BAB PENDAHULUAN. Lata belakang Pekembangan suatu teknologi sangat dipengauhi dengan pekembangan suatu ilmu pengetahuan. Tanpa peanan ilmu pengetahuan, bisa dipastikan teknologi akan sulit untuk bekembang dengan cepat. Matematika sebagai bahasa simbol yang besifat uniesal sangat eat hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode matematika. Di dalam dunia nyata kadang tedapat masalah-masalah yang suka diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tesebut pelu disusun suatu pemodelan matematika yang miip dengan keadaan sistemnya. Matematika meupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai cii bebeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang dipelajai dalam matematika tedii atas bebeapa kelompok ilmu, sepeti: aljaba, geometi, analisis, dan matematika teapan. Pesamaan difeensial Pasial meupakan salah satu cabang matematika yang temasuk dalam kelompok analisis. Salah satu pesamaan yang temasuk dalam kelompok Pesamaan Difeensial Pasial adalah Pesamaan Laplace. Pesamaan Laplace meupakan bagian dai pesamaan difeensial pasial yang sangat penting dalam matematika teapan, sepeti: teoi pepindahan massa dan panas,
mekanika fluida, elastisitas, elektostatis, dan banyak lagi di bidang mekanika juga fisika lainnya. Adapun bentuk bentuk pesamaan Laplace dalam koodinat tiga dimensi adalah sebagai beikut: a. Koodinat Catesian: 0 z y x (.) b. Koodinat tabung (Silinde): Dinyatakan dalam koodinat tabung maka pesamaan Laplace mempunyai bentuk: 0 z (.) c. Koodinat Bola (Spheical): Dinyatakan dalam koodinat bola maka pesamaan Laplace mempunyai bentuk: 0 sin sin sin φ (.3) Ini adalah koodinat kodinat yang paling umum yang biasa dijumpai dalam paktek. Gb. Kood. Katesius
3 Gb. Kood. Tabung Gb. 3 Kood. Bola Akan tetapi pada tulisan ini penulis hanya membatasi pembahasan masalah hanya pada koodinat bola (spheical) dimana pesamaan Laplace yang dibahas hanya pesamaan dalam bentuk koodinat bola. Jika pesamaan Laplace diselesaikan maka akan dipeoleh suatu penyelesaian yang disebut hamonik, akan tetapi, dalam ati yang lebih tebatas istilah hamonik dimaksud hanya untuk suatu penyelesaian pesamaan Laplace dalam sistem koodinat tetentu. Jika syaat syaat batas suatu soal yang menyangkut pesamaan Laplace lebih sedehana dituliskan dalam sistem koodinat spheical, maka akan sangat beguna dimiliki suatu penyelesaian umum pesamaan Laplace dalam system koodinat ini. Sementaa itu deet Fouie adalah sebuah alat matematis yang digunakan untuk menganalisis fungsi peiodik menjadi sejumlah komponen yang jauh lebih sedehana yakni fungsi sinusoidal. Dalam tulisan ini penulis menggunakan deet fungsi peiodik. Jenis fungsi ini menaik kaena ia muncul dalam bebagai pesoalan
4 fisika sepeti getaan mekanik, aus elektik bolak balik (AC), hantaan panas, gelombang bunyi, electomagnet, dan sebagainya. Hal inilah yang melatabelakangi penulis untuk memilih mengekspansikan solusi umum pesamaan Laplace ke dalam deet fouie yang meupakan deet fungsi peiodik.. Peumusan Masalah Pemasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah a) Menyelesaikan pesamaan Laplace untuk menemukan solusi umumnya. b) Mengidentifikasi apakah solusi dai pesamaan Laplace tesebut adalah suatu fungsi hamonik. c) Mengidentifikasi apakah suatu fungsi hamonik dapat diekspansikan ke dalam deet Fouie. d) Mencai syaat pelu dan cukup aga solusi umum tesebut dapat diekspansikan ke dalam deet Fouie..3 Tujuan Penelitian Tujuan dai penelitian ini adalah untuk mencai syaat pelu dan cukup aga solusi umum pesamaan Laplace dapat diekspansikan ke dalam deet fouie..4 Manfaat Penelitian Manfaat dai penelitian adalah membantu penyelesaian fungsi fungsi umit dalam hal ini solusi umum pesamaan Laplace dalam bentuk deet dimana deet yang dipilih adalah deet fouie yang dapat dimanfaatkan oleh paa fisikawan seta menambah pengetahuan bagi penulis dan pembaca khususnya dalam menyelesaikan masalah mekanika dan fisika.
5.5 Tinjauan Pustaka Beikut ini dibeikan kajian pustaka mengenai pesamaan Laplace. Dalam Matematika, pesamaan Laplace adalah suatu pesamaan diffeensial pasial. Nama tesebut beasal dai nama penemunya yaitu, Piee-Simon Laplace. Solusi - solusi dai pesamaan Laplace sangat penting dalan bebagai bidang dalan sains, sepeti dalam bidang elektomagnetik, astonomi, dan dinamik fluida, kaena dapat menggambakan sifat-sifat listik, gaitasi, dan potensial fluida. Teoi umum pesamaan Laplace dikenal dengan teoi potensial, dimana pesamaannya dalam uang tiga dimensi bebentuk: x y z 0 (.4) Banyak pilihan untuk menyelesaikan pesamaan tesebut. Teknik yang paling sedehana yang dapat dipakai adalah pesamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah metode elemen batas. Teknik ini telah dilakukan oleh Wono Setya Budhi (997, ol.,hal:8-5), teknik ini khusus untuk bidang ( n ), dalam menggunakan metode elemen batas tesebut akan behadapan dengan opeato. Dengan G( x ξ ) ln x ξ ( x) G( x ξ ) g( ξ ) ds( ξ ) x Ω ; (.5) ;. Opeato ini disebut opeato potensial laye tunggal. π Wono Setya Budhi membeikan bukti egulato dai opeato dengan menggunakan gagasan dai bukti egulaitas opeato Chauchy yang ada dalam syaat Diichlet..6 Metodologi Penelitian Penelitian ini meupakan penelitian liteatu. Sehingga, penulis akan melakukan studi liteatu, penelitian mandii, pengumpulan bahan melalui buku buku efensi, maupun bahan bahan bebentuk junal yang dipeoleh dai pepustakaan ataupun intenet (sufing) seta konsultasi dengan dosen pembimbing untuk mempeoleh bahan
6 bahan yang behubungan dengan pokok pokok pemasalahan yang dibahas dan juga mengikuti pekuliahan yang dengan tulisan ini dan melakukan penelitian dengan langkah langkah sebagai beikut:. Menyelesaikan pesamaan Laplace untuk mendapatkan solusi umumnya.. Mengidentifikasi apakah solusi dai pesamaan Laplace tesebut adalah suatu fungsi hamonik. 3. Mengidentifikasi apakah suatu fungsi hamonik dapat diekspansikan ke dalam deet fouie. 4. Mencai syaat pelu dan cukup aga solusi umum tesebut dapat diekspansikan ke dalam deet Fouie.