Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta Oleh: Arifudin Prabowo Kurniawan 13305144011 ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan fase dan lama lampu lalu lintas menyala hijau dan menyala merah menggunakan teori graf fuzzy, menentukan fase dan lama lampu lalu lintas menyala hijau dan menyala merah menggunakan teori aljabar max-plus, dan analisa perbandingan pengaturan lampu lalu lintas menggunakan aplikasi kedua teori tersebut. Penelitian ini sebagai aplikasi dari teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus yang diterapkan pada pengaturan lampu lalu lintas. Sampel simpang dengan lampu lalu lintas yang digunakan adalah simpang empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. Data yang diambil ialah kepadatan lalu lintas, lebar jalan, dan pengaturan lampu lalu lintas yang diterapkan saat ini. Pengambilan data dilakukan secara manual dengan bantuan aplikasi traffic counter. Hasil penelitian menunjukan bahwa presentase lama lampu hijau menyala menggunakan teori graf fuzzy bertambah sebanyak 31% dan presentase lama lampu merah menyala berkurang sebanyak 9,8% dibanding pengaturan lampu lalu lintas yang diterapkan saat ini. Presentase lama lampu hijau menyala menggunakan teori aljabar max-plus bertambah sebanyak 3,6% tapi presentase lama lampu merah menyala juga bertambah sebanyak 1,8% dibanding pengaturan lampu lalu lintas yang diterapkan saat ini. Oleh karena itu, peneliti lebih cenderung untuk menggunakan teori graf fuzzy dibanding dengan teori aljabar max-plus dalam pengaturan fase lampu lalu lintas di simpang empat Beran. Kata kunci: Pengaturan lampu lalu lintas, graf fuzzy, aljabar max-plus ii
SURAT PERNYATAAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Arifudin Prabowo Kurniawan NIM : 13305144011 Program Studi : Matematika Judul TAS : Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta menyatakan bahwa skripsi ini benar benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Yogyakarta, 20 April 2017 Yang menyatakan, Arifudin Prabowo Kurniawan NIM. 13305144011 iii
iv
v
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-nya, Tugas Akhir Skripsi dalam rangka untuk memenuhi sebagian peersyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains dengan judul Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta dapat disusun sesuai dengan harapan. Tugas Akhir Skripsi ini dapat diselesaikan tidak lepas dari bantuan dan kerjasama dengan pihak lain. Berkenaan dengan hal tersebut, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada yang terhormat: 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang memberikan persetujuan pelaksanaan Tugas Akhir Skripsi. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta serta dosen dan staf yang telah memberikan bantuan dan fasilitas selama proses penyusunan pra proposal sampai dengan selesainya TAS ini. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Dosen Pembimbing I TAS dan Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak memberikan semangat, dorongan, dan bimbingan selama penyusunan Tugas Akhir Skripsi ini. 4. Bapak Musthofa, M.Sc selaku Dosen Pembimbing II TAS yang telah banyak memeberikan ilmu, arahan dan bimbingan kepada penulis. 5. Ibu Dr. Karyati dan Bapak Emut, M.S.i. selaku Penguji I dan Penguji II yang sudah memberikan koreksi perbaikan secara komprehensif terhadap TAS ini. vi
6. Seluruh Tim Penyusun buku Pedoman Tugas Akhir UNY, dan seluruh penyusun maupun peneliti yang karyanya saya gunakan sebagai acuan dalam penulisan tugas akhir skripsi ini. 7. Bapak dan Ibu tercinta yang telah membimbing, membesarkan, memberikan semangat, dorongan, kasih sayang dan selalu mendoakan dalam setiap saat demi kebahagiaan dan keberhasilan penulis. 8. Mas Arif dan Mbak Putri serta seseorang spesial yang telah mendukung dalam segala hal dalam penulisan tugas akhir skripsi ini. 9. Sahabat-sahabat terbaikku yang selalu memberikan motivasi, dukungan dan doa dari awal sampai akhir menempuh pendidikan strata satu. 10. Seluruh teman-teman Matematika E 2013 yang telah berjuang bersama-sama untuk memperoleh gelar S.Si 11. Semua pihak yang telah membantu dalam penulisan tugas akhir ini, yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu. Akhirnya, semoga segala bantuan yang telah diberikan semua pihak di atas menjadi amalan yang bermanfaat dan mendapatkan balasan dari Allah SWT dan Tugas Akhir Skripsi ini menjadi informasi bermanfaat bagi pembaca atau pihak lain yang membutuhkanya. Yogyakarta,20 April 2017 Penulis, Arifudin Prabowo Kurniawan NIM 13305144011 vii
DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL... ABSTRAK... SURAT PERNYATAAN... HALAMAN PERSETUJUAN... HALAMAN PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vi viii xi xii xiv BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 5 C. Batasan Masalah... 6 D. Tujuan Penelitian... 6 E. Manfaat Penelitian... 7 BAB II KAJIAN TEORI A. Lampu Lalu Lintas... 8 1. Definisi dalam Operasional Lampu Lalu Lintas... 8 2. Fungsi Lampu Lalu Lintas... 9 3. Jenis Lampu Lalu Lintas... 9 B. Teori Himpunan Fuzzy... 10 1. Himpunan Fuzzy... 11 2. Fungsi Keanggotaan (Membership Function)... 12 3. Operator Dasar untuk Operasi Himpunan Fuzzy... 17 viii
4. Fuzzy Inference System (FIS)... 18 5. Fuzzy Logic Toolbox Matlab... 22 C. Graf... 26 1. Terminologi Dasar... 27 2. Keterhubungan... 29 3. Jenis-Jenis Graf... 30 4. Graf Kompatibel (Graf Terapan)... 32 D. Pelabelan Fuzzy pada Graf... 33 E. Aljabar Max-Plus... 38 1. Definisi Aljabar Max-Plus... 38 2. Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus... 39 3. SemiRing... 42 4. Matriks Dalam Aljabar Max-Plus... 44 5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam Aljabar Max-Plus... 47 6. Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen Menggunakan Software Scilab... 51 BAB III METODE PENELITIAN A. Studi Pustaka... 54 B. Studi Lapangan... 54 C. Analisis Data... 54 D. Penyelesaian Masalah... 55 BAB IV PEMBAHASAN A. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Graf Fuzzy... 60 B. Perhitungan Waktu Lampu Lalu Lintas Menggunakan Graf Fuzzy... 69 1. Langkah Pertama : Fuzzification... 71 2. Langkah Kedua : Inference Fuzzy... 72 3. Langkah Ketiga : Defuzzification... 73 C. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Aljabar Max-Plus... 81 1. Pemodelan Matematika untuk Pengaturan Nyala Lampu Lalu Lintas... 81 ix
2. Perhitungan Vektor Eigen dan Nilai Eigen dengan Software Scilab... 83 D. Perbandingan Teori Graf Fuzzy dengan Aljabar Max-Plus... 87 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan... 89 B. Saran... 90 DAFTAR PUSTAKA... 92 LAMPIRAN... 94 x
DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Lama Waktu Lampu Lalu Lintas Pada Simpang Empat Beran... 58 Tabel 4.2. Data Panjang Antrian Motor dan Mobil... 59 Tabel 4.3. Nilai Keanggotaan Setiap Arus di Simpang Empat Beran... 64 Tabel 4.4. Fase Arus Lalu Lintas Simpang Empat Beran... 68 Tabel 4.5. Domain dari Variabel Linguistik Input dan Output... 70 Tabel 4.6. Aturan yang terbentuk pada inferensi fuzzy... 71 Tabel 4.7. Lama Waktu Lampu Hijau Setiap Simpang Menggunakan Logika Fuzzy... 80 Tabel 4.8. Elemen Vektor Eigen Bersesuaian Dengan Tiap Simpang... 85 Tabel 4.9. Nilai Awal Lampu Hijau Menyala (Detik)... 85 Tabel 4.10. Periodesasi Lampu Hijau Menyala... 86 Tabel 4.11. Lama Lampu Hijau Menyala Tiap Simpang (Detik)... 87 Tabel 4.12. Perbandingan Fase Lampu Hijau di Simpang Empat Beran Menggunakan Teori Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus... 87 Tabel 4.13. Presentase Bertambah dan Berkurangnya Fase Hijau dan Fase Merah... 88 xi
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Representasi Linear Naik... 13 Gambar 2.2. Representasi Linear Turun... 14 Gambar 2.3. Representasi Kurva Segitiga... 15 Gambar 2.4. Representasi Kurva Trapesium... 16 Gambar 2.5. Representasi Kurva Bentuk Bahu Satu... 17 Gambar 2.6. Representasi Kurva Bentuk Bahu Dua... 17 Gambar 2.7. Alur Fuzzy Inference System... 19 Gambar 2.8. FIS Editor... 23 Gambar 2.9. Membership Function Editor... 25 Gambar 2.10. Rule Editor... 26 Gambar 2.11. Graf... 27 Gambar 2.12. Graf lengkap Kn, 1 n 6... 31 Gambar 2.13. Graf Teratur Derajat 2... 32 Gambar 2.14. Graf Teratur Bipartit G(V1,V2)... 32 Gambar 2.15. Graf Dengan Pelabelan Fuzzy... 36 Gambar 2.16. Subgraph Fuzzy... 38 Gambar 2.17. Tampilan Perintah Matriks Dalam Software Scilab... 52 Gambar 2.18. Tampilan Hasil Dalam Software Scilab... 53 Gambar 4.1. Sistem Lalu Lintas pada Simpang Empat Beran... 58 xii
Gambar 4.2. Fungsi Keanggotaan Fuzzy Variabel Panjang Antrian... 61 Gambar 4.3. Graf Kompatibel dari Setiap Arus Lalu Lintas di Simpang Empat Beran... 66 Gambar 4.4. Graf Kompatibel Berbobot Dari Seluruh Arus Lalu Lintas Di Simpang Empat Beran... 67 Gambar 4.5. Subgraph lengkap Kompatibel Simpang Empat Beran... 68 Gambar 4.6. Fase Sistem Lalu Lintas Dengan Graf Kompatibel... 69 Gambar 4.7. Aplikasi Fungsi Implikasi R2 dan Fungsi Implikasi R3... 72 Gambar 4.8. Daerah Hasil Komposisi Komposisi Dengan Pewarnaan... 73 Gambar 4.9. Variabel Input Matlab Panjang Antrian... 77 Gambar 4.10. Variabel Output Matlab Lama Lampu Hijau... 77 Gambar 4.11. Rule Editor MATLAB Simpang Empat Beran... 78 Gambar 4.12. Rule Viewer simpang 1... 78 Gambar 4.13. Rule Viewer simpang 2... 79 Gambar 4.14. Rule Viewer simpang 3... 79 Gambar 4.15. Rule Viewer simpang 4... 80 Gambar 4.16. Tampilan Perintah Scilab untuk membentuk matriks... 84 Gambar 4.17. Tampilan Perintah dan Hasil Nilai Eigen dan Vektor Eigen... 84 xiii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Hasil Pengamatan Banyak Motor dan Mobil Pada 4 Februari 2017 untuk Setiap Fase... 94 xiv