BAB V ZAT CAIR DALAM KESATIMBANGAN RELATIF 5.1 Pendahuluan Zat cair di dalam tangki yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak mengalami tegangan geser karena tidak adanya gerak relatif antara partikel zat cair atau antara partikel zat cair dengan bidang batas. Zat cair dalam keadaan ini disebut dalam kesimbangan relatif. Apabila zat cair mengalami percepatan, maka akan terjadi gaya yang di timbulkan oleh percepatan yang memberikan tambahan terhadap gaya hidrostatis. Akan dipelajari perubahan tekanan pada zat cair yang mengalami perceptan seragam, setelah kondisi kesimbagan tercapai. Contoh permasalahan dari zat cair dalam keseimbangan relatif adalah suatu tangki berisi zat cair yang mengalami percepatan atau perlambatan, dan zat cair dalam suatu silinder yang mengalami rotasi terhadap sumbu vertikal. Kedua permasalahan tersebut akan dibahas dalam bab ini. 5.2 Zat Cair dalam Tangki Mengalami Percepatan Apabila zat cair berada didalam suatu tangki dalam keadaan diam, atau bergerak dengan kecepatan konstan, maka zat cair tersebut tidak dipengaruhi oleh gerak tangki. Tetapi apabila tangki tersebut mengalami percepatan continue maka percepatan tersebut akan berpengaruh pada zat cair dengan adanya perubahan ditribusi tekanan. Oleh karena zat cair tetap diam, relatif terhadap tangki maka tidak ada gerak relatif dari partikel zat cair, yang berarti tidak ada tegangan geser. Tekanan zat cair akan tegak lurus pada bidang dimana tekanan bekerja. Gambar 5.1 menunjukan zat cair yang berada didalam tangki dan bergerak dengan percepatan αγ searah sumbu x. Percepatan tersebut menyebabkan terjadinya gaya horizontal yang bekerja pada zat cair, sehingga permukaan zat cair tidak lagi mendatar tetapi berubah menjadi miring. Pada sisi belakang tangki, zat cair akan naik dan sisi depan zat cair turun. Misalkan θ adalah sudut antara bidang horizontal dan bidang permukaan zat cair. 18
----------------------------------------------------------------- Gambar 5.1. zat cair dalam tangki bergerak dengan percepatan horizontal Zat Cair Dalam Kesetimbangan Relatif 1. Berat partikel zat cair W yang bekerja vertikal ke bawah : W = M.g Dengan M adalah massa partikel dan g adalah persamaan gravitasi 2. Gaya karen percepatan F yang bekerja secara horizontal: F = M.αx Dengan αxadalah percepatan horizontal. 3. Gaya tekan P pada partikel zat cair yang tegak lurus permukaan. Hukum Newton II untuk gaya-gaya dalam arah horizontal : Fx= M. Αx ( 5.1 ) Karena percepatan adalah dalam arah horizontal berarti αy = 0, sehingga : P cos θ W = 0 ( 5.2 ) P cos θ = M.g Apabila persamaan (5.1) dibagi dengan persamaan (5.2), akan didapat : P sin θ = Mαx P cos θ = Mg 19
Tg θ = αx Mg Oleh karena percepatan adalah horizontal maka gaya-gaya vertikal tidak berubah dan tekanan di suatu titik pada kedalaman h adalah γh. Bidang-bidang dengan tekanan yang sama adalah sejajar dengan bidang permukaan. ( Lihat gambar 5.3 ) Gambar 5.3 garis dengan tekanan sama pada tangki dengan percepatan horizontal. Apabila percepatan adalah dalam arah vertikel, permukaan zat cair akan tetap horizontal. Tetapi karena adanya percepatan maka akan terjadi pertambahan/pengurangan tekanan terhadap tekana hidrostatis. Percepatan vertikal keatas akan menyebabkan pertambahan tekanan, dan pecepatan kebawah menyebabkan pengurangan tekanan. Dipandang suatu prisma vertikal dengan tampang lintang A dan tinggi h yang mengalami percepatan vertikal keatas αy. Tekanan hidrostatis pada dasar prisma yang mempunyai kedalaman h adalah p = hγ. Gaya-gaya yang bekerja pada prisma adalah : 1. Berat prisma W yang bekerja vertikal kebawah : 20
