EKSPLORASI BENTUK AKAR

EKSPLORASI BENTUK AKAR Bilangan dalam bentuk akar juga sering menjadi bagian penting dalam soal-soal kompetisi matematika Beberapa pengetahuan dasar tentang bentuk akar :. Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif. a b ab, salah satu akibatnya adalah a a. Merasionalkan bentuk akar a. b. c. a a a+ b a+ b a a b a b a b a b. a ± b a + b ± ab Contoh satu penerapanya adalah 8 5 5 5. Dengan menggunakan rumus pengkuadratan bentuk aljabar, maka a ± ab + b a + b Contohnya : + 7 + 7 + 7 + 7 6. Dengan persamaan bentuk aljabar + (n )n(n + )(n + ) (n(n + ) ), maka n n n + n + n n + Contohnya : 98 99 00 0 + 9900 9899 Contoh Soal Soal [OSN 00] Nilai dari 5050 950. a. 0 c..000 b. 00 d. 0.000 Jawaban : c dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, a b (a + b)(a b) maka bentuk 5050 950 (5050 + 950)( 5050 950) (0000)(00) Sehingga 5050 950 0000 00 000 Soal... + + Jawaban + + - + + Muhammad Yusuf Halaman

Soal Hasil dari : 90 + + 6 adalah. a. 08 c. 6 b. d. 8 Jawaban : b 90 + + 6 90 + + 90 + 6 90 + 6 Soal Selesaikan soal berikut Jawaban 6 + 6 +? Soal 5 6+ 6 + 6+ 6 + 6 + + 6+ + 6+ 6+ 6+ + + + + Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n n 9 juga merupakan bilangan bulat UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) March 0 (Sheet 6) Jawaban Misalkan p n n 9, maka p n - n 9 yang disederhanakan menjadi n p 6 n 9 Karena 6 merupakan bilangan kuadarat, maka n 9 juga harus merupakan bilangan kuadrat. Misalkan n 9 m n p 6 n 9 m + 9 p 6m m + 9 p m m m + 9 p (m ) + 5 p p (m ) 5 (p + m )(p m + ) 5 Dengan menggunakan faktor-faktor positif dari 5 yaitu (,5), (5,), (,5) dan (5,) Maka kita dapat pasangan nilai (p,m) adalah (8,9), (8,-5), (,) dan (,) Karena m adalah nilai dari n 9, maka m harus positif, sehingga pasangan (p,m) yang memenuhi tinggal (8,9), (,) dan (,) Dengan memasukan nilai m ke persamaan m n 9 Muhammad Yusuf Halaman

Maka kita peroleh Untuk m 9 n 00 Untuk m n 7 Untuk m n 0 Soal 6 Berapakah jumlah dari bentuk berikut + + + + + 00 99 + 99 00 International Contest-Game MATH KANGAROO Canada, 007 Jawaban Setiap pecahan dari penjumlahan tersebut berbentuk 00 Bentuk tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut : n n n n n n + n n n n + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n+ n n n n n n + n n n Dengan semikian, bentuk soal tersebut dapat diubah menjadi + + + + 99 00 00 9 0, dengan n,,...,. Jika a > 0, maka 8 A. a B. a 9 a a a a SOAL-SOAL KOMPETISI MATEMATIKA dapat disederhanakan menjadi C. a D. 8 E. Tidak ada yang benar a 009 - Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest. Tentukan pangkat dari + + (A) + 8 6 (B) + 6 (C) (D) 6 + 8 (E) Tidak ada pilihan yang benar 009 - Appalachian State University Comprehensive High School Math Contest Muhammad Yusuf Halaman

. Jika 00 x 9, maka x... (A) 9 (B) 9 (C) 9 (D) 97 (E) 9 Cayley Contest 0. Jika 5 + x 6, berapakah nilai x? Euclid Contest 0 5. Jika N 5++ 5, maka N? a) (b) (c) (d) (e) Tidak ada pilihan yang benar 0 Math Contest Level - Coastal Carolina University 6. Untuk berapa banyak nilai k yang berbeda sehingga k dan k + 6 keduanya merupakan bilangan bulat? (a) 0 (b) (c) (d) (e) none of these 0 Math Contest Level - Coastal Carolina University 7. Diketahui x 7 + 7. Tentukan nilai dari x x 0. (a) 808 (b) 0 (c) 006 (d) 50 (e) 8 606 MATH TOURNAMENT 0 PROBLEMS Columbus State 8. Tentukan bilangan bulat x yang memenuhi + 6 5 6 5 x MATH TOURNAMENT 0 CIPHERING Columbus State 9. Hitunghlah + + + 0 0. 5 + A) 65 + 5 B) C). Hasil dari 0, 00 kali ke-00 setelah tanda koma? A) B) C) D) E) 6 Georgia Tech High School Math Competition-Ciphering Test... 6 + D) E) Indiana State Mathematics Contest-Comprehensive 0 ditulis dalam bentuk bilangan desimal. Berapakah angka yang International Kangaroo Mathematics Contest 00 Student Level: Class ( & ) 8. Manakah yang senilai dengan A) B) + C) - D) E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest Sample for 0 Muhammad Yusuf Halaman

