K-13 Kelas X FISIKA GETARAN HARMONIS TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, amu diharapan memilii emampuan sebagai beriut. 1. Memahami onsep getaran harmonis sederhana pada bandul dan pegas beserta besaran-besarannya.. Memahami persamaan-persamaan pada getaran harmonis sederhana beserta onsep energinya. A. Getaran Harmonis Sederhana Getaran harmonis sederhana (GHS) merupaan geraan bola-bali melalui titi esetimbangan dengan amplitudo (simpangan masimum) dan freuensi yang tetap. Getaran harmonis sederhana bersifat periodi. Artinya, setiap geraan yang terjadi aan berulang secara teratur dalam selang watu yang sama. Contoh asus getaran harmonis sederhana adalah gera pada bandul sederhana dan pegas. Syarat-syarat suatu benda diataan melauan getaran harmonis sederhana adalah sebagai beriut. 1. Geraannya bola-bali. Berlangsung secara periodi 3. Adanya titi esetimbangan 4. Gaya atau percepatan yang beerja pada benda sebanding dengan besar posisi/ simpangan benda 5. Arah gaya atau percepatan yang beerja pada benda selalu menuju titi esetimbangan
B. Periode dan Freuensi Periode T merupaan watu yang dibutuhan untu melauan satu ali getaran, sedangan freuensi f merupaan banyanya getaran yang dilauan oleh benda per seon. Secara matematis, periode dan freuensi dirumusan sebagai beriut. t T = n n f = t f = 1 T T = periode getaran (s); f = freuensi getaran (Hz); n = banyanya getaran; dan t = lamanya bergetar (s). Contoh Soal 1 Sebuah benda bergetar sebanya 0 ali selama 4 seon. Tentuanlah periode dan freuensi getaran tersebut. Dietahui: n =0 t = 4 s Ditanya: T =? f =? Periode dan freuensi getaran dapat ditentuan dengan rumus beriut. t T = = 4 n 0 = 1 5 =0,s n f = = 0 t 4 =5Hz Jadi, periode dan freuensi getaran tersebut berturut-turut 0, s dan 5 Hz. C. Sistem Bandul Sederhana Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya diabaian) dengan panjang L. Jia beban ditari e satu sisi dan dilepasan, maa beban aan berayun melalui titi esetimbangan menuju sisi yang lain.
Perhatian gambar beriut. θ L y mg sin θ mg cos θ mg Ketia beban berayun, aan selalu ada gaya yang arahnya menuju titi esetimbangan. Gaya inilah yang dinamaan dengan gaya pemulih F. Secara matematis, gaya pemulih pada bandul dapat ditulisan sebagai beriut. F = mg sin θ, dengan sin θ = y L F = mg y L F = gaya pemulih (N); m = massa beban (g); g = percepatan gravitasi (m/s ); y = simpangan tali (m); dan L = panjang tali (m). Pada haiatnya, getaran harmonis sederhana merupaan proyesi dari gera melingar beraturan (GMB) pada salah satu sumbu utamanya. Oleh arena itu, periode T dan freuensi f dapat dihitung dengan menyamaan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB. FPemulih = Fsentripetal mg y = mω y L mg y = m π f L g y f y L =4 π ( ) y 3
f = 1 π g L f = freuensi (Hz); g = percepatan gravitasi (m/s ); dan L = panjang tali (m). Oleh arena freuensi merupaan ebalian dari periode, maa diperoleh: T =π L g Dari persamaan di atas, dapat dietahui bahwa periode dan freuensi bandul tida bergantung pada massa dan simpangan bandul, namun hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat. D. Sistem Pegas Pegas merupaan salah satu bahan elastis yang memilii nilai tetapan gaya. Jia beban pada pegas ditari, maa beban aan bergera nai turun melalui titi esetimbangan. x Besar gaya pemulih pada pegas sebanding dengan jara benda e titi setimbang, sehingga persamaan gaya pemulih dirumusan sebagai beriut. F = x Sama halnya seperti bandul, periode T dan freuensi f pada pegas dapat dihitung dengan menyamaan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB 4
