SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Infeksi Penyakit SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) dengan Faktor Host dan Vaksinasi Rifaldy Fajar, Dewi Mustika Sari, Nana Indri Kurniastuti, Intan Lisnawati Universitas Negeri Yogyakarta rifaldyfajar251@gmail.com T - 3 Abstrak Pada tanggal 12 Maret 2003, Badan Kesehatan Dunia (WHO) mengeluarkan suatu peringatan ke seluruh dunia tentang adanya suatu penyakit yang disebutnya sebagai sindrom penapasan akut parah (SARS). Penyakit ini digambarkan sebagai radang paru (pneumonia) yang berkembang secara sangat cepat, progresif dan seringkali bersifat fatal, dan diduga berawal dari suatu propinsi di Cina Utara yaitu propinsi Guangdong. Salah satu cara dari penularan penyaki SARS adalah melalui kontak langsung dengan penderita SARS baik karena berbicara, terkena percikan batuk atau bersin. Desember 2004, laporan menyebutkan bahwa para peneliti Tiongkok telah menemukan sebuah vaksin SARS yang telah diujicoba pada 36 sukarelawan dan 24 diantaranya menghasilkan antibodi virus SARS. Saat ini, belum begitu banyak penelitian yang dilakukan terkait pola penyebaran dari infeksi penyakit SARS dengan menggunakan faktor host yaitu imun lemah dan vaksinasi SARS. Dalam paper ini akan dibahas mengenai model matematika dan analisis kestabilan pada penyebaran infeksi penyakit SARS dengan menggunakan fakotr host (kondisi imun lemah) dengan pengendalian berupa vaksinasi SARS sehingga model endemik menjadi XSIR. Berdasarkan hasil analisis kestabilan, diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit stabil jika nilai basic reproduction number dengan vaksinasi SARS kurang dari 1 yang artinya penyakit akan menghilang dan titik ekuilibrium endemik stabil jika dengan lebih dari 1 yang artinya penyakit akan mewabah. Kata kunci: Model Matematika, SARS, Vaksinasi SARS I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang SARS atau SARS adalah penyakit pernapasan virus yang disebabkan oleh corona virus yang dapat mengancam hidup. Creatinine adalah kelompok virus yang memiliki halo atau penampilan mahkotaseperti (korona) ketika dilihat di bawah mikroskop dan umum penyebab ringan untuk moderat pernapasan atas penyakit pada manusia dan dapat menyebabkan penyakit parah pada hewan di mana mereka dapat menyebabkan penyakit pernapasan, pencernaan, hati dan neorologis. Creatinine juga kadang-kadang telah dikaitkan dengan radang paru-paru pada manusia, terutama orang-orang dengan sistem kekebalan yang lemah [1]. Pada tanggal 12 Maret 2003, Badan Kesehatan Dunia (WHO) mengeluarkan suatu peringatan ke seluruh dunia tentang adanya suatu penyakit yang disebutnya sebagai sindrom penapasan akut parah (SARS) diman Penyakit ini digambarkan sebagai radang paru (pneumonia) yang berkembang secara sangat cepat, progresif dan seringkali bersifat fatal, dan diduga berawal dari suatu propinsi di Cina Utara yaitu propinsi Guangdong [2]. Menurut Organisasi Kesehatan Dunia (WHO), selama wabah SARS pada tahun 2003 total 8.098 orang di seluruh dunia adalah muak dengan SARS dan 774 meninggal diamna secara keseluruhan kasus tingkat kematian sekitar 10% dan persentase tertinggi yaitu 50% pada mereka yang memiliki usia lebih dari 60 tahun [1]. Di kawasan Asia SARS telah menyebar di beberapa negara, yaitu Cina, Hongkong, Thailand, Vietnam, dan Singapura. Khusus di Singapura terdapat 91 kasus dengan korban meninggal. Di Indonesia dikabarkan terdapat 4 kasus dengan korban meninggal 3 orang dan 1 orang dinyatakan kabur dari rumah sakit. Penularan penyakit SARS dapat terjadi melalui udara, kontak langsung dengan penderita, dan melalui orang yang bepergian dari atau ke negara yang terjangkit. Masa inkubasi penyakit SARS ialah antara 2-8 hari [3]. Pada bulan Desember 2004, laporan menyebutkan bahwa para peneliti Tiongkok telah menemukan sebuah vaksin SARS yang telah diujicoba pada 36 sukarelawan dan 24 diantaranya menghasilkan antibodi virus SARS [4]. MT 11
