ANALISIS SISTEM ANTREAN MODEL MULTI SERVER PADA PERUSAHAAN ASURANSI XYZ DI KOTA TASIKMALAYA TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Disusun Oleh: Ahmad Muhajir NIM. 13305141018 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i
ii
iii
iv
MOTTO Barang siapa mengerjakan kebajikan dan dia beriman, maka usahanya tidak akan diingkari (disia-siakan), dan sungguh, Kami-lah yang mencatat untuknya (QS. Al-Anbiya : 94) Dan Kami perintahkan kepada manusia (berbuat baik) kepada dua orang ibu-bapanya; ibunya telah mengandungnya dalam keadaan lemah bertambah-tambah, dan menyapihnya dalam dua tahun. Bersyukurlah kepadaku dan kepada dua orang ibu bapakmu, hanya kepada-kulah kembalimu (QS. Luqman : 14) Apabila kamu bersyukur nescaya akan Aku tambahkan nikmat-ku, dan apabila kamu kufur maka adzab-ku sangat pedih (QS. Ibrahim : 7) v
PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan untuk Bapak saya Ajat Sudrajat, Ibu saya Neni Nuryani, Kakak saya Ai Jajilah, Fahmi Ansori, Yeyen Jaelani, Adik saya Ridho Nurdin dan Keponakan saya Fatih Al-Farizqi Jaelani. Terima kasih selalu mendoakan saya, serta memberi dukungan dan motivasi. Terima kasih kepada Habiby, Septina, Dwi, Andira dan Sisca, teman suka-duka yang telah memberikan semangat, kehangatan dan kebahagiaan disaat-saat tersulit. Terima kasih juga kepada kawan-kawan Mat-B 2013 atas kebersamaan dan perjuangan kurang lebih selama 3,5 tahun, serta semua pihak yang telah membimbing dan membantu selama proses penulisan skripsi ini. Terima kasih semuanya dan tak lupa selalu bersyukur kepada Allah SWT. vi
ANALISIS SISTEM ANTREAN MODEL MULTI SERVER PADA PERUSAHAAN ASURANSI XYZ DI KOTA TASIKMALAYA Oleh Ahmad Muhajir NIM. 13305141018 ABSTRAK Teori antrean yaitu teori yang membahas mengenai proses mengantre dari customer datang, mengantre untuk dilayani hingga dilayani dan meninggalkan fasilitas pelayanan. Antrean terjadi karena adanya ketidaksesuaian antara jumlah customer yang akan dilayani dengan jumlah pelayanan yang tersedia. Tujuan penulisan tugas akhir skripsi ini yaitu menentukan model antrean, mencari ukuran keefektifan dan optimasi biaya antrean pada Perusahaan Asuransi XYZ di Kota Tasikmalaya Pada penelitian tugas akhir skripsi ini, data yang digunakan yaitu data hari sibuk pada hari Selasa 19 Januari 2016 sampai hari Kamis 21 Januari 2016 pukul 07.50 sampai 12.19. Data kedatangan yang diperoleh kemudian dikelompokkan per 15 menit dan waktu pelayanan dikelompokkan berdasarkan interval lamanya waktu pelayanan. Selanjutnya dilakukan uji kecukupan data, uji distribusi Poisson untuk laju kedatangan, uji distribusi Eksponensial untuk waktu pelayanan, pemeriksaan steady state, serta menentukan model antrean, menghitung ukuran keefektifan dan optimasi biaya antrean. Berdasarkan hasil analisis, data selama tiga hari sudah cukup untuk mewakili keseluruhan populasi. Model antrean pada perusahaan tersebut dapat dinyatakan dengan model (M/M/4):(GD/ / ), dimana laju kedatangan berdistribusi Poisson, dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Ukuran keefektifan sistem antrean pada perusahaan tersebut memiliki rata-rata peluang customer service menganggur yaitu 2,39% dari waktu kerjanya, rata-rata banyaknya nasabah dalam antrean yaitu 3 nasabah, rata-rata banyaknya nasabah dalam sistem yaitu 6 nasabah, rata-rata waktu nasabah dalam antrean yaitu 15,9979 menit, rata-rata waktu nasabah dalam sistem yaitu 34,4141 menit dan rata-rata banyaknya customer service yang sibuk yaitu 3 customer service.. Jumlah customer service yang optimal yaitu pada saat mengoperasikan 5 server karena membutuhkan biaya total per menitnya yang paling kecil yaitu Rp 4.323. Kata kunci: teori antrean, steady state, (M/M/4):(GD/ / ), biaya antrean. vii
