BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan, jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan integral Riemann. A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan, diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes. 4
1. Himpunan Terbatas Definisi 2.1: (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan suatu himpunan tak kosong subset dari. 1) dikatakan terbatas atas jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk setiap. Bilangan disebut juga sebagai batas atas dari 2) dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk setiap. Bilangan disebut juga sebagai batas bawah dari 3) dikatakan terbatas jika terbatas atas dan terbatas bawah. Untuk lebih mudah memahami diberikan contoh, Contoh 2.1 : misalkan himpunan { }. { } Nilai maksimum dari adalah, untuk sebarang bilangan riil maka ada bilangan yang lebih besar dari. Jadi, terbatas atas. Nilai minimum dari tidak dapat didefinisikan karena nilai merupakan himpunan semua bilangan asli, akan tetapi nilai himpunan tersebut akan selalu lebih besar dari bilangan ( ). Hal ini menyebabkan memiliki batas bawah, maka terbatas bawah. Jadi, merupakan himpunan yang terbatas. 5
2. Supermum dan Infimum Misal adalah himpunan tak kosong subset dari 1) Supremum Definisi 2.2 : (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas atas, maka bilangan dikatakan sebagai supremum (batas atas terkecil) dari, jika memenuhi : i. adalah batas atas dari, dan ii. Jika adalah batas atas yang lainnya dari, maka. Nilai supremum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan. 2) Infimum Definisi 2.3 : (Bartle & Sherbert, 2000: 36) Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas bawah, maka bilangan dikatakan sebagai infimum (batas bawah terbesar) dari, jika memenuhi : i. adalah batas bawah dari, dan ii. Jika adalah batas bawah yang lainnya dari, maka. Nilai infimum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan. 6
Contoh 2.2 : Misalkan { }. Nilai minimum dari himpunan tersebut adalah dan ada bilangan riil yang lebih kecil dari maka himpunan memiliki batas bawah. Bilangan 0 merupakan batas bawah karena untuk semua elemen himpunan tidak ada yang lebih kecil dari. Bilangan juga batas bawah terbesar dari himpunan tersebut karena untuk batas bawah yang lainnya lebih kecil dari atau dengan kata lain. Himpunan tidak memiliki nilai maksimum akan tetapi himpunan memiliki batas atas karena nilai dari anggota himpunan kurang dari atau dengan kata lain bilangan merupakan batas atas dari himpunan. Bilangan juga merupakan batas atas terkecil dari himpunan, hal ini terlihat dari tidak ada bilangan riil yang lebih kecil dari yang merupakan batas atas dari himpunan dan bukan anggota dari himpunan Atau dengan kata lain. 3. Sifat Archimedes Sifat Archimedes (Archimedean Property) digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan bilangan asli tidak terbatas atas pada himpunan bilangan riil. Atau dengan kata lain untuk setiap bilangan riil ada bilangan asli (yang bergantung pada ), sedemikian sehingga. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai sifat Archimedes dan akibatnya. 7
Sifat Archimedes. (Bartle & Sherbert, 2000; 40) Jika, maka ada sedemikian sehingga. Bukti Andai pernyataan di atas bernilai salah maka untuk semua. Hal tersebut juga mengatakan bahwa merupakan batas atas dari. merupakan himpunan tak kosong mempunyai suatu supremum yaitu. merupakan supremum dari, dengan megurangkan nilai dengan 1 maka selalu lebih kecil dari. bukan batas atas dari, maka ada dengan. Tambahkan kedua ruas dengan, didapatkan, karena maka bukan batas atas dari. Faktanya merupakan supremum dari, terjadi kotradiksi maka pengandaian harus dinegasikan. Terbukti Jika, maka ada sedemikan sehingga. Akibat 2.4 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika { }, maka. Bukti merupakan himpunan tak kosong dan terbatas bawah oleh, himpunan memiliki infimum dan misal, maka. Sifat Archimedes mengatakan, untuk setiap maka ada 8
