MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013
Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn k untuk menekn dn menhn pegs ts pd pnjng 0.06 m. 2. Tentukn kerj yng dilkukn untuk memomp seluruh ir kelur dri tngki dengn penmpng spt pd gmr di smping. Pnjng tngki ts = 10 dm ke elkng. 6 dm 3 dm 4 dm 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 2
Ssrn Kulih Hri Ini 55Momen 5.5 dn Pust Mss Menghitung momen dn menentukn pust mss dri sutu distriusi mss pdgris dn idng. Menggunkn Teorem Pppus untuk menghitung volume end putr (yng diperoleh dengn memutr sutu derh yng dikethui i pust mssny terhdp sutu sumu putr). 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 3
MA1101 MATEMATIKA 1A 5.5 MOMEN DAN PUSAT MASSA Menghitung momen dn menentukn pust mss pd gris dn idng. Menggunkn Teorem Pppus untuk menghitung volume end putr. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 4
Distriusi Mss Diskrit pd Gris d 1 d 2 m 1 m 2 Jungkit di ts seimng il d 1 m 1 = d 2 m 2 (*). Bil kit letkknjungkitts ts pd gris ilngnrel sehingg titik tumpuny erimpit dengn 0, mk persmn (*) menjdi: 1 m 1 + 2 m 2 = 0 (#). Hsil kli mss dri sutu prtikel dn jrkny (errh) dri sutu titik cunn diseutmomen prtikel terhdp titik cun ts. Persmn (#) menytkn hw momen totl terhdp titik tumpuny sm dengn 0. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 5
Momen Situsi Stus tdi dpt diperumum dpeu u s. Sistemmss Sste m 1,, m n yng terser di posisi 1,, n pd gris ilngn rel mempunyi momen (totl) M = i i m i. Sistem ts kn seimng di titik tumpuny (yng erimpit dengn 0) il M = 0. Secr umum, sutu sistem mss kn seimng di sutu titik, tidk hrus di 0. Tetpi gimn mencrititik keseimngnts? 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 6
Pust Mss Mislkn titik t pust mss ny dlh*. Mk,, momen totl terhdp * hruslh sm dengn 0, ykni: i ( i *)m i = 0. Dri sini kit dptkn hw: i i m i = * i m i, sehingg mestilh * = i i m i / i m i = M/m, dengn M = momen totl terhdp 0 dn m = mss totl. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 7
Distriusi Mss Kontinu pd Gris Sekrng mislkn kit mempunyi seuts kwt lurus yng menempti selng [, ] pd gris ilngn rel. δ Bil rpt mssny (δ) konstn, mk mss kwt ts mudh dihitung kit hny perlu menglikn rpt mss kwt ts dengn pnjngny: m = δ( ). Bgimn il rpt mssny tidk konstn? 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 8
Distriusi Mss Kontinu pd Gris Bil rpt mssny tidk konstn, δ = δ(), mk kit perlu mengintegrlknny: Mss irisn: m δ(). Momen irisn (thd 0): M δ(). Jdi, mss kwt: m = ( ) d. dn momen (thd 0): M = δ 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 9 ( ) d.
Pust Mss Jdi, pust mss kwt ts terletk di * M m ( ) d ( ) d. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 10
Contoh Dikethui kwt sepnjng 25 cm mempunyi rpt mss δ() = (gr/cm), dengn = jrk dri titik ujung kiri kwt ts. Tentukn mss dn pust msskwt ts. Jw: Misl titik ujung kiri = 0. Mss kwt ts dlh 25 25 2 250 m d gr. 3 3 0 0 Momen kwt ts terhdp 0 dlh 25 25 2 2 M d 1250 gr. cm. 0 5 0 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 11
Contoh (erlnjut) Jdi pust mssny d di M 1250 * cm m 250 / 3 15 dri titik ujung kiri kwt ts. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 12
Ltihn Dikethui kwt sepnjng 10 cm mempunyi rpt mss δ() = (gr/cm), dengn = jrk dri titik ujung kiri kwt ts. Tentukn mss dn pust mss kwt ts. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 13
MOMEN DAN PUSAT MASSA LAMINA PADA BIDANG & TEOREMA PAPPUS 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 14
Distriusi Mss (Kontinu) pdbidng d Misl kit mempunyi seuh lmin (keping dtr) dengn rpt mss δ konstn, yng menempti derh pd idng yng ditsi oleh gris = dn = sert kurv y = f() dn y = g() dengn f() g() pd [, ]. y=f() y=g() m δ[f() g()]. M y δ[f() g()]. M ½δ[f() 2 g() 2 ]. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 15
Momen dn Pust Mss Lmin Momen dn Pust Mss Lmin Dri tksirn irisn tdi, kit peroleh Mss: )] ( ) ( [ d g f m Momen thd s y: )] ( ) ( [ d g f M y Momen thd s : )] ( ) ( [ 2 2 d g f M y Momen thd s : )] ( ) ( [ 2 M M d g f M y Pust mss: 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 16. * ; * m M y m y
Contoh Tentukn pust mss lmin yng ditsi oleh kurv y =, sumu, dn gris = 4. [Gmr terleih dhulu derh lmin ts.] 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 17
Teorem Pppus Jik sutu derh R pd idng diputr mengelilingi seuh gris pd idng ts yng tidk memotong R, mk volume end putr yng terentuk sm dengn lus derh R kli keliling lingkrn yng ditempuh oleh pust mss R. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 18
Mengp Teorem Pppus Berlku Perhtikn gmr di wh. Dengn metode kulit tung, kit peroleh: y = h() V 2 h ( ) d * 2 * h( ) d h( ) d V h ( ) d. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 19
Contoh Derh yng ditsi oleh kurv y =, sumu, dn gris = 4 diputr mengelilingi gris y = 3. Tentukn volume endr putr yng terentuk. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 20
Ltihn 1. Tentukn pust mss lmin yng ditsi oleh kurv y = 2 dn y =. 2. Menggunkn Teorem Pppus, tentukn volume end putr yng terentuk il derh pd Sol 1 diputr mengelilingi gris y =. 11/15/2013 (c) Hendr Gunwn 21