PERCOBAAN SATU FAKTOR: RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL) Arum Handini Primandari, M.Sc.
PENGUJIAN HIPOTESIS Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1) Merumuskan hipotesis 2) Memilih taraf nyata α 3) Menentukan statistik uji 4) Perhitungan (tabel analisis variansi) 5) Keputusan dan kesimpulan
HIPOTESIS Keadaan sesungguhnya dalam populasi H 0 benar H 0 salah Terima H 0 Tepat Kesalahan Jenis II (β) Tolak H 0 Kesalahan jenis I (α) Tepat
ANALISIS VARIANSI Misalkan: terdapat percobaan pengaruh pemberian jenis pupuk pada pertumbuhan batang suatu tanaman. Pupuk yang diujikan terdapat 3 macam. Akan diuji adakah perbedaan ketiga jenis pupuk pada pertumbuhan tanaman. Ulangan Perlakuan 1 2 3 1. Faktor? 2. Level? 3. Perlakuan? 1 19.4 17.7 17 2 32.6 24.8 19.4 3 27 27.9 9.1 1. Faktor: pupuk 2. Level: 3 macam pupuk 3. Perlakuan: pemberian pupuk yang berbeda 4 32.1 25.2 11.9 5 33 24.3 15.8
MODEL DATA Data pada tabel tersebut dimodelkan sebagai berikut: y ij = μ i + e ij dengan i = 1, 2, 3,, t dan j = 1, 2, 3,, r (eq. 1) y ij merupakan nilai observasi ke-ij, μ i adalah rata-rata pada perlakuan ke-i, dan e ij adalah galat ke-ij. Model tersebut disebut model rata-rata. Model alternatifnya: Substitusi nilai μ i = μ + τ i pada persamaan (1), sehingga: y ij = μ + τ i + e ij (eq. 2) Dimana μ merupakan rata-rata umum (semua), τ i merupakan pengaruh perlakuaan ke-i. Model tersebut disebut model pengaruh.
Secara intuisi, pada persamaan 2 diperoleh: μ merupakan konstanta, dan Pengaruh perlakuan yaitu τ i dianggap sebagai deviasi dari konstanta akibat dari suatu perlakuan ke-i. Sehingga disebutlah analisis variansi. Persamaan 1 (maupun 2) disebut model pada analisis variansi satu arah karena hanya terdapat 1 faktor yang dianalisis. Bagaimana menuliskan hipotesisnya?
RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL) RAL merupakan rancangan paling sederhana di antara rancangan-rancangan percobaan baku. Jika kita ingin mempelajari t perlakuan dengan r satuan percobaan untuk setiap perlakuan (menggunakan rt satuan percobaan), maka RAL mengalokasikan t perlakuan secara acak pada rt satuan percobaan. Pola ini disebut dengan pengacakan lengkap. Penggunaan RAL akan tepat dalam kasus: Bahan percobaan homogen atau relatif homogen. Jumlah perlakuan terbatas
KEUNTUNGAN RAL Keuntungan RAL: Denah perancangan percobaan lebih mudah Analisis statistika terhadap subyek, sangat sederhana Fleksibel dalam ulangan Kehilangan informasi relatif sedikit, dalam hal data hilang dibanding rancangan lain
KEKURANGAN RAL Rancangan hanya dapat digunakan dengan beberapa perlakuan (yang tidak banyak) serta untuk unit percobaan yang relatif homogen. Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan, maka variabilitas seluruh unit percobaan akan cukup besar. Sehingga tidak disarankan menggunakan RAL karena tidak efisien
PENGACAKAN DAN DENAH RANCANGAN Misalkan: Kita memiliki 3 perlakuan yaitu: A, B, C Setiap perlakuan diulang 5 kali, sehingga kita memiliki 15 unit percobaan. Pengacakan dilakukan secara langsung pada 15 unit percobaan. Contoh denah pengacakan: Nomor 1; A 2; C 3; C 4; B 5; B 6; C 7; A 8; A 9; A 10; B 11; B 12; C 13; B 14; C 15; A Perlakuan
TABULASI DATA Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut: Ulangan Perlakuan A B C 1 Y 11 Y 21 Y 31 2 Y 12 Y 22 Y 32 3 Y 13 Y 23 Y 33 4 Y 14 Y 24 Y 34 5 Y 15 Y 25 Y 35 Total Rata-rata Y1 Y2 Y3 Y Y Y 1 2 3 Total Keseluruhan Y Y Baris i merupakan ulangan Kolom j merupakan perlakuan
MODEL LINIER DAN ANALISIS VARIANSI UNTUK RAL Bentuk umum dari model linier aditif untuk RAL: Y ij i ij i ij i 1,2,...,t j 1,2,...,r i i i Dimana: Y ij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j μ: rataan umum μ i : rataan perlakuan ke-i τ i : pengaruh perlakuan ke-i ε ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i, ulangan ke-j Persamaan tersebut disebut juga analisis satu-arah (one-way) atau faktor analisis variansi tunggal (single-factor analisys of variance) karena hanya satu faktor yang diinvestigasi.
