OPTIMISASI EKONOMI Ari Darmawan, Dr. S.AB, M.AB Email: aridarmawan_fia@ub.ac.id A. PENDAHULUAN B. TEKNIK OPTIMISASI EKONOMI C. OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA - Hubungan Antara Nilai Total, Rata-rata dan Marjinal - Fungsi dan Diferensiasi - Turunan Fungsi D. OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA - Optimisasi dengan metode substitusi - Optimisasi dengan metode pengali lagrange MODUL Modul ini membahas berbagai metode optimasi fungsi ekonomi. Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memahami dan menerapkan untuk memaksimalkan laba perusahaan. Memahami metode-metode pengekspresian hubungan ekonomi 3. Memahami diferensial dan kaedah-kaedah penurunan fungsi A. PENDAHULUAN Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memiliih kebutuhan yang menjadi prioritas pertama. Sebagai manusia ekonomi, individu dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal berdasarkan sumber daya yang dimilikinya. Sub pokok dalam ekonomi manajerial berikut ini akan membahas penentuan alternatif kebutuhan yang optimal berdasarkan sumber daya yang dimiliki. OPTIMISASI EKONOMI
Dari sudut pandang ekonomi manajerial, pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna). Alternatif pilihan dapat dikatakan efektif jika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan input yang telah ditetapkan. Pada sisi yang lain, alternatif pilihan dapat dikatakan efisien ketika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal telah mencapai tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal. Berdasarkan pada sudut pandang ekonomi manajerial, terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan minimalisasi input. Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan keputusan. Untuk membantu manajer dalam mengambil keputusan, terdapat beberapa metode kuantitatif untuk membantu dalam proses menemukan keputusan tindakan yang terbaik. B. TEKNIK OPTIMISASI EKONOMI Suatu proses pengambilan keputusan memerlukan suatu teknik yang dapat digunakan untuk membantu pengambil keputusan untuk menentukan keputusan. Teknik optimasi ekonomi ini pada umumnya menyederhanakan kompleksitas permasalahan dengan hanya memfokuskan pada ruang lingkup yang ditentukan dan sifatnya terbatas. Sebagai contoh, permasalahan dalam penetapan jumlah produknya untuk mencapai total pendapatan perusahaan yang telah ditetapkan sebelumnya. Untuk proses pengambilan keputusan, maka masalah optimasi ekonomi dapat diterapkan tiga teknik analisis yaitu: persamaan, tabel dan grafik dengan tujuan untuk menentukan suatu alternatif yang optimal. Beberapa teknik dalam optimasi ekonomi dapat dilakukan melalui tiga metode, yaitu: 1. Persamaan fungsi Persamaan fungsi merupakan persamaan matematis yang menyatakan hubungan antara dua hal. Beberapa contoh persamaan fungsi yang dibahas dalam ekonomi manajerial, antara lain: a) Fungsi permintaan Persamaan fungsi permintaan dalam dirumuskan sebagai berikut: 1) Q a bp ) Q 70 80P b) Fungsi penawaran Persamaan fungsi penawaran dalam dirumuskan sebagai berikut: 1) Q - a + bp ) Q - 0 + 45P c) Hubungan antara kuantitas (Q) dan total pendapatan (TR) dapat diekspresikan sebagai berikut: TR f (Q). Metode tabel Metode tabel merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan tabel. Berikut ini akan dijelaskan contoh mengenai penggunaan metode tabel. 13