ISBN. 978-602-73403-1-2 Saat ini, belum begitu banyak penelitian yang dilakukan terkait pola penyebaran dari infeksi penyakit SARS. Pada tahun 2014, Fajar Adi Kusumo dan Sena Ibrahim dari Universitas Gadjah Mada melakukan penelitian skripsi dengan judul Model Matematika Penyebaran dan Pengendalian wabah Penyakit SARS tanpa memperhatikan faktor host atau kondisi sistem imun lemah yang diakibatkan oleh infeksi dari SARS. Dalam artikel ini, akan dibahas mengenai model matematika dan analisis kestabilan dari penyebaran penyakit SARS dengan memperhatikan faktor host. B. Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penulisan artikel ini adalah: 1. Bagaimana model matematika dari penyebaran infeksi penyakit SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) dengan faktor host dan vaksinasi? 2. Bagaimana analisis kestabilan model matematika dari penyebaran infeksi penyakit SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) dengan faktor host dan vaksinasi? C. Tujuan Tujuan dalam penulisan artikel ini adalah: 1. Mengetahui model matematika dari penyebaran infeksi penyakit SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) dengan faktor host dan vaksinasi. 2. Mengetahui analisis kestabilan model matematika dari penyebaran infeksi penyakit SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) dengan faktor host dan vaksinasi. D. Manfaat Manfaat dalam penulisan artikel ini adalah: 1. Menambah wawasan pengetahuan tentang model matematika untuk epidemiologi penyebaran infeksi penyakit SARS. 2. Memberikan informasi terkait laju vaksinasi SARS minimum. 3. Memberikan informasi terkait pola penyebaran dari Toxoplasma gondii agar lebih dapat diprediksi dengan menggunakan model ini. II. FORMULASI MODEL Berdasarkan keterangan dari asumsi yang ada, dibuat diagram alir model matematika penyakit SARS dengan faktor host dan vaksinasi SARS sebagai berikut: Dari gambar 1, diperoleh Model Matematika SARS sebagai berikut: (1) (2) (3) (4) Dengan = Populasi total saat = Banyaknya individu yang memiliki imunitas lemah dalam populasi saat MT 12
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 = Banyaknya individu yang rentan dalam populasi saat = Banyaknya individu yang terinfeksi dalam populasi saat = Banyaknya individu yang sembuh dari infeksi dengan vaksinasi SARS dalam populasi saat = Laju kelahiran = Laju kematian alami = Laju hilangnya kekebalan imun = Laju kontak penularan infeksi penyakit = Laju kesembuhan dengan kontrol vaksinasi = Laju pemberian vaksinasi SARS Notasi,,,, adalah konstanta-konstanta yang bernilai positif,,,,, 0 dan = + + +. III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Basic Reproduction Number, Vaksinasi SARS Minimum Digunakan next generation matriks [5] untuk mengetahui nilai dari sistem (1), (2), (3) dan (4) maka diperoleh:. (5) Berdasarkan nilai adalah sebagai berikut: pada persamaan (5), diperoleh basic reproduction number dengan Vaksin SARS (6) Selanjutnya berdasarkan nilai pada persamaan (5) dapat diperoleh nilai batas minimum pemberian vaksin SARS agar penyebaran penyakit SARS dapat dicegah dan dikendalikan adalah sebagai berikut: (7) B. Titik Ekuilibrium 1. Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Pada kondisi bebas penyakit, tidak ada individu yang terinfeksi sehingga ekuilibrium bebas penyakit adalah :, maka diperoleh titik 2. Titik Ekuilibrium Endemik Pada kondisi endemik, terdapat individu yang terinfeksi maka endemik penyakit adalah:, maka diperoleh titik ekuilibrium MT 13