F Pemulih = F x. = m. ω x = m. π f f = 1 π m sentripetal ( ) f = freuensi (Hz); = tetapan gaya pegas (N/m); dan m = massa beban (g). Oleh arena freuensi merupaan ebalian dari periode, maa diperoleh: T =π m Contoh Soal Sebuah balo bermassa 0,5 g digantung pada sebuah pegas dengan nilai tetapan 50 N/m. Tentuan freuensi getaran pada sistem pegas tersebut. (π = 10 ) Dietahui: m = 0,5 g = 50 N/m Ditanya: f =? Freuensi pada pegas dapat ditentuan dengan persamaan beriut. f = 1 π m = 1 π 50 0,5 = 1 1000 π = 1 10 10 π = 1 10π π =5Hz Jadi, freuensi getaran pada sistem pegas tersebut adalah 5 Hz. 5
Contoh Soal 3 Perhatian gambar beriut! (A) (B) M M Jia elima pegas tersebut adalah identi (tetapan gaya pegas ), maa tentuanlah rasio periode antara susunan gambar (A) dan (B). Dietahui: massa benda = M tetapan gaya pegas = identi = Ditanya: T A : T B =? Mula-mula, tentuan tetapan gaya total pada rangaian pegas. Pada gambar (A), pegas disusun secara seri sehingga besar tetapan gaya totalnya adalah sebagai beriut. 1 1 1 = + 1 1 1 = + A A A = 1 Pada gambar (B), pegas disusun secara seri dan paralel sehingga besar tetapan gaya totalnya adalah sebagai beriut. Paralel: B 1 = 1+ = + = 6
Seri: 1 1 1 = + B B 3 1 1 1 = + 1 B B = 3 Dengan demiian, diperoleh: T T A B π = π M A M B B = = A 3 = 4 3 = 3 Jadi, rasio periode antara susunan gambar (A) dan (B) adalah : 3. E. Persamaan Getaran Harmonis 1. Persamaan Simpangan Simpangan getaran harmoni sederhana dapat dianggap sebagai proyesi partiel yang bergera melingar beraturan pada diameter lingaran. Secara umum, persamaan simpangan gera harmonis sederhana untu benda yang menempuh sudut θ dengan sudut fase awalnya θ 0 rad adalah sebagai beriut. y = A sin (θ + θ 0 ) Jia sudut fase awal θ 0 = 0, maa: y = A sin (ωt) Oleh arena ω = π = πf, maa: T y = A sin (πft ) y = A sin ( π T t) y = simpangan getaran (m); ω = ecepatan sudut (rad/s); T = periode (s); f = freuensi (Hz); 7
A t θ 0 = amplitudo = simpangan masimum (m); = watu tempuh (s); = sudut fase awal. Contoh Soal 4 Sebuah benda melauan gera harmonis dengan amplitudo A dan periode T. Jia benda telah bergera selama 1 T, maa simpangan benda tersebut adalah... 8 Dietahui: t = 1 8 Ditanya: y =? Simpangan benda dapat ditentuan dengan rumus beriut. y = A sin ( π T t) 1 T = A sin π. 8 T = A sin 45 o = 1 A Jadi, simpangan benda tersebut adalah 1 A.. Persamaan Kecepatan Kecepatan benda yang bergera harmoni sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan. Perhatian penjabaran beriut. dy A t v = = d( sin ω ) = Aωcosω t atau v A y dt dt = ω = m ( A y ) 8
Adapun untu ecepatan masimumnya adalah: v m = Aω y = simpangan (m); ω = ecepatan sudut (rad/s); v = ecepatan getaran (m/s); f = freuensi (Hz); A = amplitudo = simpangan masimum (m); t = watu tempuh (s); = tetapan gaya pegas (N/m); dan m = massa beban (g). Contoh Soal 5 Sebuah benda bergetar harmonis dengan amplitudo A. Tentuanlah simpangan benda saat ecepatannya sama dengan setengah ecepatan masimumnya. Dietahui: Amplitudo = A v v m = 1 Ditanya: y =? Saat ecepatannya sama dengan setengah ecepatan masimumnya, maa: v = A ω cos ωt 1 v = A ω cos ωt m 1 A ω = A ω cos ωt cos ωt = 1 ωt = arc.cos ½ = 60 o 9
