PENGUJIAN HIPOTESIS. Menguji Kesamaan Dua Rata-rata a. Uji Dua Pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut μ dan μ dan σ dan σ. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n, sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak n. Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh x, s dan x, s. Akan diuji tentang rata-rata μ dan μ. Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah: H 0 : μ = μ H μ μ Untuk ini dibedakan dalam beberapa kasus:. σ = σ = σ dan σ diketahui Statistik yang digunakan jika H 0 benar adalah: z = x x σ n + n Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah: terima H 0 jika z α < z < z α dimana z α didapat dari daftar normal baku dengan peluang α. Dalam hal lainnya H 0 ditolak.. σ = σ = σ tetapi σ tidak diketahui Statistik yang digunakan jika H 0 benar adalah: Dengan t = x x s n + n s = n s + n s n + n Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah: terima H 0 jika t σ < t < t σ α. Dalam dimana t σ didapat dari daftar student dengan dk = n + n peluang hal lainnya H 0 ditolak. 3. σ σ dan kedua-duanya tidak diketahui Statistik yang digunakan jika H 0 benar adalah: t = x x s n + s Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah: terima H 0 jika Dengan: w i = s i n w t + w t w + w < t < w t + w t w + w n i dan t i = t α, n i dengan i =,. Dalam hal lainnya H 0 ditolak.
4. Observasi berpasangan Untuk observasi berpasangan, ambil μ B = μ μ. Hipotesis nol dan tandingannya adalah: H 0 : μ B = 0 H : μ B 0 Jika B i = x i y i, maka data B, B,, B n menghasilkan B dan simpangan baku s B. Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik: t = B s B n dan terima H 0 jika t σ < t < t σ dimana t didapat dari daftar student dengan σ dk = n + n peluang α. Dalam hal lainnya H 0 ditolak. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui macam makanan yang mana yang lebih baik bagi ayam tersebut. Sampel acak yang terdiri atas ayam diberi makanan A dan 0 ayam diberi makanan B. Tambah berat badan ayam (dalam ons) hasil percobaan adalah sebagai berikut: A 3. 3.0 3.3.9.6 3.0 3.6.7 3.8 4.0 3.4 B.7.9 3.4 3. 3.3.9 3.0 3.0.6 3.7 Dalam taraf nyata α = 0,05, tentukan apakah kedua macam makanan itu sama baiknya atau tidak. (berat daging ayam berdistribusi normal dengan varians yang sama besar). H 0 : μ = μ H μ μ. Uji statistik : t 3. Uji pihak 4. Taraf nyata α = 0,05, maka t 0.975;9 < t < t 0.975;9,09 < t <,09 5. Nilai Statistik: Rata-rata dan varians untuk masing-masing sampel: x A = x i = 35.4 = 3. dan s n A A = x i x A =.9964 = 0.996 n A 0 x B = x i = 30. = 3.0 dan s n B 0 B = x i x B =.00 = 0. n B 9 Maka simpangan baku gabungannya: s = 0.996 + 0 0. + 0 =.9968 9 = 0.577 Maka: t = 3. 3.0 = 0.86 0.577 + 0 6. Kesimpulan: karena t hitung berada dalam daerah penerimaan H 0, maka H 0 diterima. Artinya kedua macam makanan ayam itu memberikan tambahan berat daging ayam sama terhadap ayam-ayam itu.
b. Uji Satu Pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut μ dan μ dan σ dan σ. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n, sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak n. Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh x, s dan x, s. Akan diuji tentang rata-rata μ dan μ. Maka pengujian hipotesis: Hipotesis H 0 : μ = μ H μ > μ H 0 : μ = μ H μ < μ σ = σ = σ dan σ diketahui Uji Statistik z = x x σ n + n Kriteria pengujian H 0 ditolak :z z 0.5 α H 0 ditolak :z z 0.5 α t = x x σ = σ = σ tetapi σ tidak diketahui Uji Statistik Dengan: s n + n s = n s + n s n + n Kriteria pengujian H 0 ditolak :t t α dengan: dk = n + n peluang α H 0 ditolak :t t α dengan: dk = n + n peluang α σ σ dan kedua-duanya tidak diketahui Uji Statistik Kriteria pengujian H 0 ditolak: t w t +w t w +w dengan: w i = s i dan n i t i = t α, n i dengan i =, t = x x s n + s n H 0 ditolak:t w t +w t w +w dengan: w i = s i dan n i t i = t α, n i dengan i =, Diduga bahw apemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 5 pemuda yang senang berenang dan 0 yang tidak senang berenang. Rata-rata tinggi badannya berturut-turut 67, cm dan 60,3 cm. Simpangan baknya masing-masing 6,7 cm dan 7, cm. Dalam taraf nyata α = 0,05, dapatkah kita mendukung dugaan tersebut? (misal distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan σ σ )