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-nya, Tugas Akhir Skripsi dalam rangka untuk memenuhi sebagian persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains dengan judul Analisis Sistem Antrean Model Multi Server pada Perusahaan Asuransi XYZ di Kota Tasikmalaya dapat disusun sesuai dengan harapan. Tugas akhir Skripsi ini dapat diselesaikan tidak lepas dari bantuan dan kerjasama dengan pihak lain. Berkenaan dengan hal tersebut, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada yang terhormat: 1. Dr. Hartono, M.Si, sebagai Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan penulis dalam menyelesaikan studi. 2. Dr. Slamet Suyanto, sebagai Wakil Dekan I FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dalam pengurusan administrasi selama penulisan Tugas Akhir Skripsi. 3. Dr. Ali Mahmudi, M.Pd, sebagai Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dalam pengurusan administrasi selama penulisan Tugas Akhir Skripsi. 4. Dr. Agus Maman Abadi, sebagai Penasehat Akademik sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan informasi dan pengarahan dalam penyusunan Tugas Akhir Skripsi. 5. Nikenasih Binatari, M.Si, sebagai Dosen Pembimbing yang telah memberikan pengarahan, nasehat dan motivasi dalam menyusun Tugas Akhir Skripsi. viii
ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PERSETUJUAN... ii SURAT PERNYATAAN... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv MOTTO... v PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR...viii DAFTAR ISI... x DAFTAR SIMBOL...xiii DAFTAR TABEL... xv DAFTAR GAMBAR...xvii DAFTAR LAMPIRAN...xviii BAB I PENDAHULUAN...1 A. Latar Belakang...1 B. Identifikasi Masalah...4 C. Perumusan Masalah...5 D. Tujuan..5 E. Manfaat 6 BAB II KAJIAN TEORI...7 A. Teori Probabilitas...7 1. Variabel Acak...9 x
2. Distribusi Poisson...13 3. Distribusi Eksponensial...14 B. Teori Antrean...15 1. Konsep Dasar Teori Antrean...16 2. Struktur Dasar Model Antrean...17 3. Faktor Sistem Antrean...20 4. Notasi Kendall Lee...24 5. Tingkat Kedatangan...26 6. Tingkat Pelayanan...29 C. Model Model Antrean...30 1. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth and Death)...30 2. Model Kelahiran Murni...34 3. Model Kematian Murni...36 4. Solusi Steady State...39 5. Model Antrean (M/M/c):(GD/ / )...42 6. Model Antrean (M/G/c):(GD/ / )...47 7. Model Antrean (G/G/c):(GD/ /...49 8. Optimasi Biaya Antrean...50 D. Uji Distribusi Kolmogorov-Smirnov...52 E. Uji Kecukupan Data...54 BAB III ANALISIS DAN PEMBAHASAN...55 A. Analisis Sistem Antrean...55 1. Uji Kecukupan Data...57 xi
2. Uji Distribusi data...58 B. Pembahasan...79 1. Menentukan Model Antrean...80 2. Menentukan Ukuran Keefektifan...80 3. Analisis Biaya Antrean...92 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN...97 A. Kesimpulan...97 B. Saran..98 DAFTAR PUSTAKA...99 LAMPIRAN...102 xii
DAFTAR SIMBOL = Laju kedatangan customer = Laju kedatangan efektif pada sistem = Laju kedatangan saat n customer dalam sistem = Laju pelayanan customer = Laju pelayanan saat n customer dalam sistem = Banyaknya customer dalam sistem = Fungsi densitas probabilitas pada interval waktu t = Probabilitas terjadi n kejadian saat waktu t = Elemen penambah waktu = Banyaknya kejadian yang dapat diabaikan saat = Jumlah nasabah yang datang = Banyaknya interval waktu = Banyaknya customer yang datang pada interval = Banyaknya server = Tingkat kegunaan atau kesibukan sistem α = Taraf signifikansi atau error = Probabilitas server menganggur atau tidak ada pelanggan = Rata-rata banyaknya customer dalam antrean = Rata-rata banyaknya customer dalam sistem = Rata-rata waktu menunggu dalam antrean = Rata-rata waktu menunggu dalam sistem = Keadaan dimana ada n kejadian calling unit pada sistem antrean xiii
