Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi Kombinatorial 1 9/26/2017
Definisi Kombinatorial Kombinatorial adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari teknik menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. 2 9/26/2017 Kode dan nama MK
Aturan Perkalian Jika suatu kejadian (event) harus dilakukan secara berturutan dengan melakukan n 1 cara, dan n 2 cara dan dan n r cara maka kejadian tersebut dapat dilakukan dalam n 1 n 2 n 3...n r (dikalikan) 3 9/26/2017
Contoh 1: Seseorang mempunyai jejer (tangkai pancing) sebanyak 6 buah, benang (senar) sebanyak 3 gulung dan matakail sebanyak 5 buah. Ada berapa banyak kemungkinan pancingan yang dapat dibuat? Jawab: 6 jejer, dan 3 gulung senar dan 5 mata kail = 6x3x5= 90 buah pancingan 4 9/26/2017
Contoh 2: Sebuah pusat komputer terdiri dari 32PC, setiap PC memiliki 24 port. Ada berapa banyak port yang tersedia di pusat komputer tersebut? Jawab: 32PC dan 24 port = 32 x 24 port 5 9/26/2017
Contoh 3: Sebuah organisasi kemahasiswaan memiliki 26 anggota, akan dipilih pengurus yang terdiri dari 1 ketua, 1 bendahara, dan 1 sekretaris (asumsi: tidak boleh ada rangkap jabatan). Berapa banyak susunan pengurus organisasi yang dapat dibuat? Jawab: 26x25x24 6 9/26/2017
Aturan Penjumlahan Jika suatu kejadian (event) harus dilakukan dengan n 1 cara atau n 2 atau... atau n r cara, maka kejadian tersebut dapat dilakukan dalam: n 1 +n 2 +n 3 +...+n r (dijumlahkan) 7 9/26/2017
Contoh 4: Seorang mahasiswa harus memilih salah satu judul TA dari tiga kelompok: 23 komputer Sains, 15 RPL, dan 19 SKJK. Berapa judul TA yg dapat dipilih? Jawab : 23 KS atau 15 RPL atau 19 SKJK= 23 + 15 + 19 pilihan TA 8 9/26/2017
Contoh 5: Komite university dipilih salah satu dari 37 mahasiswa Fakultas Matematika dan 83 mahasiswa Fakultas Teknik Komputer. Ada berapa banyak pilihan komite universitas tersebut? Jawab: 37FM atau 83FTK = 37 + 83 = 120 pilihan mahasiswa 9 9/26/2017
Contoh 6: Pada suatu versi bahasa pemrograman BASIC suatu variabel adalah string yang terdiri dari satu atau dua karakter alpanumerik, tidak case sensitive. (Karakter alpanumerik adalah salah satu dari 26 huruf atau salah satu bilangan dari 10 digit). Selanjutnya, sebuah nama variabel harus mulai dengan huruf dan harus berbeda dengan lima string yang panjangnya dua karakter yang telah dipakai untuk kode pemrograman (lima string tersebut diantaranya do yang dipakai untuk memanggil/ menjalankan program, to yang dipakai untuk berpasangan dengan for). Berapa banyak nama variabel yang berbeda yang dapat dibentuk oleh BASIC versi ini? 10 9/26/2017
Jawab: Misalkan V adalah banyaknya nama variabel yang berbeda dalam bahasa BASIC yang versi ini. V 1 adalah banyaknya nama variabel yang panjangnya satu karakter. V 2 adalah banyaknya nama variabel yang panjangnya dua karakter. Karena kata hubung yang dipakai adalah atau maka V=V 1 +V 2 sedangkan V 1 = 26, karena nama variabel satu karakter harus huruf. Sedangkan V 2 harus menggunakan aturan perkalian, karena karakter pertama harus huruf dan karakter kedua alpanumerik dan dikurangi dengan 5 string yang telah dipakai untuk kode pemrograman, sehingga V 2 = 26.36 5 = 931. Oleh karena itu, V = V 1 + V 2 = 26 + 931 = 957 nama variabel yang berbeda untuk BASIC versi ini. 11 9/26/2017
Prinsip Inklusi Eksklusi n(u)=n(a) + n(a C ) n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B) n((a B) C) = n(a B) + n(c) n((a B) C) = n(a) + n(b) n(a B) + n(c) n((a C) (B C)) = n(a) + n(b) n(a B) + n(c) {n(a C) + n(b C) n(a C B) } = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) - n(a C) - n(b C) + n(a C B) 12 9/26/2017
Contoh 7: Berapa banyak bit string yang panjangnya 8 bit yang dapat dibentuk, jika diawali oleh bit 1 atau diakhiri oleh 2 bit 00? Jawab: Misalkan n(a)=banyaknya bit string dimulai dengan bit 1 = 2 7 n(b)=banyaknya bit string yang diakhiri dengan bit 00 = 2 6 n(a B)=banyaknya bit string yang dimulai dengan bit 1 dan diakhiri dengan bit 00=2 5 sehingga n(a B)=n(A)+n(B) n(a B) = 2 7 + 2 6-2 5 13 9/26/2017
