MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i
perpustakaan.uns.ac.id ii
ABSTRAK Dian Rizki Nuraini. 2016. MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar maks-plus adalah semiring R dengan R = R { } yang dilengkapi operasi = maks dan operasi = +. Masalah nilai eigen dituliskan sebagai A x = λ x dengan λ merupakan nilai eigen dan x(k) merupakan vektor eigen dari matriks A. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum dituliskan sebagai A x = λb x dengan A, B matriks nonnegatif. Selain itu, masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pada aljabar maks-plus dapat pula dituliskan dalam bentuk A x = λ B x. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus. Hasil penelitian ini adalah nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi pada aljabar maks-plus. Kata kunci: Aljabar maks-plus, nilai eigen, vektor eigen, masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum iii
ABSTRACT Dian Rizki Nuraini. 2016. GENERALIZED EIGEN VALUE AND EIGEN VECTOR PROBLEM MATRIX ON MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra is the semiring R where R = R { } is equipped with operations = max and = plus. Eigenvalue problem A x = λ x where λ is called eigenvalue and x(k) is called eigenvector of matrices A. Generalized eigenvalue problem and eigenvector A x = λb x where A and B are nonnegative matrices. In addition, generalized eigenvalue and eigenvector problem in max-plus algebra can also written in the form of A x = λ B x. The aims of this research are to obtain eigenvalue and eigenvector from generalized eigenvalue problem matrix on max-plus algebra. The results of this research are eigenvalue and eigenvector from generalized eigenvalue problem for irreducible matrix and reducible matrix in max-plus algebra. Key words: max-plus algebra, eigenvalue, eigenvector, generalized eigenvalue and eigenvector problem iv
MOTTO Orang-orang yang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka menyukainya atau tidak. (Aldus Huxley) v
PERSEMBAHAN Saya persembahkan karya ini untuk kedua orang tua saya, adik saya, Devi Adillah Nuraini dan Dedy Achmad Alfarizi, serta teman-teman saya, Laela Nur Aeni dan Durri Indy Mahbubah. vi
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada 1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi. 2. Bapak Drs. Santoso Budi Wiyono, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi. 3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja samanya. Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat. Surakarta, Februari 2016 Penulis vii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv MOTTO................................... v PERSEMBAHAN.............................. vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI................................ ix I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori Penunjang............................ 5 2.2.1 Struktur Aljabar Biasa.................... 5 2.2.2 Aljabar Maks-Plus...................... 7 2.2.3 Matriks atas Aljabar Maks-Plus............... 8 2.2.4 Graf dalam Aljabar Maks-Plus............... 11 2.2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen................ 12 2.3 Kerangka Pemikiran... commit.... to. user................. 14 III METODE PENELITIAN 15 viii
IV PEMBAHASAN 16 4.1 Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang Diperumum..... 16 4.1.1 Kasus Matriks 2 2..................... 18 4.2 Eksistensi Nilai Eigen......................... 23 4.3 Ketunggalan Nilai Eigen....................... 24 V PENUTUP 35 5.1 Kesimpulan.............................. 35 5.2 Saran.................................. 35 DAFTAR PUSTAKA 36 ix