Berdasarkan model untuk RAL, pendugaan terhadap pengaruh perlakuan dengan metode kuadrat terkecil (least square method) ditentukan dengan asumsi bahwa diperoleh: ˆ t i i i ˆ i ˆ 0 atau E 0 Y Y i e Y Y ij ij ij i
MODEL DALAM ANALISIS VARIANSI 1. Model Tetap (Fixed Model) Dalam model ini, τ i bersifat tetap dan galat percobaan iid ij N 0, 2 Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanya dapat mengambil kesimpulan yang berhubungan dengan perlakuan yang dicobakannya. Asumsi model tetap dapat dituliskan: iid 2 2 i 0;Var ij, ij; ij N 0,
Hipotesis untuk model tetap: H :... 0 0 1 2 t H : 0(i 1,2,...,t) 1 i atau dapat dituliskan: H :... (rataan semua perlakuan sama) 0 1 2 t H : untuk paling tidak sepasang (i,j) 1 i j Hipotesis dirumuskan untuk menguji bahwa tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respon.
2. Model Acak (Random Model) Dalam model acak, peneliti akan berhadapan dengan populasi perlakuan. Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuan didasarkan atas sejumlah (t buah) perlakuan yang dipilih secara acak Asumsi model acak: 2 2 2 i i ij ij ij E 0;Var ;Var, ; N 0, iid
Hipotesis untuk model acak H :... 0 0 1 2 t (rata-rata yang sesungguhnya dari ke-t buah grup perlakuan sama) H : 0 1 i (paling sedikit ada rata-rata satu grup perlakuan yang berbeda dengan yang lain) Atau 2 H 0 : 0 (tidak ada keragaman dalam dalam populasi perlakuan) 2 H 1 : 0 (ada keragaman dalam populasi perlakuan)
KESIMPULAN PERBEDAAN MODEL FIX DAN RANDOM Perlakuan Hipotesis Kesimpulan bersifat Model Fix Model Random
DEKOMPOSISI JUMLAH KUADRAT TOTAL Keragaman total diuraikan sebagai berikut: Y Y Y Y Y Y ij ij i i Y ij Yi Yi Y Jika dikuadratkan kedua ruas: 2 Y ij Y Yij Yi Yi Y 2 2 Y ij Yi Yi Y 2 Yij Yi Yi Y 2
Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan: t r t r t r 2 2 2 Y ij Y Yij Yi Yi Y i1 j1 i1 j1 i1 j1 t r i1 j1 ij i i 2 Y Y Y Y karena Sehingga: t r i1 j1 ij i i Y Y Y Y 0 t r t r t r 2 2 2 Y ij Y Yi Y Yij Yi i1 j1 i1 j1 i1 j1
Atau: Jumlah kuadrat total = Jumlah kuadrat perlakuan + Jumlah kuadrat galat t r t r t r 2 2 2 Y ij Y Yi Y Yij Yi i1 j1 i1 j1 i1 j1 JKT JKP JKG
PERHITUNGAN JUMLAH KUADRAT UNTUK ULANGAN SAMA FK = Faktor koreksi FK Y 2 tr JKT = Jumlah kuadrat total t r t r 2 JKT Y Y Y FK ij i1 j1 i1 j1 JKP = Jumlah kuadrat perlakuan JKG = Jumlah kuadrat galat 1 JKP Y Y Y FK t r t 2 2 i i i1 j1 r i1 t r i1 j1 JKG Y Y JKT JKP ij i 2 2 ij
PERHITUNGAN JUMLAH KUADRAT UNTUK ULANGAN YANG TIDAK SAMA FK = Faktor koreksi FK Y 2 t i1 r i JKP = Jumlah kuadrat perlakuan Y JKP Y Y FK t r t 2 2 i i i1 j1 i1 ri untuk JKT dan JKG rumusnya sama dengan yang menggunakan ulangan sama.
