KONSTRUKSI FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK Makalah Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Oleh: Faida Fitria Fatma NIM: 093114002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA 2015
ii
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN Tuhan akan menyelesaikan bagiku! Ya Tuhan, kasih setia-mu untuk selamalamanya; janganlah Kau tinggalkan perbuatan tangan-mu. (Mazmur 138:8) Percayakan pada Tuhan semua rencanamu, maka kau akan berhasil melaksanakannya. (Amsal 16:3) Karya ini saya persembahkan untuk: Orang-orang terkasih: bapak Triyono, ibuk Fitantina, Rian dan Tiva Orang-orang tersayang: Matematika 2009 Orang-orang terhebat: Keluarga besar Pakayumba iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 21 Januari 2015 Penulis Faida Fitria Fatma v
ABSTRAK Topik yang dibahas pada makalah ini adalah konstruksi fraktal pada matematika klasik. Fraktal adalah bangun geometri yang terdiri dari banyak bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya. Jadi fraktal dapat dikatakan sebagai bangun geometri yang serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala pembesarannya. Sebelum istilah fraktal ini dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot, bangun seperti ini disebut kurva monster. Sifat bangun fraktal yang membedakannya dengan bangun yang lain adalah kesebangunan diri, detail tak hingga, dan konstruksinya diperoleh dengan proses rekursif. Pada makalah ini dibahas empat contoh konstruksi fraktal klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, segitiga Pascal, dan kurva salju von Koch. Himpunan Cantor, Segitiga Sierpinski, dan kurva salju von Koch merupakan contoh fraktal klasik yang setiap bagiannya merupakan pengulangan dari bangun semula. Konstruksinya mengulang proses sebelumnya. Sedangkan pada segitiga Pascal, fraktal akan nampak ketika diberikan warna pada sel-selnya sehingga akan terlihat keteraturan dan kesebangunan diri pada segitiga tersebut. vi
ABSTRACT The topic covered in this paper is the construction of fractals in classical mathematics. Fractal is a geometry object consisting of many parts and each part is a copy of the same or smaller size than the origin. Fractal is a geometry object which is similar to itself at all scales. Before the term fractal was coined by Benoit Mandelbrot, these objects were called monster curves. The properties that make it different from other geometry objects are selfsimilarity, infinitely detail structure, and recursive construction process. This paper discusses four examples of classical fractal construction, namely Cantor set, Sierpinski triangle, Pascal triangle, and Koch snowflake curve. Cantor set, Sierpinski triangle and Koch curve are some examples of classical fractals whose parts are repetition of the origin. The construction repeats the previous process. On Pascal triangle, the fractal will be seen when every cell is colored such that the regularity and self-similarity of the triangle emerge. vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Faida Fitria Fatma NIM : 093114002 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul: Konstruksi Fraktal dalam Matematika Klasik beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan memublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 21 Januari 2015 Yang menyatakan Faida Fitria Fatma viii
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu memberikan hikmat dan selalu menyertai penulis sehingga mampu menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan lancar. Tugas Akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan strata 1 (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Matematika pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa proses penulisan Tugas Akhir ini melibatkan banyak pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Hartono, Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika atas dukungannya. 2. Ibu Lusia Krismiyati B., S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik tahun 2009 atas nasihat dan dukungannya. 3. Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku dosen pembimbing yang telah sabar dalam membimbing, memberikan pengetahuan dan saran kepada penulis selama proses penulisan tugas akhir ini. 4. Bapak, Ibu, dan dosen-dosen yang telah memberikan pengetahuan, didikan, bimbingan dan pendampingan selama proses perkuliahan. ix
5. Kedua orang tua dan adik-adikku yang senantiasa memberikan doa dan dukungan. 6. Keluarga kedua di Sleman, Uti, Pakde Mardi, Bude Susil, Mas Ade, Mas Aming yang selalu memberikan dukungan. Terima kasih. 7. Sahabat kesayangan (Matematika) : Nana, Ochie, Etik, Jojo, Sekar, Er, Dimas, Dwik, terima kasih untuk kebersamaannya. Kalian luar biasa. 8. Claudius Hans sebagai sahabat, teman, motivator penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 9. Sahabat terhebat (Pakayumba): Romo Fajar, Mas Hans, Winda, Mas Deny, Intan, Ratih, Dimas, Mas Anggo, Hanna, Nico. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat dalam proses penulisan tugas akhir ini. Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Yogyakarata, 21 Januari 2015 Penulis x
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR GAMBAR... xiii BAB 1 PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 4 C. Batasan Masalah... 4 D. Tujuan Penulisan... 5 E. Manfaat Penulisan... 5 F. Metode Penulisan... 5 G. Sistematika Penulisan... 5 BAB II GEOMETRI FRAKTAL... 7 A. Sejarah Geometri Fraktal... 7 xi
