ANALISA KESTABILAN PERSAMAAN GERAK ROKET TIGA DIMENSI TIPE RKX- 200 LAPAN DAN SIMULASINYA MOHAMMAD RIFA I 1208100703 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2012
1.1 Latar Belakang Indonesia sebagai negara yang berkembang Roket kendali 6 derajat kebebasan Longitudinal dan lateraldirectional Persamaan non linear Tidak stabil
1.2 Rumusan Masalah Bagaimana melinearisasi persamaan non linear gerak roket? Bagaimana menentukan kestabilan sistem persamaan gerak roket tipe RKX-200 LAPAN?
1.3 Batasan Masalah Roket dianggap rigid body (benda tegar) Massa roket diasumsikan konstan Sudut serang (angle of attack) dianggap nol Fase yang diamati hanya pada fase sustainer (fase setelah pembakaran propelan atau bahan bakar utama habis pada ketinggian tertentu) Diasumsikan tidak terjadi coupling antara gerak longitudinal dan gerak lateral-directional Simulasi yang digunakan adalah Simulink Matlab 7.10
1.4 Tujuan Untuk melinearisasi persamaan nonlinear gerak roket Untuk menentukan kestabilan persamaan gerak roket tipe RKX-200
1.5 Manfaat Memperdalam dan mengembangkan wawasan disipilin ilmu, terutama sistem persamaan gerak roket Sebagai dasar untuk mendesain sistem kendali yang tepat
Geometri Roket RKX-200 LAPAN Didesain : boosting stage sustaining stage Mempunyai 3 sirip kendali yaitu : elevator, rudder, aileron
Karakteristik RKX-200 LAPAN massa roket (m) 65.26 kg luas sirip 0.04875 m 2 busur aerodinamika rata-rata (c) 0.3249 m momen inersia roll (Ix) 0.012 kg m 2 momen inersia pitch (Iy) 84.43 kg m 2 momen inersia yaw (Iz) 84.43 kg m 2 volume 0.0216 m 3 kecepatan awal jelajah (U0) 0.1 mach
Sistem Sumbu Roket Sistem Sumbu Roket Sumbu badan Sumbu bumi
Sistem Sumbu Roket No. Parameter sistem sumbu badan Sumbu-x Sumbu-y Sumbu-z 1. Kecepatan linear u v w 2. Kecepatan sudut p q r 3. Gaya aerodinamik X Y Z 4. Momen aerodinamik L M N 5. Momen kelembaman Ix Iy Iz 6. Perubahan sudut euler
Model Persamaan Gerak Roket Persamaan gaya Persamaan momen
Persamaan Kecepatan Anguler
Linearisasi Sistem Deret taylor
Karena adalah titik setimbang, maka Dengan memisalkan Maka
Persamaan Ruang Keadaan
Kestabilan Sistem Kestabilan ditentukan melalui nilai karakteristik suatu sistem pada titik setimbangnya dapat dikatakan : Stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai non-positif. Stabil asimtotis, jika bagian real dari nilai eigen bernilai negatif. Tidak stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai positif.
Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen), sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika suku-suku pada kolom pertama memiliki tanda yang sama (positif atau negatif semua)
Obyek Penelitian menganalisa kestabilan sistem persamaan gerak roket tiga dimensi tipe RKX-200 LAPAN serta mensimulasikan dengan matlab.
Langkah Pengerjaan Studi Pendahuluan Linearisasi Model Persamaan gerak roket Membentuk State Space dan Analisa Kestabilan Simulasi Matlab Kesimpulan dan Saran
Linerisasi 4.1 4.2 4.3
Teori Gangguan Kecil (Small Disturbance Theory)
4.4 4.5
4.6
Ketika kondisi rata-rata gangguan sangat kecil, maka dipenuhi asumsi : a. perkalian (product) antar gangguan dapat dianggap nol. b. sinus dari sudut gangguan dapat dianggap sama dengan sudut gangguan, sedangkan cosinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan satu.