TABEL ANALISIS VARIANSI Sumber Keragaman Derajat bebas Jumlah kuadrat (JK) Kuadrat tengah (KT) F-hitung Ulangan sama Perlakuan t 1 JKP KTP = JKP/ (t 1) F = KTP/KTG Galat t(r 1) JKG KTG = JKG/ [t(r 1) ] Total tr 1 JKT Ulangan tidak sama Perlakuan t 1 JKP KTP = JKP/ (t 1) F = KTP/KTG Galat r 1 JKG KTG = JKG/ Total i i r 1 JKT i r 1
PENGUJIAN HIPOTESIS Statistik Uji: Fhitung KTP KTG mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang sebesar (t 1) dan derajat bebas penyebut [t(r 1)]. Hipotesis ditolak jika: F hitung F ;db ;db 1 2 penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa perlakuan yang diberikan terhadap unit-unit percobaan memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon yang diamati
KOEFISIEN KERAGAMAN (KK) Koefisien keragaman (KK) atau disebut juga keragaman relatif terhadap besaran data adalah: ˆ KTG KK 100% 100% Y Nilai KK yang terlalu besar bila dibandingkan dengan nilai biasa diperoleh peneliti, mencerminkan bahwa unit-unit percobaan yang digunakan tidak homogen. Y KK merupakan indeks keterandalan yang baik bagi suatu percobaan. Semakin tinggi nilai KK makin rendah keandalan percobaan tsb. Besarnya KK ideal tergantung pada bidang yang studi yang digeluti. Misal: untuk bidang pertanian dianggap wajar adalah 20% - 25%.
PENERAPAN RAL MODEL TETAP DENGAN ULANGAN SAMA Terdapat suatu penelitian mengenai kandungan nitrogen dalam miligram dari tanaman Red Clover yang disuntik dengan jamur Rhizobium trifolii ditambah gabungan dari lima strain Rhizobium melitoti. Terdapat enam perlakuan, dimana 5 perlakuan merupakan penularan R. Trifolii dengan salah satu strain R. melitoti serta satu perlakuan merupakan gabungan dari semua strain. Penularan dilakukan di rumah kaca, dimana setiap perlakuan dilakukan 5 pot tanaman. Jumlah pot yang disediakan adalah 30 buah dengan tanaman yang serupa. Penyuntikan keenam perlakuan dilakukan secara acak. Percobaan menggunakan Rancangan Acak Lengkap.
HASIL PENGUKURAN KANDUNGAN NITROGEN (MG) Ulangan Perlakuan 1 2 3 4 5 gabungan 1 19.4 17.7 17 20.7 14.3 17.3 2 32.6 24.8 19.4 21 14.4 19.4 3 27 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9 5 33 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8 Jumlah 144.1 119.9 73.2 99.6 66.3 93.5
PENYELESAIAN : 1. Model model yang cocok adalah model tetap. karena hanya terdapat enam perlakuan yang tersedia untuk percobaan ini. Sehingga model liniernya adalah Y ij i ij;i 1,2,...,6; j 1,2,...,5 Dimana : Yij: kandungan nitrogen dari tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i. µ: nilai tengah umum (rata rata populasi) kandungan nitrogen. τi: pengaruh perlakuan ke-i εij: pengaruh galat percobaan pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i
2. Asumsi Komponen-komponen Nilai-nilai,, i ij bersifat aditif 0;E i i 1,2,...,6 tetap, E 0;E ij ij 2 2 i i i
3. Hipotesis H :... 0 0 1 2 6 (yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan terhadap kandungan nitrogen tanaman). H : 0(i 1,2,...,t) 1 i (artinya minimal ada satu perlakuan yang pengaruhnya terhadap hasil kandungan nitrogen tanaman berbeda)
4. Taraf signifikasi 5. Statistik Uji dan daerah kritis 6. Perhitungan 7. Kesimpulan
LATIHAN 1:
LATIHAN 2 Suatu pabrik tekstil memproduksi kain tenun dengan menggunakan peralatan tenun dalam jumlah yang banyak. Pengusaha pabrik menginginkan agar peralatan tsb homogen sehingga kain tenun yang dihasilkan mempunyai kekuatan (daya tahan) yang sama. Untuk mengetahui apakah peralatan tenun yang dimilikinya bersifat homogen dalam menghasilkan kain tenun, maka dilakukan suatu penelitian. Penelitian dilakukan dengan mengambil secara acak empat buah peralatan tenun dari semua peralatan tenun yang ada (katakanlah m buah peralatan tenun yang dimiliki pabrik tsb). Dengan teknik penentuan daya tahan (kekuatan) tertentu serta menggunakan satuan pengukuran tertentu diperoleh hasil pengamatan sbb :
HASIL PENGAMATAN Ulangan Peralatan Umum 1 2 3 4 1 98 91 96 95 2 97 90 95 96 3 99 93 97 4 96
MODEL LINIER ADITIF RAL Model yang cocok untuk analisis model acak adalah : Dimana : Y ij : nilai kekuatan kain dari mesin ke-i pada ulangan ke-j. µ : nilai tengah umum (rata rata populasi) kekuatan kain. τ i ε ij : pengaruh mesin ke-i terhadap kekuatan kain : pengaruh galat percobaan dari mesin ke-i pada pengamatan ke-j
HIPOTESIS & PERHITUNGAN Hipotesis yang akan diuji adalah (yang artinya tidak terdapat keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun). (yang berarti ada keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun) Tahap Perhitungan!!! Penarikan Kesimpulan Koefisien Keragaman (KK)
REFERENSI Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5 th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.