Hukum Hooke Diktat Kuliah 4 Mekanika Bahan Ir. lisabeth Yuniarti, MT
Hubungan Tegangan dan Regangan (Stress-Strain Relationship) Untuk merancang struktur yang dapat berfungsi dengan baik, maka kita memerlukan pemahaman tentang perilaku mekanikal dari material/bahan yang digunakan. Satu cara untuk mengetahui perilaku bahan inii adalah dengan memberikan beban kepadanya yaitu melalui eksperimen di laboratorium, yang disebut uji tarik uniaksial. Setiap badan material/bahan akan berdeformasi jika pada badan itu dibebani dengan gaya luar. Deformasi ini disebut elastis jika benda dalam keadaan reversible, yaitu jika deformasi hilang segera setelah beban dihilangkan. Deformasi disebut plastis jika benda dalam keadaan irreversible atau permanen. Tegangan,σ P A δ Regangan,ε L 1
Diagram Tegangan dan Regangan (Stress-Strain Diagram) Sebuah kurva tegangan-regangan tipikal pada baja lunak yang dibebani gaya tarik uniaksial terlihat pada gambar 1. Diagram mulai dengan garis lurus dari titik asal O sampai pada titik A, terdapat hubungan linier dan proporsional antara tegangan (σ) dan regangan (ε) Titik A disebut sebagai batas proporsional. Setelah titik ini, kurva teganganmemperlihatkan kemiringan yang sampai pada titik B, dimana horizontal. -regangan mulai terus mengecil, kurva menjadi Mulai titik B, terjadi perpanjangan spesimen uji tanpa adanya peningkatan tegangan tarik yang diketahui, membentuk suatu dataran hingga titik C. Fenomena ini dikenal dengan leleh (yielding). Titik B disebut sebagai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut tegangan leleh (yielding stress), σ y. Setelah mengalami regangan besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC, material baja mulai mengalami pengerasan regangan (strain hardening), perpanjangan material uji pada daerah ini membutuhkan peningkatan beban tarik. Beban pada akhirnyaa mencapai nilai maksimum, dan tegangan yang terjadi (pada titik F) disebut Tegangan Batas (Ultimate Stress), σ U. Setelah melewati titik F, spesimen akan memperlihatkan secara jelas penyempitan lateral (lateral contract) dan pembentukan leher (necking) yang mengarah pada patah (fractur) pada akhirnya. Pada daerah OB, material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban, dihilangkan beban-nya, dan dibebani kembali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku. Jika pembebanan ditingkatkan diatas B, maka material berada dalam daerah plastis. Contoh, pada titik D, penghilangan beban akan mengikuti garis D yang paralel dengan garis elastis linier awal OA. Hanya sebagian regangan yaitu regangan elastis (elastic strain), ε e dikembalikan. Sementara, bagian lain regangann akan tetap sebagai regangan permanen yaitu regangan plastis (plastic strain), ε p. 2
Ketika dibebani kembali dari titik, respon yang terjadi akan mengikuti garis penghilangan beban D ke atas menuju titik D, yaitu titik di mana penghilangan beban dimulai pada siklus pembebanan. Perilaku material kemudian mengikuti kurva tegangan-regangan asli menuju titik F. Batas proporsional sekarang adalah titik D, pada tegangan yang lebih tinggi dari batas elastis asli (titik B). Hukum lastisitas Linier Hooke Jika suatu material berperilaku secara elastis dan juga menunjukkan hubungan linier antara tegangan dan regangan, maka dikatakan material elastis linier (lihat wilayah OA pada gambar 1). Jenis perilaku ini sangat penting dalam bidang rekayasa karena alasan yang jelas, yaitu dengan cara merancang struktur berfungsi pada wilayah tersebut, dan menghindari keadaan di mana struktur berdeformasi permanen akibat leleh. Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial Hubungan linier antara tegangan aksial σ dan regangan aksial ε akibat gaya tarik atau tekan aksial sederhana : σ ε, adalah konstanta proporsional, dikenal sebagai modulus elastisitas material dan merupakan kemiringan garis OA dalam daerah elastis linier pada hubungan tegangan-regangan. Persamaan ini dikenal sebagai Hukum Hooke, dinamakan dengan nama ilmuwan Inggris Robert Hooke (1635-1703). Modulus lastisitas biasa dinamakan Modulus Young. Perpanjangan aksial terjadi dibarengi dengan kontraksi lateral (kontraksi terjadi dalam arah tangensial terhadap arah beban yang diberikan) yang proporsional terhadap regangan aksial jika material dalam keadaan elastis linier. Perbandingan/rasio regangan ini adalah properti material yang dikenal dengan rasio Poisson (Poisson s Ratio) yang diberi simbol ν dan diekspresikan dengan : ν regangan lateral regangan aksial ε ' ε 3