sedemikian sehingga atau dengan kata lain. Dari pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh Nilai yang memenuhi adalah. Akibat 2.5 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika, maka ada sedemikian sehingga. Bukti Nilai dari { } dan, maka bukan batas bawah dari himpunan tersebut. Maka ada sedemikian sehingga B. Barisan Barisan fungsi, kata pertama dari kata benda tersebut adalah barisan. Tentunya sebelum mengenal barisan fungsi terlebih dahulu harus mengenal barisan. Apa itu barisan? Untuk memudahkan pemahaman mengenai barisan, di bawah ini terdapat definisi dari beberapa ahli mengenai barisan Definisi 2.6 : (Bartle & Sherbert, 2000: 53) Barisan bilangan riil (barisan pada ) adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli { } dimana range termuat dalam himpunan bilangan riil. 9
Jika adalah barisan, nilai dari pada dinotasikan dengan. Nilai disebut dengan elemen dari barisan. Suatu barisan dinotasikan dengan { }, dengan adalah bilangan ke- dari { } dan dituliskan. Contoh sederhana dari barisan bilangan riil adalah { } { } { }. Telah dijelaskan pada bagian di atas mengenai suatu barisan, selain itu barisan juga memiliki sifat-sifat, tentunya perlu dipahami juga karakter dari suatu barisan jika kita ingin mengenal barisan fungsi. Apakah barisan tersebut konvergen atau divergen? Apa itu barisan monoton dan subbarisan? Ada beberapa definisi yang telah dijelaskan oleh para ahli mengenai hal tersebut, diantaranya sebagai berikut. 1. Barisan Konvergen Definisi 2.7: (Bartle & Sherbert, 2000: 54) Barisan { } pada kovergen ke atau merupakan limit dari { }, jika untuk setiap terdapat suatu bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua, memenuhi. Jika nilai limit barisan untuk ( ), maka barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan tersebut divergen. Contoh 2.3 : Suatu barisan bilangan riil dengan rumus { } { }. Barisan { } { } konvergen menuju, karena jika diberikan ada 10
sedemikian sehingga untuk semua nilai. 2. Barisan Divergen Definisi 2.8 : (Kosmala, 2004 : 81) Suatu barisan { } divergen ke jika dan hanya jika untuk sebarang, ada sedemikian sehingga untuk semua. Atau dapat dituliskan. Misal { } suatu barisan dengan rumus { } { }, menurut sifat Archimedes untuk sebarang, ada sedemikian sehingga, sedangkan nilai maka nilai untuk semua yang artinya barisan { } divergen. Teorema 2.9 : (Kosmala, 2004 : 83) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Barisan { } divergen ke jika dan hanya jika barisan { } konvergen ke. Bukti : 1) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Jika { } divergen ke maka barisan { } konvergen ke { } divergen ke jika dan hanya jika untuk setiap, ada sedemikian sehingga untuk semua. Ambil sebarang. Barisan { } divergen ke maka 11
Terbukti { } konvergen ke. 2) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Jika barisan { } konvergen ke maka { } divergen ke. Barisan { } konvergen ke, jika diberikan ada sedemikian sehingga untuk semua berlaku Nilai, dimana untuk semua maka divergen ke. Teorema 2.10 : (Kosmala, 2004 : 82) Jika suatu barisan { } divergen ke dan untuk semua, maka barisan { } sudah pasti divergen ke. 12
Bukti Andai { } konvergen ke maka, untuk semua. Nilai untuk semua, artinya { } konvergen menuju. Terjadi kontradiksi maka pengandaian harus dinegasikan, yaitu { } divergen menuju. 3. Subbarisan Definisi 2.11 : (Bartle & Sherbert, 2000: 75 ) Misal { } adalah barisan bilangan riil dan adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. { } dimana { } Maka dikatakan sebagai subbarisan dari. Contoh subbarisan dari barisan, { } Pilih untuk bernilai genap, maka didapat barisan baru { } Barisan merupakan subbarisan dari, dimana,,. 13
Teorema 2.12 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) Jika barisan bilangan real { } konvergen ke bilangan real maka setiap subbarisan { } dari juga konvergen ke Bukti Jika diberikan maka ada sedemikian sehingga jika maka. Karena adalah barisan naik dari bilangan asli maka. Di samping itu, jika maka kita juga mempunyai maka. Atau dengan kata lain subbarisan { } konvergen ke. Teorema 2.13 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) Jika { } merupakan barisan bilangan real. Pernyataanpernyataan berikut saling ekuivalen (i) Barisan { } tidak konvergen ke (ii) Ada suatu sedemikian sehingga untuk setiap, ada sedemikian sehingga dan (iii) Ada dan suatu subbarisan { } dari sedemikian sehingga Bukti (i) (ii) Jika { } tidak konvergen ke, maka untuk beberapa tidak memungkinkan ditemukan suatu bilangan asli sedemikian 14
