OPERATIONS RESEARCH Industrial Engineering
TRANSPORTASI
METODE ANALISA TRANSPORTASI PROGRAMA LINEAR Metode transportasi programa linear merupakan metode yang cukup sederhana dalam memecahkan permasalahan alokasi. Metode ini mempresentatifkan permasalahan ke dalam bentuk tabel yang terdiri dari beberapa parameter/variabel perhitungan: Sumber (Source) Sumber disini ditunjukkan dengan kapasitas supply dari masing-masing sumber tersebut untuk periode waktu tertentu. Sumber ditunjukkan dengan notasi F i. Dan kapasitas sumber dinotasikan dengan S i. Tujuan alokasi (Destination) Tujuan alokasi menunjukkan lokasi dimana supply akan didistribusikan. Tujuan alokasi dinotasikan sebagai A j dengan jumlah permintaan dari masing-masing tujuan alokasi dinotasikan dengan D j.
METODE ANALISA TRANSPORTASI PROGRAMA LINEAR Biaya Transportasi per unit (Unit shipping cost). Biaya pengiriman untuk 1 unit produk (bisa juga dimasukkan sebagai biaya produksi per unit) dari sumber i ke tujuan j, dinotasikan sebagai C ij. Alokasi pasokan (distribusi) Besarnya jumlah pengiriman barang (alokasi) per route/sel adalah variabel yang akan ditentukan dalam analisa ini. Besarnya alokasi dinotasikan sebagai X ij. Total biaya transportasi. Total biaya transportasi merupakan kriteria pokok dalam analisa alokasi ini, Total biaya transportasi diformulasikan sebagai : Z = C ij x X ij
PERMASALAHAN ALOKASI Besarnya jumlah permintaan yang mengakibatkan terbatasnya supply yang dapat diberikan oleh sumber-sumber pemasok, merupakan permasalahan utama dalam analisa alokasi ini. Seperti yang dideskripsikan pada slide berikut, jumlah supply sebesar 9.900 ton/minggu sedangkan jumlah pemintaan lebih banyak yaitu sebesar 11.400 ton/bulan. Sehingga diperlukan suatu analisa pengalokasiaan supply tersebut ke beberapa demand, sehingga menimbulkan total biaya yang paling minimal.
PERMASALAHAN ALOKASI SUPPLY DEMAND 3000 ton/minggu S1 D1 2700 ton/minggu 2500 ton/minggu S2 D2 3400 ton/minggu D3 3100 ton/minggu 4400 ton/minggu S3 D4 2200 ton/minggu
METODE PENYELESAIAN Metode yang akan digunakan untuk memecahkan permasalahan alokasi adalah metode programa linear. Aplikasi metode-metode program linear dapat digunakan untuk permasalahan sbb: Distribusi supply dari beberapa sumber untuk beberapa lokasi tujuan (permintaan) Pemilihan lokasi atau penempatan fasilitas Penentuan pemenuhan demand (estimasi) terhadap kapasitas produksi.
MATRIKS NOTASI SUMBER SEL MATRIK TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 Kapasitas Untuk lebih memperjelas notasi-notasi variabel diatas, dibawah ini ditampilkan sel matrik untuk penyelesaian permasalahan alokasi dengan programa linear. F 1 X 11? F 2 X 21? $ C 11 X 12? $ C 21 X 22? $ C 31 X 32? $ C 12 X 13? $ C 22 X 23? $ C 32 X 33? $ C 13 X 14? $ C 23 X 24? $ C 33 X 34? $ C 14 S 1 $ C 24 S 2 $ C 34 S 3 F 3 X 31? Permintaan D 1 D 2 D 3 D 4 S i = D j Z min = C ij x X ij
SYARAT KONDISI Kondisi yang harus terpenuhi dalam metode program linear : Pengalokasian harus feasible, sesuai dengan batasan supply & demand, Alokasi memenuhi seluruh kemungkinan alokasi (sel matrik) (i+j-1) Alokasi pada sel matrik tidak membentuk lintasan tertutup
FORMULASI j i X j D X i S X ST X C z ij j m i ij i n j ij m i n j ij ij, 0......... min 1 1 1 1
CONTOH SOAL Pada sel matrik di slide berikut, diketahui adanya permintaan sebesar 10,000 ton dari 4 buah lokasi permintaan dengan kemampuan supply yang sama besar dari 3 buah sumber.
