Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal kuliah: Selasa; 13.00-13.50; R. Seminar I.2 Kamis; 13.00-14.40; R. Aktuaria B. Silabus: Distribusi frekuensi klaim Distribusi severitas klaim Model kerugian agregat Ukuran risiko Teori kebangkrutan C. Buku teks: 1. Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation 2. Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models D. Penilaian: 1. Ujian: Ujian 1, 26 September 2013 (25%) Ujian 2, 31 Oktober 2013 (25%) Ujian 3, 5 Desember 2013 (25%) 2. Kuis, Tugas dan Presentasi (25%) MA4183 Model Risiko i K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Distribusi Frekuensi Klaim 1 ii
BAB 1 Distribusi Frekuensi Klaim Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity). Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = C n k θ k (1 θ) n k, k = 0, 1, 2,..., n Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu E(X m ) = n x m P (X = k). k=0 Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) =, dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): M X (t) = Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut. 1
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: Fungsi likelihood dan log-likelihood:... Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi:... Penaksir θ:... Turunan kedua terhadap parameter:... Tugas: Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut. MA4183 Model Risiko 2 K. Syuhada, PhD.
Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 α) x 1 α, x = 1, 2,... Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) = 1 α, V ar(x) = 1 α 2, dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan! MA4183 Model Risiko 3 K. Syuhada, PhD.
Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(x) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? Teorema Jika X 1,..., X n peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan X i P OI(λ i ) maka X = X 1 + + X n P OI(λ 1 +... + λ n ). Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ 1 dan λ 2. Kita dapat menentukan distribusi X X + Y = n sebagai berikut P (X = k X + Y = n) P (X = k, X + Y = n) = P (X + Y = n) P (X = k, Y = n k) = P (X + Y = n) P (X = k) P (Y = n k) = P (X + Y = n) = exp( λ 1) λ k 1 (k!) 1 exp( λ 2 ) λ n k 2 ((n k)!) 1 exp( (λ 1 + λ 2 )) (λ 1 + λ 2 ) n (n!) 1 = n! k!(n k)! ( λ1 λ 1 + λ 2 ) k ( λ2 λ 1 + λ 2 ) n k. Dengan kata lain, X X + Y = n B(n, λ 1 /(λ 1 + λ 2 )). MA4183 Model Risiko 4 K. Syuhada, PhD.
Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ): f(x) = e λ λ x, x = 0, 1, 2,... x! yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk X = x 1, Diperoleh f(x 1) = e λ λ x 1 (x 1)!. f(x) f(x 1) = e λ λ x / e λ λ x 1 x! (x 1)! = λ x atau f(x) = ( ) λ f(x 1), x = 1, 2,... x Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( f(x) = a + b ) f(x 1), x = 1, 2,..., x dengan a, b konstanta dan f(0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi. MA4183 Model Risiko 5 K. Syuhada, PhD.
Zero-Modified and Zero-Truncation Distributions Misalkan X B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: X P (X = k) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya 0 telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai zero-modified and zero-truncated distributions. Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f(x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f(x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f(x) adalah f M (x) = c f(x), x = 1, 2,... dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c = 1 f M (0) 1 f(0). Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: f M (1) = 1 f M (0) 1 f(0) f(1) = 1 0.3 1 0.216 0.432 = 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = 0.258 dan f M (3) = 0.056. MA4183 Model Risiko 6 K. Syuhada, PhD.
Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X P (X = k) Zero-Modified Zero-Truncated 0 0.216 0.3 0 1 0.432 0.386 2 0.288 0.258 3 0.064 0.056 Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5 2. Misalkan X adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah f X (x) dan P X (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X MA4183 Model Risiko 7 K. Syuhada, PhD.
Compound distribution Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari X dengan fungsi distribusi F X. Apakah yang dapat kita katakan tentang distribusi S = X 1 + + X n,? Bagaimana dengan S = X 1 + + X N,? (dimana N adalah peubah acak) Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X 1,..., X N, maka peubah acak S = X 1 + + X N dikatakan memiliki compound distribution. Catatan: - Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution - Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan X i B(1, θ) dan kita tahu X i = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk S adalah {0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X 1 = 0, X 2 = 0) = P (X 1 = 0)P (X 2 = 0) = f(0)f(0) P (S = 1) = P (X 1 = 0, X 2 = 1) + P (X 1 = 1, X 2 = 0) = f(0)f(1) + f(1)f(0) P (S = 2) = P (X 1 = 1, X 2 = 1) = f(1)f(1) Jadi, fungsi peluang S adalah P (S = s) = x P (X 1 = x, X 2 = s x). MA4183 Model Risiko 8 K. Syuhada, PhD.
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound distribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh P (S = s) = n P (S N = n)f N (n), dengan sifat momen pertama E(S) = E(E(S N)) = dan fungsi pembangkit momen M S (t) = Latihan: 1. Misalkan S 1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p 1. Misalkan S 2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p 2. Diketahui S 1 dan S 2 saling bebas. Misalkan S = S 1 + S 2. Hitung P (S = s), s = 0, 1, 2,. 2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compound distribution MA4183 Model Risiko 9 K. Syuhada, PhD.