K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt menyelesikn berbgi bentuk persmn logritm.. Dpt menyelesikn berbgi bentuk pertidksmn logritm. A. Persmn Logritm Jik sebelumny kmu telh mengenl persmn liner dn persmn kudrt, sekrng kmu kn mengenl persmn logritm. Ap itu persmn logritm? Bgimn cr menyelesiknny? Untuk memhminy, mri simk penjelsn berikut ini dengn sksm.. Definisi Persmn Logritm Persmn logritm dlh persmn yng memut bentuk logritm. Pd persmn logritm, terdpt vribel pd numerus tu pd bilngn pokok.. Bentuk Persmn Logritm Ad beberp bentuk persmn logritm, di ntrny sebgi berikut.
. Bentuk Persmn log f(x) = log p Pd persmn log f(x) = log p dengn > 0,, f(x) > 0, dn p > 0, berlku sift berikut. log f(x) = log p f(x) = p Contoh Sol Tentukn nili x yng memenuhi persmn 5 log (x +) = 5 log 6! Pembhsn: Berdsrkn sift log f(x) = log p f(x) = p, diperoleh: 5 log (x +) = 5 log 6 x + = 6 x = 6 x = 7 Jdi, nili x yng memenuhi persmn 5 log (x +) = 5 log 6 dlh 7. b. Bentuk Persmn log f(x) = log g(x) Persmn ini hmpir serup dengn persmn sebelumny. Perbednny dlh konstnt p sebgi numerus pd persmn sebelumny dignti dengn fungsi g(x). Dengn demikin, pd persmn log f(x) = log g(x) dengn > 0, dn, f(x) > 0, dn g(x) > 0, berlku sift berikut. log f(x) = log g(x) f(x) = g(x) Contoh Sol Tentukn nili x yng memenuhi persmn log (x x 0) = log x! Pembhsn: Berdsrkn sift log f(x) = log g(x) f(x) = g(x), diperoleh: log (x x 0) = log x x x 0 = x x x x 0=0 x x 0=0 ( )( ) x + x 5 = 0 x + = 0 tu x 5 = 0 x = tu x = 5
Jik x =, numerus bernili negtif. Ini berrti, x = tidk memenuhi. Jik x = 5, numerus bernili positif. Ini berrti, x = 5 memenuhi. Jdi, nili x yng memenuhi persmn log (x x 0) = log x dlh 5. c. Bentuk Persmn log f(x) = b log f(x) Jik pd persmn sebelumny terdpt numerus yng berbed, pd persmn ini terdpt bilngn pokok yng berbed. Pd persmn log f(x) = b log f(x) dengn > 0,, b > 0, b, b, dn f(x) > 0, berlku sift berikut. log f(x) = b log f(x) f(x) = Contoh Sol Tentukn himpunn penyelesin dri persmn log (66 5x) = log (66 5x)! Pembhsn: Berdsrkn sift log f(x) = b log f(x) f(x) =, diperoleh: log (66 5x) = log (66 5x) 66 5x = 5 x = 66 5 x = 65 x = 65 5 = Jdi, himpunn penyelesin dri persmn log (66 5x) = log (66 5x) dlh {}. d. Bentuk Persmn f(x) log g(x) = f(x) log h(x) Sekrng kmu kn mengenl persmn logritm dengn bilngn pokok dn numerus berup fungsi yng mengndung vribel. Pd persmn f(x) log g(x) = f(x) log h(x) dengn f(x), f(x) > 0, g(x) > 0, dn h(x) > 0, berlku sift berikut. f(x) log g(x) = f(x) log h(x) g(x) = h(x)