W= Mg = p V g = p g h A 2. Gaya karena percepatan f yang bekerja secara vertikal : F = M αy = p h A αy 3. Gaya tekanan hidrostatis pada gambar prisma : P = p A Dengan mengunakan hukum Newton II untuk gaya-gaya vertikal yang bekerja pada prisma : Fy = M αy va- ρ g h A = ρ h A αy p = ρ h A αy + ρ g h A A P = ρ g h ( 1 + αy ) g ( 5.4) P = γ h ( 1 + αy ) g Apabila percepatan adalah vertikal kebawah maka nilai αy adalah negatif sehingga persamaan ( 5.4 ) menjadi : Ρ = γh ( 1 -αy ) g ( 5.5 ) Persamaan ( 5.4 ) dan ( 5.5 ) menunjukan bahwa bidang-bidang dengan tekanan sama adalah horizontal. Distribusi tekanan pada dinding tangki untuk percepatan vertikal ke atas atau ke bawah di tunjukkan dalam gambar ( 5.5 ) Gambar 5.5. tangki dengan percepatan vertikal 1. berat partikel W yang bekerja vertikal ke bawah 2. gaya karena percepatan F yang bekerja dengan membentuk sudut φ terhadap horizontal ; 21
3. gaya tekanan hidrostatis P yang bekerja pada partikel zat cair dan bekerja tegak lurus permukaan zat cair. Gaya percepatan F dapat diproyeksikan dalam arah vertikal dan horizontal ; Fα = F cos φ = M αx Fy = F sin φ = M αy Dengan menggunakan Hukun Newton II untuk gaya-gaya horizontal : Fy =M αy P sin θ = Mg + Mαx ( 5.6 ) Hukum Newton II untuk gaya-gaya vertikal : Fy =M αy P cos θ Mg = M αy P cos θ = Mg + M αy ( 5.7 ) Persamaan ( 5.6 ) dibagi dengan persamaan ( 5.7 ) : P sin θ = P cos θ M αx Mg + M αy Tg = αx g + αy ( 5.8 ) Karena tangki tertutup dan terisi penuh maka permukaan zat cair tetap datar, tetapi percepatan yang bekerja pada zat cair akan menyebabkan bertambahnya tekanan di sepanjang tangki. Tekanan di sepanjang tangki dapat di hitung apabila tekanan di suatu titik dalam tangki diketahui. Seperti terlihat dalam gambar 5.8 minsalkan tekanan di titik A adalah atmosfer, yang dapat dilakukan dengan memberi lobang kecil di titik A. Dengan adanya percepatan αx maka tinggi tekanan pada sisi atas tangki di tunjukkan oleh garis AC. Garis AC adalah sama dengan kemiringan muka air apabila tangki terbuka dan dinding cukup tinggi sehingga air tidak tumpah. Kenaikan tekanan di titik B dapat dihitung dengan persamaan ( 5.3 ) : 22
Tg θ = αx h = αx g b g h = αx b g Dengan h adalah tinggi tekanan di titik B dan b adalah panjang tangki. Contoh Suatu tangki segiempat tertutup dengan panjang 10 m, lebar 5 m dan tinggi 3 m diisi penuh minyak dengan rapat relatif 0,92. Di titik B terdapat lubang kecil. Hitung perbedaan tekanan antara titik A dan B, apabila tangki bergerak dengan percepatan 3 m/d² dalam arah horizontal. Pecepatan gravitasi g = 9,81 m/d² Penyelesaian : Di gunakan satuan MKS Oleh karena sisi atap tangki tertutup dan tangki terisi penuh dengan minyak, maka tidak akan terjadi kemiringan permukaan minyak di dalam tangki. Tetapi sebagai akibat dari percepatan horizontal,maka akan terjadi kenaikan tekanan pada titik A. Kenaikan tinggi tekanan di titik A : h = αx. b = 3 x 10 = 3,06 m g 9,81 di titik B tekanan adalah atmosfer : hb = 0 23