4.7 4.8
4.9
Persamaan 4.7-4.8 merupakan persamaan gerak roket yang terdiri dari persamaan pada kondisi trim dan persamaan gangguan Karena pelinearan, maka persamaan pada kondisi setimbang diabaikan
Kasus khusus Kondisi terbang lurus (staight) menyebabkan Kondisi terbang symetric menyebabkan Kondisi terbang dengan sayap mendatar menyebabkan Kondisi terbang setimbang (trimmed) menyebabkan hal ini berakibat juga
persamaan gerak untuk perubahan kecil disekitar nilai kesetimbangannya atau disebut persamaan gangguan dari gaya dan momen. Gangguan dalam analisa gerak roket sangat berpengaruh pada gaya dan momen roket. Gangguangangguan ini secara tidak langsung ditransformasi ke dalam bentuk fungsi gangguan.
Fungsi gangguan
Deret Taylor
Dengan menyamakan antara persamaan gaya dan fungsi gangguan Serta jika mengikuti definisi berikut :
Pembentukan Matriks State Space Persamaan Gerak Longitudinal Dalam analisa kestabilan, ada beberapa parameter yang diabaikan seperti karena tidak berpengaruh terhadap respon gerak roket.
Disamping itu, Dengan menggunakan sumbu kestabilan (keseimbangan) roket, dapat dianggap nol. Sedangkan sama dengan sudut jalur terbang jika sudut serang diasumsikan nol
Untuk sudut lintas terbang longitudunal menjadi : = 0, maka persamaan gerak Dengan subtitusi ke maka menjadi :
State space persamaan longitudinal Dengan :
Matriks output No Output Matriks output 1. 2. 3. 4.
Persamaan Lateral-directional Pada gerak lateral directional, parameter diabaikan karena tidak berpengaruh terhadap respon gerak roket.
Dengan memisalkan Maka persamaan menjadi : Dengan
Dalam analisa kestabilan sideslip angles Sering digunakan sebagai variabel state dari pada sideslip velocity. untuk sudut serang yang sangat kecil maka dipenuhi. Sehingga persamaan menjadi : dengan :
State space gerak lateral-directional
output gerak lateral-directional No output Matriks output 1. 2. p 3. r 4.
Analisa kestabilan Stabil merupakan suatu kondisi sistem yang jika mengalami gangguan dari dalam maupun luar mampu kembali ke kondisi titik kesetimbangan. Dalam hal ini, sebelum analisa kestabilan diperlukan suatu titik tetap kesetimbangan suatu sistem. Titik tetap gerak longitudinal l
Titik Tetap gerak Lateral-directional
Analisa kestabilan Routh Hurwitz Gerak Longitudinal Mencari nilai karakteristik Diperoleh Dengan
Tabel Routh Hurwitz gerak Longitudinal
Sistem Dikatakan Stabil, Bila Kolom Pertama Bernilai Positif. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem persamaan gerak longitudinal dikatakan stabil apabila : 1. 2. 3. 4.
Analisa Kestabilan Routh Hurwitz Gerak lateral-directional Mencari nilai akar karakteristik : Diperoleh Dengan
Tabel Routh-Hurwitz gerak Lateral-directional
Sistem Dikatakan Stabil Bila Kolom Pertama Bernilai Positif. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz sistem persamaan gerak lateral-directional dikatakan stabil apabila : 1. 2. 3. 4.
Uji Kestabilan Dan Simulasi Blok simulink
Gerak longitudinal Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach Matriks state space pada kecepatan 1.0 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach Matriks state space pada kecepatan 1.5 mach diperoleh nilai karakteristik sebagai berikut
laju sudut angguk Sudut Angguk Kecepatan Linear Sumbu-x Kecepatan Linear Sumbu-z Simulasi gerak longitudinal 0-1 -2-3 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 8 6 4 2 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0-4 0-5 0 5 10 15 20 25 30 35 Waktu (detik) -2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Waktu (detik) 0.15 0.1 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0.25 0.2 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0.15 0.05 0.1 0 0.05-0.05 0 5 10 15 20 25 30 Waktu (detik) 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Waktu (detik)
laju sudut angguk sudut angguk Kecepatan Linear Sumbu-x Kecepatan Linear Sumbu-z 10 Respon Sistem 80 Respon Sistem 0-10 60 40 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-20 -30 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 20 0-20 -40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Waktu (detik) -40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Waktu (detik) 5 Respon Sistem 20 Respon Sistem 0 0-5 -10 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-20 -40-60 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Waktu (detik) -80 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Waktu (detik)
Gerak Lateral Directional Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach Matriks state space pada kecepatan 1.0 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach Matriks state space pada kecepatan 1.5 mach