. Manakah yang senilai dengan + + + + + + + + 5 A) B) C) 9 D) 6 E) Tidak ada yang benar KSEA Math Contest Sample for 0. Berapakah 7 + 7? (A) 7 (B) - (C) 7 (D) (E) 0 Lakehead University Math Contest Senior Individual 5. Tentukan bilangan bulat u dan v yang memenuhi persamaan berikut 6. Manakah yang senilai dengan 6 + 6 + 6 + (A) 5 (B) 5 7. Sederhanakanlah : (C) 8 5 (D) 5 8 65 u v? 6 5 00 6 (E) 5 0 LSU Math Contest Open Session FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 0-0 5 5 + (A) - (B) - (C) (D) (E) 5 FORTY-EIGHTH ANNUAL OLYMPIAD HIGH SCHOOL PRIZE COMPETITION IN MATHEMATICS 00-0 8. Jika 6 + x 00, maka x A. B. C. 8 D. 6 E. None of these. 0 Marywood Mathematics Contest 9. 6 6 6 6 A. B. C. 8 D. 6 E. None of these. 0 Marywood Mathematics Contest 0. Diketahui bahwa x adalah bilangan bulat. Jika x + 0 x 0 juga merupakan bilangan bulat, tentukan x Mathworks at Texas State University Mathworks Math Contest For Middle School Students 0 Muhammad Yusuf Halaman 5

. Hitunglah 7 89 + + 69 Nassau County Interscholastic Mathematics League Contest # : 0 0. Berapakah hasil dari 8 6? (A) 9 6 (B) (C) 6 (D) 5 (E) 50 NB Math Contest - Grade 8. Tentukan nilai dari 7 8 + 5 + 8 0 NC State Mathematical Contest. Diketahui 5 A + B + C Tentukan nilai dari A B + C D. + D untuk semua bilangan bulat A, B, C, D. 0 OHMIO PRESSURE ROUND 5. Nyatakan dalam bentuk akar tunggal yang paling sederhana 8 0 OHMIO PRESSURE ROUND 6. Berapakah nilai dari 9 REMT 0 7. Sederhanakanlah : x x x 9 REMT 0 8. 7 8 0 Rocket City Math League 0-0 : Senior Division Inter-School Test 9. Sederhanakanlah + 5 5 + 5 + 5 (a) 0 (b) (c) 8 (d) 9 (e) None of the above Saginaw Valley State University009 Math Olympics Level I 0. Rasionalkan penyebutnya : + + 7 (a) /7 (b) + 7 (c) 7 (d) + + (e) None of the above 7 SVSU 007 Math Olympics Level I. 5 + 5 7+ 5 a) + 5... b) 5 5 c) d) 8+ 5 e) 7+5 5 0 SCSU MATH CONTEST : 9 th and 0 th Grade Test Muhammad Yusuf Halaman 6

. Berapakah nilai dari 0 + 6 0 6? (a) (b) (c) 6 (d) 8 6 (e) 8 6 High School Math Contest University of South Carolina January 8, 0. Jika lima bilangan berikut 0 ; 0 ; 6 ; 0 0 ; Disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang berada di tengah adalah... a) 0 b) 0 c) 6 d) 0 0 e) SOUTH AFRICANMATHEMATICS OLYMPIAD 0 SECOND ROUND SENIOR SECTION: GRADES 0, AND. Diberikan a 8 dan b + 8. Maka a + b... (a) 6 (b) (c) (d) (e) 8 0ProServe Tennessee Math ContestFERMAT I 5. Tentukan nilai dari x + + + + AB EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, 0 6. Berapakah bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana yang senilai dengan 9 + 5 + 9 5 7. Tentukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari BC EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, 0 8. Sederhanakanlah bentuk akar berikut 0 + + + + BEST EXAM TEXAS A&M HIGH SCHOOL MATH CONTEST NOVEMBER, 0 9+ 6+ Muhammad Yusuf Halaman 7

9. Berapakah nilai dari 9 9 + 9 + 9 a. 9 b. 8 c. d. 8 e. 0. Misalkan p + dan r serta x p + r, maka x... a. p b. p c. d. r e. r. Hitunglah hasil penjumlahan bentuk berikut : a. b. c. 5 d. 50 50 50 50 e. 50 50 + 50 + 50 + 507 + 507 + 50 + + 00 + 00. Hitunglah 5 6 +. (A) 089 (B) 09 (C) 90 (D) 9 (E) None of the above 008 Written test - UGA Math Contest. Problem 5. Express in terms of the fewest number of square roots possible: 7 + + 7 008 Ciphering test - UGA Math Contest. Berapakah nilai dari 8 + 7 8 7 0 SENIOR KANGAROO MATHEMATICAL CHALLENGE 5. Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari dan a a a b. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari a + b. UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) October 00 (Sheet ) 6. Nyatakanlah bentuk bulat. 0 + 0 dalam bentuk a b dengan a dan b bilangan UKMT MENTORING SCHEME (Intermediate Level) December 0 (Sheet ) Muhammad Yusuf Halaman 8