Contoh Sol 4 Tentukn nili x yng memenuhi persmn x + log (x 0) = x + log (5 x)! Pembhsn: Berdsrkn sift f(x) log g(x) = f(x) log h(x) g(x) = h(x), diperoleh: x + log (x 0) = x + log (5 x) x 0 = 5 x x +x 0 5=0 x +x 5 =0 ( )( ) x +5 x = 0 x + 5 = 0 tu x = 0 x = 5 tu x = Substitusi nili x pd bilngn pokok dn numerus. Bilngn pokok dn numerus hrus bernili positif dengn bilngn pokok tidk sm dengn. Nili x x 0 Numerus 5 x Bilngn Pokok Keterngn 7 Tidk memenuhi 5 5 5 9 Tidk memenuhi Jdi, tidk d nili x yng memenuhi persmn tersebut. e. Bentuk Persmn f(x) log h(x) = g(x) log h(x) Jik pd persmn sebelumny terdpt numerus yng berbed, pd persmn ini terdpt bilngn pokok yng berbed. Pd persmn f(x) log h(x) = g(x) log h(x) dengn h(x) > 0, f(x), f(x) > 0, g(x), dn g(x) > 0, berlku sift berikut. log hx ( )= log hx ( ) f( x) g( x). f( x)= g( x). hx ( )= Contoh Sol 5 Tentukn nili x gr persmn x + x - 5 log ( x + ) = log( x + ) bernili benr! 4
Pembhsn: Solusi pertm: x+ x - 5 log ( x + ) = log( x + ) x + = x 5 x += x 5 0= x x 5 0= x x 6 ( )( ) 0= x + x 0 = x + tu 0 = x x = tu x = Periks syrt untuk x = dn x =. Untuk x = : x + = ( ) + = 4 + = 5 > 0 x + = (-) + = < 0 x 5 = ( ) 5 = 4 5 = < 0 (memenuhi) (tidk memenuhi) (tidk memenuhi) Untuk x = : x + = + = 9 + = 0 > 0 (memenuhi) x + = + = 4 > 0 (memenuhi) x 5 = 5 = 9 5 = 4 > 0 (memenuhi) Ini berrti, nili x = merupkn solusi. Solusi kedu: x+ x - 5 log ( x + ) = log( x + ) x + = x = 0 x = 0 Periks syrt untuk x = 0. x + = 0 + = 0 + = > 0 (memenuhi) x + = 0 + = > 0 (memenuhi) x 5 = 0 5 = 0 5 = 5 < 0 (tidk memenuhi) Ini berrti, nili x = 0 bukn solusi. Jdi, nili x gr persmn x + x - 5 log ( x + ) = log( x + ) bernili benr dlh. 5
f. Bentuk Persmn A( log f(x)) + B log f(x) + C = 0 Persmn ini sebenrny dlh bentuk persmn kudrt dengn logritm sebgi vribelny. Agr dpt menyelesikn persmn ini, kmu hrus memislkn y = log f(x) sehingg didpt persmn Ay + By + C = 0. Setelh diperoleh nili y, substitusikn kembli pd pemisln y = log f(x) sehingg diperoleh nili x. Contoh Sol 6 Tentuknlh himpunn penyelesin dri persmn log x log x + = 0! Pembhsn: log x log x + = 0 ( log x). log x + = 0 Mislkn y = log x, mk: ( logx).log x +=0 y y +=0 ( ) y ( y ) =0 y =tu y= Untuk mendptkn nili x, substitusikn nili y yng diperoleh pd pemisln. y = log x = x = x = 4 y = log x = x = x = Jdi, himpunn penyelesin dri persmn tersebut dlh {, 4}. B. Pertidksmn Logritm Setelh kmu memhmi persmn logritm, sekrng kmu kn beljr tentng pertidksmn logritm. Ap itu pertidksmn logritm? Bgimn cr menyelesiknny? Untuk memhminy, mri simk penjelsn berikut ini dengn sksm.. Definisi Pertidksmn Logritm Pertidksmn dlh klimt terbuk yng memiliki tnd penghubung berup tnd ketidksmn, yitu tnd >, <,, tu. Dengn demikin, yng dimksud dengn pertidksmn logritm dlh pertidksmn yng memut bentuk logritm. Seperti pd persmn logritm, vribel pd pertidksmn logritm terdpt pd numerus tu pd bilngn pokok. 6