Contoh.1 Diketahui: Fungsi persamaan TR 00Q Hitung: Gambarkan hubungan ekonomi fungsi persamaan TR di atas Jumlah Unit Terjual Total Revenue 5 5.000 30 6.000 35 7.000 40 8.000 3. Metode grafik Metode grafik merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan grafik. Berikut ini akan dijelaskan contoh mengenai penggunaan metode grafik. Contoh. Diketahui: Fungsi persamaan TR 00Q Hitung: Gambarkan hubungan ekonomi fungsi persamaan TR di atas P D 8.000 TR00Q 7.000 6.000 5.000 D 5 30 35 40 Q C. OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA Sebelumnya telah dijelaskan untuk menggambarkan hubungan ekonomi secara sederhana hal dapat dijelaskan dalam bentuk persamaan, tabel dan grafik. Contoh mengenai aplikasi bentuk persamaan, tabel dan grafik, telah dijelaskan pada sub bagian sebelumnya. 14
Hubungan Antara Nilai Total, Rata-rata dan Marjinal Analisis hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal sangat berguna didalam menganalis optimisasi ekonomi. Nilai marjinal merupakan perubahan variabel terikat yang disebabkan karena adanya perubahan perubahan independen sebesar satu unit. Analisis hubungan ini juga bermanafaat untuk menganalisis: total penerimaan, total biaya dan laba yang akan diperoleh oleh perusahaan. Salah satu analisis yang dapat digunakan untuk perusahaan untuk dapat memaksimalkan perusahaan adalah analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal. Berikut ini penjelasan dari analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal. 1. total (total cost, TC) total merupakan jumlah total biaya secara keseluruhan yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi suatu produksi. Pada umumnya, biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari: a) biaya tetap total [total fixed cost], dan b) biaya variabel total [total variable cost]. Secara matematis, biaya total dapat dirumuskan sebagai berikut: Total Tetap Total + Variabel Total TC TFC + TVC Tetap Total (TFC) merupakan biaya produksi yang sifatnya tetap (tidak berubah) pada tingkat produksi berapapun. Variabel Total (AVC) merupakan biaya produksi yang sifatnya berubahberubah sesuai dengan jumlah output yang di produksi oleh perusahaan.. rata-rata (average cost, AC) rata-rata merupakan jumlah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Secara matematis, biaya rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut: Average Cost(AC) total(tc) Jumlah produk (Q) Sebelumnya telah dijelaskan bahwa biaya total terdiri Tetap Total (TFC) dan Variabel Total (TVC). rata-rata tidak hanya terkait pada Total, akan tetapi juga terkait dengan Tetap Total (TFC) dan Variabel Total (AVC), yaitu keberadaan Tetap Rata-rata (average fixed cost, AFC) dan Variabel Rata-rata (AVC). Berikut ini akan dijelaskan masing biaya tersebut. a. tetap rata-rata (AFC) tetap rata-rata (AFC) merupakan biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Untuk menentukan tetap rata-rata (AFC), dapat dirumuskan sebagai berikut: total(tfc) Average Fixed Cost(AFC) Jumlah produk (Q) b. variabel rata-rata (AVC) variabel rata-rata (AVC) merupakan biaya variabel yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Untuk menentukan variabel rata-rata (AVC), dapat dirumuskan sebagai berikut: 15
Average Variable Cost (AVC) variabel(tvc) Jumlah produk (Q) Berdasarkan pada penjelasan di atas, maka dapat diketahui metode perhitungan total (TC) yang lain, yaitu: TC TFC + TVC Jika dikembangkan lagi, maka dapat diketahui metode perhitungan ratarata (AC) yang lain, yaitu: AC AFC + AVC 3. marjinal (marginal cost, MC) marjinal (MC) merupakan tambahan biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan yang dikarenakan adanya pertambahan produk yang diproduksi. Untuk menentukan marjinal (MC), dapat dirumuskan sebagai berikut: MarginalCost Contoh.3 Diketahui: Jumlah produk (Q) total (TC) (MC) Jumlah produk (Q) total (TC) 0 30 1 150 00 3 50 4 300 5 350 Hitung: perbandingan total, rata-rata, marjinal Perbandingan total, rata-rata, marjinal Jumlah produk (Q) total (TC) rata-rata (AC) marjinal (MC) 0 30 - - 1 150 150 10 00 100 5 3 5 75 5 4 40 60 15 5 50 50 10 16
