BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang Dalam perkembangan dunia matematika saat ini, teori graf telah menjadi salah satu bidang ilmu dalam matematika yang paling banyak diminati, dan paling banyak mengalami perkembangan. Para ahli matematika di seluruh dunia saat ini masih terus membahas dan mencari solusi terhadap permasalahan-permasalahan yang ada dalam teori graf saat ini. Teori graf sendiri sangatlah luas dan memiliki aplikasi yang nyata dalam kehidupan sehari-hari, mencakup flow atau aliran yang dapat digunakan dalam hukum elektrodinamika fisika, dan juga untuk menentukan daya tampung suatu aliran sungai terhadap curah hujan tertentu. Aplikasi graf yang paling banyak digunakan adalah dalam hal penjadwalan, seperti penjadwalan kereta api dan penjadwalan perkuliahan. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Ketika itu dia memikirkan, apakah mungkin untuk melewati semua jembatan di kota Kaliningrad di Rusia hanya sekali. Sejak itu, topik mengenai graf mulai dipelajari secara mendalam oleh matematikawan, seperti Thomas Pennyngton Kirkman dan William Rowan Hamilton. Dalam permasalahan Euler semula, titik merupakan model tempat di dalam kota yang dihubungkan oleh jembatan yang dimodelkan oleh sisi dari graf. 1
Salah satu teori yang terkenal dalam teori graf adalah four color conjecture yang dikemukakan oleh Francis Guthrie, murid Augustus DeMorgan sekitar 1850. Permasalahan yang diajukan adalah mewarnai peta dunia sehingga tidak ada dua negara yang berbatasan langsung yang memiliki warna yang sama. Menurut Francis Guthrie, tiap negara direpresentasikan sebagai titik, sedangkan negara yang berbatasan langsung digambarkan sebagai dua buah titik yang bertetangga, inilah yang kemudian dikenal sebagai pelabelan graf. Pelabelan adalah pemetaan dari titik dan atau sisi pada suatu bilangan. Contoh aplikasi dari pelabelan graf adalah dalam penyusunan pertandingan, di mana tiap peserta direpresentasikan sebagai titik, dan dua peserta yang akan bertanding dihubungkan oleh sebuah sisi. Dalam hal ini pelabelan berfungsi sebagai label masing-masing peserta. Dengan demikian dapat dibuat sebuah susunan pertandingan dengan peserta yang memiliki kemampuan seimbang (tidak berat sebelah). Beberapa aplikasi lain dari pelabelan graf seperti navigasi geografis, pendeteksian benda bergerak pada kamera digital, teori koding, radar, dan desain sirkuit. Hingga kini, para ahli matematika khususnya bidang graf masih mencari berbagai bentuk pelabelan yang unik baik untuk kelas-kelas graf tertentu maupun untuk graf secara umum. Salah satunya adalah pelabelan magic yang pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek pada 1963. Ide dari pelabelan ini adalah magic-square pada teori bilangan. Magic square adalah sebuah matriks di mana setiap angka dalam kolom maupun baris memiliki jumlah 2
yang sama. Saat ini, magic-square berkembang pesat, seiring dengan populernya permainan ala Jepang yang disebut sudoku. Permainan sudoku ini dikenal hampir di seluruh dunia, dan banyak orang mencari suatu solusi dan metode yang paling efisien dalam menentukan nilai-nilai magic-square ini. Pelabelan magic yang diperkenalkan oleh Sedlacek adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap sisi dalam graf ke sebuah bilangan bulat positif. Perkembangan definisi dan pembuktian pelabelan magic ini pun terus berkembang hingga saat ini. Pada tahun 1966, A. Kotzig dan A. Rosa mendefinisikan pelabelan magic sebagai berikut. Sebuah graf sederhana G = (V, E) dikatakan magic bila terdapat pemetaan satusatu dan pada f : V E [1, V E ] dan sebuah konstanta k sedemikian sehingga f(x) + f(y) + f(xy) = k untuk setiap sisi xy E, yang juga dikenal juga sebagai magic valuations. Pelabelan yang diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa ini biasa disebut sebagai edge-magic total labeling atau pelabelan total sisi ajaib. Pelabelan ini merupakan pengembangan dari pelabelan yang diperkenalkan oleh Sedlacek. Dalam pelabelan magic Sedlacek, hanya sisi yang dipetakan ke bilangan asli, namun pelabelan total sisi ajaib ini memetakan setiap titik dan sisi pada graf ke bilangan asli. Pada 2006, Anna S. Llado dan Muntaner-Batle mengeluarkan sebuah conjecture yang menyatakan bahwa setiap tree atau graf pohon adalah subgraf dari magic tree atau graf pohon yang magic. Pelabelan magic adalah suatu pelabelan unik dalam graf karena memiliki suatu aturan yang tampaknya tidaklah rumit, namun ternyata menghasilkan banyak cara untuk melakukan pelabelan. Pelabelan graf magic menggunakan suatu aturan yang sangat 3