Faktorial Definisi: n!=n(n-1)! 0!=1 Contoh 8: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 14 9/26/2017
Permutasi Permutasi adalah banyaknya urutan berbeda yang dapat dibentuk dari pengaturan objek-objek. 15 9/26/2017
Berapakah banyaknya urutan berbeda yang dapat dibuat dari penempatan bola merah, biru, putih ke dalam kotak 1,2,3? BOLA m b p KOTAK 1 2 3 10.56.50
KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN m b p mbp p b mpb b m p bmp p m bpm p m b pmb b m pbm Banyaknya kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6 kemungkinan 10.56.50
Permutasi n objek Misalkan misalkan terdapat n objek yang akan diurutkan urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari n 1 objek yang tersisa, urutan ketiga dipilih dari n 2 objek yang tersisa, urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Maka menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek (banyaknya susunan n objek yang dapat dibentuk) adalah n(n 1) (n 2) (2)(1) = n! 18 10.56.50
Contoh 9 Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata RIAN? Penyelesaian: 4 X 3 X 2 X 1 = 24 buah kata Berapa banyak cara mengurutkan nama 12 orang pegawai? Penyelesaian: 12! = 479001600 cara 19 10.56.50
Permutasi r dari n objek Permutasi r dari n objek adalah banyaknya urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, r n, dan pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. 20 10.56.51
Permutasi r dari n objek Ada n buah objek yang berbeda dan r buah kotak (r n), maka: kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n objek (ada n pilihan) kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n - 1) objek (ada n 1 pilihan) kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n - 2) objek (ada n 2) pilihan;. kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n - (r - 1)) objek (ada n r + 1 pilihan); Jumlah urutan berbeda dari penempatan objek adalah: n(n - 1)(n - 2) (n - (r - 1)) 21 10.56.51
Rumus permutasi r dari n objek 22 10.56.51
Contoh 10: Berapakah banyaknya kemungkinan membentuk urutan 3 angka dari 6 angka berikut: 1, 2, 4, 6, 9, 11 (a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan (b) boleh ada pengulangan angka. Penyelesaian: (a) Dengan kaidah perkalian: 6 x 5 x 4 = 120 urutan yang dapat dibentuk Dengan rumus permutasi P(6, 3) = 6!/(6 3)! = 120 (b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Hanya dapat diselesaikan dengan kaidah perkalian: 6 x 6 x 6 = 6 3 = 216 urutan yang dapat dibentuk 23 10.56.51
Contoh 11: Seorang penjaga gudang memberi kode kepada setiap barang yang disimpan di dalam gudang tersebut dengan aturan sebagai berikut: 1. Dua digit pertama dari kode diisi oleh dua huruf yang berbeda 2. Tiga digit terakhir dari kode diisi oleh tiga angka yang berbeda Ada berapa banyak kode barang yang dapat dibuat? 24 10.56.51
Jawab: Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan permutasi dan kaidah perkalian. Banyaknya kode yang dapat dibuat adalah P(26, 2) x P(10, 3) = 650 x 720 = 468000 25 10.56.51
Permutasi dengan Pengulangan Banyaknya permutasi dari n objek, di mana terdapat n 1, n 2,, n r objek yang sama adalah n! n! n!... n! 1 2 r 26 10.56.51
Contoh 11: Berapakah banyaknya urutan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat di dalam kata PEPAYA Jawab: Terdapat dua objek huruf P yang sama dan dua objek huruf A yang sama. Sehingga Berapakah banyaknya urutan huruf yang dapat dibentuk dari hurufhuruf yang terdapat di dalam kata PEPAYA adalah 6! 2! 2! = 180 Jadi ada 180 urutan yang dapat dibentuk 27 10.56.51
Kombinasi Kombinasi r objek dari n objek adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r objek yang diambil dari n buah objek. 28 10.56.51
Kombinasi 29 9/26/2017
Jika pada permutasi urutan penempatan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan penempatan diabaikan. 30 9/26/2017
Contoh 12 Sebuah delegasi yang beranggotakan 5 orang akan dipilih dari sejumlah 25 orang anggota parlemen. Berapa banyak cara membentuk delegasi tersebut? Jawab: Pemilihan 5 orang dari sebanyak 25 orang anggota parlemen untuk menjadi anggota delegasi tersebut tidak memperhatikan urutan. Maka banyaknya cara membentuk delegasi tersebut adalah C(25,5) = 53130 cara 31 9/26/2017
