki bahwa inflasi pada tahun 2014 sebesar 9,5% per tahun. Kota Jakarta Bandung Semaran Inflasi (%) 8,08 10,97 12,56 Data di beberapa kota besar adalah sebagai berikut: Dengan data tersebut, tentukan apakah target atau harapan pemerintah masih sesuai dengan kondisi sebenarnya dengan taraf nyata 5%! g Surabaya 7,15 Denpasar 12,49 Penyelesaian : - Menentukan hipotesis Ho : tidak ada perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan H1 : ada perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan - Menentukan taraf nyata dan nilai kritis Lihat tabel Chi kuadrat df = n k df = 5 1 = 4 - Uji Statistik chi kuadrat 5
- Menetukan daerah keputusan - Menentukan keputusan Berdasarkan daerah keputusan X² jatuh pada wilayah H₀ diterima. ATAU Karena X² yang di hitung < dari X² di tabel maka keputusannya Contoh 2 : Hipotesis awal diterima Diketahui bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu homogen masingmasing= 1/6. Jika Sebuah dadu dilembpar sebanyak 120 kali. Frekuensi yangyang dihasilkan untuk muka1,2,3,4,5, dan 6 yang muncul adalah 16, 24, 23, 15, 17 dan 25. Ujilah bahwa dadu tersebut simetris? Penyelesaian: H 0 = p 1 = p 2 = = p 6 = 1 6 H 1 = paling sedikit satu tandasama dengan makatidak berlaku Muka dadu 1 2 3 4 5 6 Pengamata 1 2 16 24 23 17 n 5 5 Diharapkan 2 2 1/6 x120 = 20 20 20 20 0 0 Dengan menggunakan rumus X 2 = ( o 1 e 1 ) 2 e 1 + ( o 2 e 2 ) 2 e 2 + + ( o k e k ) 2 e k X 2 = (16 20)2 20 + (24 20)2 20 + (15 20)2 + 20 (17 20 )2 + 20 (25 20 )2 =5,00 20 Dengan α=0,05 dan dk=5, dari tabel chi-kuadrat didapat 2 χ 0,95 =11,07 yang lebih besar dari χ h 2 =5,00. Dengan demikian hasil pengujian non-signifikan dan hipotesis H 0 diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa dadu itu dibuat dari bahan yang homogen. b). Uji kebebasan ( independensi) dua faktor 6
Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi)atau kaitan antara dua faktor. Misalnya, apakah prestasi belajar mahasiswa ada hubungan dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya, apakah agama yang dipeluk ada hubungannya dengan ketaatan beribadah. Jika tidak ada hubungan antar dua faktor tersebut, maka dikatkan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen. Prosedur chi-kuadrat dapat dipakai juga untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari satu faktor terhadap faktor lainnya. Misalkan dilakukan surveh pada 1.000 orang di Medan dan ingin diketahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2. Penghasilan dibedakan menjadi dua katagori, yaitu penghasilan rendah dan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkat, yaitu SMU ke bawah, sarjana muda, dan sarjana (termasuk pasca sarjana). Hasil survey tersebut disajikan pada tabel kontingensi berikut : Penghasilan Pendidikan Total Baris SMU kebawah Sarjana muda Sarjana Rendah 182 213 203 598 Tinggi 154 138 110 402 Total Kolom 336 351 313 1.000 Tabel di atas adalah tabel kontingensi berukuran 2 x 3, yang terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Bilangan dalam sel disebut frekuensi yang diobservasi, sedangkan totalnya disebut frekuensi marjinal. Untuk menguji kebebasan dua faktor digunakan statistik hitung : k χ 2 h = i=1 ( f 0 f i ) 2 f i Derajat kebebasan θ = (Jml baris 1) (kolom 1). f Frekuensi harapan e = jumlah menurut baris x jumlah menurut kolom/ jumlah total. Jika nilai χ 2 2 h > χ α, maka hipotesis nol (H 0 ) ditolak sedangkan jika tidak, maka hipotesis nol (H 0 ) diterima. 7
Dengan demikian frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan secara lengkap adalah sebagai berikut : Penghasilan Pendidikan Total SMU kebawah Sarjana muda Sarjana Baris Rendah 182 (200,9) 213 (209,9) 203 (187,2) 598 Tinggi 154 (135,1) 138 (141,1) 110 (125,8) 402 Total Kolom 336 351 313 1.000 1. Ho : dua faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikan. 2. Taraf signifikansi = 5% dan 3. χ 2 h = 7,854 2 θ=(2 1) x(3 1)=2 4. Nilai χ 2 h>χ 2 α, maka disimpulkan Ho ditolak pada taraf signifikansi 5%. Artinya antara penghasilan dan pendidikan masyarakat tidak saling bebas. Contoh Soal: Ada keyakinan bahwa apabila IPK tinggi, maka akan mendapatkan penghasilan tinggi. Berdasarkan keyakinan tersebut, perusahaan karir center tahun 2008 melakukan penelitian terhadap 751 sarjana dari berbagai perguruan tinggi yang bekerja di sektor perbankan di Jakarta. Berikut adalah hasilnya: 8