B. Kongruensi dan Segitiga... 10 C. Kesebangunan Diri... 21 BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK... 22 A. Himpunan Cantor... 22 1. Georg Cantor... 22 2. Konstruksi Himpunan Cantor... 24 B. Segitiga Sierpinski... 28 1. Waclaw Sierpinski... 28 2. Konstruksi Segitiga Sierpinski... 29 C. Segitiga Pascal... 37 1. Blaise Pascal... 37 2. Segitiga Pascal... 38 D. Kurva Salju Koch... 43 1. Helge von Koch... 43 2. Konstruksi Kurva Koch... 43 BAB IV KESIMPULAN... 47 DAFTAR PUSTAKA... 49 xii
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Daun Pakis... 9 Gambar 2.2 Dua segitiga kongruen (SAS)... 11 Gambar 2.3 Dua segitiga kongruen (ASA)... 12 Gambar 2.4 Dua segitiga kongruen (AAS)... 13 Gambar 2.5 Segitiga samakaki dengan sudut-sudut alas yang kongruen... 14 Gambar 2.6 Garis memotong segitiga (1)... 15 Gambar 2.7 Garis memotong segitiga (2)... 16 Gambar 2.8 Garis memotong segitiga (3)... 17 Gambar 2.9 Kesebangunan dua segitiga (AAA)... 19 Gambar 2.10 Kesebangunan dua segitiga (SAS)... 20 Gambar 3.1 Georg Cantor... 22 Gambar 3.2 Interval [0,1]... 24 Gambar 3.3 Langkah kedua konstruksi himpunan Cantor... 24 Gambar 3.4 Langkah ketiga konstruksi himpunan Cantor... 25 Gambar 3.5 Konstruksi himpunan Cantor... 25 Gambar 3.6 Waclaw Sierpinski... 28 Gambar 3.7 Segitiga Samasisi sebagai dasar... 30 Gambar 3.8 Langkah pertama konstruksi segitiga Sierpinski... 30 Gambar 3.9 Langkah kedua konstruksi segitiga Sierpinski... 32 Gambar 3.10 Langkah ketiga konstruksi segitiga Sierpinski... 33 xiii
Gambar 3.11 Segitiga Sierpinski... 33 Gambar 3.12 Blaise Pascal... 37 Gambar 3.13 Segitiga Pascal... 39 Gambar 3.14 Segitiga Pascal dengan pewarnaan... 40 Gambar 3.15 Segitiga Pascal 32 baris dengan pewarnaan... 40 Gambar 3.16 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 3... 41 Gambar 3.17 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 9... 42 Gambar 3.18 Helge von Koch... 43 Gambar 3.19 Initiator... 43 Gambar 3.20 Generator... 44 Gambar 3.21 Langkah ketiga konstruksi kurva Koch... 44 Gambar 3.22 Kurva Koch... 45 xiv
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Fraktal merupakan seni dalam dunia matematika. Konsep-konsep umum fraktal terdiri atas kesebangunan diri (self-similar) dan dimensi tak bulat. Konsep tersebut terdapat di alam, galaksi, pemandangan, gempa bumi, polimer, dan molekul. Fraktal nampak juga pada tubuh manusia, seperti jantung dan sistem pembuluh darah. Fraktal dapat dihasilkan dengan pengulangan pola. Pengulangan polapola tersebut menyebabkan fraktal memiliki detail yang tak hingga. Geometri fraktal mampu mendefinisikan pola-pola yang tak hingga banyaknya. Secara geometri fraktal juga dapat digunakan untuk menganalisa fenomena ritmik pada melodi musik, detak jantung dan rangkaian DNA. Bentuk-bentuk yang bersifat fraktal dalam dunia matematika telah lama ditemukan sebelum istilah fraktal dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot dalam bukunya berjudul The Fractal Geometry of Nature. Sebelumnya bendabenda yang tidak utuh atau bersifat fraktal disebut kurva monster. Istilah fraktal berasal dari kata fractus yang berarti tidak utuh. Benoit Mandelbrot disebut juga bapak geometri fraktal.
2 Georg Cantor (1872), Giuseppe Peano (1890), David Hilbert (1891), Helge Von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916), Gaston Julia (1918), dan Felix Hausdorff (1919) adalah para matematikawan yang berjasa memperkenalkan himpunan-himpunan yang bersifat fraktal. Merekalah yang lebih dahulu meneliti himpunan-himpunan yang bersifat fraktal tersebut sebelum Benoit Mandelbrot. Himpunan Cantor diperkenalkan oleh matematikawan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1919) pada tahun 1872. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan, karena dialah yang pertama kali mengembangkan cabang matematika ini dan menjadikan teori himpunan sebagai teori yang fundamental dalam matematika. Himpunan Cantor dikonstruksikan sebagai bentuk di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang [0,1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa dengan dirinya dan mungkin mempunyai suatu dimensi s yang memenuhi 0 1. Untuk mendeskripsikan himpunan Cantor dimulai dengan interval [0,1]. Kemudian bagi interval menjadi 3 bagian yang sama panjang yaitu 1, 3 dan diambil bagian tengahnya. Diperoleh interval 0, 1 3 dan,1. Ulangi langkah tersebut hingga diperoleh interval 2, 1 9 3, 2, 7 3 9, 8,1,. 9 Segitiga Sierpinski adalah fraktal klasik yang lebih muda 40 tahun dari himpunan Cantor. Segitiga Sierpinski diperkenalkan oleh Waclaw Sierpinski (1882-1969) pada tahun 1916. Konstruksi geometri yang mendasar dari
3 segitiga Sierpinski dimulai dengan membuat segitiga samasisi. Membagi segitiga samasisi tersebut menjadi empat segitiga yang sebangun dengan segitiga awalnya. Bagian tengah segitiga yang sebangun tersebut diambil. Demikian langkah tersebut diulangi untuk segitiga sebangun yang lainnya. Dengan satu segitiga samasisi sebagai dasar, kita dapat membuat 3, 9, 27, 81, segitiga samasisi yang sebangun dengan skala yang semakin kecil. Jika mengamati hasil segitiga di atas, maka diperoleh 3 1,3 2,3 3,3 4,. Jadi seandainya kita membuat segitiga sierpinski dengan n langkah maka jumlah segitiga yang diperoleh adalah 3, dengan 1,2,3,4,. Segtiga Pascal dikenalkan oleh Blaise Pascal (1623-1662). Dia adalah matematikawan dan ilmuwan berasal dari Perancis. Segitiga Pascal dimulai dengan bilangan 1. Kemudian untuk membangun baris selanjutnya, jumlahkan bilangan di atas kiri dengan bilangan di atas kanan untuk menemukan bilangan baru. Jika bilangan di atas kanan atau kiri tidak ada, maka bilangan tersebut dijumlahkan dengan nol. Aturan seperti ini dapat dinyatakan sebagai berikut :,!!! dengan, adalah koefisien suku ke- 1 dari binomial (k berjalan dari 0 sampai n) dan n adalah baris dari segitiga Pascal.