Contoh 13: Badu, Amir, Susi, Intan, dan Bowo adalah lima murid terpandai di SD Sukafulus. Dari kelima murid tersebut, akan dipilih tiga murid yang akan mewakili sekolah untuk mengikuti lomba Matematika. Berapa banyaknya cara memilih tiga murid dari kelima murid terebut jika: a. Badu harus selalu termasuk di antara tiga murid yang terpilih b. Badu tidak boleh termasuk di antara tiga murid yang terpilih c. Badu harus selalu termasuk di antara tiga murid yang terpilih, tetapi Amir tidak boleh. d. Setidaknya salah satu dari Badu dan Amir termasuk di antara tiga murid yang terpilih 32 9/26/2017
Jawab: a. C(4, 2) = 6 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 3 orang sedemikian sehingga Badu selalu termasuk di dalamnya. b. C(4, 3) = 4 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 3 orang sedemikian sehingga Badu tidak boleh termasuk di dalamnya. c. C(3, 2) = 3 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 3 orang sedemikian sehingga Badu harus selalu termasuk di dalamnya dan Amir tidak boleh 33 9/26/2017
d. banyaknya cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari Badu atau Amir termasuk di dalamnya = banyaknya cara membentuk perwakilan sehingga Badu termasuk di dalamnya, Amir tidak + banyaknya cara membentuk perwakilan sehingga Amir termasuk di dalamnya, Badu tidak + banyaknya cara membentuk perwakilan sehingga Badu dan Amir termasuk di dalamnya C(3, 2) + C(3, 2) + C(3, 1) = 3 + 3 + 3 = 9 34 9/26/2017
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misalkan: ada n pasang kaos kaki yang tidak semuanya memiliki merk yang berbeda (jadi, ada beberapa kaos kaki yang merknya sama indistinguishable). n 1 pasang kaos kaki diantaranya bermerk 1, n 2 pasang kaos kaki diantaranya bermerk 2,. n k pasang kaos kaki diantaranya bermerk k, dan n 1 + n 2 + + n k = n. Berapa jumlah cara pengaturan n buah kaos kaki ke dalam kotak sebanyak n? (tiap kotak maks. 1 pasang kaos kaki) 35 9/26/2017
Jika n pasang kaos kaki itu kita anggap berbeda semuanya, maka banyaknya cara pengaturan n pasang kaos kaki ke dalam n buah kotak adalah P(n, n) = n!. Dari pengaturan n pasang kaos kaki itu, ada n 1! cara memasukkan pasangan kaos kaki bermerk 1 ada n 2! cara memasukkan pasangan kaos kaki bermerk 2... ada n k! cara memasukkan pasangan kaos kaki bermerk k 36 9/26/2017
Permutasi n pasang kaos kaki yang mana n 1 diantaranya bermerk 1, n 2 pasang kaos kaki bermerk 2,, n k pasang kaos kaki bermerk k adalah: 37 9/26/2017!!...!!!!...! ), ( ),...,, ; ( 2 1 2 1 2 1 k k k n n n n n n n n n P n n n n P
Cara lain: Ada C(n, n 1 ) cara untuk menempatkan n 1 pasang kaos kaki yang bermerk 1. Ada C(n n 1, n 2 ) cara untuk menempatkan n 2 pasang kaos kaki bermerk 2. Ada C(n n 1 n 2, n 3 ) cara untuk menempatkan n 3 pasang kaos kaki bermerk 3.... Ada C(n n 1 n 2 n k -1, n k ) cara untuk menempatkan n k pasang kaos kaki bermerk k. 10.56.51
Banyaknya cara pengaturan seluruh pasangan kaos kaki kedalam kotak adalah: C(n; n1, n2,, nk) = C(n, n1) x C(n n1, n2) x C(n n1 n2, n3) x C(n n1 n2 nk-1, nk) = n! n 1 2 n!! n!... 3 n k 10.56.51
Kesimpulan P( n; n 1, n 2,..., n k ) C( n; n 1, n 2,..., n k ) n 1! n n! 2!... n k! 40 9/26/2017
Contoh 14 Sebanyak 12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong). Berapa banyaknya cara pengaturan lampu? Penyelesaian: n = 18; n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 5, dan n 4 = 6 (socket kosong) Banyaknya cara pengaturan lampu = 18! (4!)(3!)(5!)(6!) 10.56.51
Kombinasi Dengan Pengulangan Teorema: Ada C(n + r 1, r) r-kombinasi dari satu himpunan dengan n elemen dan pengulangan elemen diperbolehkan 10.56.51
Contoh 15 Sebuah toko kue mempunyai 4 jenis kue yang berbeda. Berapa banyak cara memilih 6 kue yang berbeda? Urutan tidak dipermasalahkan. Jawab: Banyak cara memilih 6 kue adalah 6-kombinasi dari satu himpunan yang mempunyai 4 elemen. Maka C(4+6-1, 6) = C(9,6)= = 12.7= 84 43 9/26/2017
Tabel Kombinasi dan Permutasi dengan dan tanpa pengulangan 44 9/26/2017
45 9/26/2017 THANK YOU