sehingga untuk semua syarat memenuhi. Oleh karena itu, untuk setiap pertidaksamaan tidak benar untuk semua terpenuhi. Atau dengan kata lain, untuk setiap ada bilangan asli sedemikian sehingga. (ii) (iii) Diberikan seperti pada kondisi (ii) dan diberikan sedemikian sehingga dan. Kemudian diberikan sedemikian sehingga dan. Dengan cara yang sama didapatkan subbarisan { } dari sedemikian sehingga untuk semua. (iii) (i) Jika { } memiliki subbarisan { } memenuhi kondisi poin (iii). Maka tidak dapat konvergen ke, menurut teorema 2.12 Jika konvergen menuju maka subbarisan juga konvergen menuju Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada kondisi yang memenuhi. 4. Barisan Cauchy Definisi 2.14 : (Bartle & Sherbert, 2000: 81) Suatu barisan bilangan riil ada bilangan asli disebut Barisan Cauchy jika untuk setiap sedemikian sehingga untuk semua bilangan asli maka kondisi memenuhi. 15
Contoh 2.14 : Suatu barisan { } { }. Jika diberikan, menurut sifat archimedes maka ada bilangan asli sedemikian sehingga untuk kita mempunyai dan. Maka untuk nilai diperoleh Terbukti { } merupakan barisan Cauchy C. Kekontinuan Fungsi Fungsi kontinu merupakan suatu konsep yang akan sering digunakan dalam bahasan kita selanjutnya, baik dalam diferensial, integral maupun dalam mengidentifikasi sifat-sifat dari barisan fungsi. Oleh karena itu, kita perlu memahami apa yang dimaksud kekontinuan dari suatu fungsi. Akan tetapi sebelum membicarakan mengenai fungsi kontinu, akan dikenalkan terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di bawah ini terdapat definisi dari ahli mengenai cluster point, limit fungsi dan fungsi kontinu. Definisi 2.15 : (Bartle & Sherbert, 2000: 97) Misalkan. Titik adalah cluster point dari jika untuk setiap ada sedikitnya satu titik, sedemikian sehingga. 16
Definisi 2.16 : (Bartle & Sherbert, 2000: 98) Misalkan, dan merupakan cluster point dari. Untuk suatu fungsi, suatu bilangan riil dikatakan limit dari fungsi di, jika diberikan ada sedemikian sehingga jika dan, maka. Definisi 2.17 : (Bartle & Sherbert, 2000: 120) Misalkan, dan. Fungsi kontinu pada jika diberikan sebarang, ada sedemikian sehingga jika adalah sembarang titik pada yang memenuhi, maka. Kondisi tersebut mirip dengan definisi limit (definisi 2.16) sedemikian sehingga fungsi kontinu dapat didefinisikan merupakan fungsi kontinu di jika dan hanya jika. Jika fungsi tidak kontinu pada, maka diskontinu pada. Contoh 2.5 : Misalkan suatu fungsi dengan rumus pada. Jika diberikan ada sedemikian sehingga jika, maka dan kita pilih sedemikian sehingga. Fungsi kontinu pada, D. Diferensial Definisi 2.18 : (Kosmala, 2004: 184) Suatu fungsi dengan, adalah titik akumulasi dari, dan. Derrivatif dari pada didefinisikan 17
Jika limitnya ada maka dapat dikatakan terdiferensial pada. Definisi 2.19 : (Varbeg and Purcell, 2010: 163) Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca aksen ) yang nilainya pada sembarang bilangan adalah Asalkan nilai limitnya ada Contoh 2.6 :. Suatu fungsi, terdefinisi dengan. Nilai dari adalah Nilai dari, karena merupakan nilai yang berhingga maka dapat dikatakan terdiferensial pada. Teorema 2.20 : (Brannan, 2006: 212) Misal fungsi terdefinisi pada interval terbuka, dan Jika terdiferensial di, maka juga kontinu di Bukti Fungsi terdiferensial di, maka 18
Dari persamaan di atas diperoleh { } { } { } { } { } Nilai limit untuk sama dengan nilai atau dengan kata lain fungsi kontinu di. Teorema 2.21 : (Goldberg, 1976: 200) Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan terbatas. Jika nilai maksimum dari terdapat pada titik, dimana, dan jika ada maka. Bukti Andai nilai. Jika maka Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih maka sedemikian sehingga nilai dari 19