column H 0 : Tidak ada hubungan antara IPK H 1 : Ada hubungan antara IPK denga 9
10
c). Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel Uji ini digunakan untuk mengetahui sejauh mana kesesuaian atau tingkat kesesuaian antara distribusi sampel dengan distribusi populasi, disebut juga uji kebaikan suai (test goodness of test). Tahapan uji keselerasan apakah suatu distribusi mengikuti kurva normal atau tidak adalah sebagai berikut : 1. Membuat distribusi frekuensi 2. Menentukan nilai rata-rata hitung menggunakan data berkelompok. 3. Menentukan nilai Z setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/ σ X dan standar deviasi σ dengan 11
4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Melakukan uji chi-kuadrat untuk menentukan apakah distribusi bersifat normal atau tidak. Contoh : Beberapa analis memprediksi 20 saham terfavorit yang layak dibeli dan dipertahankan untuk satu-dua minggu. Berikut adalah harga saham dari 20 perusahaan tersebut tanggal 5 Desember2003. Dari data harga saham di bawah ini, ujilah apakah harga saham mengikuti distribusi normal? No Perusahaan H.Saham 1 Aneka tambang 1350 2 Asahimas FG 2225 3 Astra AL 1675 4 Astra OP 1525 5 Danamon 1925 6 Baerlian Laju Tanker 900 7 Berlina 1575 8 Bimantara 3175 9 Dankos 1125 10 Darya Varia 800 No Perusahaan H.Saham 11 Dynaplast 1400 12 Enseval Putra 1900 13 Gajah Tunggal 600 14 Indocement 1900 15 Kalbe farma 975 16 Komatsu 1475 17 Matahari 525 18 Mayora 950 19 Medco 1400 20 Mustikasari 435 12
1. Buat tabel distribusi frekuensi : No Interval Kelas Frekuensi (fo) Nilai tengah 1 435-983 7 709 2 984 1.532 6 1.258 3 1.533 2.080 5 1.806 4 2.081 2.628 1 2.354 5 2.629-3.176 1 2.902 2. Hitung nilai rata-rata hitung dan standar deviasi data berkelompok. No Interval F X fx x - x (x - x) 2 f(x - x) 2 1 435-983 7 709 4.963-631 397.972 2.785.802 2 984 1.532 6 1.258 7.548-82 6.699 40.197 3 1.533 2.080 5 1.806 9.030 466 217.296 1.086.479 4 2.081 2.628 1 2.354 2.354 1.014 1.028.50 1.028.500 0 5 2.629-3.176 1 2.902 2.902 1.562 2.440.31 2.440.313 3 Σ fx 26.797 Σ f(x - x) 2 7.381.291 X = Σ fx/n=26.797/20 1.340 S= Σ f(x - x) 2 /n-1 623 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/σ 4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. Misalnya : Z 435 = (435-1.340)/623 = -1,45 Z 984 = (984-1.340)/623 = -0,57 dan seterusnya Interval Kisaran Z Kisaran Probabilitas 435-983 -1,45 (-0,57) 0.4265-0.2157 0.2108 984 1.532-057 0,31 0.2157-0.1217 0.3374 1.533 2.080 0,31 1,19 0.3830-0.1217 0.2613 2.081 2.628 1,19 2,07 0.4808-0.3830 0.0978 2.629-3.176 2,07 2,95 0.4984-0.4808 0.0176 Prob Harapan 5.Menentukan nilai harapan (fe)= n.p Interval F Prob Harapan Fe
435-983 7 0.2108 4.2 984 1.532 6 0.3374 6.7 1.533 2.080 5 0.2613 5.2 2.081 2.628 1 0.0978 2.0 2.629-3.176 1 0.0176 0.4 6. Menentukan pengujian chi - kuadrat a. Ho : tidak ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. H1 : ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. b. Menentukan nilai kritis dengan derajat bebas = n-1, dimana n = jumlah kelas. Nilai kritis untuk ө = 5-1=4, dan taraf signifikansi = 5% adalah 9,488. c. Mencari χ 2 hitdengan rumus ( f 0 f i ) 2 f i dengan prosedur F fe (f 0 f e ) (f 0 f e ) 2 (f 0 f i ) 2 /f i 7 4.2 2,8 7,8 1,8 6 6.7-0,7 0,6 0,1 5 5.2-0,2 0,1 0,0 1 2.0-1,0 0,9 0,5 1 0.4 0,6 0,4 1,2 χ 2 hit 3,6 d. χ 2 hit(3,6) <χ 2 α(9,488) dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan antara frekuensi harapan dan yang nyata, sehingga distribusi harga saham dapat dikatakan sebagai distribusi normal. BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN
Chi-kuadrat adalah teknik analisis komprasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi data yang sedang diobservasi. Adapun beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan, untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi, untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal. DAFTAR PUSTAKA Furqon, (2004), Statistika Terapan untuk Penelitian, ALFABETA, Bandung
Sudijono, Anas, (2009), Pengantar Statistik Pendidikan, PT. RajaGrafindo Persada, Jakarta Sudjana, (2002), Metoda Statistika, Tarsito, Bandung Supranto,J, (1985), Statistika: Teori dan Aplikas Statistika dan Probabilitas, Erlangga, Jakarta