PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS oleh CAESAR ADHEK KHARISMA M0109017 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i
SKRIPSI PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS yang disiapkan dan disusun oleh CAESAR ADHEK KHARISMA M0109017 dibimbing oleh Pembimbing I, Pembimbing II, Drs. Siswanto, M.Si. Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom. NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19750120 200812 2 001 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Senin, 29 Juli 2013 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Pangadi, M.Si. 1............. NIP. 19571012 199103 1 001 2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si. 2............. NIP. 19611219 198703 2 001 Surakarta, Agustus 2013 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematika, Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) Ph.D Irwan Susanto, S.Si., DEA NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001 ii
ABSTRAK Caesar Adhek Kharisma, 2013. PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar max-plus merupakan suatu semi-field idempoten. Aljabar maxplus dibentuk oleh himpunan R max = R { } yang dilengkapi operasi biner (maksimum) dan (penjumlahan). Penelitian ini bertujuan untuk menentukan waktu produksi tercepat dari mesin produksi jamu di PT. Putro Kinasih dengan aljabar max-plus. Waktu produksi ini digunakan untuk mengoptimalkan jumlah produksi agar dapat memenuhi pemesanan produk jamu oleh konsumen. Mesin produksi ini merupakan contoh sistem kejadian diskrit. Penelitian ini menentukan waktu input terlebih dahulu yaitu waktu dimana mesin produksi mulai bekerja. Waktu input ini dimisalkan x. Jika matriks A, b, dan u merupakan matriks di dalam aljabar max-plus dengan komponen A, b adalah waktu pemrosesan mesin produksi dan G(A) adalah graf komunikasi dari A dan komponen u adalah waktu mesin dan komponen siap melakukan produksi, maka dapat diketahui bobot sirkuit G(A). Penyelesaian untuk sistem x = Ax bu adalah A bu. Bobot sirkuit G(A) akan menentukan komponen matriks A dan x. Setelah waktu input diperoleh kemudian ditentukan waktu output yang dimisalkan y, yaitu waktu mesin produksi berhenti bekerja. Waktu output sistem mesin produksi adalah [ ] y T = 15 24 36 41 61 41 61. Dari hasil penelitian, diperoleh waktu produksi tercepat dari sistem mesin produksi jamu yaitu 61 jam. Kata kunci : sistem produksi, aljabar max-plus, graf komunikasi, dan bobot sirkuit. iii
ABSTRACT Caesar Adhek Kharisma, 2013. DETERMINING FASTEST PRODUCTION TIME OF HERBAL PRODUCTION MACHINE SYSTEM IN PT. PUTRO KINASIH WITH MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra have properties as idempotent semifield. Max-plus algebra is constructed by R max = R { } endowed with (maximum) and (addition) operations. The aim of this research determine fastest production time of herbal production machine system in PT. Putro Kinasih with max-plus algebra. Production time is used to optimize the amount of production in order to meet the ordering herbal products by consumers. Production machine is an example of a discrete event system. This research determining the input time, x, that is the time when production machine started working. If the matrices A, b, and u are in the max-plus algebra who having component processing time production machine, G(A) is a communication graph of A, and matrix u is the time when machines start working and components start to do production processes, then it is known weights circuit G(A). Completion for system x = Ax bu is A bu. Circuit weight G(A) will determine the components of the matrix A and x. After input time is obtained and then let the output y, i.e the production machine time stopped working. Time of production machine output system is [ ] y T = 15 24 36 41 61 41 61. The results show that the fastest production time of herbal production machine system is 61 hours. Key words: production system, max-plus algebra, communication graph, and circuit weight. iv
MOTO Jika ingin merubah hidupmu maka ubahlah dirimu dan jika ingin merubah dirimu maka ubahlah pola pikirmu. v
PERSEMBAHAN Karya sederhana ini kupersembahkan untuk Allaah SWT yang telah memberikan kelancaran dalam pembuatan skripsi ini melalui cinta, kasih, doa, dan dukungan dari kedua orang tuaku. Sahabat-sahabat terbaikku, seluruh angkatan 2009 yang selalu kompak memberikan semangat dan motivasi. vi
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim. Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini dibagi menjadi lima bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum dalam metodologi penelitian yang dituliskan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Bab 5 berisi tentang kesimpulan dan saran. Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si dan Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua teman-teman angkatan 2009 yang senantiasa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang membutuhkan. Surakarta, Agustus 2013 Penulis vii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i PENGESAHAN............................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv MOTO.................................... v PERSEMBAHAN.............................. vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI................................ viii DAFTAR GAMBAR............................ x DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL.................... xi I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Struktur Aljabar Biasa........................ 5 2.3 Teori Graf dalam Aljabar Max-Plus................. 6 2.4 Sistem Kejadian Diskrit....................... 9 2.5 Struktur Aljabar Max-Plus commit.... to. user................. 9 2.6 Matriks dalam R max......................... 11 viii
2.7 Kerangka Pemikiran......................... 13 III METODE PENELITIAN 15 IV PEMBAHASAN 16 4.1 Profil PT. Putro Kinasih....................... 16 4.2 Penerapan Aljabar Max-Plus pada Sistem Mesin Produksi Jamu. 19 V PENUTUP 33 5.1 Kesimpulan.............................. 33 5.2 Saran.................................. 33 DAFTAR PUSTAKA 34 ix
DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf berarah dan strongly connected................ 6 2.2 Graf dan lintasannya......................... 7 2.3 Graf berbobot............................. 8 2.4 Graf komunikasi dari matriks A................... 8 4.1 Proses mesin produksi jamu..................... 18 4.2 Skema mesin produksi jamu..................... 19 4.3 Graf mesin produksi......................... 21 4.4 Graf komunikasi dari matriks A................... 23 x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL R : himpunan bilangan real N : himpunan bilangan asli (+) : operasi jumlah pada aljabar biasa ( ) : operasi perkalian pada aljabar biasa : operasi maksimum pada aljabar max-plus : operasi jumlah pada aljabar max-plus ε : elemen identitas untuk dengan ε = e : elemen identitas untuk dengan e = 0 e : matriks satuan terhadap operasi biner A m n : matriks A berukuran m n x n : pangkat n dari x dalam aljabar max-plus R max : R { } R m n max : matriks berukuran m n dengan elemen R max G : graf berarah G(A) : graf berarah dari matriks A V : himpunan yang beranggotakan vertex pada graf E : himpunan yang beranggotakan edge atau busur pada graf (i, j) : edge dari titik i ke titik j A ij : bobot edge dari titik j ke titik i A : eksistensi A xi