CONTOH SOAL : SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 F 1 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 Kapasitas 2400 ton F 2 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 4000 ton F 3 $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 3600 ton Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
METODE HEURISTIC Least Cost Assignment Routine Method (Matrix Minimum Method) Metode Northwest-Corner Rule Metode Vogel s Approximation
LEAST COST ASSIGNMENT ROUTINE METHOD Metode ini bertujuan untuk meminimumkan biaya total untuk alokasi/distribusi supply produk untuk setiap tujuan alokasi. Metode ini cukup sederhana dan cepat dalam penyelesaian alokasi, namun hasil dari metode ini tidak seoptimal hasil dari metode lainnya. Prinsip metode Least Cost adalah alokasi demand sebesar-besarnya pada lokasi sumber yang memberikan biaya transportasi yang sekecil-kecilnya secara berturut-turut. Berdasarkan contoh soal, dengan menggunakan metode Least Cost akan ditentukan besarnya alokasi ke sel tertentu sbb:
LANGKAH PENYELESAIAN DENGAN LEAST COST: SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 Kapasitas $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 F 1 1200 (6) 1200 (4) 2400 ton $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 F 2 3400 (1) 600 (2) 4000 ton $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 F 3 1100 (5) 2500 (3) 3600 ton Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
TOTAL BIAYA LC Z = (1200x$10) + (1100x$9) + (3400x$2) + (2500x$4) + (1200x$6) + (600x$3) = $47700
METODE NORTHWEST- CORNER RULE Prinsip dari metode ini adalah : alokasi pertama pada sel kiri atas, kemudian alokasi horizontal ke sel kanan dan kemudian vertikal ke bawah, dst... Dengan menggunakan contoh persoalan yang sama pada metode heuristic, akan dilakukan penyelesaian dengan metode Northwest:
METODE NORTHWEST- CORNER RULE SUMBER F 1 2300 TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 (1) 100 (2) Kapasitas 2400 ton F 2 $ 5 3300 $ 2 $ 6 $ 3 (3) 700 (4) 4000 ton F 3 $ 9 $ 7 1800 $ 4 $ 7 (5) 1800 (6) 3600 ton Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 10000 ton
TOTAL BIAYA NWC Z = (2300x$10) + (100x$8) + (3300x$2) + (700x$6) + (1800x$4) + (1800x$7) = $ 54400
METODE VOGEL S APPROXIMATION Metode ini lebih panjang prosesnya dibandingkan dengan metode sebelumnya namun hasil (Z ij ) dari proses metode ini umumnya jauh lebih optimal dibanding metode-metode sebelumnya. Prinsip dari metode ini adalah : Alokasi ditentukan berdasarkan selisih terbesar antara 2 unit biaya (Cij) terkecil dalam satu kolom atau satu baris, Perhitungan selisih biaya terbesar berlanjut sebanyak iterasi yang dilakukan, Alokasi suplai maksimal pada sel yg terpilih Dengan menggunakan permasalahan yang sama dengan metode sebelumnya, penyelesaian permasalahan dengan metode Vogel
LANGKAH 1 : SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 Kapasitas C ij F 1 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 2400 ton (6-5) 1 F 2 $ 5 3400 $ 2 $ 6 $ 3 (1) 4000 ton (3-2) 1 F 3 $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 3600 ton (7-4) 3 C ij (9-5) 4 (7-2) 5 (5-4) 1 (6-3) 3 10000 ton
LANGKAH 2 : SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 F 1 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 Kapasitas 2400 ton C ij (6-5) 1 F 2 600 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 (2) 3400 (1) 600 ton (5-3) 2 F 3 $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 3600 ton (7-4) 3 Permintaan 2300 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton C i (9-5) 4 (5-4) 1 (6-3) 3 6600 ton