4 Kurva salju von Koch diperkenalkan oleh Helge von Koch. Dia seorang matematikawan dari Swedia. Kurva salju Koch dibentuk dengan membuat penambahan secara terus menerus bentuk yang sama sebuah segitiga samasisi. Penambahan dilakukan dengan membagi sisi segitiga menjadi tiga sama panjang dan membuat segitiga samasisi baru pada tengah-tengah setiap sisi. Kemudian langkah tersebut diulangi untuk setiap penggal sisi pada kurva tersebut. Setiap segitiga baru yang terbentuk terlihat persis dengan segitiga sama yang awal. Secara teoritis proses tersebut akan menghasilkan sebuah gambar yang luasnya berhingga, yang terdiri atas tak berhingga titik. B. Rumusan Masalah 1. Apa ciri-ciri bangun fraktal? 2. Bagaimana konstruksi bangun fraktal? C. Batasan Masalah Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai konstruksi empat bangun fraktal dalam matematika klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, segitiga Pascal dan kurva salju Koch.
5 D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini yaitu mempelajari fraktal khususnya fraktal dalam matematika klasik. E. Manfaat Penulisan Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah memperoleh pengetahuan tentang fraktal dalam matematika klasik. F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan fraktal dalam matematika klasik. G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
6 BAB II GEOMETRI FRAKTAL A. Sejarah Geometri Fraktal B. Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga C. Kesebangunan Diri BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK A. Himpunan Cantor B. Segitiga Sierpinski C. Segitiga Pascal D. Kurva Salju Koch BAB IV KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
7 BAB II GEOMETRI FRAKTAL A. Sejarah Geometri Fraktal Geometri Euclides atau sering disebut geometri klasik sampai saat ini masih kita pelajari. Dalam berbagai hal, geometri masih digunakan sebagai dasar yang penting, misalnya di bidang rancang bangun seperti mesin, gedung-gedung, dan sebagainya. Ilmu geometri didasarkan pada keteraturan garis-garis yang geometris. Hal inilah yang mengakibatkan orang-orang menganggap geometri sebagai ilmu yang kaku, kurang berandil besar dalam dalam menciptakan seni yang indah. Dalam geometri kita mengenal garis, segitiga, kerucut, bola, lingkaran dan masih banyak bangun yang lainnya. Dari hal tersebut kita dapat melihat keterbatasan geometri klasik dalam menggambarkan sebuah bangun alam. Gunung tidak bisa digambarkan dengan sebuah kerucut, garis pantai dengan sebuah garis lurus dan awan sebagai garis lengkung. Meskipun ada banyak keterbatasan, namun geometri klasik mempunyai peranan yang penting dalam menyajikan objek alam meskipun dapat dikatakan kurang sempurna. Salah satu cabang ilmu geometri yang dapat kita pelajari saat ini adalah geometri fraktal. Fraktal berasal dari kata Latin, yaitu kata sifat fractus dan kata kerja frangere. Frangere berarti memecah, fraktus berati pecah.
8 Menurut Mandelbrot, fraktal adalah bangun geometri yang terdiri dari banyak bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya. Jadi fraktal dapat dikatakan sebagai bangun geometri yang serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala pembesarannya. Sebelum Mandelbrot menciptakan istilah fraktal tersebut, beberapa matematikawan seperti Sierpinski, Koch, dan matematikawan yang lainnya telah melakukan penelitian tentang fraktal ini. Mandelbrot mempublikasikan penemuan-penemuan tersebut, dalam bukunya yang berjudul "The Fractal Geometri of Nature". Mandelbrot mengungkapkan: Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circle and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line (Mandelbrot, 1983: 1). Dari kutipan di atas Mandelbrot bermaksud mempertegas bahwa geometri klasik kurang sempurna untuk menyajikan objek-objek alam. Bangun fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakannya dengan bangun geometri pada umumnya yaitu: Kesebangunan diri (self-similarity), yaitu suatu bangun fraktal terdiri dari banyak tiruan yang sama dengan bangun itu sendiri, dengan ukuran lebih kecil dari bentuk aslinya. Detail takhingga (infinite detail), yaitu semakin bangun fraktal diperbesar akan didapatkan bangun yang lebih mendetail. Detail dari
9 bangun itu tidak terlihat langsung tetapi akan muncul secara bertahap ketika bangun fraktal itu dilihat semakin dekat dengan pembesaran. Fraktal juga diperoleh dengan proses rekursif, yaitu konstruksi yang terdiri dari pengulangan proses sebelumnya. Gambar 2.1 Daun Pakis Daun pakis merupakan contoh fraktal klasik yang tersedia di alam. Pada Gambar 2.1 dengan pembesaran terlihat detail-detail tambahan yang bentuknya serupa dengan bentuk bangun pada gambar. Jika gambar semakin diperbesar, maka detail-detail baru akan muncul.