Tanda minus dimasukkan ke dalam persamaan karena secara normal ε dan ε memiliki tanda berlawanan. Regangan laterall ε disebabkan oleh tegangan aksial σ sehingga dapat diekspresikan dengan : Hukum Hooke pada Geser ε ' ε σ / Properti material menyangkut geser dapat ditentukan secara eksperimen dari uji geser langsung atau dari uji torsi. Diagram tegangan geser dan regangan yang diplot dari hasil uji di atas serupa dengan diagram uji tarik (σ-ε) untuk material yang sama, walaupun berbeda pada besarannya. Untuk daerah elastis linier awal, tegangan geser τ dan regangann geser γ adalah proporsional, dan oleh karenanya hukum Hooke pada geser adalah : τ G γ dengan G adalah Modulus Geser lastisitas (disebut juga modulus rigiditas/modulus of rigidity) Hukum Hooke untuk Tegangan Bidang Sekarang kita kaji regangan normal ε x, ε y, ε z pada tegangan bidang (σ z 0) dalam gambar 2a berikut. Tegangan normal σ x dan σ y memanjangkan atau memendekkan elemen dalam arah x, y, dan z tetapi tidak menyebabkan distorsi elemen (gambar 2b). 4
Tegangan geser τ xy tidak ada kecenderungan memanjangkan atau memendekkan elemen dalam arah x, y, z, dengan kata lain, panjang sisi-sisi elemen tidak berubah seperti ditunjukkan dalam gambar 2c berikut. Tegangan geser hanya menyebabkan distorsi elemen sedemikian hingga setiap permukaan z menjadi sebuah rhombus/diamond (parallelogram) Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial (tegangan bidang) Tegangan uniaksial σ x tidak hanya menghasilkan perpanjangan dalam arah x, tetapi juga menyebabkan kontraksi lateral masing masing di arah y dan z. Menurut Hukum Hooke untukuk tegangan uniaksial, regangan ε x pada bidang tegangan menyebabkan σ x dan σ y bersamaan. Menurut hukum Hooke untuk tegangan uniaxial, regangan ε x pada arah x akibat tegangan σ x sama dengan σ x /. Juga, regangan pada arah x akibat tegangan σ y (konstraksi lateral) sama dengan νσ у /. Maka, regangan resultan pada arah x adalah : σx εx σy 5
Dengan cara yang sama, kita akan mempunyai persamaan berikut : σ σ x y ε y + σx εz σy Regangan geser yang berhubungan dengan tegangan geser oleh hukum Hooke dalam geser adalah : τxy γ xy G Persamaan tegangan yang dinyatakan dalam regangan di bawah ini dapat diselesaikan secara simultan untuk : σ x ( εx+ νεy) 2 1 ( ε νε ) σ y y+ 2 1 τ xy Gγ xy Persamaan di atas secara kolektif disebut Hukum Hooke untuk bidang tegangan. x Generalisasi Hukum Hooke untuk tegangan pada umumnya Jika material berperilaku menurut hukum Hooke, kita dapat peroleh hubungan antara tegangan normal dan regangan normal dengan menggunakan prosedur yang sama dengan tegangan bidang. Regangan yang dihasilkan oleh tegangan yang bekerja secara mandiri dapat dijumlahkan satu sama lain untuk mendapatkan regangan normal. Maka, kita sampai pada persamaan untuk regangan normal : σ σ x y σz εx σ σ x y σz εy + σ σ x y σz ε z + 6
Persamaan tadi dapat diselesaikan secara simultan untuk tegangan-tegangan yang dinyatakan dalam regangan-regangan, sebagai berikut : ( )( ) [( ) ( )] σ x εx+ ν εy εz 1+ ν 1 2ν 1 + [ ] σ y εy+ ν εx εz 1+ ν 1 2ν 1 + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [( ) ( )] σ z εz + ν εx εy 1+ ν 1 2ν 1 + Hubungan antara tegangan geser dan regangan geser secara sederhana ditunjukkan oleh hukum Hooke untuk geser sebagai berikut : τ xy Gγ xy τ xz Gγ xz τ yz Gγ yz Contoh Persoalan 1 Pelat ABCD yang homogen diberi beban biaksial seperti terlihat pada gambar di bawah. Diketahui σ y σ 0 dan bahwa perubahan panjang pelat pada arah x harus nol. Jika adalah modulus elastisitas dan ν adalah rasio Poisson, tentukan : (a) besar σ x yang dibutuhkan, dan (b) rasio σ 0 /ε y. 7
Solusi Contoh 1 Tegangan-tegangan pada setiap titik material berada dalam bidang komponennya adalah : σ x, σ y σ 0, τ xy 0 tegangan dan Karena perubahan panjang pelat dalam arah x adalah nol, maka : ε x 0 Menurut hukum Hooke tentang tegangan bidang : σx εx σy Kita mendapatkan : σ σ x y 0 Sehingga : σ x νσ 0 Review hukum Hooke tentang tegangan bidang : Maka : σy σx εy σ 0 ε 2 2 σ 0 ( ) ( 1 ) σ σ 1 ν 0 0 y 2 1 Contoh Persoalan 2 Blok baja pada gambar di bawah ini dibebani dengan tekanan merata pada permukaannya. Diketahui bahwa perubahan panjang pada sisi AB adalah 0,03 mm. 8
Tentukan : (a) Perubahan panjang dari dua sisi lainnya (b) Tekanan p yang diberikan pada permukaan blok, dengan mengasumsikan 200 Gpa dan ν 0,29 Solusi Contoh 2 Tegangan pada setiap titik material adalah : Karena : Diperoleh : Kemudian : Tekanan : 9