Contoh.4 Diketahui: TC 180 + 50Q Hitung: perbandingan total, rata-rata, marjinal Perbandingan total, rata-rata, marjinal Jumlah produk (Q) total (TC) rata-rata (AC) marjinal (MC) 0 180 - - 1 30 30 50 80 140 50 3 330 110 50 4 380 95 50 5 430 86 50 Perhitungan secara detail, adalah sebagai berikut: TC 180 + 50Q TC 180 + 50 (0) 180 TC 180 + 50 (1) 30 TC 180 + 50 () 80 TC 180 + 50 (3) 330 TC 180 + 50 (4) 380 TC 180 + 50 (5) 430 TC 180 + 50Q TC AC Q 180 + 50Q AC Q 180 AC + 50 Q TC 180 + 50Q MC 50 Jadi biaya marjinal (marginal cost untuk tambahan setiap satu unit adalah sebesar 50 AC AC AC AC AC AC 180 + 50 0 180 + 50 30 1 180 180 3 180 4 180 5 + 50 140 + 50 110 + 50 95 + 50 86 17
Fungsi dan Diferensiasi Fungsi merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan suatu variabel dengan variabel lain. Komponen-komponen yang membentuk suatu fungsi adalah: 1. Koefisien. Konstanta 3. Variabel Variabel merupakan komponen penting yang membentuk suatu fungsi. Terdapat dua jenis variabel, yaitu: a. Variabel bebas (independent variable), merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain. b. Variabel terikat (dependent variable), merupakan variabel yang dipengaruhi oleh variabel lain. Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah: Y f(x) Contoh.5 Berikut merupakan contoh suatu fungsi: 1) Fungsi linear Y 86-0,67X, atau dapat dinyatakan, f(x) 86-0,67X ) Fungsi non linear Y 10 + 5X + X, atau dapat dinyatakan, f(x) 10 + 5X + X Turunan Fungsi Turunan fungsi merupakan perubahan dari suatu fungsi yakni bagaimana variabel terikat mengalami perubahan terkait dengan perubahan variabel bebas. Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah: dy atau Y atau f (x) dx Syarat utama dari turunan fungsi, adalah sebagai berikut: dy y limit dx x 0 x dy y Intepretasi dari limit merupakan turunan Y yang berhubungan dengan dx x 0 x dy y X, dimana nilainya harus sama dengan saat x mendekati angka nol. dx x Untuk menurunkan suatu fungsi, terdapat beberapa kaidah-kaidah untuk menurunkan suatu fungsi, atau dikenal sebagai Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation). Berikut ini merupakan beberapa kaidah-kaidah atau aturan untuk menurunkan suatu fungsi, antara lain: 1. Turunan dari fungsi y C (konstanta) Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi y C adalah: dy y' 0 dx Contoh.6: Y 10, maka Y 0 18
. Turunan dari fungsi pangkat Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pangkat adalah: Fungsi pangkat Y ax b dy b- y' b. ax 1 dx Contoh.7: Y X Y 1. X 1-1 Y Contoh.8: Y 3X 3 Y 3. 3 X 3-1 Y 9X 3. Turunan dari penjumlahan atau pengurangan Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi penjumlahan atau pengurangan adalah: Fungsi penjumlahan (pengurangan): Jika Y u (X) ± v (X) dy du dv y' ± dx dx dx Contoh.9: Y 4X + X Y 4 + X Contoh.10: Y X 3 X + X + Y 6X 4X + 4. Turunan dari perkalian Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi perkalian adalah: Jika Y u (X) v (X) dy du dv y' u. ± v. dx dx dx atau: Y u. v + v. u Contoh.11 : Y 4X (3X - 6) Y 4X. (3) + (3X - 6). 8X Y 1X + 4X 48X Y 4X 36X 5. Turunan dari pembagian Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pembagian adalah: Jika Y u (X) : v (X) u Y' v atau: du dv v u dx dx v (v.u')-(u. v') Y' v Contoh.1: 4X Y 3X + dy 3X +. 8X 4X Y' dx 3X + ( ). ( 3) ( ) 19