10 B. Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga Definisi 2.1. Dua buah ruas garis dikatakan kongruen jika keduanya mempunyai panjang yang sama. Definisi 2.2. Dua buah sudut dikatakan kongruen jika kedua sudut itu mempunyai ukuran besar sudut yang sama. Definisi 2.3. Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat suatu cara untuk memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu ke titik-titik sudut segitiga yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian kongruen. Jika segitiga kongruen terhadap segitiga, maka digunakan notasi Δ Δ. Kita juga menggunakan simbol untuk menotasikan kongruensi secara umum untuk ruas garis, sudut, dan segitiga. Jadi Δ ΔXYZ jika dan hanya jika,, dan akibatnya,,. Panjang ruas garis ditulis, dan besar ditulis. Teorema 2.1. (SAS: Side-Angle-Side) Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dari segitiga yang satu kongruen dengan dua sisi dan sudut antara kedua sisi dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
11 Bukti : Gambar 2.2 Dua segitiga kongruen (SAS) Misal diberikan dua buah segitiga, yaitu dan. Dan diketahui bahwa, dan sudut antara dua sisi tersebut, yaitu dan besarnya sama. Karena sisi-sisi segitiga tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut dan, yaitu dan mempunyai panjang yang sama. Karena,, dan, maka menurut definisi kedua segitiga tersebut kongruen. Teorema 2.2. (ASA: Angle-Side-Angle) Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi dimana dua sudut dan sisi antara kedua sudut itu dari satu segitiga kongruen dengan dua sudut dan sisi antara kedua sudut dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
12 Bukti : Gambar 2.3 Dua segitiga kongruen (ASA) Misalkan diberikan dua segitiga yaitu dan, dan diketahui, dan. Karena sisi-sisi tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut dan, yaitu dan mempunyai panjang yang sama. Dengan menggunakan Teorema 2.1 maka kedua segitiga tersebut kongruen. Teorema 2.3. (AAS: Angle-Angle-Side) Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi dimana dua sudut dan satu sisi yang terletak di depan salah satu sudut itu adalah kongruen dengan dua sudut dan sisi yang berada di depan salah satu sudut itu dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
13 Bukti : Gambar 2.4 Dua segitiga kongruen (AAS) Misalkan diberikan dua segitiga yaitu dan dan diketahui,, dan. Karena, maka 180,180. Dengan menggunakan Teorema 2.2 maka kedua segitga tersebut kongruen. Definisi 2.4. Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang kongruen. Dua sisi yang kongruen itu disebut kaki dari segitiga dan sisi yang ketiga disebut alas. Sudut-sudut alas dari segitiga samakaki adalah sudutsudut yang mempunyai alas sebagai sisi yang sama. Teorema 2.4. Dalam segitiga samakaki, kedua sudut alas adalah kongruen.
14 Bukti : B A D C Gambar 2.5 Segitiga samakaki dengan sudut-sudut alas yang kongruen Misalkan segitiga mempunyai dua sisi, yaitu dan yang kongruen, dan misalkan adalah garis bagi. Maka karena, dan. Jadi. Definisi 2.5. Dua segitiga dikatakan sebangun jika terdapat suatu cara untuk memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu dengan titik-titik sudut segitiga yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen. Jika Δ sebangun dengan Δ, kita notasikan dengan Δ Δ. Maka Δ Δ jika dan hanya jika = = dan,,.
15 Teorema 2.5. Misalkan terdapat sebuah garis yang sejajar dengan salah satu sisi suatu segitiga dan memotong dua sisi yang lain pada dua titik yang berbeda. Maka garis tersebut membagi sisi-sisi yang dipotongnya menjadi ruas-ruas garis yang sebanding. Bukti : Gambar 2.6 Garis memotong segitiga (1) Misalkan garis sejajar dengan pada, dan andaikan memotong sisi dan berturut-turut di titik dan. Garis tegak lurus dari titik ke memotong di titik. Maka 1 2 1 2. Garis tegak lurus dari ke memotong di titik. Maka 1 2 1 2.
16 Segitiga dan Segitiga mempunyai alas berserikat dan tinggi yang sama, sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai luas yang sama, sehingga Maka Gambar 2.7 Garis memotong segitiga (2). Korolari 2.6. Diberikan asumsi dari Teorema 2.5 maka Bukti : Karena dan, maka kita mempunyai
17 1 1. Aksioma Playfair: Jika diberikan sebuah garis dan suatu titik yang tidak terletak pada garis itu, maka terdapat tepat satu garis yang melalui titik itu dan sejajar dengan garis tersebut. Teorema 2.7. Jika sebuah garis memotong dua sisi sebuah segitiga sedemikian sehingga ruas garis yang terpotong oleh garis itu sebanding dengan sisi yang asli dari segitiga tersebut, maka garis itu sejajar dengan sisi yang ketiga dari segitiga tersebut. Bukti : Misalkan garis memotong sisi dan dari berturut-turut di titik dan, dan. Gambar 2.8 Garis memotong segitiga (3)
18 Dengan aksioma Playfair terdapat tunggal garis yang melalui dan sejajar dengan. Karena sejajar dengan dan memotong di sisi, maka garis tersebut juga memotong sisi, misalnya di titik. Dengan Korolari 2.6 maka Maka sehingga. Hal ini berarti bahwa titik dan berimpit dan garis dan juga berimpit. Jadi sejajar dengan. Teorema 2.8. (Syarat Kesebangunan AAA). Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga ketiga sudut dari segitiga yang satu kongruen dengan ketiga sudut segitiga yang lainnya, maka kedua segitiga tersebut sebangun.
