INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl Fourier menytkn bhw integrl fourier dri sutu fungsi f dlh Dimn A α cos αx + B α sin αx dx () A α = f x cos αx dx B α = f x sin αx dx () A α dn B α dengn < α < merupkn generlissi dri koefisien Fourier n dn b n. Rus knn dri persmn () jug disebut ekspnsi integrl Fourier f. Hsil persmn () berlku jik x dlh titik kontinuits dri f(x). Jik x dlh titik diskontinuits, mk hrus menggntikn f(x) dengn f x+ +f x sebgimn dlm ksus deret Fourier. Perhtikn bhw syrt di ts dlh syrt cukup tetpi bukn syrt perlu. Dlm generlissi koefisien Fourier terhdp integrl Fourier, mungkin dibikn, kren kpnpun f x dx d, mk = f x dx L L L pd st L Contoh : Tentukn integrl fourier dri fungsi, x <, x >
Jwb: A α = f x cos αx dx = = cos αx dx = cos αx dx + cos αx dx + cos αx dx sin αx α = sin α α B α = f x sin αx dx = sin αx dx + sin αx dx + sin αx dx = sin αx dx = α cos αx = Mk sin α α cos αx BENTUK EKUIVALEN DARI TEOREMA INTEGRAL FOURIER Teorem integrl Fourier dpt jug ditulis dlm bentuk f u cos α x u du α= u= e iαx f u e iαu du (3) (4) = iα u x f u e du Di mn diphmi bhw jik f(x) tidk kontinu pd x, mk rus kiri hrus digntikn oleh f x+ +f x.
Hsil-hsil ini msih dpt disederhnkn jik f(x) dlh sebuh fungsi gnjil tu genp, dn diperoleh Jik f x dlh fungsi genp mk B α =, mk integrl cosinusny A α cos αx, dengn A α = f x cos αx (5) Jik f x dlh fungsi gnjil mk A α =, mk integrl sinusny B α sin αx, dengn B α = f x sin αx (6) Contoh : Tentukn integrl cosinus dn integrl sinus fourier dri e x, x > Jwb: Integrl cosinus p A α = f x cos αx dx = lim p = + α Jdi e x e x cos αx dx = lim p + α cos αx + α sin αx p cos αx + α Integrl sinus p B α = f x sin αx dx = lim p = α + α e x e x sin αx dx = lim p + α sin αx α cos αx p
Jdi α sin αx + α Sutu entits yng penting dlm menghitung integrl dn menyelesikn persmn diferensil dn integrl kn diperkenlkn dlm prgrf berikutny. Trnsformsi tersebut diringks dri bentuk integrl Fourier dri sebuh fungsi, sebgimn dpt diliht, dengn menemptkn persmn (4) dlm bentuk Dn dengn mengmti pernytn di dlm tnd kurung e iαx f u e iαu du TRANSFORMASI FOURIER Mk Dri persmn (4) Fungsi F α disebut trnsformsi Fourier dri f(x) dn kdng-kdng ditulis sebgi F α = F f x. Fungsi f(x) dlh trnsformsi Fourier invers dri F α dn ditulis sebgi F F α. Contoh4: F α = Tentuknlh trnsformsi Fourier dri f jik e x jik x > e x jik x < f u e iαu du F α e iαx (7) (8) F α = f x e iαx dx = lim p p e x e iαx dx + e x e iαx dx p = lim p iα + x e iα + p + iα e iα x p = iα + iα
Jik f x dlh sutu fungsi genp, mk persmn 5 menghsilkn F c α = f u cos αu du F c α cos αx (9) F c α dn f(x) sebgi trnsformsi cosinus Fourier ntr stu dengn linny. Jik f x dlh sutu fungsi gnjil, mk persmn (6) menghsilkn F s α = f u sin αu du F s α sin αx () F s α dn f x sebgi trnsformsi sinus Fourier ntr stu dengn linny. Contoh 5: Jik dikethui f x cos αx dx = α, α, Tentukn nili f x!, α > Jwb: Dikethui bhw formul untuk trnsformsi fourier cosinus dlh F c α = f x cos αx dx = α, α, α > Mk F c α cos αx = α cos αx + cos αx = α cos αx Untuk menyelesikn integrl di ts gunkn integrl prsil diperoleh:
α x sin αx x cos αx = x cos x x Sift-sift trnsformsi Fourier. Jik F α dn F α merupkn trnsormsi Fourier dri f x dn f x mk F f x + bf x = F α + bf α. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f(x) mk F f x = F α 3. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f x mk: F f x = e iα F α 4. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f x mk: F f x cos x = F α + + F α 5. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f x mk: F e iαx F α + 6. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f x mk: dn F x n i n F α n 7. Jik F α dn F α merupkn trnsormsi Fourier dri f x dn f x mk F f x f x = F α F α 8. Jik F α merupkn trnsformsi Fourier dri f x mk: F f x = iαf α Jik F x untuk x ± Contoh6: Tentukn trnsformsi fourier dri fungsi, x <, x > Kemudin gunkn hsilny untuk menentukn trnsformsi fourier untuk fungsi g x = x, x <, x >
Jwb: Trnsformsi fourier untuk f x F α = f x e iαx dx = e iαx dx + e iαx dx + e iαx dx = e iαx dx = iα eiαx = α e iα e iα i = sin α α, α Untuk α = F = e ix dx = dx = x = Mk F α = sin α α, α, α = Trnsformsi fourier untuk g x Kren g x = x f x mk menurut sift nomor 6 diperoleh d G x i sin α α G α = sin α α d = d α cos α sin α α = α 3 sin α α cos α + α sin α α 4 Sift-sift untuk trnsformsi sinus (fungsi gnjil) dn cosinus (fungsi genp) Fourier Jik F s α dn F c α merupkn trnsformsi sinus dn cosinus Fourier dri f x mk:. F s f x + bf x = F s f x + bf s f x. F c f x + bf x = F c f x + bf c f x
3. F s f x = F s α 4. F c f x = F c α 5. F s f x cos x = F s α + + F s α 6. F s f x sin αx = F c α F c α + 7. F c f x sin x = F s α + F s α 8. F c x d 9. F s x d F s α F c α. Identits Prsevl untuk Trnsformsi Cosinus. F c α. G c α b. F c α = f x g x dx = f x dx. Identits Prsevl untuk Trnsformsi Cosinus. F s α. G s α b. F s α KONVOLUSI = f x g x dx = f x dx Misl F α dn G α msing-msing dlh trnsformsi Fourier f dn g, dn konvolusi f dn g didefinisikn sebgi f g = f u g x u du () Mk F α dn G α = e iαu f g du () f g = e iαu F α G α (3) Di mn dlm persmn dn 3 konvolusi f g dlh fungsi dri x. Teorem Prsevl untuk integrl Fourier f u du = F α (4)
Jik f dn g dlh fungsi-fungsi genp, mk dpt diperlihtkn bhw persmn (4) tereduksi menjdi identits Prsevl berikut f u g u du = F c α G c α (5) di mn F c dn G c dlh trnsformsi cosinus dri f dn g. Jik f dn g dlh fungsi gnjil, mk persmn (4) menjdi di mn F s dn G s dlh trnsformsi sinus dri f dn g. f u g u du = F s α G s α (6) Contoh 7: Tentukn nili Jwb: sin α α Berdsrkn contoh 6 diperoleh trnsformsi fourier untuk fungsi, x <, x > Adlh F α = sin α α Mk berdsrkn teorem prsevl f u du = F α dx = sin α α
Kren sin α α dlh fungsi genp mk Cttn: x = sin α α = 4 sin α α sin α α = e iθ = cos θ + i sin θ cos θ = eiθ + e iθ e iθ = cos θ i sin θ sin θ = eiθ e iθ i e x cos bx dx = e x sin bx dx = ex + b cos bx + b sin bx e x cos bx dx ex + b sin bx b cos bx e x sin bx dx = + b = b + b e x dx = e x e bx dx = b e x x n dx = n! n+