. Bentuk Pertidksmn Logritm. Untuk Bilngn Pokok > log f(x) > log g(x) f(x) > g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) log g(x) f(x) g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) < log g(x) f(x) < g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) log g(x) f(x) g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 b. Untuk Bilngn Pokok 0 < < log f(x) > log g(x) f(x) < g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) log g(x) f(x) g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) < log g(x) f(x) > g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 log f(x) log g(x) f(x) g(x) dengn f(x) > 0 dn g(x) > 0 Super "Solusi Quipper" Kmu tidk hrus menghfl semu bentuk pertidksmn logritm. Akn tetpi, cukup perhtikn perubhn tnd ketidksmnny. Jik bilngn pokok >, kmu cukup mengmbil numerus pd msing-msing bentuk logritm dn gunkn tnd penghubung ketidksmn yng sm. Jik bilngn pokok memiliki nili 0 < <, kmu cukup mengmbil numerus pd msing-msing bentuk logritm dn gunkn tnd penghubung ketidksmn yng berlwnn. Mislkn tnd > menjdi < dn menjdi. Jngn lup bhw setip numerus hrus bernili positif (> 0). Contoh Sol 7 Tentukn penyelesin dri pertidksmn log (x + x) log ( x)! Pembhsn: Bilngn pokok pd pertidksmn logritm tersebut dlh >. Dengn demikin, untuk menentukn penyelesinny, cukup mbil numerus pd msingmsing bentuk logritm yitu (x + x) dn ( x), sert gunkn tnd penghubung yng sm, yitu. Jngn lup, perhtikn syrt numerusny. 7
Syrt numerus: x + x > 0 x(x + ) > 0 x = 0 tu x = (titik pembut nol) + + Dengn demikin, x < tu x > 0. 0 x > 0 x > x x Solusi: < <7 + log (x + x) log ( x) x + x 7 - x + x + x 0 x + 4x 0 (x ) (x + 7) 0 x = tu x = 7 (titik pembut nol) + + Dengn demikin, 7 x. 7 Selnjutny, tentukn irisn dri ketig derh hsil tersebut. 8
0 7 7 7 0 Jdi, penyelesin dri pertidksmn tersebut dlh 7 x < tu 0 < x. Contoh Sol 8 Tentukn penyelesin dri pertidksmn log x + log (x + ) + log (7 x)! Pembhsn: Ubh dhulu bentuk pertidksmn pd sol ke dlm bentuk umum pertidksmn logritm. Dengn menggunkn sift logritm, diperoleh: log x + log (x + ) + log (7 x) log x (x + ) log (7 x) log (x + x) log ( x) Solusi: x + x x x + 4x 0 (x + 7) (x ) 0 7 x 9
Syrt numerus: x > 0 x + > 0 x > 7 x > 0 x < 7 Jdi, penyelesinny dlh 0 < x. c. Bentuk A( log f(x)) + B log f(x) + C 0 Lngkh penyelesin bentuk pertidksmn ini hmpir sm dengn bentuk persmn logritm yng telh kmu peljri sebelumny. Untuk memhminy, perhtikn contoh sol berikut. Contoh Sol 9 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn logritm berikut. ( ) ( ) log x + log x + 6 0 Pembhsn: Syrt numerus: x + > 0 x >... HP Misl log ( x + ) = y, mk : y y 6 0 (y ) (y + ) 0 y = tu y = (titik pembut nol) + + y Dengn demikin, diperoleh: y tu y 0
Selnjutny, gunkn permisln sebelumny untuk menentukn nili x. Untuk y : Untuk y : log x + ( ) log + log ( x ) x + 4 x... HP Jik digmbrkn gris bilngn, diperoleh: log x + ( ) log + log ( x ) x + 8 7 x 8... HP x 7 8 7 Jdi, himpunn penyelesinny dlh x x R, < x x. 8