19 Bukti : A D B C G H E F Gambar 2.9 Kesebangunan dua segitiga (AAA) Misalkan dan adalah dua segitiga dengan sudut,, dan berturut-turut kongruen dengan dengan sudut,, dan. Jika sisi dan kongruen, maka kedua segitiga itu kongruen dan juga sebangun. Jika dan tidak kongruen, misalkan lebih panjang dari. Terdapat titik diantara dan sedemikian sehingga, dan titik di antara D dan F sedemikian sehingga. Karena, maka dengan SAS, sehingga. Karena, maka, sehingga sejajar. Dengan Korolari 2.6 kita mendapatkan =. Karena dan,
20 kita mendapatkan =. Dengan cara yang sama dapat diperoleh =. Jadi kedua segitiga itu sebangun. Teorema 2.9. (Syarat Kesebangunan SAS) Jika antara dua segitiga terdapat korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dari satu segitiga sebanding dengan dua sisi segitiga yang lain dan sudut antara dua sisi tersebut kongruen, maka kedua segitiga tersebut sebangun. Bukti : Gambar 2.10 Kesebangunan dua segitiga (SAS) Misalkan dan adalah dua segitiga dengan = dan. Jika dan kongruen dengan dua sisi yang bersesuaian dari, maka kedua segitiga tersebut kongruen, jadi juga sebangun. Misalkan dan lebih panjang daripada dua sisi yang bersesuaian dari
21. Pada dan terdapat titik dan sedemikian sehingga dan. Karena, dan, maka. Karena,, dan diketahui = maka =, jadi menurut teorema 2.7 dan sejajar. Jadi dan, sehingga, dan diketahui. Dengan menggunakan Teorema 2.8, dan tersebut sebangun. C. Kesebangunan Diri Suatu bangun disebut sebangun diri (self-similar) jika suatu bagian dari bangun itu, apabila diperbesar dengan suatu faktor 0, adalah identik dengan bangun itu sendiri. Definisi 2.6. Transformasi kesebangunan, dengan faktor 0, adalah pemetaan bijektif dari ke sedemikian sehingga untuk setiap,, dengan. adalah norma Euclides pada.
22 BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK A. Himpunan Cantor 1. Georg Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor lahir pada tahun 1845 dan merupakan anak tertua dari enam besaudara. Keluarganya bertempat tinggal di Saint Petersburg, Rusia. Pada tahun 1856, ketika Georg Cantor berusia Gambar 3.1 Georg Cantor 11 tahun, ayahnya sakit dan keluarganya pindah ke Wiesbaden, Jerman. Kemudian ia belajar di Realschule di Darmstadt (dekat Frankfurt), Jerman. Dia lulus pada tahun 1860 dengan ketrampilan khusus dalam matematika yaitu trigonometri. Dengan persetujuan ayahnya, ia masuk Politeknik Zurich pada tahun 1862. Karena kematian ayahnya pada bulan Juni tahun 1863, Georg Cantor pindah ke Universitas Berlin. Ketika di sana, Georg
23 Cantor memiliki beberapa dosen terkenal seperti Kronecker dan Karl Weierstrass. Georg Cantor bukanlah seorang yang pendiam, selama belajar di Berlin ia banyak bergaul dengan matematikawan lainnya. Georg menghabiskan musim panas tahun 1866 di Universitas Göttingen, pusat matematika Eropa. Pada tahun 1867, ia menerima gelar Doktor dari Universitas Berlin dengan disertasi tentang Teori Himpunan. Georg Cantor memplubikasikan artikel tentang teori bilangan antara tahun 1867 sampai dengan tahun 1871. Pada tahun 1868, dia bergabung dengan Seminar Schellbach sebagai guru matematika. Dan pada tahun 1869, dia diangkat sebagai pengajar di Universitas Halle. Pada tahun itu juga Georg Cantor mendapatkan penghargaan untuk disertasinya tentang Teori Himpunan. Pada tahun 1915, Philip Jourdain menerbitkan terjemahan makalah Georg Cantor dalam bahasa Inggris. Georg Cantor meninggal dunia pada tanggal 6 Januari 1918 di sanatorium dimana ia menghabiskan masa hidupnya.
24 2. Konstruksi Himpunan Cantor Konstruksi himpunan Cantor dimulai dengan interval 0,1. Interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang sehingga setiap bagian mempunyai panjang 1. 3 Gambar 3.2 Interval 0,1 Hilangkan bagian tengah dari ketiga interval pada 0,1 itu, sehingga tinggal interval 0, dan,1 dengan panjang 1 3 untuk setiap interval. 1 3 2 3 Gambar 3.3 Langkah kedua konstruksi himpunan Cantor Ulangi langkah di atas untuk interval yang tersisa, yaitu 0, dan,1. Interval-interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang. Dengan menghilangkan bagian tengah dari dua interval yang tersisa, maka interval-interval yang tersisa masing-masing mempunyai panjang 1 9.
25 0 1 9 2 9 3 9 6 9 7 9 8 1 9 Gambar 3.4 Langkah ketiga konstruksi himpunan Cantor Lanjutkan langkah tersebut, sehingga diperoleh himpunan Cantor seperti ini s0 s 1 S 2 s j Gambar 3.5 Konstruksi Himpunan Cantor. Himpunan Cantor adalah himpunan. Teorema 3.1. Himpunan Cantor mempunyai panjang nol.
