PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2017 i
ABSTRAK Mira Amalia. 2017. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang dengan metode PDM (Presedence Diagram Method). Metode PDM merupakan metode untuk menentukan jalur kritis agar penyelesaian proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu. Lintasan terpanjang ditentukan dengan memodifikasi perhitungan menggunakan metode PDM pada analisis lintasan kritis jaringan proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpanjang dalam jaringan. Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan proyek dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star ( ) pada matriks bobot jaringannya. Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan proyek dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star ( ) pada matriks bobot jaringannya. Kata Kunci : aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang iv
ABSTRACT Mira Amalia. 2017. APPLICATION OF MAX-PLUS ITERATIVE LINEAR EQUATIONS SYSTEM ON THE LONGEST PATH PROBLEM. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Algebra is a branch of mathematics that studies the concept or principle of simplification and problem solving using symbols or specific letters. One of the scores in algebra that is considered new is the max-plus algebra. This research discusses about the system of max-plus linear equation and its application to the longest path problem with PDM (Presedence Diagram Method). PDM is a method to determine the critical path for the completion of the project can be completed in a timely manner. This discussion is the result of theoretical study based on literature and calculation using the program. The longest path is determined by modifying the calculation as in the PERT-CPM method with PDM method on the critical path analysis on the project network. Besides, it can be done by modeling travel time on the network into an iterative max-plus system of linear equations (SLE). From this max-plus SLE solution, it can be determined the earliest start time and latest time for each point. Points with the same earliest start time and latest time will form the longest path on the network. The result of this research shows that the network with travel time can be modeled as a weighted directed graph expressed by the upper matrix max-plus algebra. The determination of minimum travel time can be done through star operation ( ) with network weight matrix. Keywords : max-plus algebra, system of linear equations, longest path v
MOTO Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan suatu kaum sampai mereka mengubah keadaan diri mereka sendiri. (QS. Ar-Ra d: 11) vi
PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan untuk ibu, bapak, dan kakak saya sebagai wujud atas doa, cinta, inspirasi, dan motivasi yang sudah diberikan selama ini. vii
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada 1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi, pengembangan model persediaan, serta penurunan model persediaan. 2. Bowo Winarno, S.Si, M.Kom. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi. 3. Keluarga dan sahabat atas dukungan, motivasi, serta bantuan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, Oktober 2017 Penulis viii
Daftar Isi HALAMAN JUDUL............................ i PERNYATAAN............................... ii PENGESAHAN............................... iii ABSTRAK................................. iv ABSTRACT................................ v MOTO.................................... vi PERSEMBAHAN.............................. vii KATA PENGANTAR........................... viii DAFTAR ISI................................ x DAFTAR TABEL............................. xi DAFTAR GAMBAR............................ xii DAFTAR NOTASI............................. xiii I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori Pendukung........................... 5 2.2.1 Definisi dan Sifat-Sifat Aljabar Maks-Plus......... 5 2.2.2 Matriks dan Vektor dalam Aljabar Maks-Plus....... 7 ix
2.2.3 Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Maks-Plus.... 9 2.2.4 Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus............ 11 2.2.5 Presedence Diagram Methode(PDM)............ 12 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 15 III METODE PENELITIAN 16 IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 17 4.1 Sistem Persamaan Linear Iteratif Maks-Plus dan Metode PDM.. 17 4.2 Penerapan Penjadwalan Proyek dengan Metode PDM....... 21 4.2.1 Penerapan Proyek Secara Umum.............. 21 4.2.2 Penerapan Kegiatan Proyek Pembangunan Drainase di Semarang............................ 26 V PENUTUP 32 5.1 Kesimpulan.............................. 32 5.2 Saran.................................. 32 DAFTAR PUSTAKA 34 x
Daftar Tabel 4.1 Data dari lima kegiatan proyek................... 22 4.2 Data dari kegiatan proyek pembangunan drainase......... 27 xi
Daftar Gambar 4.1 Hubungan antar kegiatan dalam PDM............... 23 4.2 Graf berarah kegiatan proyek drainase dalam PDM........ 27 xii
Daftar Notasi (S, +, ) : himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan R : himpunan semua bilangan real ε : R ε : R {ε} : operasi maks : operasi plus (+) R maks : (R ε,, ) R m n ε : {A = [a ij ] a ij R ε, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} R n n ε : {A = [a ij ] a ij R ε, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n} R n ε : {[x 1, x 2,..., x n ] T x j ε, j = 1, 2,..., n} m : relasi lebih kecil atau sama dengan dalam aljabar maks-plus a ij : elemen A R m n ε V : titik (vertices) pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i n dan j m E : himpunan pasangan tak terurut titik-titik atau edges A : himpunan pasangan terurut titik-titik atau busur v : titik awal busur w : titik akhir busur (v, v) A : busur yang menyatakan loop G = (V, A) : graf berarah dengan V = 1, 2,... λ : nilai eigen maksimum D : kurun waktu kegiatan ES : waktu mulai paling awal kegiatan LS : waktu mulai paling akhir kegiatan EF : waktu selesai paling awal kegiatan LF : waktu selesai paling akhir kegiatan xiii
S : ujung awal atau mulai kegiatan F : ujung akhir atau selesai kegiatan ES j : waktu mulai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau ES i : waktu mulai paling awal kegiatan yang terdahulu EF j : waktu selesai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau EF i : waktu selesai paling awal dari kegiatan terdahulu D j : kurun waktu kegiatan yang bersangkutan LF i : waktu selesai paling akhir dari kegitan yang sedang ditinjau LF j : waktu selesai paling akhir dari kegiatan terdahulu LS j : waktu paling akhir dari kegiatan yang sedang ditinjau LS i : waktu paling akhir dari kegiatan yang bersangkutan x e : waktu awal paling cepat x l : waktu paling akhir xiv