LANGKAH 3 : SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 Kapasita s C ij F 1 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 2400 ton (6-5) 1 F 2 600 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 (2) 3400 (1) 600 ton (5-3) 2 F 3 $ 9 $ 7 2500 $ 4 $ 7 (3) 3600 ton (7-4) 3 Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton C i (10-9) 1 (5-4) 1 (7-6) 1 6000 ton
LANGKAH 4 : SUMBER TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 Kapasitas C ij F 1 $ 10 $ 8 $ 5 1800 $ 6 (4) 2400 ton (10-6) 4 F 2 600 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 (2) 3400 (1) 600 ton (5-3) 2 F 3 $ 9 $ 7 2500 $ 4 $ 7 (3) 1100 ton (9-7) 2 Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton C ij (10-9) 1 (5-4) 1 (7-6) 1 3500 ton
LANGKAH 5 : TUJUAN SUMBER A 1 A 2 A 3 A 4 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 F 1 600 (5) 1800 (4) Kapasitas C ij 600 ton 4 F 2 600 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 (2) 3400 (1) 600 ton (5-3) 2 F 3 110 0 $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 (5) 2500 (3) 1100 ton 9 Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton C i (10-9) 1 (5-4) 1 (7-6) 1 1700 ton
HASIL AKHIR : SUMBER F 1 600 TUJUAN A 1 A 2 A 3 A 4 $ 10 $ 8 $ 5 $ 6 (5) 1800 (4) Kapasitas 1600 ton F 2 600 $ 5 $ 2 $ 6 $ 3 (2) 3400 (1) 600 ton F 3 1100 $ 9 $ 7 $ 4 $ 7 (5) 2500 (3) 1100 ton Permintaan 1700 ton 3400 ton 2500 ton 1800 ton 1700 ton
TOTAL BIAYA VOGEL Z = (600x$10) + (600x$5) + (1100x$9) + (3400x$2) + (2500x$4) + (1800x$6) = $46500
HASIL AKHIR Nilai total cost yang dihasilkan dari metode Vogel ini lebih minimal dibandingkan dengan kedua metode sebelumnya. Sehingga alokasi terbaik yang dapat ditentukan adalah sesuai dengan hasil dari metode Vogel ini yaitu dengan alokasi sbb: Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 600 ton/minggu. Alokasi dari Sumber F1 ke Lokasi Tujuan A4 sebesar 1800 ton/minggu. Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 600 ton/minggu. Alokasi dari Sumber F2 ke Lokasi Tujuan A2 sebesar 3400 ton/minggu. Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi Tujuan A1 sebesar 1100 ton/minggu. Alokasi dari Sumber F3 ke Lokasi Tujuan A3 sebesar 2500 ton/minggu.
PERBANDINGAN HASIL METODE HASIl (Z) LEAST COST $47700 NORTHWEST $ 54400 VOGEL $46500 Dari tabel diatas diketahui bahwa metode VOGEL dapat mencapai hasil terbaik. Untuk menguji apakah hasil yang didapat telah mencapai titik optimal, diperlukan langkah selanjutnya yaitu dengan menggunakan metode Stepping Stone
CONTOH 1
CONTOH 1 source cij Dj destination 1 2 3 4 5 6 Si 1 10 12 13 8 14 19 18 2 15 18 12 16 19 20 22 3 17 16 13 14 10 18 39 4 19 18 20 21 12 13 14 10 11 13 20 24 15 Si = Dj = 93
NORTHWEST CORNER RULE xij source Dj cij 1 2 3 4 destination 1 2 3 4 5 6 10 12 13 8 14 19 10 8 1 2 15 18 12 16 19 20 3 13 6 3 4 5 17 16 13 14 10 18 14 24 1 6 7 8 19 18 20 21 12 13 14 9 10 11 13 20 24 15 Si 18 22 39 14 Si = Dj = 93 Total Cost = 10(10) + 8(12) + 3(18) + 13(12) + 6(16) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1138
LEAST COST/ MATRIX MINIMUM METHOD cij destination xij Si 1 2 3 4 5 6 10 12 13 8 14 19 1 18 18 1 15 18 12 16 19 20 2 9 13 22 6 3 source 17 16 13 14 10 18 3 1 11 2 24 1 39 8 7 5 2 9 19 18 20 21 12 13 4 14 14 4 Dj 10 11 13 20 24 15 Si = Dj = 93 Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1096
VOGEL APPROXIMATION cij destination xij Si 1 2 3 4 5 6 10 12 13 8 14 19 1 18 18 1 15 18 12 16 19 20 2 9 13 22 6 4 source 17 16 13 14 10 18 3 1 11 2 24 1 39 7 8 5 3 9 19 18 20 21 12 13 4 14 14 2 Dj 10 11 13 20 24 15 Si = Dj = 93 Total Cost = 18(8) + 9(15) + 13(12) + 1(17) + 11(16) + 2(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1096
