BAB I PENDAHULUAN Bab ini memuat tentang latar belakang yang mendasari penelitian. Berdasarkan pada latar belakang tersebut, ditentukan tujuan penelitian yang ingin dicapai. Pada bab ini juga dijelaskan mengenai manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. 1.1 Latar Belakang Influenza, umumnya dikenal sebagai flu, merupakan salah satu masalah kesehatan yang berlangsung lama dan utama di seluruh dunia. Penyakit ini menyebabkan kematian ratusan ribu per tahun. Dalam hal penyebaran spasial flu pandemi lebih parah. Selama abad terakhir, tiga pandemi flu besar terjadi. Diantaranya, flu Spanyol pada tahun 1918 yang dikenal sebagai pandemi yang paling menghancurkan. Diperkirakan bahwa flu Spanyol menyebabkan sekitar 40-50 juta kematian (sebanyak 30% dari total penduduk) dan yang terinfeksi 20-40% dari seluruh penduduk (World Health Organization, 2010). Empat puluh tahun kemudian, pada 1957-1958, manusia mengalami pandemi flu lain yang dikenal sebagai flu Asia atau flu burung, yang menyebabkan lebih dari dua juta kematian (World Health Organization, 2010). Pada tahun 1968, suatu pandemi flu yang berasal dari Hongkong menghantam satu juta penduduk (World Health Organization, 2010). Selain itu ada beberapa pandemi flu lainnya yang menyebar di kalangan bangsa-bangsa pada skala yang lebih kecil. Misalnya, tahun 2009 flu babi H1N1 adalah salah satu yang menarik perhatian para ilmuwan dan professional kesehatan di dunia. Virus flu dapat bermutasi, tidak seperti campak yang dihasilkan oleh virus tunggal sehingga memperoleh kekebalan permanen setelah sehat kembali (Castillo Chavez dkk, 1989). Ada tiga jenis tipe virus flu, yaitu tipe A, B, dan C. Setiap tipe memiliki beberapa sub tipe dan strain. Virus sub tipe A adalah hasil dari perubahan antigenik drastis dikenal sebagai antigenic shift yang terjadi kadang-kadang. Namun, ada perubahan kecil tapi terus-menerus terjadi di 1
2 sebuah antigen virus yang dikenal sebagai antigenic drift yang menghasilkan strain baru. Setelah strain virus baru muncul, antibodi terhadap strain yang lebih lama tidak lagi mengenali yang lebih baru, dan infeksi dengan strain baru bisa terjadi. Akibatnya, orang bisa mendapatkan infeksi flu lebih dari sekali. Salah satu contohnya adalah virus H1N1 tahun 2009. Secara umum, influenza (A) memiliki efek yang paling parah pada populasi manusia hingga dapat menyebabkan pandemi flu, seperti yang terkenal pada 1918, yang mempengaruhi 30-60% dari populasi (Castillo-Chavez dkk, 1989). Oleh karena itu, penelitian yang ekstensif dan intensif telah dilakukan yang fokus pada mekanisme transmisi dan strategi pengendalian. Diantara berbagai strategi-strategi kontrol, vaksinasi dianggap yang paling efektif. Vaksinasi merupakan pemberian vaksin (antigen dari virus/bakteri) yang dapat merangsang imunitas (antibodi) dari sistem imun di dalam tubuh (Pedoman Imunisasi di Indonesia, 2008). Namun, ketika virus bermutasi dan multistrain muncul dalam suatu populasi, menerapkan vaksin untuk satu strain dapat mempengaruhi penyebaran strain lainnya. Dengan demikian, timbul permasalahan yang berkaitan dengan bagaimana dampak dari vaksinasi tunggal untuk satu strain virus pada dinamika infeksi dua strain virus dan bagaimana pelaksanaan vaksinasi ini mempengaruhi penyebaran strain virus baru. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan atas latar belakang yang ada, maka rumusan masalah dari penelitian ini adalah 1. Bagaimana model epidemi yang akan dibentuk? 2. Bagaimana dampak dari vaksinasi tunggal pada dinamika infeksi dua strain virus? 3. Bagaimana pelaksanaan vaksinasi mempengaruhi penyebaran strain virus baru? 4. Bagaimana nilai parameter ambang batas yang berperan penting dalam menentukan penyebaran virus flu?
3 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah 1. merumuskan model matematika flu epidemi dua strain virus dengan vaksinasi tunggal; 2. menyelidiki dinamika model yang telah dirumuskan terkait dengan kestabilan titik-titik ekuilibriumnya; 3. melakukan simulasi dan menginterpretasikan secara biologis hasil analisa yang diperoleh. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah 1. memberikan gambaran tentang dinamika penyebaran flu dua strain virus dengan vaksinasi tunggal yang dapat digunakan sebagai acuan dalam menangani kasus flu yang terjadi sebagai upaya untuk mengendalikan penularan influenza; 2. Memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan terutama dalam kaitannya pada bidang keilmuan biosains. 1.5 Tinjauan Pustaka Mempelajari mengenai penyakit dapat menggunakan model matematika, yang disebut dengan model epidemi. Model epidemi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan Mckendrick. Model epidemi yang diperkenalkan disebut dengan model SIR. Pada model SIR, populasi dibagi menjadi tiga sub popualsi, yaitu sub populasi rentan ( Susceptible), sub populasi terinfeksi (Infectious), dan sub populasi sembuh (Recovery). Menggunakan model epidemi dapat diketahui kapan penyakit akan mewabah sehingga dapat diambil langkah-langkah yang akan dilakukan untuk menanggulangi dan mengendalikan penularan penyakit agar tidak semakin mewabah. Salah satu upaya tersebut adalah dengan pemberian vaksin. Pada tahun 2009, Ma dan Li mengembangkan model SIR menjadi model SIR dengan vaksinasi.