Masuan nilai ωt e persamaan umum simpangan getaran sehingga diperoleh: y = A. sin (ωt) = A. sin 60 o = 1 3 A Jadi, simpangan benda saat ecepatan benda setengah ecepatan masimum adalah 1 3 A. 3. Persamaan Percepatan Percepatan benda yang bergera harmonis sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan ecepatan atau turunan edua persamaan simpangan. Perhatian penjabaran beriut. dv d y d ( Asin ωt) a = = = = Aω sin ωt dt dt dt Oleh arena nilai masimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maa percepatan masimumnya adalah sebagai beriut. a m = -Aω y = simpangan (m); ω = ecepatan sudut (rad/s); v = ecepatan getaran (m/s); f = freuensi (Hz); A = amplitudo = simpangan masimum (m); t = watu tempuh (s); dan a = percepatan getaran (m/s ) 4. Persamaan Energi Getaran Harmonis Sederhana a. Energi Kineti Energi ineti adalah energi yang dimilii benda yang bergera harmonis sederhana arena ecepatannya. Secara matematis, energi ineti dirumusan sebagai beriut. 10
E = 1 K m v. = 1 ma t ( ω cos ω ) = 1 A cos ωt b. Energi Potensial Energi potensial adalah energi yang dimilii benda yang bergera harmonis sederhana arena simpangannya. Secara matematis, energi potensial dirumusan sebagai beriut. E = 1 P y = 1 A t ( sin ω ) = 1 A sin ωt c. Energi Meani Energi meani adalah jumlahenergi ineti dan energi potensial. Energi meani suatu benda yang bergera harmoni sederhana tida bergantung watu dan tempat arena nilainya selalu tetap. Secara matematis, energi meani dirumusan sebagai beriut. E M = E + E p = 1 A cos ωt + 1 A sin ωt = 1 A = tetapan gaya pegas (N/m); ω = ecepatan sudut (rad/s); E M = energi meani (J); E = energi ineti (J); E p = energi potensial (J); A = amplitudo = simpangan masimum (m); dan t = watu tempuh (s). 11
Contoh Soal 6 Sebuah benda bermassa 0,4 g bergera harmonis dengan amplitudo 6 cm dan freuensi 50 Hz. Besarnya energi meani saat simpangannya cm adalah... (anggap π² = 10) Dietahui: m = 0,4 g A = 6 cm = 6 10 m f = 50 Hz y = cm π² =10 Ditanya: E M =? Energi meani benda yang bergera harmonis dapat ditentuan sebagai beriut. E M = 1 A = 1. m ω A = 1. m. 4 π² f² A² = 1. 0,4. 4. (10) (50)² (6 10 )² = 7 joule Jadi, besarnya energi meani saat simpangannya cm adalah 7 joule. Contoh Soal 7 Sebuah benda melauan getaran harmonis sederhana. Pada saat nilai energi inetinya sama dengan nilai energi potensialnya, maa besarnya simpangan benda saat itu adalah... Dietahui: E K = E P Ditanya: y =...? 1
Berdasaran rumus energi meani, diperoleh: E M = E K + E P E M = E P 1 A =. 1.y y = 1 A² y = ± A = ± 1 A Jadi, besarnya simpangan benda saat itu adalah y = ± 1 A. Contoh Soal 8 Benda bermassa 10 gram digetaran menurut persamaan simpangan y = 5 sin (100t) dengan y dalam cm dan t dalam seon. Energi total benda tersebut adalah... Dietahui: m =10 g = 10 g y = 5 sin (100t) A = 5 cm = 5 10 m ω = 100 rad/s Ditanya: E M =? Berdasaran rumus energi meani, diperoleh: E M = 1 A² = 1.m.ω² A² = 1 10 (100) (5 10 )² = 0,15 joule Jadi, energi total benda tersebut adalah 0,15 joule. 13
d. Hubungan Energi Kineti dengan Simpangan dan Kecepatan Super "Solusi Quipper" Hubungan energi ineti dengan simpangan dan ecepatan dapat ditentuan dengan rumus SUPER beriut ini. E = 1 K A y ( ) E E P =tan θ E v = Aω E y=a E E P M K M E K = energi ineti (J); E P = energi potensial (J); E M = energi meani (J); ω = ecepatan sudut (rad/s); v = ecepatan linear getaran (m/s); y = simpangan (m); = tetapan gaya pegas (N/m); A = amplitudo (m); dan θ = sudut fase. Contoh Soal 9 Benda bermassa 3 g digantung pada seutas tali yang panjangnya meter. Benda bergetar selaras dengan amplitudo 50 cm dan freuensi 0 Hz. Pada saat simpangan bandul 4 5 amplitudonya, berapaah perbandingan energi ineti dan energi potensialnya? Dietahui: m = 3 g L = meter A = 50 cm = 0,5 m f = 0 Hz y = 4 5 A Ditanya: E =? EP Mula-mula, tentuan sudut fasenya. 14
y = A sin θ 4 5 A = A sin θ sin θ = 4 5 θ = arc sin 4 5 = 53o Selanjutnya, gunaan cara SUPER untu menentuan perbandingannya. Super "Solusi Quipper" E E P =tan = tan 53 = 4 = 16 o θ 3 9 Jadi, perbandingan energi ineti dan energi potensialnya adalah 16 : 9. 15