sederhana namun menarik, yaitu menghubungkan penjumlahan dengan melibatkan dua elemen vital dalam graf yaitu titik dan sisi. Pelabelan magic sendiri dapat digolongkan menjadi dua kelas utama, yaitu pelabelan edge-magic yaitu pelabelan yang menghasilkan jumlah setiap sisi dengan kedua titik ujungnya selalu sama untuk setiap sisi dalam graf tersebut. Sedangkan pelabelan vertex-magic adalah pelabelan yang menghasilkan jumlah setiap titik dengan setiap sisi yang terkait dengan titik tersebut yang selalu sama untuk setiap titik dalam graf tersebut. Nilai konstanta jumlah dalam pelabelan magic ini kita sebut sebagai magic number. Jenis pelabelan graf magic lain yang merupakan perluasan dari pelabelan magic, yaitu pseudo-magic labelings atau pelabelan semu. Jika dalam pelabelan magic, semua label yang digunakan terurut mulai dari 1 hingga jumlah sisi dan titik, sehingga tidak semua graf dapat dilabeli menurut aturan pelabelan magic ini, melainkan hanya terbatas pada kelas-kelas graf tertentu yang telah dibuktikan oleh para ahli. Namun pada pelabelan pseudo, label yang digunakan tidak harus berurutan, selama penggunaan label tidak ada yang berulang dan penjumlahan label-label tersebut memenuhi aturan pelabelan magic. Dalam pelabelan pseudo-magic, karena label yang digunakan tidak harus berurutan, maka semua graf akan memiliki pelabelan pseudo-magic, namun pelabelan untuk setiap graf tidaklah tunggal. Karena terdapat banyak pelabelan pseudo-magic yang mungkin, maka dalam pelabelan pseudo-magic kendala yang dihadapi adalah mencari suatu nilai magic number yang seminimal mungkin, sehingga bila memungkinkan menjadi suatu pelabelan magic. 4
Dalam tugas akhir ini, pembahasan yang akan dikaji bersumber dari paper berjudul On Pseudo Vertex-Magic and Edge-Magic Total-Labellings yang dikerjakan oleh David R. Wood dari University of Sidney pada tahin 2006. Paper ini menjelaskan mengenai jenisjenis pelabelan magic yaitu pseudo edge-magic, dan pseudo vertex-magic pada sebarang graf. Pembahasan akan difokuskan pada algoritma yang digunakan dalam melakukan proses pelabelan, disertai dengan beberapa contoh yang telah dilabeli, dan dilanjutkan dengan argumen-argumen yang mendukung bahwa metode dan langkah-langkah yang digunakan akan dapat menghasilkan pelabelan pseudo-magic. Sebagai hasil orisinalitas dari tugas akhir saya ini, maka saya membuat sebuah perangkat lunak dengan menggunakan Macromedia Flash Profesional 8.0 menggunakan algoritma yang diberikan dalam paper ini. I.2 Rumusan Masalah Sesuai dengan apa yang telah dibahas pada bagian latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah: - Mengkaji suatu metode pelabelan untuk melabeli sebarang graf menurut aturan kedua kelas pelabelan pseudo-magic untuk mencari suatu label dengan nilai magic number yang paling minimal. - Kemudian dengan menggunakan algoritma yang diberikan dalam paper ini untuk melakukan pelabelan untuk mengaplikasikannya dalam perangkat lunak komputer. 5
I.3 Batasan Masalah Karena graf terbagi menjadi berbagai kelas dengan karakteristiknya masing-masing, maka untuk pembahasan tugas akhir ini, penulis membatasi pada graf-graf sederhana, yaitu graf yang tidak memuat loop dan multiple edges serta graf yang terhubung. Dan implementasinya dalam algoritma untuk perangkat lunak computer dibatasi untuk graf sederhana dengan jumlah titik kurang dari atau sama dengan sembilan. I.4 Tujuan Tujuan umum dari tugas akhir ini adalah untuk memperkenalkan dan mengkaji aturan pelabelan pseudo-magic, dengan membatasi masalah pada pelabelan pseudo magic yang dapat diaplikasikan secara umum untuk setiap graf sederhana. Sedangkan tujuan khususnya adalah untuk membuat dan mengimplementasikan sebuah algoritma untuk melakukan pelabelan pseudo magic ke dalam perangkat lunak komputer untuk keperluan lebih lanjut. I.5 Sistematika Pembahasan berikut : Sistematika pembahasan tugas akhir ini secara umum dapat dijabarkan sebagai 6
Bab I, terdiri dari uraian mengenai latar belakang pelabelan, sejarah pelabelan magic, permasalahan pelabelan magic, metode pembahasan, tujuan, dan urutan pembahasan secara singkat. Bab II, merupakan uraian yang akan menjelaskan mengenai dasar-dasar teori yang akan digunakan dalam melakukan pelabelan magic, konsep dasar mengenai pelabelan magic. Bab III, berupa pembahasan mengenai penerapan anti-magic dan barisan Sidon yang telah dibahas pada bab sebelumnya dalam proses pelabelan pseudo edgemagic lengkap dalam dua tahap untuk sebarang graf, disertai algoritma yang digunakan dalam perangkat lunak. Bab IV, berisi pembahasan mengenai penerapan anti-magic dan barisan Sidon dalam proses pelabelan pseudo vertex-magic lengkap dalam empat tahap pelabelan untuk sebarang graf, disertai algoritma yang digunakan dalam perangkat lunak. Bab V, berisi kesimpulan. Bab ini sebagai penutup dari permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini, yaitu mengenai pelabelan pseudo magic dalam graf sebarang dengan menggunakan metode anti-magic. 7