Y' Y' Y' dy dx 4X 1X ( 8X) 4X. ( 3) ( 3X + ) + 16X 1X ( 3X + ) 3X +. + 16X ( 3X + ) 6. Turunan dari fungsi berantai Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi berantai adalah: Jika Y f(u) dimana u g(x), maka dy dy du y' + v dx du dx Contoh.13 : Y (4X + 5) 3, dimana u 4X + 5 Y' 3 (4X + 5) (8X) Y' 16X (4X + 5) Menentukan Maksimasi dan Minimasi Dengan Kalkulus Maksimasi dan minimasi seringkali dicari di dalam konsep optimasi. Perusahaan berkepentingan terhadap perhitungan maksimasi dan minimasi dikarenakan perusahaan ingin mengetahui jumlah pendapatan maksimal yang dapat diperoleh perusahaan dan seberapa besar biaya minimal yang harus dikeluarkan untuk memproduksi produk perusahaan. Adanya perhitungan maksimasi dan minimasi, maka perusahaan dapat mengetahui laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. Untuk memaksimalkan labanya, perusahaan berusaha untuk memaksimalkan pendapatanya dan berusaha untuk meminimalkan biaya produksinya. Untuk menghitung maksimasi dan minimasi, fungsi derivatif harus bernilai nol. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep maksimasi dan minimasi, yaitu sebagai berikut. Contoh.14 : Diketahui: TR 10Q 10Q Hitung: Maksimasi TR (total revenue) Permbahasan: TR 10Q 10Q TR 10 0Q TR yang maksimal ketika: 10 0Q 0 0Q 10 Q 6 unit Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka jumlah unit (Q) untuk mencapai TR maksimal adalah sebesar 6 unit. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut: 0
TR 10Q 10Q Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) 0 0 1 110 00 3 70 4 30 5 350 6 360 7 350 8 30 9 70 10 00 Contoh.15 Diketahui: TC 00 + 5Q Hitung: 1. rata-rata (average cost). marjinal (marginal cost) TC 00 + 5Q Y MC 5 TC AC Q 00 + 5Q 00 AC + 5 Q Q Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka jumlah MC adalah sebesar 5 dan 00 jumlah AC adalah + 5. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut: Q Jumlah produk (Q) total (TC) rata-rata (AC) marjinal (MC) 0 00 - - 1 5 5,00 5 50 15,00 5 3 75 91,67 5 4 300 75,00 5 5 35 65,00 5 6 350 58,33 5 7 375 53,57 5 8 400 50,00 5 9 45 47, 5 10 450 45,00 5 1
Jika contoh.14 dan contoh.15 digabung, maka perhitungannya akan dijelaskan dalam contoh berikut ini. Contoh.16 Diketahui: 1. TR 10Q 10Q. TC 00 + 5Q Hitung: Laba yang optimal ( ) TR TC (10Q 10Q ) (00 + 5Q) 10Q 10Q 00 5Q 10Q + 95Q 00 Q + 9,5Q 0 Untuk menentukan jumlah unit (Q) yang mana perusahaan dapat memperoleh laba yang optimal, selanjutnya akan dihitung sebagai berikut: Q + 9,5Q 0 Y Q + 9,5 Q 9,5 Q 4,75 5 unit (pembulatan) 10Q + 95Q 00 10 (5) + 95 (5) 00 50 + 475 00 5 Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka perusahaan akan memperoleh laba yang optimal jika perusahaan memproduksi 5 unit produk. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut: Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) total (TC) Laba 0 0 00-00 1 110 5-115 00 50-50 3 70 75-5 4 30 300 0 5 350 35 5 6 360 350 10 7 350 375-5 8 30 400-80 9 70 45-155 10 00 450-50