pebedaan tekanan antara A dan B, ha hb = ρa ρb = 3,06 m γm S = γm = 0,92 Γa γm = 0,92 x 1000 = 920 kgf/ m³ Pa Pb = 3,06 γ = 3,06 x 920 = 2.815,2 kgf/m² = 2,8152 t/m² 5.3 Zat Cair di Dalam Silinder Berisolasi Apabila suatu tangki silinder berisi zat cair diputar (rotasi) terhadap sumbu vertikal dengan kecepatan sudut konstan, maka zat cait tersebut kan mengalami gaya sentrifugal dengan arah meninggalkan sumbu vertikal. Karena perputaran tersebut permukaan zat cair yang semula horizontal berubah menjadi bentuk parabola. Gambar 5.14 menunjukkan tangki silinder berisi zat cair yang berotasi dengan kecepatan konstan ω. Permukaan zat cair pada sumbu vertikal turun sampai titik terendah, sedangkan pada dinding silinder naik sampai titik teratas. Semakin besar kecepatan rotasi, penurunan dan kenaikan zat cair tersebut semakin besar. Dipandang suatu partikel A di permukaan zat cair pada jarak (jari-jari) r dari sumbu rotasi seperti terlihat dalam gambar 5.14. silinder tersebut berputar dengan kecepatan sudut ω (radial/detik). Kecepatan sudut dapat dinyatakan dalam kecepatan rotasi N rpm (rotasi/menit). Hubungan antara N dan ω di berikan oleh bentuk berikut : Ω = 2пN 60 Gaya-gaya yang bekerja pada partikel A adalah : 1. Berat partikel W yang bekerja ke bawah, 2. gaya sentrifugal F yang bekerja dalam arah keluar ( menjauhi sumbu ), dengan bentuk : 24
F = M (ω² r) 3. gaya tekanan hidrostatis P yang bekerja pada partikel A di permukaan zat cair. Minsalkan garis singgung pada permukaan zat cair melalui partikel membentuk sudut α terhadap horizontal seperti terlihat dalam gambar 5.15. Keseimbangan gaya-gaya yang bekerja dalam arah garis singgung melalui partikel A memberikan : F cos α = W sin α M (ω² r) cos α = M g sin α Tg = M (ω² r) = ω² r Mg g Mengingat Tg α = dy/dr maka : dy = ω² r dr g integrasi persamaan di atas akan di dapat : dy = ω² r dr G y = ω² r² + C 2g Dengan C adalah konstanta integrasi. Apabila titik terendah dari permukaan zat cair di pilih sebagai sumbu koordinat, berarti r = 0 dan y = 0, sehingga persamaan di atas menjadi : 0 = ω² 0 + C Atau C = 0 2g Sehingga persamaan di atas menjadi : y = ω² r² ( 5.11 ) 2g 25
Persamaan ( 5.11 ) merupakan bentuk parabola, yang dalam koordinat tiga dimensi permukaan zat cair mempunyai bentuk paraboloida. Apabila jari-jari silinder adalah R, maka kenaikan zat cair pada dinding silinder dari permukaan terendah adalah : Yp = ω² R² 2g ( 5.12) Seperti terlihat dalam gambar 5.16, permukaan zat cair sebelum berotasi diberikan oleh garis A A. Setelah berotasi, zat cair pada sumbu rotasi turun sampai titik C yang melalui garis B B, sedang zat cair pada dinding silinder naik sampai garis D D. Tinggi parabola adalah yp sedang h adalah jarak antara A A dan B B. Volume zat cair sebelum dan setelah rotasi adalah sama. Volume paraboloid ( DBB D CD ) Vp = 1 2 п R² ω² R ² 2 g ( 5.13 ) Volume silinder yang ditempati paraboloid ( DBB D ) Vs = п R² ω² R ² 2 g Dari persamaan ( 5.13 ) dan ( 5.14 ) dapat disimpulkan bahwa : Vg = 2 Vp Volume paraboloid tersebut sama dengan volume bagian silinder setinggi h ( volume ABB A ), yaitu : Vg = п R² h ( 5.15 ) Volume Vs adalah sama dengan volume paraboloid DBB D CD, sehingga dengan menyamakan persamaan ( 5.13 ) dan ( 5.15) didapat : H = 1 ω ² R ² 2 2 g = 1 2 yp Jadi kenaikan zat cair pada dinding dari permukaan awal ( sebelum silinder berrotasi ) adalah sama dengan penurunan pada sumbu. Contoh 26
Silinder berdiameter 20 cm berisi air sampai kedalam 50 cm. Apabila silinder diputar terhadap sumbunya dengan kecepatan 300 rpm ( rotasi permenit ), hitung kedalaman parabola ( jarak antara muka air tertinggi pada dinding dan muka air terendah pada sumbu silinder ) Penyelesaian Hubungan antara kecepatan putar dan kecepatan sudut di berikan oleh bentuk berikut, ω = 2 п N 60 Dengan ω adalah kecepatan sudut ( rad/detik ) dan N adalah kecepatan putar ( rpm ), sehingga di dapat : ω = 2 x пx 300 60 = 31,42 rad/d kedalaman parabola di hitung dengan rumus berikut : yp = ω² R ² 2 g = (31,42 ) 2 x(0,10)² = 2 x 9,81 0,5032 m = 50,32 cm 27