H. 0 : μ = μ H μ > μ. Uji statistik: t 3. Uji satu pihak 4. Taraf nyata α = 0,05, maka t w t +w t w +w Dengan w = s = 6.7 =.99, w n 5 = s = 7, =.5, t n 0 = t α, n =.76, dan t = t α, n =.73 maka.99.76 +.5.73 t t.75.99 +.5 5. Nilai statistik: t = 67. 60.3 =.94 6.7 5 +7. 0 6. Kesimpulan: Karena t hitung berada dalam daerah penolakan H 0, maka H 0 ditolak. Artinya benar tinggi pemuda yang suka berenang lebih tinggi dibandingkan pemuda yang tidak suka berenang.. Menguji Kesamaan Dua Proporsi a. Uji dua pihak Misalkan ada dua populasi berdistribusi binom yang didalamnya masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar π dan π. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar x n. Dari populasi kedua diambil sebuah sampel acak berukuran n dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar x n. Kedua sampel diambil secara independen. Maka pengujian hipotesis: H 0 π = π H π π Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik: x n x z = n pq + n n Dengan p = x +x dan q = p. Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata α, maka n +n kriteria pengujian adalah: terima H 0 jika z α < z < z α dimana z α didapat dari daftar normal baku dengan peluang α. Dalam hal lainnya H 0 ditolak. Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 50 pemilih. Terdapat 50 pemilih menyatakan akan memilih calon C. Didaerah B penelitian dilakukan terhadap 300 pemilih dan terdapat 6 yang akan memilih calon C. Dengan taraf nyata α = 0,05 adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C di antara kedua daerah itu?. H 0 π = π H π π. Uji statistik : z 3. Uji dua pihak 4. taraf nyata α = 0,05, maka z α < z < z α.96 < z <.96
5. Nilai statistik: dengan p = 50+6 50+300 = 0.5673 dan q = 0.5673 = 0.437 50 50 6 300 z = 0.5673 0.437 50 + =.4 300 6. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan H 0, maka H 0 diterima. Artinya tidak ada perbedaan yang nyata mengenai pemilih calon C diantara kedua daerah. b. Uji satu pihak Uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisnya adalah: H 0 π = π H π > π Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian: H 0 ditolak z z 0.5 α dimana z α didapat dari daftar normal baku dengan peluang α. Dalam hal lainnya H 0 ditolak. Uji pihak kiri, maka pasangan hipotesisnya adalah: H 0 π = π H π < π Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal. Kriteria pengujian: H 0 ditolak z z 0.5 α dimana z α didapat dari daftar normal baku dengan peluang α. Dalam hal lainnya H 0 ditolak Terdapat dua kelompok, ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 00 pasien yang menderita semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan serum tertentu tetapi tidak kepada kelompok B. Kelompok B sering dinamakan kelompok kontrol. Setelah jangka waktu tertentu, terdapat 80 yang sembuh dari kelompok A dan 68 dari kelompok B. Apakah penelitian ini memperlihatkan bahwa pemberian serum ikut membantu menyembuhkan penyakit? (α = 0,05). H 0 π A = π B H π A > π B. Uji statistik : z 3. Uji satu pihak 4. taraf nyata α = 0,05, maka z z 0.5 α z.64 5. Nilai statistik: dengan p = 80+68 = 0.74 dan q = 0.74 = 0.6 00+00 80 z = 00 68 00 0.74 0.6 00 + =.94 00 6. Kesimpulan: karena z hitung berada dalam daerah penerimaan H 0, maka H 0 diterima. Artinya pemberian serum membantu menyembuhkan penelitian. 3. Menguji Kesamaan Dua Varians Misalkan ada dua populasi berdistribusi normal dengan masing-masing rata-rata dan simpangan baku secara berturut-turut μ dan μ dan σ dan σ. Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n, sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak diambil sebanyak n. Dari kedua sampel ini berturut-turut diperoleh x, s dan x, s. Akan diuji tentang rata-rata μ dan μ. Maka pengujian hipotesis:
a. Uji dua pihak Pengujian menggunakan statistik: H 0 : σ = σ H : σ σ F = s s Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H 0 jika F < F < F α n,n α n,n Untuk taraf nyata α, dimana F β m,n didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β, dk pembilang = n dan dk penyebut = m. Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H 0 : Varians terbesar F = Varians terkecil Dan tolak H 0 hanya jika F F α n,n Jika peluang beda dari 0,0 atau 0,05, maka gunakan: Ada dua macam pengukuran kelembaban suatu zat. Cara ke- dilakukan 0 kali yang menghasilkan s = 4.7 dan cara ke- dilakukan 3 kali dengan s = 37.. Dengan α = 0,0 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians homogen?. H 0 σ = σ H σ σ F p ν,ν =. Uji statistik : F 3. Uji dua pihak 4. taraf nyata α = 0,0, maka F F α n,n F F 0.05,9 F 3.07 5. Nilai statistik: F = 37. 4.7 =.506 6. Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah penerimaan H 0, maka H 0 diterima. Artinya varians kedua cara penentuan kelembaban homogen. b. Uji satu pihak Uji pihak kanan, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya: H 0 : σ = σ H : σ > σ Uji pihak kiri, hipotesi nol dan hipotesis tandingannya: H 0 : σ = σ F p ν,ν H : σ < σ Statistik yang digunakan: F = s s Kriteria pengujian: untuk uji pihak kanan: H 0 ditolak jika F F α n,n pihak kiri: H 0 ditolak jika F F α n,n sedangkan untuk uji
Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan s = 5.4 gram dan s = 30.7 gram. Penimbangan masing-masing dilakukan sebanyak 3 kali. Ada anggapan bahwa metode kesatu menghasilkan penimbangan dengan variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu? H. 0 : σ = σ H : σ < σ. Uji statistik : F 3. Uji satu pihak 4. taraf nyata α = 0,05, maka F F α n,n F F 0.95. karena F 0.05. =.69 maka F 0.95. = = 0.37 F 0.05. Maka F 0.37 5. Nilai statistik: F = 4.7 = 0.83 37. 6. Kesimpulan: karena F hitung berada dalam daerah terima H 0 maka H 0 diterima. Artinya tidak benar variabilitas cara kesatu lebih kecil.