laju sudut yaw sudut roll sideslip angle laju sudut roll Simulasi gerak lateral directional Pengaruh Defleksi Rudder 2 Respon Sistem 12 Respon Sistem 0-2 -4 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 10 8 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0-6 6-8 -10-12 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Waktu (detik) 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Waktu (detik) 50 40 30 20 10 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik) 300 250 200 150 100 50 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik)
laju sudut angguk sudut angguk Kecepatan Linear Sumbu-x Kecepatan Linear Sumbu-z Pengaruh Defleksi Rudder 10 Respon Sistem 80 Respon Sistem 0-10 -20-30 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 60 40 20 0-20 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Waktu (detik) -40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Waktu (detik) 5 Respon Sistem 20 Respon Sistem 0 0-5 -10 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-20 -40-60 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Waktu (detik) -80 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Waktu (detik)
laju sudut yaw sudut roll sideslip angle laju sudut roll Simulasi gerak Lateral-directional Pengaruh Defleksi Aileron 0.01 0.005 0 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0.012 0.01 0.008 0.006 Respon Sistem mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0-0.005 0.004-0.01 0.002 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Waktu (detik) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Waktu (detik) 0.08 Respon Sistem 0.4 Respon Sistem 0.06 0.3 0.04 0.02 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik) 0.2 0.1 0 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik)
laju sudut yaw sudut roll sideslip angle laju sudut roll Pengaruh Defleksi Aileron 0.1 0.05 Respon Sistem 0.012 0.01 Respon Sistem 0-0.05-0.1-0.15-0.2 mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5-0.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Waktu (detik) 0.008 0.006 0.004 0.002 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Waktu (detik) 0.08 Respon Sistem 0.4 Respon Sistem 0.06 0.3 0.04 0.2 0.02 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik) 0.1 0 mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 Waktu (detik)
Kesimpulan 1. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roket yang dianalisa pada tiga kecepatan yaitu, mach 0.5, mach 0.2, mach1.0 diketahui bahwa sistem telah stabil. 2. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roke pada mach 1.1, mach 1.3, mach 1.5 diketahui bahwa sistem tidak stabil, karena terdapat nilai eigen pada bagian realnya bernilai positif. 3. Pada analisa uji kestabilan yang dianalisa melalui berbagai kecepatan terbang roket, diketahui kecepatan diatas mach 1.0 sistem cenderung tidak stabil.
Saran 1. Pada model persamaan gerak roket perlu memasukkan efek pergeseran titik pusat massa (Central of Gravity) roket, karena pada hakikatnya titik pusat massa roket selalu berubah terhadap waktu. 2. Pada tugas akhir ini, kestabilan roket hanya pada fase sustaining saja. Peneliti selanjutnya bisa mengamati kestabilan roket pada fase boosting juga demi bisa menggambarkan secara utuh tentang kestabilan roket. 3. Dalam analisa data parameter terbang, perlu hati-hati dalam membaca output yang dikeluarkan oleh missile DATCOM. 4. Perlu menvariasikan ketinggian serta sudut serang roket agar didapatkan hasil perbandingan yang optimal. 5. Pada penelitian selanjutnya diharapkan melakukan sistem kontrol pada analisa gerak roket.
DAFTAR PUSTAKA [1] Blackelock, J. (1990). Automatic Control of Aircraf and Missiles, USA : Yellow springs. [2] Donald, M.D. (1990). Automatic Flight Control System, New York : Pretince Hall Internasional (UK). [3] Fitria, D. (2010). Desain dan Implementasi Pengontrol PI Optimal Pada Gerak Longitudinal Roket RKX-200 LAPAN, Bandung : Tugas Akhir S1 Departemen Teknik Fisika ITB. [4] Finizio, N. dan Landas, G. (1988). Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California : Wadsworth Publishing Company. [5] Husnul, A.dkk. (2010). Stucture and Mechanic DIV, Bogor : LAPAN [6] Nelson, R. (1998). Flight Stability And Automatic Control, USA : MCGraw- Hill. [7] Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems Theory, Netherlands : Delftse Uitgevers Maatschappij b.v. [8] Siouris, G. (2003). Missile Guidance and Control Systems, New York : Spinger-Verlag. [9]Wahyuni, A dan Humas, P. (2009). Aspek-Aspek Terkait Dalam Merancang Roket Kendali RKX Pada Tahap Awal, Bogor : LAPAN.