MATEMATIKA EKONOMI FUNGSI KUBIK OLEH: KELOMPOK 4: WINDA WULANSARI (1110532012) CITRA HENDRIANTI TANJUNG (1110512114) TRI REZEKI R. HARAHAP (1110532011) VELLYANA PUTRI (1110532020) ANGGY ARILMA PUTRA (1110533006) HIKMATUL HADI (1110522131)
FUNGSI Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai fungsi.
Fungsi dapat digolongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi non-aljabar. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada skema berikut ini :
FUNGSI KUBIK Fungsi kubik atau berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.bentuk umum persamaan fungsi kubik:
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point ), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum ) atau dua titik ekstrim (maksimum atau minimum ). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b,c dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Kemungkinan-kemungkinan tersebut di perlihatkan oleh gambar-gambar berikut.
Gambar-ganbar diatas memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang hanya mempunyai titik belok, tanpa titi ekstrem.gambar dibawah memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang mempunyai titik ekstrim.
Sketsalah grafik dari persamaan di bawah ini: x 3-1 =0
y=(-3) 3-1 = -27 y=(-2) 3-1 = -8 y=(-1) 3-1 = -2 y=(0) 3-1 = -1 y=(1) 3-1 = 0 y=(2) 3-1 = 7 y=(3) 3-1 =26 Penyelesaian: X -3-2 -1 0 1 2 3 y -27-8 -2-1 0 7 26
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik (jika ada), serta titik beloknya, dapat dicari melalui penulusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua dari fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik beloknya.
Perhatikan fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara [fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum] [fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum] [derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum] Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3) Titik minimum pada koordinat (4;2,33) grafik. y= x 3-3x 2 +8x-3.......................fungsi kubik y =x 2-6x+8......................... fungsi kuadrat parabolik y =2x-6............................fungsi linear jika y =0, x 2-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0 x 1 =2, x 2 =4 untuk x=x 1 =2 y=(2) 3-3(2) 2 +8(2)-3=3,67 [fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum] y n = 2(2) 6 = -2<0 [derivatif kedua negatif] untuk x=x 2 =4 y=(4) 3-3(4) 2 +8(4)-3=2,33 [fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum] y n = 2(4) 6 = 2<0 [derivatif kedua positif] Jika y n =0, 2x 6 = 0 x = 3 y=(3) 3-3(3) 2 +8(3)-3=3 [fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok] y = 3 2 6(3) + 8 =-1 [derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum] Jadi, fungsi kubik y= x 3-3x 2 +8x-3 bearada di : Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3) Titik minimum pada koordinat (4;2,33)
tentukan d 2 y/dx untuk: y=18x 3-10x 2 +8x+28
Tentukan titik ekstrem dan titik belok fungsi kubik
sketsalah grafik dari fungsi y=(x+1)(x-1)(x-2)
x=-2 y=(-2+1)(-2 1)(-2 2 ) =-12 x=-1 y=(-1+1)(-1-1)(-1-2)= 0 x=0 y=(0+1)(0-1)(0-2)=2 x=1 y=(1+1)(1-1)(1-2)=0 x=2 y=(2+1)(2-1)(2-2)=0 x=3 y=(3+1)(3-1)(3-2)=8
Penerapan Ekonomi
Elastisitas Produk Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah keluaran terhadap presentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f (X), maka elastisitas produksinya : Di mana dp/dx adalah produk marjinal dari X [P atau f (X)]
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 6X 2 X 3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit!
Biaya Marginal Biaya marjinal (marginal cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan derivative pertamadari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :
Utilitas Marginal Utilitas marjinal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan di mana U melambangkan utilitas total dan Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya : Karena fungsi utilitas total yang non linear pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linear. Kurva utilitas marjinal selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.
Produk Marginal Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor poduksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya : Karena fungsi produk total yang non linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolic). Kurva produk marjinal (MP) selalu mencapai niilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik beloknya ; kedudukan ini mencerminkan berlakunya hukum tambahan hasil yang semakin berkuranf (the law of the diminishing return). Produk total mencapai pun caknya ketika produk marjinal nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal menjadi negative. Area di mana produk marjinal negative menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan produksi. Dalam area ini, jika produk total hendak ditingkatkan, jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi.
Efek perpajakan bagi penunggal Pajak, di samping merupakan sumber penting pendapatan negara, dapat pula berfungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan berlebihan yang dapat di keduk oleh penungal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang di produksi atau di jual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-rata meningkat sebesar Qt, dan biaya totalnya meningkat sebesar. Akibatnya bukan saja harga barang menjadi lebih mahal, tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal menjadi berkurang.
[jika di analisis, dari jumlah 12.150 ini sebesar (10 x 30 = ) 300 merupakan beban pajak total yang ditanggung oleh pihak konsumen, 11.850 selebihnya ditanggung oleh pihak produsen alias sang penunggal. Hal ini mencerminkan kebijakan pajak cukup efektif untuk mengendalikan keuntungan produsen monopolis].
Hubungan biaya marjinal dengan biaya rata-rata. Dalam ekonomi mikro terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, yakni bahwa pada saat biaya rata-rata mencapai nilai minimumnya maka biaya marjinal sama dengan biaya rata-rata minimum tersebut. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan kurva biaya marjinal dengan kurva biaya rata-rata pada posisi minimum kurva biaya ratarata.secara matematik hubungan tersebut dapat di jelaskan sebagai berikut :
Lanjutan
Hubungan produk marjinal dengan produk rata-rata Analog dengan hubungan antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, begitu pula hubungan antara produk marjinal dan produk rata-rata. Produk marjinal sama dengan produk rata-rata pada saat produk rata-rata mencapai posisi ekstrimnya (dalam hal ini posis maksimum).
Lanjutan
Terimakasih