ISBN. 978-602-73403-1-2 C. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ) Matriks Jacobi dari titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut Nilai eigen-nilai eigen dari matriks dapat dicari dengan menyelesaikan, yaitu (8) Sehingga akar-akar persamaan (8) adalah sebagai berikut : yang merupakan nilai eigen-nilai eigen dari matriks Jacobi diekspresikan dengan : Selanjutnya nilai untuk Lemma 1. a. Jika maka titik ekuilibrium dari sistem (1), (2), (3) dan (4) stabil asimtotis. b. Jika maka titik ekuilibrium dari sistem (1), (2), (3) dan (4) tidak stabil. Bukti Karena nilai dari maka nilai-nilai dari dan jika nilai maka bernilai negative sedangkan jika maka nilai berniai positif. D. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik Matriks Jacobi dari titik ekuilibrium endemik adalah sebagai berikut MT 14
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Nilai eigen-nilai eigen dari matriks dapat dicari dengan menyelesaikan, yaitu (9) Sehingga akar-akar persamaan (9) adalah: Yang merupakan nilai eigen-nilai eigen dari matriks Jacobi. Selanjutnya dan diekspresikan sebagai berikut: Lemma 2. a. Jika maka titik ekuilibrium dari sistem (1), (2), (3) dan (4) stabil asimtotis. b. Jika maka titik ekuilibrium dari sistem (1), (2), (3) dan (4) tidak stabil. Bukti Karena nilai dari maka nilai-nilai dari dan untuk 1. sehingga nilai eigen dari dan bernilai negatif atau berupa bilangan kompleks dengan bagian realnya negatif. 2. Sehingga nilai eigen dari bernilai positif dan nilai eigen dari bernilai negatif. IV. SIMPULAN DAN SARAN Terlihat bahwa salah satu faktor pengendali penyakit SARS adalah dengan memberikan vaksinasi bagi penderitanya. Hal ini terlihat pada basic reproduction number. Dalam model matematika untuk kasus penyebaran penyakit SARS diperoleh hasil, bahwa matematika dapat digunakan untuk memprediksi terjadinya wabah akibat SARS dan menentukan variabel-variabel yang dapat dikontrol untuk mengantisipasi penyebaran penyakit ini. Dalam penulisan artikel ini, penulis berfokus pada pembentukan model dan analisis kestabila model tanpa gambaran geometris yang dapat diperoleh dari simulasi numerik. Saran dari pengembangan artikel ini adalah melakukan simulasi numerik dan dapat mengembangkan model dengan memperhatikan berbagai macam faktor seperti faktor migrasi dan masa inkubasi penyakit. MT 15
ISBN. 978-602-73403-1-2 DAFTAR PUSTAKA [1] News Medical. 2009. SARS. Diakses dari http://www.news-medical.net/health/severe-acute-respiratory-syndrome- (Indonesian).aspx pada tanggal 2 Agustus 2016 [2] World Health Organization. 2003. WHO issues global alert about cases of atypical pneumonia: cases of severity respiratory ilness may spread to hospital staff. Geneva: Diakses dari http://www.who.int/mediacentre/release/2003/pr22/en/print.html pada tanggal 2 Agustus 2016. [3] Yatim, faisal MPH. 2007. Macam-Macam Penyakit Menular dan Cara Pencegahannya Jilid 2. Jakarta : Pustaka Obor Populer [4] Winny Kartika Wijaya. 2014. Bioscience Online Learning of SARS. Diakses dari http://www.pendidikankarakter.org/biosciencelearning/programs-studentspedia-sars.html pada tanggal 3 Agustus 2016 [5] Brauer and Chavez. 2012. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York: Springer MT 16