Mekanika Rekayasa III Metode Hardy Cross Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul nalysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End Moments. Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga dikenal dengan metode Cross. Salah satu metode yang digunakan dalam analisis struktur balok dan portal statis tak tentu. Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai berikut : 1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang- batangnya tidak berubah (konstan). 2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna. 1
Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul. Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak seimbang. Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan perputaran sehingga momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau mendekati nol. da beberapa definisi yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu : 1. Momen Primer (M ij ) 2. Faktor Kekakuan (K ij ) dan Momen Induksi (MI ij ) 3. Faktor Distribusi (μ ij ) 2
Momen Primer Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. esarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau momen rekasi merupakan kebalikan dari momen primer dan disebut juga dengan momen perlawanan). Momen Primer Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. rah momen primer didasarkan pada kecenderungan melenturnya batang (seolaholah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang) 3
Faktor Kekakuan dan Momen Induksi Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada masingmasing jenis batang seperti ditunjukkan pada Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3 untuk kondisi jepit-sendi. Gambar 2, batang prismatis C dengan tumpuan jepit-jepit. Di ujung (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar M C dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θ. Sedangkan ujung (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar M C dengan arah yang sama. Sehingga diperoleh persamaan : θ 2 - θ 1 = θ dan θ C2 - θ C1 = 0 4
kibat pengaruh momen distribusi M C akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : θ 1 = M CL C 3EI dan θ C1 = M CL C 6EI Selanjutnya pengaruh momen induksi M C akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : θ 2 = M CL C 6EI dan θ C2 = M CL C 3EI Dengan demikian : 5
6
Faktor Distribusi 7
8
Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross Carilah momen primer, M untuk masing-masing bagian batang. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor). Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor). uat tabel Cross. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan tanda atau jumlahnya sama dengan 0. Pada penggambaran bidang momen, tanda penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan momen untuk sebelah kiri titik dukung. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik dukung, pada gambar selalu bertanda sama dengan hasil perhitungannya. Pl 8 Momen Primer l/2 l/2 P Pl 8 P. a. b2 L 2 P. a2. b L 2 a b ql2 12 l ql2 12 11 5 192 ql2 192 ql2 l/2 l/2 9
Momen Primer Pa(L2 a 2 ) 2L 2 a b ql2 8 l l/2 l/2 7 128 ql2 l/2 l/2 9 128 ql2 Momen Primer l ql2 15 10
Contoh Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada gambar berikut : 11
Distribusi Momen Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi momen pada masingmasing simpul dengan bantuan tabel (Tabel Cross). Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi. Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol. 12
13