MENCARI OPTIMAL SOLUTION
CONTOH 1 (NCR), TOTAL COST = 1138 source cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 10 12 13 8 14 19 14 2 15 18 12 16 19 20 20 3 17 16 13 14 10 18 18 4 19 18 20 21 12 13 13 4 2 8 4 8 0
ZIJ CIJ = UI VJ CIJ z46 c46 = u4 v6 c46 0 = u4-0 - 13 u4 = 13 z35 c35 = u3 v5 c35 0 = 18 v5-10 v5 = 8 z24 c24 = u2 v4 c24 0 = u2-4 - 16 u2 = 20 z22 c22 = u2 v2 c22 0 = 20 v2-18 v2 = 2 z11 c11 = u1 v1 c11 0 = 14 v1-10 v1 = 4 z36 c36 = u3 v6 c36 0 = u3-0 - 18 u3 = 18 z34 c34 = u3 v4 c34 0 = 18 v4-14 v4 = 4 z23 c23 = u2 v3 c23 0 = 20 v3-12 v3 = 8 z12 c12 = u1 v2 c12 0 = u1-2 - 12 u1 = 14 z13 c13 = u1 v3 c13 = 14-8 - 13 = -7
MENGHITUNG (ZIJ CIJ) source zij - cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 0 0-7 2-8 -5 14 2 1 0 0 0-7 0 20 3-3 0-3 0 0 0 18 4-10 -7-15 -12-7 0 13 4 2 8 4 8 0
xij source destination 1 2 3 4 5 6 1 10 8 (-θ) +θ 2 3 (+θ) 13 6 (-θ) 3 14 24 1 4 14
SOLUSI BARU 1 source xij destination 1 2 3 4 5 6 1 10 2 6 2 9 13 3 14 24 1 4 14 Total Cost = 10(10) + 2(12) + 6(8) + 9(18) + 13(12) + 14(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1126
source cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 10 12 13 8 14 19 12 2 15 18 12 16 19 20 18 3 17 16 13 14 10 18 18 4 19 18 20 21 12 13 13 2 0 6 4 8 0
source zij - cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 0 0-7 0-10 -7 12 2 1 0 0-2 -9-2 18 3-1 2-1 0 0 0 18 4-8 -5-13 -12-7 0 13 2 0 6 4 8 0
source xij destination 1 2 3 4 5 6 1 10 2 (-θ) 6 (+θ) 2 9 13 3 +θ 14 (-θ) 24 1 4 14
SOLUSI BARU 2 source xij destination 1 2 3 4 5 6 1 10 8 2 9 13 3 2 12 24 1 4 14 Total Cost = 10(10) + 8(8) + 9(18) + 13(12) + 2(16) + 12(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1122
source cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 10 12 13 8 14 19 12 2 15 18 12 16 19 20 20 3 17 16 13 14 10 18 18 4 19 18 20 21 12 13 13 2 2 8 4 8 0
source zij - cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 0-2 -9 0-10 -7 12 2 3 0 0 0-7 0 20 3-1 0-3 0 0 0 18 4-8 -7-15 -12-7 0 13 2 2 8 4 8 0
xij source destination 1 2 3 4 5 6 1 10 (-θ) 8 (+θ) 2 +θ 9 (-θ) 13 3 2 (+θ) 12 (-θ) 24 1 4 14
SOLUSI BARU 3 source xij destination 1 2 3 4 5 6 1 1 17 2 9 13 3 11 3 24 1 4 14 Total Cost = 1(10) + 17(8) + 9(15) + 13(12) + 11(16) + 3(14) + 24(10) + 1(18) + 14(13) = 1095
source cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 10 12 13 8 14 19 12 2 15 18 12 16 19 20 17 3 17 16 13 14 10 18 18 4 19 18 20 21 12 13 13 2 2 5 4 8 0
source zij - cij vj destination 1 2 3 4 5 6 ui 1 0-2 -6 0-10 -7 12 2 0-3 0-3 -10-3 17 3-1 0 0 0 0 0 18 4-8 -7-12 -12-7 0 13 2 2 5 4 8 0 Tidak ada (zij cij) yang positif Solusi baru 3 = solusi optimal
CONTOH 2 cij source Dj destination 1 2 3 4 Si 1 2 3 4 9 20 2 14 12 5 1 30 3 12 15 9 3 40 10 10 20 50 Si = Dj = 90
SOLUSI AWAL CONTOH 2 (MMM) xij cij destination 1 2 3 4 Si 1 10 2 3 4 9 10 0 2 3 6 20 source 2 14 12 5 1 30 1 30 3 12 15 9 3 20 20 5 4 40 Dj 10 10 20 50 Si = Dj = 90
CONTOH 3 cij source Dj destination 1 2 3 4 Si 1 2 3 4 9 20 2 14 12 5 1 50 3 12 15 9 3 40 10 10 20 50 Si = 110 Dj = 90
SOLUSI AWAL CONTOH 3 (MMM) xij cij destination 1 2 3 4 5 Si 1 10 2 3 4 9 0 10 0 3 4 7 20 source 2 14 12 5 1 0 30 20 2 1 50 3 12 15 9 3 0 20 20 6 5 40 Dj 10 10 20 50 20 Si = Dj = 110
CONTOH 4 source cij Dj destination 1 2 3 4 Si 1 2 3 4 9 20 2 14 12 5 1 30 3 12 15 9 3 40 10 20 20 50 Si = 90 Dj = 100
SOLUSI AWAL CONTOH 4 (MMM) cij destination xij Si 1 2 3 4 2 3 4 9 1 10 10 0 20 2 3 6 14 12 5 1 2 30 30 1 source 12 15 9 3 3 20 20 40 5 4 M M M M 4 10 10 7 Dj 10 20 20 50 Si = Dj = 100
END