Contoh.17 Diketahui: 1. TR 50Q 0,5Q. TC Q 3 1Q + 60Q + 4 Hitung: Laba yang optimal ( ) TR TC (50Q 0,5Q ) (Q 3 1Q + 60Q + 4) 50Q 0,5Q Q 3 + 1Q 60Q 4 Q 3 + 11,5Q 10Q 4 Untuk menentukan jumlah unit (Q) yang mana perusahaan dapat memperoleh laba yang optimal, selanjutnya akan dihitung sebagai berikut: Q 3 + 11,5Q 10Q 4 Y 3Q + 3Q 10 Q Q 1, 1, -b ± -(3) ± b 4. a. c. a ( 3) 4.(-3).(-10).(-3) -(3) ± ( 59) ( 10) Q 1, 6 ± 409 Q -(3) 1, 6 -(3) ± 0, Q 1, 6 -(3) + 0,, 78 Q 1 0, 46 0, 5(pembulata n) 6 6 -(3) 0, 43, Q 7, 7(pembulata n) 6 6 Q 3 + 11,5Q 10Q 4 (7) 3 + 11,5 (7) 10(7) 4 343 + 563,5 70 4 146,5 147 (pembulatan) Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka perusahaan akan memperoleh laba yang optimal jika perusahaan memproduksi 7 unit produk. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut: 3
Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) total (TC) Laba 0-4,0 (4,0) 1 49,5 53,0 (3,5) 98,0 84,0 14,0 3 145,5 103,0 4,5 4 19,0 116,0 76,0 5 37,5 19,0 108,5 6 8,0 148,0 134,0 7 35,5 179,0 146,5 8 368,0 8,0 140,0 9 409,5 301,0 108,5 10 450,0 404,0 46,0 Memaksimumkan Fungsi Dengan Banyak Variabel Pada pembahasan sebelumnya, kita mempelajari hubungan antara dua variabel saja. Secara matematis hubungan antara dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: Y f(x). Variabel Y sebelumnya pada umumnya menghitung mengenai: a) penerimaan total [TR], b) biaya total [TC], dan c) laba total [ ], yang dipengaruhi oleh satu variabel X yaitu jumlah kuantintas (Q). Pokok pembahasan selanjutnya adalah menganalisis hubungan ekonomi yang berkaitan dengan lebih dari dua variabel. Sebagai contoh hubungan lebih dari dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: f(x, Y). Intepretasi dari f(x, Y) adalah laba yang optimal dipengaruhi atau tergantung oleh variabel X dan variabel Y. Untuk menentukan dampak marjinal pada variabel terikat (misalnya laba yang optimal) yang disebabkan karena adanya perubahan variabel X dan variabel Y, maka analisis perubahan variabel X dan variabel Y akan di analisis secara terpisah. Untuk menghitung dampak marjinal dari perubahan variabel X dan variabel Y, dapat menggunakan metode turunan parsial. Berikut ini merupakan contoh yang dapat memperjelas konsep turunan parsial, yaitu sebagai berikut. Contoh.18 Diketahui: f(x,y) 100X 4X XY 5Y + 10Y Hitung: Laba yang optimal ( ) Turunan parsial variabel X turunan dari f(x,y) 100X 4X XY π 100 8X Y X Turunan parsial variabel Y turunan dari f(x,y) XY 5Y + 10Y π X 10 Y + 10 Y Untuk memaksimumkan fungsi laba, kita harus membuat setiap turunan parsial sama dengan nol. π 100 8X Y 0 X π X 10Y + 10 0 Y 4
Langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan pertama dengan -10 dengan tujuan nilai Y menjadi nol, sehingga perhitungan akan sebagai berikut: 1000 + 80X + 10Y 0 10 X 10Y 0 880 + 79X 0 79X 880 X 11,14 11 (pembulatan) 100 8X Y 0 100 8 (11) Y 0 100 88 Y 0 1 Y 0 Y 1 Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 11 unit dan menjual produk Y sebesar 1 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: 100X 4X XY 5Y + 10Y 100 (11) 4 (11) (11) (1) 5 (1) + 10 (1) 1100 484 13 70 + 1440 104 D. OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA Sub pokok pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari optimisasi ekonomi tanpa kendala dan berikut ini kita akan mempelajari optimisasi ekonomi dengan kendala. Optimisasi ekonomi dengan kendala perlu kita perhatikan dikarenakan pada umumnya manajer perusahaan akan menghadapi berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi. Beberapa kendala yang dihadapi oleh manajer perusahaan di dalam keputusan optimisasi, antara lain: a) terbatasnya kapasitas produksi, b) terbatasnya bahan mentah, c) terbatasnya sumber daya manusia, d) kendala hukum, dan lain-lain. Berdasarkan pada berbagai contoh tersebut, kita menghadapi permasalahan optimisasi yang terkendala, yaitu maksimisasi dan minimalisasi dengan kendala. Berikut ini dua metode yang dapat digunakan untuk menganalisis optimisasi ekonomi dengan kendala, yaitu: 1. Optimisasi terkendala dengan substitusi Metode ini mengubah permasalahan optimisasi terkendala menjadi permalsalahan optimisasi tanpa kendala, dengan cara memecah persamaan kendala untuk satu variabel keputusan dan kemudian mensubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan optimisasi terkendala. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep optimisasi terkendala dengan substitusi, adalah sebagai berikut. Contoh.19 Diketahui: 1. f(x,y) 100X 4X XY 5Y + 10Y. X + Y 0 Hitung: Laba yang optimal ( ) 5
Fungsi kendala X + Y 0 X 0 Y Persamaan optimisasi dengan kendala 100X 4X XY 5Y + 10Y 100(0 Y) 4(0 Y) (0 Y)Y 5Y + 10Y 000 100Y 4(400 40Y + Y ) 0Y + Y 5Y + 10Y 000 100Y 1600 + 160Y 4 Y 0Y + Y 5Y + 10Y 4 Y + Y 5Y 100Y + 160Y 0Y + 10Y + 000 1600 8 Y + 160 Y + 400 Untuk memaksimumkan optimisasi tanpa kendala di atas, kita harus menurunkan persamaan tersebut, yaitu: π 16Y + 160 0 Y - 16Y - 160 Y 10 Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan nilai Y10 kedalam persamaan kendala, maka perhitungan adalah sebagai berikut: X + Y 0 X + 10 0 X 0 10 X 10 Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: 100X 4X XY 5Y + 10Y 100 (10) 4(10) (10) (10) 5(10) + 10 (10) 1000 400 100 500 + 100 100. Optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange Metode lainnya yang dapat digunakan untuk menganalisis optimisasi terkendala, dapat digunakan metode pengali Lagrange. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange, adalah sebagai berikut. Contoh.0 Diketahui: 1. f(x,y) 100X 4X XY 5Y + 10Y. X + Y 0 Hitung: Laba yang optimal ( ) Fungsi kendali, X + Y 0, maka: X + Y 0 0 6
Fungsi lagrange, adalah: L 100X 4X XY 5Y + 10Y 100X 4X XY 5Y + 10Y λ (X + Y 0) Langkah berikutnya adalah mencari turunan parsial L terhadap X, Y dan λ dan ditetapkan sama dengan nol, sehingga dapat diperoleh: L π 100 8X Y + λ 0 X L π X 1 0 Y + 10 + λ 0 Y L π X + Y 0 0 λ Langkah berikutnya adalah, L π 100 8X Y λ L + 0 π X 1 0 Y + 10 + λ 0 X dikurangi oleh Y, maka 100 8X Y 0 10 X 10 Y 0-0 7X + 9 Y 0 Langkah berikutya adalah, mengalikan persamaan X + Y 0 dengan angka 7, sehingga perhitungannya sebagai berikut: 7X + 7 Y 140 0 7X + 9 Y 0 0 + 16 Y 160 0 16 Y 160 Y 10 X + Y 0 0 X + 10 0 0 X 10 0 X 10 Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui nilai X sebesar 10 dan nilai Y sebesar 10, maka langkah berikutnya adalah mencari nilai L π 100 8X Y + λ 0 X 100 8X Y + λ 0 100 8 (10) 10 + λ 0 100 80 10 + λ 0 10 + λ 0 λ - 10 - X 10 Y + 10 + λ 0 - (10) 10 (10) + 10 + λ 0-10 100 + 10 + λ 0 10 + λ 0 λ - 10 7
Intepretasi dari λ sebesar 10 adalah perubahan penurunan satu unit dari kendala dari 0 menjadi 19, akan menyebabkan penurunan laba sebesar 10, atau dengan kata lain, perubahan peningkatan satu unit dari kendala dari 0 menjadi 1, akan menyebabkan peningkatan laba sebesar 10. Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut: 100X 4X XY 5Y + 10Y 100 (10) 4(10) (10) (10) 5(10) + 10 (10) 1000 400 100 500 + 100 100 REFERENSI Arsyad, Lincolin. 011. Ekonomi Manajerial. BPFE Salvatore, Dominick. 1989. Managerial Economics. McGraw-Hill PROPAGASI 1. Sebut dan jelaskan mengenai optimisasi ekonomi.. Sebut dan jelaskan mengenai metode dalam optimisasi ekonomi. 3. Jelaskan perbedaan antara: biaya total, biaya rata-rata, biaya marjinal. 4. Hitung laba optimal dari fungsi: TR 100Q 0Q TC 00 + Q 5. Hitung laba optimal dari fungsi: f(x,y) 100X 5X XY 5Y + 140Y 8