atau. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum dari fungsi berada pada titik. Jika maka Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih maka sedemikian sehingga nilai dari atau. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum dari fungsi berada pada titik. Nilai dari tidak mungkin lebih besar atau lebih kecil dari, jadi nilai. Teorema 2.22 (Teorema Rolle) : (Goldberg, 1976: 200) Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan terbatas, dengan. Jika terdiferensial untuk semua, maka ada suatu titik dimana. Bukti Jika bernilai pada interval, ada titik maka sedemikian sehingga Terbukti jika fungsi bernilai pada interval. 20
Jika untuk, maka pada interval tersebut fungsi memiliki nilai maksimum pada suatu titik dan tentunya nilai maksimum fungsi bukan pada titik atau karena. Misal titik maksimum fungsi adalah dan fungsi terdiferensial pada, menurut teorema 2.21 maka nilai dari. Teorema 2.23 (Teorema Nilai Rata-Rata) : (Goldberg, 1976: 203) Jika adalah fungsi kontinu pada interval tertutup terbatas dan jika ada untuk semua, maka ada sedemikian sehingga Bukti Kita definisikan suatu fungsi sebagai berikut Subtitusi nilai Subtitusi nilai Akan ditunjukkan terdiferensial pada interval, ambil sebarang pada interval 21
terdiferensial pada interval, sedemikian sehingga Fungsi terdiferensial pada interval, menurut teorema 2.18 maka juga kontinu pada interval. Fungsi kontinu, terdiferensial pada interval dan, menurut teorema Rolle s maka ada suatu titik sedemikian sehingga E. Partisi dan Integral Riemann 1. Partisi Definisi 2.24 :(Bartle & Sherbert, 2000: 145) Suatu partisi dari suatu interval adalah suatu himpunan dengan { } merupakan himpunan dari interval tertutup yang tidak saling tumpang tindih dan gabungan dari interval-interval 22
tersebut adalah interval. Interval-interval tersebut dinotasikan dengan, dimana Titik-titik merupakan titik partisi dari. Jika dipilih sebuah titik dari masing-masing interval, untuk maka titik-titik disebut juga dengan (label) dan himpunan interval dengan pasangan-pasanganya { } { } disebut juga tagged partition dari. 2. Integral Riemann Definisi 2.25 :(Bartle & Sherbert, 2000: 196) Suatu fungsi dikatakan terintegral secara Riemann pada jika ada suatu bilangan sedemikian sehingga untuk setiap ada sedemikian sehingga jika suatu tagged partition dari dengan maka ( ). ( )atau sering disebut Riemann Sum (Penjumlahan Riemann) didefinisikan sebagai berikut ( ) Definisi tersebut secara tidak langsung mengatakan bahwa merupakan limit dari ( ) untuk nilai (partisi semakin halus). 23
Himpunan yang terintegral secara Riemann dinotasikan dengan. merupakan sutau bilangan tertentu sering juga disebut integral Riemann dari di. Biasa juga ditulis atau. Contoh 2.7 : Fungsi pada interval merupakan fungsi yang terintegral secara Riemann. Hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut misal untuk adalah partisi dari dan kita pilih label dari interval yaitu yang merupakan titik tengah dari dimana, sedemikian sehingga didapatkan dengan { } untuk, maka didapatkan jumlahan Riemann ( ) Misalkan { } untuk merupakan partisi berlabel yang lainnya pada interval dengan sedemikian sehingga untuk. Misalkan dan mempunyai titik- 24
titik partisi yang sama, merupakan titik tengah dari interval dan juga terdapat dalam interval sedemikian sehingga. Menggunakan ketaksamaan segitiga ( ) ( ) Karena ( ), maka ( ) ( ) ( ) Nilai. Pilih sedemikian sehingga ( ) Atau dengan kata lain dan. Teorema 2.26 (Teorema Fundamental Kalkulus) : (Bartle & Sherbert, 2001: 210) Suatu fungsi pada dan pada interval,, dimana : (a) (b) (c) kontinu pada interval untuk semua terintegral secara Riemann 25
Maka Bukti Diberikan, karena terintergral secara Riemann ( ) maka ada sedemikian sehingga jika adalah tagged partition dari dengan, maka ( ) Jika subinterval-subinterval pada adalah, dengan mengaplikasikan teorema nilai rata-rata pada fungsi, ada sedemikian sehingga Kita jumlahkan nilai dari untuk Fungsi didefinisikan pada interval maka Sedemikian sehingga 26
Misalkan merupakan tagged partition dimana adalah untuk subinterval-subinterval pada, maka { } untuk, sedemikian sehingga ( ) Jadi ( ) ( ), diperoleh Atau dapat dikatakan Terbukti bahwa 27