= Pengamatan ke-i s = Tingkat error data N = Total observasi yang seharusnya dilakukan = Nilai wilayah kurva normal dengan tingkat signifikansi sebesar α ETC EOC = Total biaya per satuan waktu = Biaya pelayanan per satuan waktu EWC = Biaya menunggu per satuan waktu = Biaya pelayanan per server dalam satuan waktu = Biaya menunggu per satuan waktu xiv
DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Probabilitas kejadian mutually exluxive...32 Tabel 3.1 Kedatangan Nasabah pada Hari Selasa...59 Tabel 3.2 Hasil perhitungan fungsi probabilitas Poisson hari Selasa...60 Tabel 3.3 Hasil perhitungan fungsi probabilitas data observasi hari Selasa...61 Tabel 3.4 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Poisson hari Selasa...62 Tabel 3.5 Waktu Pelayanan Nasabah pada Hari Selasa...63 Tabel 3.6 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Eksponensial hari Selasa...64 Tabel 3.7 Kedatangan Nasabah pada Hari Rabu...66 Tabel 3.8 Hasil perhitungan fungsi probabilitas Poisson hari Rabu...67 Tabel 3.9 Hasil perhitungan fungsi probabilitas data observasi hari Rabu...68 Tabel 3.10 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Poisson hari Rabu...68 Tabel 3.11 Waktu Pelayanan Nasabah pada Hari Rabu...70 Tabel 3.12 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Eksponensial hari Rabu...71 Tabel 3.13 Kedatangan Nasabah pada Hari Kamis...73 Tabel 3.14 Hasil perhitungan fungsi probabilitas Poisson hari Kamis...74 Tabel 3.15 Hasil perhitungan fungsi probabilitas data observasi hari Kamis...75 Tabel 3.16 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Poisson hari Kamis...75 Tabel 3.17 Waktu Pelayanan Nasabah pada Hari Kamis...77 Tabel 3.18 Uji Kolmogorov-Smirnov distribusi Eksponensial hari Kamis...78 Tabel 3.19 Rata-rata Laju Kedatangan dan Pelayanan...92 Tabel 3.20 Biaya Pelayanan Penambahan Satu Server...94 xv
Tabel 3.21 Banyaknya Nasabah dalam Sistem dengan Jumlah Server yang berbeda...95 Tabel 3.22 Biaya Total Penambahan Server...96 xvi
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Struktur antrean...17 Gambar 2.2 Model single channel single phase...18 Gambar 2.3 Model multiple channel single phase...19 Gambar 2.4 Model single channel multiple phase...19 Gambar 2.5 Model multiple channel multiple phase...20 Gambar 2.6 Distribusi kedatangan customer dan interval waktu tetap...27 Gambar 2.7 Diagram tingkat perpindahan untuk model M/M/c...43 Gambar 3.1 Sistem Antrean Perusahaan Asuransi XYZ...57 xvii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Data Primer Hasil Penelitian Sebelumnya...103 Lampiran 2. Data Primer Ditambahkan Asumsi...107 Lampiran 3. Data Kedatangan Nasabah dikelompokkan per 15 menit...111 Lampiran 4. Program untuk Menghitung Ukuran Keefektifan Sistem Antrean Model M/M/c Menggunakan Software MATLAB...112 Lampiran 5. Hasil Output Ukuran Keefektifan menggunakan Software MATLAB pada Hari Selasa, 19 Januari 2016...112 Lampiran 6. Hasil Output Ukuran Keefektifan menggunakan Software MATLAB pada Hari Rabu, 20 Januari 2016...115 Lampiran 7. Hasil Output Ukuran Keefektifan menggunakan Software MATLAB pada Hari Kamis, 21 Januari 2016...117 Lampiran 8. Hasil Output Ukuran Keefektifan Rata-rata dengan 4 server Menggunakan Software MATLAB...119 Lampiran 9. Hasil Output Ukuran Keefektifan Rata-rata dengan 5 server Menggunakan Software MATLAB...121 Lampiran 10. Hasil Output Ukuran Keefektifan Rata-rata dengan 6 server Menggunakan Software MATLAB...123 Lampiran 11. Tabel Kolmogorov-Smirnov...125 Lampiran 12. Tabel Kurva Normal...126 xviii