4 Model epidemi yang digunakan dalam tesis ini adalah yang terkait dengan infeksi dua strain virus dengan pemberian vaksin tunggal. Model epidemi merupakan salah satu bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous. Sehingga perlu dijamin eksistensi dan ketunggalan solusinya menggunakan teorema yang diberikan oleh Perko (200 0). Kemudian, model epidemi akan dianalisis perilaku solusinya di sekitar titik ekuilibrium dengan melihat sifat kestabilan titik ekuilibriumnya yang diberikan oleh Perko (2000). Lebih lanjut, Perko (2000) juga menjelaskan mengenai definisi titik ekuilibrium dan kriteria kestabilan titik ekuilibrium. Salah satu masalah yang paling penting tentang penyakit adalah kemampuannya untuk menyerang populasi atau individu lain. Dalam hal ini terkait dengan Parameter Ambang Batas ( ) yang merupakan parameter penting dalam menentukan penyebaran penyakit. Pada tesis ini, mencari nilai bilangan reproduksi dasar digunakan metode yang diperkenalkan oleh Diekmann, dkk (1990) yaitu metode pendekatan operator generasi berikutnya yang dikembangkan oleh Castilo-Chavez, dkk (2002). Perilaku solusi model epidemi dapat diketahui dengan melihat sifat kestabilan lokal maupun global dari titik ekuilibriumnya. Sifat kestabilan lokal dari titik ekuilibrium dapat diketahui dengan linearisasi di titik ekuilibrium menggunakan matriks Jacobian seperti yang diberikan oleh Perko (2000). Definisi mengenai matriks Jacobian suatu fungsi di titik tertentu pada domainnya dijelaskan oleh Perko (2000). Namun, sifat kestabilan lokal titik ekuilibrium yang diselidiki dari matriks Jacobian berlaku jika titik ekuilibrium yang diselidiki adalah titik ekuilibrium hiperbolik. Oleh karena itu, Perko (200 0) juga menjelaskan mengenai definisi titik ekuilibrium hiperbolik dan non hiperbolik. Sifat kestabilan titik ekuilibrium non hiperbolik dapat diselidiki dengan menggunakan metode langsung (direct method) melalui fungsi Liapunov. Definisi dan teorema tentang fungsi Liapunov serta sifat kestabilan titik ekuilibrium non hiperbolik diberikan oleh Luenberger (1979). Kemudian, Wiggins (2003) dan Lasalle (19 76) menjelaskan tentang himpunan invarian dan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan kestabilan global suatu sistem persamaan diferensial.
5 1.6 Metodologi Penelitian Penelitian dimulai dengan studi literatur seperti mengumpulkan bahan pustaka dan jurnal-jurnal pendukung. Selanjutnya, mempelajari bahan pustaka dan jurnal-jurnal pendukung sebagai referensi untuk model epidemi yang akan dibentuk. Kemudian ditentukan asumsi-asumsi yang berkaitan dengan model epidemi yang akan dibentuk sesuai dengan karakteristik penyakit yang akan dimodelkan. Berdasarkan asumsi yang telah ditentukan, dibuat diagram transfer dari model epidemi yang akan dibentuk yang akan disajikan ke dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Oleh karena model epidemi yang disajikan merupakan salah satu bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear, maka terlebih dahulu diselidiki eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi sistem tersebut. Selanjutnya, ditentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik dari model epidemi yang telah dibentuk. Kemudian, dicari bilangan reproduksi dasar dan keterkaitannya terhadap titik ekuilibrium bebas penyakit maupun titik ekuilibrium endemik. Sifat kestabilan ditentukan dengan melakukan linearisasi menggunakan matriks Jacobian dan fungsi Liapunov untuk menentukan sifat kestabilan globalnya. Terakhir adalah melakukan simulasi numerik terhadap hasil analisa yang diperoleh menggunakan software Matlab. Penelitian ini merujuk pada beberapa buku dan jurnal pendukung lainnya. Penelitian yang dilakukan ini serta sebagian besar hasil penelitian dalam tesis ini telah dikemukakan sebelumnya oleh S. M. Ashrafur Rahman dan Xingfu Zou pada Journal of Biological Dynamics, volume 5, nomor 5, tahun 2011, halaman 376 390 yang berjudul Flu epidemics: a two strain flu model with a single vaccinaton. Andil penulis diantaranya adalah menjelaskan konstruksi model epidemi yang dibentuk, menjelaskan eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi dari model epidemi yang dibentuk ke dalam sistem persamaan diferensial nonlinear, mencari bilangan reproduksi dasar, melakukan koreksi, dan melengkapi pembuktian-pembuktian yang ada.
6 1.7 Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri dari empat bab. Bab I, Pendahuluan, terdiri dari latar belakang masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan. Bab II, Landasan Teori, terdiri dari dasardasar teori yang menjadi landasan bab pembahasan selanjutnya, meliputi teori mengenai nilai eigen dan vektor eigen, fungsi diferensiabel kontinu, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi dan kriteria kestabilan titik ekuilibrium, parameter ambang batas ( ), fungsi Liapunov dan himpunan invarian serta teorema La Salle. Bab III, Analisa Kestabilan Model Epidemi, terdiri dari eksistensi titik ekuilibrium, menyelidiki kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, titik ekuilibrium dengan adanya satu kali infeksi, dan titik ekuilibrium dengan adanya dua kali infeksi, serta simulasi numerik. Bab IV, Penutup, terdiri dari kesimpulan dan saran.