26 Bukti : Dalam konstruksi 1, kita mengambil dari satu satuan interval dengan panjang 3 1. Dalam konstruksi 2, kita mengambil dua interval dengan panjang 3 2. Dan dalam konstruksi, kita mengambil 2 1 interval dengan panjang 3. Maka total panjang interval yang diambil dari unit interval adalah 2 1.3. 1 2 2. 1 3 1 2.2 3 1 2. 2 3 1 2 2 3 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3
27 1 3 1 1 2 1 3 1 1. 1 3 3 Jadi panjang himpunan Cantor yang adalah 1 1 0. Konstruksi himpunan Cantor dimulai dari interval tertutup 0 0,1, yang dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang. Kemudian sepertiga-tengah 1, 2 dihapus, sehingga 3 3 diperoleh 1 0, 1 3 2 3,1. Setiap interval pada 1 dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang dan dihilangkan bagian tengahnya, sehingga diperoleh 2 0, 1 9 2, 3 9 9 6, 7 9 9 8, 9. Himpunan yang 9 9 berikutnya diperoleh dengan membagi tiga interval yang tersisa dan menghilangkan ruas garis yang berada di tengah. Proses tersebut diulang terus sehingga menghasilkan proses rekursif dan himpunan Cantor adalah himpunan titik titik yang tersisa pada interval [0,1] setelah dilakukan tak hingga banyak proses.
28 B. Segitiga Sierpinski 1. Waclaw Sierpinski Waclaw Sierpinski Franciszek lahir pada tanggal 14 Maret 1882 di Warsawa, Polandia. Pada saat dia bersekolah, bakat matematikanya sudah dilihat oleh gurunya. Masa ini adalah masa-masa yang sulit untuk Waclaw Sierpinski karena pada waktu itu sedang Gambar 3.6 Waclaw Sierpinski terjadi pendudukan Rusia di Polandia. Meskipun berada dalam kesulitan, Waclaw Sierpinski mampu menyelesaikan studinya. Waclaw Sierpinski kemudian masuk ke jurusan Matematika dan Fisika di Universitas Warsawa. Pada saat belajar di Universitas Warsawa tersebut, dia berhasil mendapatkan medali emas karena memenangkan lomba karya tulis yang diadakan Universitas tersebut. Selesai belajar di Universitas Warsawa, ia menjadi dosen di almamaternya itu dan mengampu mata kuliah dalam bidang matematika dan fisika. Kemudian ia mengejar gelar doktor dari Universitas
29 Jagiellonian di Krakow sambil belajar astronomi dan filsafat. Ia menerima gelar doktor pada tahun 1908. Setelah Perang Dunia I, Waclaw Sierpinski kembali ke Universitas Warsawa dan menghabiskan sisa karirnya di sana. Waclaw Sierpinski belajar Teori Himpunan dan tahun 1909 dia memberikan kuliah pertama tentang teori itu. Waclaw Sierpinski memiliki sejumlah prestasi dalam karirnya. Dia menerima gelar doktor Honoris Causa dari sepuluh universitas, terpilih sebagai wakil presiden Akademi Ilmu Pengetahuan Polandia. Ia berhasil menerbitkan lebih dari 700 makalah dan 50 buku. Dia pensiun dari Universitas Warsawa pada tahun 1960 dan meninggal dunia pada tanggal 14 Mei 1969. 2. Konstruksi Segitiga Sierpinski Langkah yang paling umum untuk membuat segitiga Sierpinski diawali dengan membuat suatu segitiga sama sisi, misalkan.
30 Gambar 3.7 Segitiga samasisi sebagai dasar Misalkan,, dan adalah titik-titik tengah dari sisi, dan berturut-turut. Ketiga titik tersebut dihubungkan sehingga diperoleh dan segitiga tersebut kita hilangkan. C L N A M B Gambar 3.8 Langkah pertama konstruksi segitiga Sierpinski
31 Akan dibuktikan bahwa ~. Untuk. Diketahui bahwa karena adalah titik tengah. Karena merupakan segitiga samasisi, maka dan karena dan merupakan titik tengah dan. Dengan menggunakan maka terbukti bahwa. Untuk. Diketahui karena merupakan titik tengah. Karena merupakan segitiga samasisi maka dan karena dan titik tengah dan. Dengan menggunakan, terbukti bahwa. Akan dibuktikan bahwa. Sisi karena berimpit. Titik dan merupakan titik tengah dan, sehingga sejajar. Karena sejajar, maka. Titik dan merupakan titik tengah dan sehingga sejajar. Karena sejajar, maka. Dengan menggunakan terbukti bahwa kedua segitiga tersebut kongruen.
32 Akan dibuktikan ~. Diketahui bahwa dan sejajar. Karena sejajar, maka. Jadi terbukti kedua segitiga tersebut sebangun. Gambar 3.9 Langkah kedua konstruksi segitiga Sierpinski Kita ulangi proses tersebut untuk ketiga sub-segitiga yang tersisa, sehingga masing-masing memiliki lubang di tengah.
33 Gambar 3.10 Langkah ketiga konstruksi segitiga Sierpinski Kita dapat membuat gambar kesebangunan diri dari segitiga tersebut dengan melanjutkan proses pengambilan segitiga yang berada di tengah untuk sub-segitiga yang selanjutnya. Gambar 3.11 Segitiga Sierpinski
34 Kita akan menghitung luas daerah bangun terakhir. Teorema 3.2 Segitiga Sierpinski mempunyai luas daerah nol. Bukti : Pada langkah ke nol kita memiliki sebuah segitiga, yaitu. Pada langkah pertama kita mengambil bagian tengah dari segitiga itu sehingga tersisa tiga segitiga. Pada langkah kedua kita mengambil bagian tengah segitiga-segitiga yang tersisa pada bagian pertama, dan langkah tersebut kita ulangi terus sehingga diperoleh bangun terakhir dari segitiga Sierpinski. Kita asumsikan luas adalah 1. Pada langkah yang pertama luas daerah bangun yang tersisa adalah 1 1 1 4 karena keempat sub-segitiga adalah kongruen sehingga luas masingmasing sub-segitiga adalah 1 luas segitiga semula. 4 Pada langkah kedua kita mengambil tiga segitiga yang berada di tengah sub-segitiga-sub-segitiga pada langkah pertama dan setiap subsegitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah 1 16. Jadi
35 2 1 1 4 3 16. Pada langkah ketiga kita menghilangkan sembilan sub-segitiga dan setiap sub-segitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah 1 64. Maka 3 1 1 4 3 16 9 64. Dengan melihat pola di atas kita dapat menghitung luas daerah pada langkah ke-, 1 1 4 3 4 jika maka 3 4 akan menjadi sebuah deret geometri suku awal 1 dan rasio, sehingga lim 1 1 1 4 1 3 0. 4 Dengan satu segitiga samasisi sebagai dasar, kita dapat membuat 3, 9, 27, 81, segitiga samasisi yang sebangun dengan skala yang semakin kecil. Jika mengamati hasil segitiga di atas, maka diperoleh
36 3 1,3 2,3 3,3 4, buah segitiga. Jadi seandainya kita membuat segitiga Sierpinski dengan n langkah maka jumlah segitiga yang diperoleh adalah 3, dengan n 1,2,3,4,. Konstruksi segitiga Sierpinski dimulai dengan membuat segitiga samasisi. Tiap sisi segitiga dicari titik tengahnya dan tiap titik tengah dihubungkan, sehingga empat segitiga samasisi yang kongruen kemudian segitiga tengah dihilangkan. Tersisa tiga segitiga samasisi yang sebangun dengan segitiga semula. Segitiga-segitiga ini merupakan contoh kesebangunan diri dari segitiga Sierpinski. Proses ini diulangulang untuk setiap segitiga yang tersisa. Dari proses tersebut akan terbentuk sebuah proses rekursif.
37 C. Segitiga Pascal 1. Blaise Pascal Blaise Pascal adalah penemu kalkulator. Dia berhasil membuat kalkulator numerik yang merupakan cikalbakal kalkulator modern yang kita gunakan. Blaise Pascal lahir di Clermont- Ferrand, Perancis, pada tanggal 19 Juni 1623, dan meninggal dunia pada tanggal Gambar 3.12 Blaise Pascal 19 Agustus 1662. Ia adalah putera dari Etienne Pascal dan Antoinette Begon. Pada usia 3 tahun ibunya meninggal dunia, meninggalkan Blaise Pascal dan dua saudaranya, Gilberte dan Jacqueline. Blaise Pascal adalah seorang penemu, penulis, filsuf, matematikawan, dan fisikawan. Ia adalah seorang child prodigy yaitu anak yang mempunyai kemampuan berpikir atau kepandaian yang setara dengan orang dewasa. Karena Etiene Pascal melihat kecenderungan anaknya tersebut, maka beliau bermaksud mendidik anaknya sendiri dibantu dengan seorang guru pribadi. Blaise Pascal tidak pernah belajar di sekolah, namun ia mampu menguasai ilmu-ilmu tersebut. Sejak Blaise Pascal berusia 12 tahun,
38 ayahnya sering mengajaknya untuk mengikuti acara diskusi matematika. Dan pada usia 13 tahun ia menemukan rumus segitiga Pascal. Ayahnya sering mengikutkan Pascal pada diskusi matematika di Paris bersama dengan matematikawan dan ilmuwan besar seperti Descartes, Fermat, Desargues, Mydorge, Gassendi dan Roberval. Tokoh-tokoh tersebut biasanya berkumpul di biara Pere Mersenne, seorang teolog, filsuf, matematikawan dan ahli musik. Karya pertama Blaise Pascal tentang matematika ia kirimkan kepada Pere Mersenne di Paris. Sampai saat ini teorema tersebut kita kenal dengan Teorema Pascal. Teorema tersebut menyatakan bahwa bila ada segi enam berada dalam lingkaran atau kerucut, maka titik potong tiga sisi yang berlawanan akan terletak pada satu garis, yang disebut garis Pascal. Ketika disampaikan di forum diskusi, Descartes tidak percaya bahwa teorema tersebut ditulis oleh Blaise Pascal yang saat itu berusia 16 tahun. Dan Pere Mersenne menyakinkan bahwa karya tersebut memang karya Blaise Pascal. 2. Segitiga Pascal Segitiga Pascal dimulai dengan bilangan 1. Kemudian untuk membangun baris selanjutnya, jumlahkan bilangan di atas kiri dengan bilangan di atas kanan untuk menemukan bilangan baru. Jika bilangan di
39 atas kanan atau kiri tidak ada, maka bilangan tersebut dijumlahkan dengan nol. Aturan seperti ini dapat dinyatakan sebagai berikut :,!!! dengan, adalah koefisien suku ke- 1 dari binomial (k berjalan dari 0 sampai n) dan n adalah baris dari segitiga Pascal. Gambar 3.13 Segitiga Pascal Untuk memperlihatkan bahwa segitiga Pascal merupakan salah satu contoh fraktal klasik, dilakukan pewarnaan pada segitiga Pascal tersebut. Misalkan sel bilangan ganjil diberi warna hitam dan sel bilangan genap diberi warna putih, seperti terlihat pada gambar 3.11.
40 Gambar 3.14 Segitiga Pascal dengan pewarnaan Gambar 3.15 Segitiga Pascal 32 baris dengan pewarnaan
41 Gambar 3.16 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 3
42 Gambar 3.17 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 9 Pada gambar 3.12 nampak bahwa segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan ganjil dan warna putih untuk sel bilangan genap menyerupai segitiga Sierpinski. Pola-pola yang lain juga memiliki keindahan, keteraturan dan kesebangunan diri yang menggambarkan syarat bangun fraktal.
43 D. Kurva Salju Koch 1. Helge von Koch Niels Fabian Helge von Koch merupakan matematikawan Swedia yang lahir pada 25 Januari 1870. Helge von Koch pernah belajar di Universitas Stockholm pada tahun 1887 dan di Universitas Uppsala. Dia menerima gelar Doktor di universitas tersebut Gambar 3.18 Helge von Koch pada tahun 1892. Ia diangkat menjadi guru besar matematika di Royal Institute of Technology. 2. Konstruksi Kurva Koch Konstruksi sederhana dari kurva Koch dimulai dengan sebuah ruas garis yang disebut initiator. Gambar 3.19 Initiator
44 Bagian initiator dibagi menjadi 3 bagian. Kemudian pada bagian yang terletak di tengah kita ganti dengan segitiga samasisi. Langkah tersebut merupakan konstruksi yang paling mendasar. Gambar 3.20 Generator Potongan empat bagian tersebut akan digunakan kembali untuk langkah selanjutnya. Ini disebut generator. Kemudian kita ulangi langkah-langkah di atas untuk setiap ruas garis. Ruas garis-ruas garis tersebut kita jadikan tiga bagian dan dilanjutkan dengan menambahkan segitiga samasisi di bagian tengah. Gambar 3.21 Langkah ketiga konstruksi kurva Koch
45 Jika langkah tersebut kita ulangi, maka akan terbentuk Gambar 3.22 Kurva Koch Pada langkah pertama kita memiliki 4 ruas garis yang sama panjang. Pada langkah selanjutnya kita akan memiliki 4 4 4 ruas garis yang sama panjang. Jika panjang ruas garis awal kita notasikan dengan, maka panjang garis pada langkah pertama adalah, pada langkah kedua memiliki panjang dan seterusnya. Karena setiap langkah menghasilkan kurva dari ruas garis, maka tidak ada masalah untuk menghitung panjangnya. Pada langkah pertama panjangnya 4, kemudian langkah kedua 4 2 1 32 dan seterusnya. Maka pada langkah ke- panjangnya. Langkah pertama konstruksi adalah membuat sebuah ruas garis. Kemudian pada langkah kedua, empat ruas garis diperoleh dengan
46 menghapus sepertiga-tengah dari ruas garis semula dan menggantinya dengan dua sisi segitiga samasisi yang alasnya terletak pada ruas garis yang telah dihapus. Demikian jika proses tersebut diulang secara terus menerus untuk setiap ruas garis yang tersisa, maka akan didapatkan sebuah pola.
47 BAB IV KESIMPULAN Fraktal merupakan seni dalam dunia matematika. Konsep-konsep dasar fraktal adalah kesebangunan diri (self-similarity) dan dimensi tak bulat. Bangun fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakannya dengan bangun geometri pada umumnya, yaitu: Kesebangunan diri (self-similarity), yaitu suatu bangun fraktal terdiri dari banyak tiruan yang sama dengan bangun itu sendiri, dengan ukuran lebih kecil dari bentuk aslinya. Detail takhingga (infinite detail), yaitu semakin bangun fraktal diperbesar akan didapatkan bangun yang lebih mendetail. Detail dari bangun itu tidak terlihat langsung tetapi akan muncul secara bertahap ketika bangun fraktal itu dilihat semakin dekat dengan pembesaran. Fraktal diperoleh dengan proses rekursif, yaitu konstruksi yang terdiri dari pengulangan proses sebelumnya. Fraktal klasik adalah fraktal yang diciptakan pada abad 19 dan 20. Fraktal tersebut merupakan fraktal yang diturunkan dari geometri dasar dengan menggunakan transformasi iterasi pada bentuk-bentuk dasar seperti garis lurus (Cantor) dan segitiga (segitiga Sierpinski). Himpunan Cantor, Segitiga Sierpinski, dan kurva salju Koch merupakan contoh fraktal klasik yang setiap bagiannya merupakan pengulangan dari bangun
48 semula. Proses konstruksinya juga mengulang proses sebelumnya. Sedangkan pada segitiga Pascal, fraktal akan nampak ketika diberikan warna pada sel-selnya sehingga akan terlihat keteraturan dan kesebangunan diri pada segitiga tersebut.
49 DAFTAR PUSTAKA Edgar, Gerald A. (2004). Classics on Fractals. Colorado: Westview Press. Falconer, Kenneth. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley and Sons Ltd. Hvidsten, Michael. (2005). Geometry with Geometry Explorer. New York: McGraw-Hill. Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman and Company. Peitgen, H-O, et al. (2004). Chaos and Fractal New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag. Susilo, Frans. (1996). Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan Mandelbrot. Dalam: F. Susilo dan St. Susento (Ed). Percikan Matematika: Sebuah Bunga Rampai (hlm 82-102). Yogyakarta: Penerbitan Universitas Sanata Dharma.